W2_ Natura pomiaru

(1)

Natura pomiaru

masa 20

±

1

1 g

g

energia 6.63

⋅

_⋅

10

10 -

-

4

4 _±

_±

_0.02

⋅

₁₀

-

4

4 _J

_J

ś

rednia

_błąd

jednostka

(2)

Międzynarodowy system miar (SI)

Wł fizyczna

Masa

Długość

Czas

Temperatura

Prąd elektryczny

Liczność materii

Intensywność

światła

Physical Quantity Name Abbreviation

Mass kilogram

kg

Length meter

m

Time second

s

Temperature Kelvin

K

Electric Current

Ampere

A

Amount of Substance

mole

mol

Luminous Intensity

candela

cd

(3)

SI przedrostki

Prefix

Symbol

Multiplier

Exponential notation

exa-

E

1,000,000,000,000,000,000

10

18

10

15

10

12

10

9

10

6

10

3

10

2

10

1

10

-1

10

-2

10

-3

10

-6

10

-9

10

-12

10

-15

10

-18

peta-

P

1,000,000,000,000,000

tera-

T

1,000,000,000,000

giga-

G

1,000,000,000

mega-

M

1,000,000

kilo-

k

1,000

hecto-

h

100 deca-

da

10 deci-

d

0.1 centi-

c

0.01 milli-

m

0.001 micro-

µ

0.000 001

nano-

n

0.000 000 001

pico-

p

0.000 000 000 001

femto-

f

0.000 000 000 000 001

atto-

a

0.000 000 000 000 000 001

(4)

Niepewność pomiaru

A

digit

that

must

be

estimated

is

called

uncertain

. A

measurement

always

has

some

degree

of

uncertainty

(5)

Niepewność pomiaru

Precyzja i dokładność

Dokładność

określa zgodność wartości

będącej wynikiem pomiaru danej

wielkości fizycznej z jej

prawdziwą

wartością

.

Precyzja

określa stopień spójności

pomiędzy różnymi wynikami pomiaru tej

samej wielkości fizycznej

(6)

Niepewność pomiaru

Precyzja i dokładność

brak precyzji i dokładności

neither precise nor accurate

precyzyjny i niedokładny

precise but not accurate

precyzyjny i dokładny

(7)

Rodzaje błędów pomiarowych

Przypadkowy

(

Random

Error

,

Indeterminate

Error

)

–

ma jednakowe prawdopodobieństwo

bycia dużym lub małym w serii pomiarowej.

Systematyczny

(

Systematic

Error

,

Determinate

Error

)

–

występuje w każdym pomiarze w serii

powtarzanych pomiarów za każdym razem w

tym samym kierunku. Często wynika z wady

danej techniki pomiarowej.

(8)

Obliczenia błędów

Przykład 1 pomiar pH

Nr pomiaru

pH

1

5.15

2

5.75

3

5.30

4

5.50

5

5.80 średnia

5.50 Nr pomiaru

pH

1

5.15

2

5.75

3

5.30

4

5.50

5

5.80 średnia

5.50

5

80 .

5

50 .

5

30 .

5

75 .

5

15 .

5

4

3

2

1 +

+

=

+

=

∑

pH

n

pH

i

(9)

Obliczenia błędów

Przykład 1 pomiar pH

Odchylenie standardowe pomiaru

Nr pomiaru

pH

1

5.15

2

5.75

3

5.30

4

5.50

5

5.80 (

)

1

2 −

−

=

∑

n

pH

i

σ

średnia

5.50 odch. std. pom.

_0.28

(

) (

)

4

80 .

5

50 .

5

50 .

5

50 .

5

30 .

5

50 .

5

75 .

5

50 .

5

15 .

5

50 .

5 −

2 +

−

2 +

−

2 +

−

2 +

−

2 =

σ

(10)

Obliczenia błędów

Przykład 1 pomiar pH

Nr pomiaru

pH

1

5.15

2

5.75

3

5.30

4

5.50

5

5.80 Odchylenie standardowe średniej

(

)

1 (

2 −

−

=

∑

n

pH

n

i

σ

średnia

5.50 odch. std. śr.

_0.22

(

) (

)

4

5

80 .

5

50 .

5

50 .

5

50 .

5

30 .

5

50 .

5

75 .

5

50 .

5

15 .

5

50 .

5

2

2 ⋅

−

+

−

+

−

+

−

+

−

=

n

σ

(11)

Obliczenia błędów

Przykład 1 pomiar pH

pH = 5.50 ± 0.22

(12)

Obliczenia błędów

Rozkład normalny

funkcja rozkładu

krzywa Gaussa

x

liczba realizacji

( )

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

−

=

2 2

2

1 )

(

σ

π

σ

x

e

x

f

wynik pomiaru

(13)

Przedział ufności dla średniej

α

σ

α

σ

α

<

+

=

−

}

1 {

n

m

X

t

X

P

Im węższy przedział (różnica między górną i dolną

granicą przedziału), tym bardziej precyzyjna jest estymacja

przedziałowa.

Im wyższa jest wartość współczynnika ufności, tym

szerszy przedział.

http://www.physics.csbsju.edu/stats/

-

odchylenie standardowe z próby

- wartość odczytana z tablic rozkładu Studenta

- współczynnik ufności, 0-1

-- wartość zmierzona

σ

1 ,

n

−

t

_α

α

m

Obliczenia błędów

http://home.agh.edu.pl/~bartus/index.php?action=statystyka&subaction=przedzialy_ufnosci

(14)

Obliczenia błędów

pH = 5.50 ± 0.22

Przykład 1 pomiar pH

wartość średnia i odchylenie std.

przyjmijmy poziom ufności P = 95 %

wówczas wsp. ufności wynosi

05 .

0

05 .

0

1

95 .

0 =

−

⇒

=

α

P

przedział ufności dla wartości średniej (rozkład Studenta) wynosi:

n

m

pH

t

pH

−

_α

σ

<

+

_α

σ

22 .

0

571 .

2

22 .

0

571 .

2 ⋅

<

+

⋅

−

m

pH

)

95 .

0 (

57 .

0

50 .

5 ±

=

pH

http://www.physics.csbsju.edu/stats/

(15)

Prawdopodobieństwo P. % 10 50 90 95 99 99.9 α Liczba pomiarów 0.9 0.5 0.1 0.05 0.01 0.001 1 0.158 1.000 6.314 12.706 63.656 ###### 2 0.142 0.816 2.920 4.303 9.925 31.600 3 0.137 0.765 2.353 3.182 5.841 12.924 4 0.134 0.741 2.132 2.776 4.604 8.610 5 0.132 0.727 2.015 2.571 4.032 6.869 6 0.131 0.718 1.943 2.447 3.707 5.959 7 0.130 0.711 1.895 2.365 3.499 5.408 8 0.130 0.706 1.860 2.306 3.355 5.041 9 0.129 0.703 1.833 2.262 3.250 4.781 10 0.129 0.700 1.812 2.228 3.169 4.587 30 0.127 0.683 1.697 2.042 2.750 3.646 40 0.126 0.681 1.684 2.021 2.704 3.551 50 0.126 0.679 1.676 2.009 2.678 3.496 60 0.126 0.679 1.671 2.000 2.660 3.460 70 0.126 0.678 1.667 1.994 2.648 3.435 80 0.126 0.678 1.664 1.990 2.639 3.416 90 0.126 0.677 1.662 1.987 2.632 3.402 100 0.126 0.677 1.660 1.984 2.626 3.390 ∞ 0.126 0.677 1.658 1.980 2.617 3.373

(16)

01_06 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 100-mL graduated cylinder 250-mL volumetric flask 50-mL buret 25-mL pipet Calibration mark indicates 25-mL volume 0 1 2 3 4 45 46 47 48 49 50 mL mL Valve (stopcock) controls the liquid flow Calibration mark indicates 250-mL volume

Niepewność pomiaru

pomiar objętości

(17)

Cyfry znaczące

Wyraź liczbę w notacji naukowej

(potęga dziesiętna)

Liczba cyfr mnożonych przez

potęgę 10 to

(18)

Cyfry znaczące

Przykład 3

3456

= 3.456

⋅

10

3

3 ⇒

⇒

₄

_{cyfry znaczące}

0.0486

= 4.86

⋅

_⋅

10

10 -

-

2

2 ⇒

_⇒

₃

_{cyfry znaczące}

16.07

16.07 = 1.607

= 1.607

⋅

_⋅

10

1

1 ⇒

_⇒

₄

_{cyfry znaczące}

9.300

(19)

Cyfry znaczące w operacjach

matematycznych

Mnożenie i dzielenie:

liczba cyfr

znaczących wyniku jest określona

przez najmniejszą liczbę cyfr

znaczących wyników pomiaru

poddanych operacji

6.38

6.38 ×

×

2.0 = 12.76

→

13

13 (2 cyfry znaczące)

(2 cyfry znaczące)

(20)

Cyfry znaczące w operacjach

matematycznych

Dodawanie i odejmowanie:

liczba cyfr

znaczących wyniku jest

jest

równa

liczbie miejsc dziesiętnych w

najmniej dokładnym pomiarze.

6.8 + 11.934 = 18.734

→

18.7 (3 cyfry znaczące)

(21)

Niepewność pomiaru

Przykład 2 przygotowanie roztworu

Ile wody należy dodać do 10.00 cm

3

3 _90.0

_90.0

_vol

_{% roztworu alkoholu etylowego aby}

otrzymać roztwór 70.0

vol

%? Czym odmierzyć?

(

)

⇒

=

−

=

⋅

=

+

⇒

+

=

⋅

=

⇒

=

3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 1 ) (

857 .

2

7 .

0

2

7

9

7 .

0

9 %

100 %

70

10 %

100

10

9 %

70

9 %

100

10 %

90 %

100

10 %

90 %

100

2 2 2 2

cm

V

cm

V

cm

V

cm

V

cm

C

cm

V

cm

V

C

V

C

O H O H O H O H P et et P r et vol P

V

_H2O

= 2.86 cm

3