Projekt 3: ruch cząstki w polu magnetycznym
4 stycznia 2019
1 Wstęp
Na zajęciach rozważaliśmy ruch cząstki naładowanej w jednorodnym polu magnetycznym. Lagranżjan układu we współrzędnych kartezjańskich ma postać
L = m 2
⃗˙ r2+q
2⃗r· ( ˙⃗r × ⃗B) (1)
Jeśli wprowadzimy współrzędne cylindryczne z osią ’z’ skierowaną w kierunku pola B, to funkcja Hamiltona zapisana w nowych współrzędnych będzie miała postać
H = 1 2m
(
p2r+p2φ r2 + p2z
)
− qB
2mpφ+q2B2
8m r2 (2)
Z niej możemy wydobyć równania ruchu
˙r = pr
m (3)
˙
φ = pφ
m r2 − qB
2m (4)
˙
z = pz
m (5)
˙
pr = p2φ
m r3 −q2B2r
4m (6)
˙
pφ = 0 (7)
˙
pz = 0 (8)
Analogicznie jak na poprzednich zajęciach wprowadzamy nowe zmienne
s0 = r (9)
s1 = φ (10)
s2 = z (11)
s3 = pr (12)
s4 = pφ (13)
s5 = pz (14)
i określamy ich pochodne
˙s0 = f0(t, ⃗s) = s3
m (15)
˙s1 = f1(t, ⃗s) = s4
m s20 − qB
2m (16)
˙s2 = f2(t, ⃗s) = s5
m (17)
˙s3 = f3(t, ⃗s) = s24
m s30 − q2B2s0
4m (18)
˙s4 = f4(t, ⃗s) = 0 (19)
˙s5 = f5(t, ⃗s) = 0 (20)
1
Wartości wektora ⃗f (t, ⃗s) wyrażone wzorami (15)-(20) wyliczamy w procedurze do liczenia pochodnych, którą wykorzystujemy w metodzie RK4 (procedura rk4 vec).
1.1 Warunki początkowe
Warunki początkowe zadane dla równania różniczkowego określają jednoznacznie jego rozwiązanie.
Zastanówmy się jaki szczególnie interesujące przypadki możemy zamodelować. Ponieważ w funkcji Hamiltona nie występuje zmienna φ więc pęd uogólniony pφ z nią sprzężony będzie całką ruchu
˙
pφ = 0⇒ pφ= const (21)
wykorzystajmy tę informację do znalezienia WP dla trajektorii w postaci okręgu o środku w punkcie (x, y) = (0, 0). Wówczas r = const skąd od razu dostajemy dwa warunki:
˙r = pr
m = 0⇒ pr = 0 (22)
oraz
˙
pr = p2φ
m r3 −q2B2r
4m = 0⇒ p2φ = q2B2r4
4 (23)
Na podstawie drugiego warunku określimy pφ
pφ=±q B r2
2 (24)
Pojawiają się więc dwie opcje.
• Dla pφ = +q B r2 2 na mocy wzoru (4) dostajemy warunek ˙φ = 0, czyli cząstka nie porusza się.
• Dla pφ =−q B r2 2 dostajemy φ =˙−qBm =−ωc, czyli cząstka porusza się po trajektorii kołowej z częstością cyklotronową ωc (niezależnie od długości wektora wodzącego r = const).
2 Zadania do wykonania
1. Napisać program do wyznacznia trajektorii cząstki naładowanej w polu magnetycznym wyko- rzystując metdę RK4 (procedura rk4 vec).
2. Przyjąć parametry symulacji: n = 6 (liczba zmiennych niezależnych), nt= 5000 (liczba kroków czasowych), ωc = q B/m, q = B = m = 1, T = 2π/ωc (okres obiegu zamkniętej orbity cząstki),
∆t = 5· T/nt (krok czasowy).
3. Znaleźć trajektorie dla następujących warunków początkowych:
0) (bezruch) r0 = 1.5, φ0 = 1.25· π, z0 = 0, pr0= 0, pφ0 = qBr20/2, pz0= 0
1) (okrąg centrowany w początku ukł. wsp.) r0 = 1, φ0 = 0, z0= 0, pr0 = 0, pφ0 =−qBr20/2, pz0= 0
2) (okrąg centrowany w początku ukł. wsp. - niezależność od r) r0 = 2, φ0 = 0, z0 = 0, pr0= 0, pφ0 =−qBr02/2, pz0 = 0
3) (okrąg zorientowany dowolnie) r0 = 2, φ0= 0, z0 = 0, pr0 = 2, pφ0 =−qBr20/2, pz0= 0 4. W sprawozdaniu przedyskutować uzyskane wyniki.
2.1 Przykładowe wyniki
2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-3 -2 -1 0 1 2 3
y(t)
x(t) wp1 wp2 wp3 wp0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
0 5 10 15 20 25 30 35
E
t wp1 wp2 wp3 wp0
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0 5 10 15 20 25 30 35
r
t wp1 wp2 wp3 wp0
-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5
0 5 10 15 20 25 30 35
φ
t wp1 wp2 wp3 wp0
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0 5 10 15 20 25 30 35 pr
t wp1 wp2 wp3 wp0
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
0 5 10 15 20 25 30 35 pφ
t wp1 wp2 wp3 wp0
Rysunek 1: Wyniki dla warunków początkowych: 0,1,2,3
3
