1. Obliczyć całkę krzywoliniową na płaszczyźnie OXY po krzywej L:

Lista nr 1 Elektrotechnika sem.III, studia niestacjonarne, 2019/20

Całka krzywoliniowa nieskierowana

1. Obliczyć całkę krzywoliniową na płaszczyźnie OXY po krzywej L:

a) Z

L

6y

x dl, gdzie L : y = 1

2 x ² , 0 ¬ x ¬ 1;

b) Z

L

2y cos(x) dl, gdzie L : y = sin(x), 0 ¬ x ¬ π/2;

c) Z

L

y ² √

1 + x dl, gdzie L : y = 2 3 x √

x, 0 ¬ x ¬ 3;

d) Z

L

x dl, gdzie L : y = p

1 − x ² , 0 ¬ x ¬ 1;

e) Z

L

|x + y| dl, gdzie L : y = |x|, −1 ¬ x ¬ 1;

f) Z

L

r 1 + 9

4 x dl, gdzie L : y = x √

x, 0 ¬ x ¬ 4;

g) Z

L

e

√

x

+y

dl, gdzie L : y = p

1 − x ² , 0 ¬ x ¬ 1.

2. Obliczyć całkę krzywoliniową R

L (x + y) dl, gdzie L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A(0, −1), B(2, 0), C(0, 2).

3. Obliczyć całk¸ e Z

L

xydl, jeżeli L jest brzegiem kwadratu |x| + |y| = 1.

4. Obliczyć całk¸ e Z

L

dl

p 5 − x ² − y ² , gdzie L jest odcinkiem ł¸ acz¸ acym punkty A(0, 0) i B(1, 2).

5. Obliczyć długość łuku krzywej L danej równaniem:

a) y = chx, x ∈ [− ln 3; ln 3]

b) x(t) = cos t, y(t) = sin t, t ∈ [0; π]

c) x(t) = 1 − cos t, y(t) = t − sin t, t ∈ [0; 2π]

d) x ² + y ² = 2x

e) r(ϕ) = 1 + cos ϕ, ϕ ∈ [−π; π]

6. Obliczyć ładunek elektryczny zgromadzony na półokr¸ egu x ² + y ² = R ² dla y ­ 0, jeżeli g¸ estość liniowa ładunku ρ = y.

7. Obliczyć całkę krzywoliniową w przestrzeni OXY Z po krzywej L:

a) Z

L

(x ² + y ² + z ² ) dl, gdzie L : x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ [0; 2π]

b) Z

L

xz

1 + 2y dl, gdzie L : x = t, y = t ² , z = 2

3 t ³ , t ∈ [0; 1]

c) Z

L

z dl, gdzie L : x = 3 cos t, y = 3 sin t, z = 4, t ∈ [0; π]

8. Obliczyć całkę krzywoliniową w przestrzeni OXY Z po krzywej L:

a) Z

L

yz

x dl, gdzie L jest odcinkiem o końcach A(2, 3, 1) i B(1, 3, 2) b)

Z

L

xyz dl, gdzie L jest brzegiem trójkąta o wierzchołkach A(2, 0, 0), B(0, 3, 0) i C(0, 0, 1)