Całka potrójna 3 - zastosowania geometryczne

1

Całka potrójna – zastosowania geometryczne

Zastosowania geometryczne całki potrójnej

Objętość bryły

Objętość bryły V można obliczyć korzystając z następującego wzoru:

V

V =

∫∫∫

dxdydz. (9)

Przykład 5. Korzystając z całki potrójnej obliczyć objętość:

a) obszaru V ograniczonego płaszczyznami: x= , 0 y= , 0 x+ = , y 1 x+ + = , y z 2 z= , 3

b) obszaru V ograniczonego powierzchniami: z=x2+y2, z= −2 x2+y2 . Rozwiązanie.

a) Obszar V (rys. 9a) od dołu jest ograniczony płaszczyzną x+ + = y z 2 (przecinającą osie układu współrzędnych w punktach: (2,0,0) , (0, 2,0) , (0,0, 2) ), od góry płaszczyzną z= , a po bokach płaszczyznami: 3 x= , 0

0

y= , x+ = (równoległą do osi Oz oraz przecinającą pozostałe osie w y 1 punktach: (1,0,0) , (0,1,0) ). Na rysunku 9b przedstawiono rzut obszaru V na płaszczyznę Oxy.

Rys. 9. Ilustracja do przykładu 5a

x y z O 2 2 2 3 1 1 D a) 2 z= − − x y 1 x+ = y b) D 1 1 x y 1 y= − x O V

2

Traktując obszar V jako normalny względem płaszczyzny Oxy oraz patrząc na odpowiednie rysunki łatwo można ustalić granice zmienności współrzędnych dowolnego punktu ( , , )P x y z obszaru V:

{( , , ): 0 1, 0 1 , 2 3}

V= x y z ≤ ≤x ≤ ≤ −y x − − ≤ ≤ . x y z Objętość bryły V obliczamy korzystając ze wzoru (9):

[ ]

1 1 3 1 1 3 2 0 0 2 0 0 x x x y V x y V dxdydz dx dy dz dx z dy − − − − − − =

_∫∫∫

=

_{∫ ∫}

_∫

=

_{∫ ∫}

= 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 (1 ) 2 x x dx x y dy y xy y dx − _{ }−   = + + = + + =    

∫ ∫

∫

1 2 0 1 1 (1 ) (1 ) 2 x x x x dx     = − + − + − =    

∫

1 1 2 2 2 0 0 1 1 1 3 1 2 2 2 2 x x x x x dx x x dx  _  _   =

∫

_ − + − + − + _ =

∫

_− − + __ = 1 3 2 0 1 1 3 1 1 3 5 6x 2x 2x 6 2 2 6     = − − + = − − + =     .

b)Bryła V (rys. 10a) od dołu ograniczona jest paraboloidą z=x2+y2, a od góry stożkiem z= −2 x2+y2 (jego wykres można otrzymać odbijając symetrycznie względem płaszczyzny Oxy wykres stożka obrotowego

2 2

z= x +y , a następnie przesuwając go o dwie jednostki do góry). W celu obliczenia objętości wprowadzamy współrzędne walcowe:

cos sin x r y r z z  = ϕ   = ϕ   =  .

3

Rys. 10. Ilustracja do przykładu 5b

Korzystając z tych zależności wyznaczamy równania danych powierzchni we współrzędnych walcowych: 2 2 2_cos2 2_sin2 2 z=x +y =r ϕ +r ϕ =r oraz 2 2 2 2 2 cos sin 2 z= − r ϕ +r ϕ = − . r

Zatem współrzędna walcowa z dowolnego punktu naszego obszaru będzie się zmieniała w przedziale:

2

2 r ≤ ≤ − . z r

Aby wyznaczyć obszar D (rys. 10b) będący rzutem bryły V na płaszczyznę Oxy, szukamy krawędzi przecięcia się danych powierzchni. W tym celu przyrównujemy prawe strony równań z=r2, z= − (rozwiązujemy układ 2 r równań) i otrzymujemy równanie kwadratowe r2+ − = . Po jego r 2 0 rozwiązaniu i odrzuceniu rozwiązania ujemnego (ponieważ r≥ ) uzyskujemy 0

1

r= . Obszar D jest więc kołem o promieniu równym 1. Otrzymujemy zatem:

2

{( , , ) : 0 1, 0 2 , 2 }

V′ = r ϕ z ≤ ≤r ≤ ϕ ≤ π r ≤ ≤ − . z r

Obliczamy objętość obszaru V:

[ ]

2 2 2 1 2 2 1 2 0 0 0 0 r r r V V r V dxdydz r drd dz d dr rdz d rz dr π − π − ′ =

_∫∫∫

=

_∫∫∫

ϕ =

_{∫ ∫ ∫}

ϕ =

_{∫ ∫}

ϕ = a) b) x y z 1 2 D 1 x y O D 2 2 z=x + y 2 2 2 z= − x +y 1

4

(

)

2 1 2 1 2 3 2 3 4 0 0 0 0 1 1 2 3 4 d r r r dr r r r d π π_{ }   = ϕ − − = − − ϕ =    

∫ ∫

∫

[ ]

2 2 0 0 1 1 5 5 1 3 4 d 12 6 π π  _  =

∫

_ − − _ ϕ = ϕ = π. Opracowanie: dr Igor Kierkosz