Przybliżona metoda rozwiązywania płaskich niesamopodobnych fal uderzeniowych w doskonałym przewodniku w polu magnetycznym

I  S T O S O W A N A  4, 11 (1973) 

PRZYBLIŻ ONA  M E T O D A ROZWIĄ ZYWANIA PŁASKICH NIESAMOPODOBNYCH  F A L  UDERZENIOWYCH W DOSKONAŁYM PRZEWODNIKU W  P O L U  M A G N E T Y C Z N Y M 

EDWARD  W Ł O D A R C Z Y K (WARSZAWA) 

1. Wstęp 

Zagadnienie rozprzestrzeniania się fal uderzeniowych w  d o s k o n a ł y m przewodniku  umieszczonym w polu magnetycznym było badane w pracach [1] i [2]. W [1] rozpatrzono  wypukło­wklę słą i wklę słą charakterystykę a—e. Wyprowadzono zwią zki na froncie fali  uderzeniowej i przeprowadzono jakoś ciową analizę strat energii przy formowaniu się   frontu silnej niecią głoś ci. W pracy [2] rozwią zano explicite problem samopodobnej (sta­ cjonarnej) fali uderzeniowej dla doskonałego przewodnika. 

Celem niniejszej pracy jest podanie rozwią zania problemu propagacji niesamopodobnej  fali uderzeniowej w półprzestrzeni wypełnionej  d o s k o n a ł y m przewodnikiem i zanurzonej  w polu magnetycznym. Fale wzbudzone są ciś nieniem mechanicznym przyłoż onym w spo­ sób nagły do powierzchni półprzestrzeni. Ciś nienie to do chwili t = r0 jest stałe w czasie  i nastę pnie maleje monotonicznie do zera.  N a d półprzestrzenią znajduje się próż nia,  w którą wypromieniowuje fala elektromagnetyczna. Rozpatrzono wklę słą charakterystykę   p— V dla  o ś r o d ka wypełniają cego półprzestrzeń. O ile autorowi wiadomo, problem ten 

nie był badany w literaturze. 

W punkcie drugim formułujemy problem, w trzecim — dokonujemy odcinkowej  linearyzacji problemu, natomiast w czwartym podajemy analityczne rozwią zanie zagadnie­ nia. 

2. Sformułowanie problemu 

Rozpatrzmy problem przy nastę pują cych założ eniach:  1. Stosujemy współrzę dne Lagrange'a x, y, z, t. 

2. Przyjmujemy  u k ł a d osi współrzę dnych dla dolnej i górnej półprzestrzeni jak na  r y s . l .  3. Obcią ż enie powierzchni półprzestrzeni zależy tylko od czasu t, natomiast nie za­ leży od y, z (rys. 1). Przyłoż one jest w sposób nagły; do chwili t = r0 jest stałe w czasie  i nastę pnie monotonicznie maleje do zera (rys. 2). 

4. Przyjmujemy: 

(2.1) н х=Н ъ = 0, tf2 = H. 

5. Oś rodek wypełniają cy dolną półprzestrzeń jest  d o s k o n a ł y m przewodnikiem, tj. jego  p r z e w o d n o ś ć a ­* oo (w przybliż eniu złoto, miedź ).  G ó r n a półprzestrzeń jest próż nią. 

6. Pomijamy w równaniach sprzę ż onych pól dla a ~* oo prą dy przesunię cia. 

7.  N i e uwzglę dniamy przewodnictwa cieplnego i lepkoś ci mechanicznej  o ś r o d k a.  8. Bę dziemy  b a d a ć fale uderzeniowe ś redniej intensywnoś ci (do kilkuset kilobarów). 

Dlatego równanie stanu dla przewodnika przyjmujemy w postaci jednoczłonowej bez  wpływu temperatury [3] i [4]  (2.2)  A, n są stałymi charakteryzują cymi dany przewodnik (miedź: A = 296 kbar, n = 4,8;  złoto A = 310 kbar, n = 5,7, [4]).  Rys. 1. Rys. 2. 

Zgodnie z powyż szymi założ eniami  r ó w n a n i a ruchu  o ś r o d ka przyjmują nastę pują cą   p o s t a ć : 

H0 jest tu pierwotnym stałym polem magnetycznym. 

Przy wyprowadzaniu  r ó w n a ń (2.3) wykorzystano fakt, że pole magnetyczne w dosko­ nałym przewodniku jest odwrotnie proporcjonalne do obję toś ci właś ciwej [1, 2] 

(2.5)

  я

= — 

-p r

­Hf

z (2.6) otrzymujemy 

(2.9) tff = ­E* =flt­^­\,  gdzie / jest na razie dowolną funkcją. 

Warunki na brzegu półprzestrzeń i wynikają z cią głoś ci składowych stycznych pola  elektrycznego w układzie zwią zanym z granicą  

(2.10) El = Et*  oraz z cią głoś ci ciś nienia na granicy  o ś r o d ka i próż ni 

(2­11) P=P*+Po(0,  gdzie p* jest składową normalną tensora napięć Maxwella w próż ni  (2.12) p* = T*Xl = ­~H*\  Z (2.10) po przejś ciu na układ Lagrange'a otrzymujemy  (2.13) E+^^­H^ E* +  ^ ­ H * .  с  с   Ponieważ w przewodniku zachodzi zależ ność   (2.14)  E = ­ ^ ­ H ,  с   przeto  (2.15) E* + ^^­H* = 0.  с   Wprowadzając (2.9) do (2.15) otrzymamy  MO  (2.16) flt­ ,IU)\ с  H ° H0v0(t)  с  I { Vp(t) c­v0(t)'  с   natomiast z (2.7), (2.9) i (2.16) wynika, że  (2.17)  Я * = П "  i .  с   Ostatecznie warunek brzegowy (2.11)  m o ż na przedstawić w postaci  ( 2 .1 8)

 (UJf­,

«/Ł\'_

 '.,„+*><" 

Z warunku cią głoś ci masy i pę du na froncie fali uderzeniowej x = cp{t) otrzymujemy  Ф ~УХ = vx_ 

Ф  ~ V0'  (2.20) 

Warunki począ tkowe są nastę pują ce: 

e ( x , 0 ) = 0,  K ( * , 0 ) =  Ko, 

(2.21) #*(*, 0) = H0, H*(x, 0) = 0,  Ł * ( * , 0 ) = 0, E*(x,0) = 0.  Tym samym problem został jednoznacznie sformułowany. 

3. Aproksymacja zwią zku p = p (V) odcinkami prostymi 

Rozwią zanie quasi­liniowego układu  r ó w n a ń w warunkach tworzenia się niestacjonar­ nego frontu fali uderzeniowej jest skomplikowanym problemem  r ó w n a ń fizyki matema­ tycznej. Do chwili obecnej w literaturze brak jest zamknię tego rozwią zania tego zagadnie­ nia. Numeryczna konstrukcja rozwią zania w ogólnym uję ciu jest  ż m u d na i pracochłonna,  mimo zastosowania elektronicznej techniki obliczeniowej. Dlatego w niniejszej pracy  pójdziemy w kierunku pewnych uproszczeń natury fizycznej, aby uzyskać zamknię tą   analityczną formę rozwią zania tego problemu.  Mianowicie, z prawa zachowania masy wynika,  ż e:  (3.1) ~ =  ­e ° = 1 +u,x =l+e, e = u,x,  Vo Q  gdzie w jest przemieszczeniem  o ś r o d k a.  Wprowadzając (3.1) do (2.4) otrzymamy  (3.2) P =  Ą ­

 =

  ( ­ i ­

I

N a rys. 3 wykreś lono funkcję P(s) dla miedzi (linie cią głe). Podobne przebiegi uzyskuje  się dla złota. Jak wynika z zamieszczonych wykresów funkcję P(e) w zakresie stosowalnoś ci  r ó w n a n i a stanu (2.2) (P < 2,5) z wystarczają cą dla celów praktyki dokładnoś cią  m o ż na  a p r o k s y m o w a ć w strefie obcią ż enia linią łamaną złoż oną z dwóch odcinków prostych  (linie przerywane na rys. 3), których nachylenie i długość zależy od parametru a (począ t­ kowego pola magnetycznego H0). Ponieważ równanie stanu (2.2) jest również pewnym  przybliż eniem wyników eksperymentalnych, przeto proponowana odcinkowa aproksy­ macja funkcji P(e) jest tym bardziej uzasadniona. W strefie odcią ż enia przyjmiemy, że  funkcja P(e) jest liniowa (rys. 4). 

M a m y  w ó w c z a s : 

p = Aa­E0e =  4 a ­ Ł0 | J i ­ ­ l j , 

0 0.1 e* 02 

Rys. 3 

oraz 

(3.3) p  = y 5 * ( a ) ­ Ł , ( Ł ­ Ł * ) =

 (E

­E

)e*+Aa­E

i^­­\ 

jeś li p ot p*(a); natomiast 

/ V  (3.4) p = р ч{х ) + Е г е ^х ) ­ E2s = pv(x) + E2 е ^х ) ­ E21 — ­ 1 

w strefie odcią ż enia. 

Z a frontem fali uderzeniowej postulujemy proces odcią ż enia. Wówczas ruchem  o ś r o d ka  rzą dzą  r ó w n a n i a 

P 

1 

11 

1 1 

ы  

 V 

Powyż szy układ  r ó w n a ń róż niczkowych moż na zastą pić równoważ nym układem rów­ nań algebraicznych na charakterystykach o nastę pują cej postaci 

(3.6)  gdzie  v = =p—­­  ­ D +  C * , jeś li x =  ± p0o2r + c T ,  Г  Po  Warunek brzegowy (2.18) po uwzglę dnieniu (3.4) oraz faktu, że  »o(0  (3.7) 

m o ż na przedstawić w nastę pują cej formie 

pa(0)+E2ea(0)­E2  (3.8)  Ponieważ   Px(°) = Pm, Ł*(0) = em  przeto z (3.8) mamy  < 1,  F(0 ' i ) _ i  v0  = Aoc+p0(t).  Aa­p* pm­p'*  E0  Ei '  Warunki na froncie fali uderzeniowej przyjmują obecnie postać   (3.10) 

+ 

я

Warunki począ tkowe nie ulegają zmianie. 

Przejdziemy obecnie do analitycznego rozwią zania uproszczonego w ten sposób pro­ blemu. 

4. Rozwią zanie problemu 

Falowy obraz rozwią zania przedstawionego wyż ej problemu przyjmuje postać poka­ zaną na rys. 5. Płaszczyzna x, t podzielona jest na dwa obszary. Obszar I zawiera stacjo­ narny odcinek frontu fali uderzeniowej wywołany stałym obcią ż eniem pm działają cym  w czasie 0 < t ^  т 0. W obszarze II propaguje się niestacjonarny, krzywoliniowy odcinek 

frontu fali uderzeniowej generowanej przez maleją ce w czasie ciś nienie p0(t). Analityczne  rozwią zanie problemu w poszczególnych obszarach kształtuje się nastę pują co. 

P Pm 0 x  Rys. 5 

Obszar I. W obszarze tym zgodnie z rozwią zaniami podanymi w [1] i [2] propaguje  się stacjonarny (ze stalą prę dkoś cią) front fali uderzeniowej x = <p(t). Wszystkie para­ metry problemu za frontem takiej fali mają stałą wartoś ć. Zatem po rozwią zaniu  r ó w n a ń   (3.9) i (3.10) otrzymujemy:  Pi(x,t)  = Pm = Acc+pm,  V,(x,t)  = vm = v0 

H 

­ W ) , 

­ H 

gdzie 

(4.2) 

Z koiei na podstawie (2.5) i (2.14) mamy: 

H

(x,t)

= H

= tf

[l+ ( l - Ь L j

*

j

Obszar II. Ze zwią zków wzdłuż charakterystyk wychodzą cych z frontu fali uderzenio­ wej i przecinają cych się w dowolnym punkcje x, t obszaru II znajdujemy:  (4.3)  gdzie  (4.4)  v2(x,t) = T\%i(t1)+vv2(t2)+­^lp92(t2)­pa.i(ti)]\,  z  l Qoa 2  Pi(x, t) =  2 ­ { ^ i ( r , ) + ^2( r2) +  eoe 2 K 2 ( ^ ) ­ ^ i 0 i ) ] } »  4>i(ti)­x  t —  t, = t +  a2  <P2<t2)­X  «2 

Ponieważ począ tkowy odcinek frontu fali jest  j u ż znany 

(4­5) <Pi(ti) = Dmtlt 

zatem czas tt  m o ż na wyliczyć explicite 

(4­6) =  ­ ^ ± f . 

Wielkoś ci  г ^ С ) i  / ^ ( f j ) są znane z I obszaru [patrz wzory (4.1)]. Natomiast wartoś ci 

v^ih) i P^ih) okreś lamy ze zwią zków na froncie fali (3.10) i  r ó w n a ń konstytutywnych 

(3.3): 

^ 2 ) =  ^ ) ( l ­ f ) ^ | ( r 2 ) ^ 2 ) , 

(4.7) 

Mh) = Aa + (Ei­E0)e* + Eie*\l \ E

0]a\­<pl(!2y 

Z podanych wyż ej zależ noś ci wynika, że do jednoznacznego okreś lenia funkcji v2(x, t) 

i p2(x, t) potrzebna jest  p r ę d k o ść propagacji nastę pnego odcinka frontu fali uderzeniowej 

<p2(t2). Okreś limy go w nastę pują cy sposób.  Z e zwią zków wzdłuż charakterystyk, zazna­ czonych na rys. 5 liniami przerywanymi, mamy  M'*) = ~~­Р О (П +^Ж )­ (4.8) Q0 °2  6 ° 2  M'*) = l —Po(t*)+vv2(t*)+ ­J— ~pę 2{t*2),  Qoa 2 Qo"2 

gdzie  a 2 a2 + D„  (4.9)  t*2 = t  « 2 Z (4.8) po dodaniu stronami otrzymujemy  (4.10) 2v0(t*) = vrl(tt)+vvt(ti)+ ­А ­\р 92 (tf)­?ri№   Ponieważ   (4.11) ~Po(t*) = Aa+p0{t*), 

przeto  p r ę d k o ść poruszania się brzegu v0(t*) zgodnie z (4.8)[ wynosi 

(4­12)  M n = ^ + I^+vAtr)­­^pvl(tt).  Qo "2 Qo "2 Qoa 2  Wprowadzając (4.7) i (4.12) do (4.10) po licznych przekształceniach otrzymamy 

(4Л З ) ^ n ­^ .

/(^.)

*

*

, 

*,  = — + Ц

­ ­ М

' * ) + * ж

) — ­­­^ w ) ­— 

D l a jednoznacznego rozwią zania problemu potrzebna jest jeszcze znajomość położ enia  frontu fali (p2{t*) na płaszczyź nie x, t. 

Z  r ó w n a n i a dodatniej charakterystyki wynika, że  ( }  dt* +  a2 dt*"'  Poza tym mamy  ,4.16)  * , « » ­ # .  Z (4.15) i (4.16) otrzymujemy  dę2(t*) а 2ф 2(Ф   ' 2  (4.17)  Л * e2­9>2(f*)' 

a po scałkowaniu  '*('!)  (4­18) <pM) =  Dmtl + Г   ­ ^ | >  Л * ,  J a2­ę2(tf)  gdzie  (4.19) /, =  o, ­ D„ 

W ten sposуb okreś liliś my expHcite nastę pny odcinek frontu fali uderzeniowej KlK2  i wartoś ci funkcji v2(x, ł) i p2(x, 0 w strefie  T Q T I ^ A ; ,  T0 (rys. 5). 

Dla rozwią zania problemu w nastę pnych strefach obszaru II stosujemy wyprowadzone  wyż ej zależ noś ci w sposуb rekurencyjny. 

Mając okreś lone funkcje v2(x, t) i p2(x, t) łatwo znajdujemy pozostałe parametry  problemu. I tak, z (3.10) t i (4.7), mamy  (4.20) V92(t%) = V0 1­е *  ( a ) ( l ­  Ы ­ j  Natomiast z (3.4) otrzymujemy:  al  • mv  (4.21)  V0  ­ 1  ^2  Składowe pola magnetycznego i elektrycznego odpowiednio wynoszą: 

я

(х ,о  =  я

­ ­

V

(x, г ) ' 

T y m samym uzyskaliś my pełne zamknię te rozwią zanie dość złoż onego problemu. 

Literatura cytowana w tekś cie 

1. S. KALISKI, Płaska fala uderzeniowa w ciałach stałych w polu magnetycznym przy doskonałym prze­ wodnictwie elektrycznym, Biul.  W A T , 6 (95), (1960). — The plane elastic shock wave in perfectly con­ ducting solids in a magnetic field, Proc. Vibr. Probl., 1, 2 (1961). 

2.  J . MICHALEC, Samopodobna fala uderzeniowa w stałym oś rodku doskonałe przewodzą cym w polu magnetycz­ nym, Biul.  W A T , 3 (175), (1967). 

3.  Я .  Б . З Е Л Ь Д О В И Ч ,  Ю .  П . Р А Й З Е Р , Ф и з и к а  у д а р н ы х  в о л н  и  в ы с о к о т е м п е р а т у р н ы х  г и д р о д и н а м и ч е с к и х   я в л е н и й , М о с к в а  1966. 

4.  В .  П . Ч Е Л Ы Щ Е В ,  Б .  И . Ш Е Х Т Е Р ,  Л .  А . Ш У Ш К О , О б  и з м е н е н и и  д а в л е н и я  н а  п о в е р х н о с т и  п р е г р а д ы   п р и  к о н т а к т н о м  в з р ы в е  з а р я д а  В В , Ф и з и к а  в з р ы в а , 2, 6 (1970). 

5. Е . WŁODARCZYK, О  pewnym zamknię tym rozwią zaniu problemu propagacji uderzeniowej fali odcią ż enia  w biliniowym oś rodku sprę ż ystym, Biul.  W A T , 6 (238), (1972). —A closed­form solution of the pro­ pagation problem of an unloading shock wave in a bilinear elastic body, Proc. Vibr. Probl., 3, 13 (1972). 

6.  E . WŁODARCZYK, Propagacja płaskiej uderzeniowej fali obcią ż enia w biliniowym prę cie sprę ż ystym, Biul.  W A T , 8 (240), (1972). — Propagation of a piane loading shock wave in a bilinear bar, Proc. Vibr. Probl.,  4, 13 (1972). 

7.  E . WŁODARCZYK, Propagacja płaskiej fali uderzeniowej w oś rodku trójskładnikowym ze sprę ż ystym od­ cią ż eniem, Biul.  W A T , 1 (245), (1973). — Propagation of a plane shock wave in a three­component medium  with elastic unloading, Proc. Vibr. Probl., 1, 13 (1973).  Р е з ю м е   П Р И Б Л И Ж Е Н Н Ы Й   М Е Т О Д  Р Е Ш Е Н И Я  П Л О С К И Х   Н Е А В Т О М О Д Е Л Ь Н Ы Х   У Д А Р Н Ы Х   В О Л Н  В   И Д Е А Л Ь Н О М  П Р О В О Д Н И К Е  В   М А Г Н И Т Н О М  П О Л Е   В  р а б о т е  р е ш е н а  з а д а ч а  о  р а с п р о с т р а н е н и и  п л о с к о й  н е а в т о м о д е л ь н о й  у д а р н о й  в о л н ы , р а с п р о ­ с т р а н я ю щ е й с я  в  п о л у п р о с т р а н с т в е , з а п о л н е н н о м  и д е а л ь н о  п р о в о д я щ и м  м а т е р и а л о м  и  н а х о д я щ и м с я   п о д  д е й с т в и е м  м а г н и т н о г о  п о л я , н а п р а в л е н н о г о  п а р а л л е л ь н о  п о в е р х н о с т и  п о л у п р о с т р а н с т в а . В о л н ы   в о з б у ж д а ю т с я  м е х а н и ч е с к и м  д а в л е н и е м , п р и л о ж е н н ы м  м г н о в е н н о  к  п о в е р х н о с т и  п о л у п р о с т р а н ­ с т в а , и  о с т а ю щ и м с я  п о с т о я н н ы м   д о  н е к о т о р о г о  м о м е н т а  в р е м е н и  t =  т 0, а  з а т е м  м о н о т о н и ч е с к и   и с ч е з а ю щ е г о   д о  н у л я . Н а д  п о л у п р о с т р а н с т в о м  н а х о д и т с я  п у с т о т а , в  к о т о р у ю  и з л у ч а е т с я  э л е к т р о ­ м а г н и т н а я  в о л н а . П о л у ч е н о  з а м к н у т о е  р е ш е н и е  д л я  у п р о щ е н н о й  з а д а ч и . У п р о щ е н и е  с о с т о и т  в  т о м ,  ч т о  у р а в н е н и е  с о с т о я н и я  а п р о к с и м м и р у е т с я  к у с о ч н о ­л и н е й н о й  з а в и с и м о с т ь ю , д о п о л н е н н о й  ч л е ­ н а м и , с в я з а н н ы м и  с  м а г н и т н ы м  п о л е м . Н а с к о л ь к о  и з в е с т н о  а в т о р у  с т а т ь и , д а н н а я  з а д а ч а  е щ е  н е   и з у ч а л а с ь  в  л и т е р а т у р е .  S u m m a r y 

A N APPROXIMATE  M E T H O D OF SOLVING  P L A N E , NON­SELFSIMILAR SHOCK WAVES  IN A  P E R F E C T CONDUCTOR SUBJECT  T O MAGNETIC FIELD 

The paper presents a solution to the problem of propagation of a plane, non­selfexited impact wave  moving in a perfectly conducting halfspace subject to a magnetic field directed parallel to its surface. The  waves are excited by a mechanical pressure applied instantaneously to the surface of the halfspace; at the  instant t =  T0 it is constant in time and then monotonically decreases to zero. Electromagnetic waves  are radiated into the vacuum over the halfspace. A closed­form solution of the simplified problem is found.  The simplification consisted in a sectionally linear approximation of the constitutive equation supplemented  with magnetic field terms. In author's opinion, the problem has not been considered in literature thus far  WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA  Praca została złoż ona w Redakcji dnia 9 marca 1973 r.  8 Mechanika Teoretyczna 4/73