CAŁKA POTRÓJNA

JJ, IMiF UTP

20

Bxy = {(x , y , z) : (x , y ) ∈D, p(x , y )¬ z ¬q(x , y )},

gdzie D ⊂ R² to obszar regularny, funkcje p(x , y ) i q(x , y ) sa¸ cia¸głe w D i spełniaja¸ w nim warunek p(x , y ) ¬ q(x , y ).

Podobnie definiuje sie¸ obszar normalny wzgle¸dem płaszczyzny 0xz oraz obszar normalny wzgle¸dem płaszczyzny 0yz.

UWAGA. Zazwyczaj idziemy dalej w opisie i zbiór D zapisujemy jako obszar normalny względem osi 0x (albo Oy ).

DEFINICJA. Obszarem regularnym nazywamy sume¸ skończonej liczby obszarów normalnych.

−2 −1 0 1

2 −2 0

2 0

1 2

B = {(x , y , z) : (x , y ) ∈D, 0.5 + x²+ y² ¬ z ¬2.5 − x²− y²},

(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 2), (1, 0, 2) możemy opisać następująco:

3 2 1

1 x

y z

0

z = 3 − x

B : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 3 − x

Czworościan o wierzchołkach (1, 0, 0), (1, 1, 0), (2, 1, 0), (1, 1, 2) jest obszarem normalnym względem wszystkich trzech płaszczyzn układu.

1

1 x

z y

2 0

Czworościan o wierzchołkach (1, 0, 0), (1, 1, 0), (2, 1, 0), (1, 1, 2) jest obszarem normalnym względem wszystkich trzech płaszczyzn układu.

1

1 x

z y

2 0

Czworościan o wierzchołkach (1, 0, 0), (1, 1, 0), (2, 1, 0), (1, 1, 2) jest obszarem normalnym względem wszystkich trzech płaszczyzn układu.

1

1 x

z y

2 0

Czworościan o wierzchołkach (1, 0, 0), (1, 1, 0), (2, 1, 0), (1, 1, 2) jest obszarem normalnym względem wszystkich trzech płaszczyzn układu.

1

1 x

z y

2 0

Czworościan o wierzchołkach (1, 0, 0), (1, 1, 0), (2, 1, 0), (1, 1, 2) jest obszarem normalnym względem wszystkich trzech płaszczyzn układu.

1

1 x

z y

2 0

Czworościan o wierzchołkach (1, 0, 0), (1, 1, 0), (2, 1, 0), (1, 1, 2) jest obszarem normalnym względem wszystkich trzech płaszczyzn układu.

1

1 x

z y

2 0

C = {(x , y , z) : (x , y ) ∈ D, 0 ¬ z ¬ 2 − 2x + 2y }.

Dokładniej:

C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, x − 1 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2 − 2x + 2y }.

1

1 x

z y

2 0

1

1 x

y

2 0

D

C = {(x , y , z) : (x , y ) ∈ D, 0 ¬ z ¬ 2 − 2x + 2y }.

Dokładniej:

C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, x − 1 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2 − 2x + 2y }.

1

1 x

z y

2 0

1

1 x

y

2 0

D

C = {(x , y , z) : (x , y ) ∈ D, 0 ¬ z ¬ 2 − 2x + 2y }.

Dokładniej:

C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, x − 1 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2 − 2x + 2y }.

1

1 x

z y

2 0

1

1 x

y

2 0

y = x − 1 y = 1

C = {(x , y , z) : (x , y ) ∈ D, 0 ¬ z ¬ 2 − 2x + 2y }.

Dokładniej:

C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, x − 1 ¬ y ¬ 1, 0¬ z ¬ 2 − 2x + 2y }.

1

1 x

z y

2 0

1

1 x

y

2 0

z = 0

C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, x − 1 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬2 − 2x + 2y}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ y ¬ 1, 1 ¬ x ¬ y + 1, 0 ¬ z ¬ 2 − 2x + 2y }.

1

1 x

z y

2 0

1

1 x

y

2 0

z = 2 − 2x + 2y

C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, x − 1 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2 − 2x + 2y }.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ y ¬ 1, 1 ¬ x ¬ y + 1, 0 ¬ z ¬ 2 − 2x + 2y }.

1

1 x

z y

2 0

1

1 x

y

2 0

C = {(x , y , z) : 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2y , 1 ¬ x ¬ 1 + y − 1 2z}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1

2z ¬ y ¬ 1, 1 ¬ x ¬ 1 + y −1 2z}.

1

1 x

z y

2 0

2 1

1 y

z

2 0

C = {(x , y , z) : 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2y , 1 ¬ x ¬ 1 + y − 1 2z}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1

2z ¬ y ¬ 1, 1 ¬ x ¬ 1 + y −1 2z}.

1

1 x

z y

2 0

2 1

1 y

z

2 0

C = {(x , y , z) : 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2y, 1 ¬ x ¬ 1 + y − 1 2z}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1

2z ¬ y ¬ 1, 1 ¬ x ¬ 1 + y −1 2z}.

1

1 x

z y

2 0

2 1

1 y

z

2 0

z = 0 z = 2y

C = {(x , y , z) : 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2y , 1¬ x ¬ 1 + y − 1 2z}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1

2z ¬ y ¬ 1, 1 ¬ x ¬ 1 + y −1 2z}.

1

1 x

z y

2 0

2 1

1 y

z

2 0

x = 1

C = {(x , y , z) : 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2y , 1 ¬ x ¬1 + y − 1 2z}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1

2z ¬ y ¬ 1, 1 ¬ x ¬ 1 + y −1 2z}.

1

1 x

z y

2 0

2 1

1 y

z

2 0

x = 1 + y −¹₂z

C = {(x , y , z) : 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 2y , 1 ¬ x ¬ 1 + y − 1 2z}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1

2z ¬ y ¬ 1, 1 ¬ x ¬ 1 + y −1 2z}.

1

1 x

z y

2 0

2 1

1 y

z

2 0

C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ z ¬ 4 − 2x , x + 1

2z − 1 ¬ y ¬ 1}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1 ¬ x ¬ 2 − 1

2z, x +1

2z − 1 ¬ y ¬ 1}.

1

1 x

z y

2 0

2 1

1 x

z

2 0

C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ z ¬ 4 − 2x , x +1

2z − 1 ¬ y ¬ 1}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1 ¬ x ¬ 2 − 1

2z, x +1

2z − 1 ¬ y ¬ 1}.

1

1 x

z y

2 0

2 1

1 x

z

2 0

C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ z ¬ 4 − 2x, x +1

2z − 1 ¬ y ¬ 1}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1 ¬ x ¬ 2 − 1

2z, x +1

2z − 1 ¬ y ¬ 1}.

1

1 x

z y

2 0

2 1

1 x

z

2 0

z = 0 z = 4 − 2x

C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ z ¬ 4 − 2x , x + 1

2z − 1¬ y ¬ 1}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1 ¬ x ¬ 2 − 1

2z, x +1

2z − 1 ¬ y ¬ 1}.

1

1 x

z y

2 0

2 1

1 x

z

2 0

y = x +¹₂z − 1

C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ z ¬ 4 − 2x , x + 1

2z − 1 ¬ y ¬1}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1 ¬ x ¬ 2 − 1

2z, x +1

2z − 1 ¬ y ¬ 1}.

1

1 x

z y

2 0

2 1

1 x

z

2 0

y = 1

C = {(x , y , z) : 1 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ z ¬ 4 − 2x , x + 1

2z − 1 ¬ y ¬ 1}.

lub

C = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ 2, 1 ¬ x ¬ 2 − 1

2z, x +1

2z − 1 ¬ y ¬ 1}.

1

1 x

z y

2 0

2 1

1 x

z

2 0

x = −1, x = 1, y = −1, y = 1 ,z = 4 − 2x⁴− 2y⁴, z = x²− y²+ 2.

−1 −0.8−0.6 −0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5 0 0.5 1

−2

−1 0 1 2 3 4

x y

z

B : −1 ¬ x ¬ 1, −1 ¬ y ¬ 1, x²+ y²− 2¬ z ¬4 − 2x⁴− 2y⁴

−1 −0.8−0.6 −0.4−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.5 0 0.5 1

−2

−1 0 1 2 3 4

x y

z

Dzielimy zbiór B na n dowolnych obszarów regularnych B₁, . . . , B_n o parami rozłącznych wnętrzach. Niech ∆_i, dla i = 1, 2, . . . n, oznacza objętość obszaru Bi. Największą ze średnic zbiorów B1, . . . , Bn oznaczamy przez δni nazywamy normą podziału. W każdym zbiorze Bi wybieramy dowolnie punkt (xi, yi, zi).

Tworzymy sumę całkową

σn= f (x1, y1, z1)∆1+ f (x2, y2, z2)∆2+ · · · + f (xn, yn, zn)∆n.

Tak postępujemy dla n = 2, 3, . . . otrzymując pewien ciąg podziałów zbioru B.

Ciąg ten nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeżeli limn→∞δn= 0.

Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów zbioru B istnieje skończona granica limn→∞σn (taka sama bez względu na wybór zbiorów Bi oraz punktów (xi, yi, zi)), to granicę tę nazywamy całką potrójną funkcji f (x , y , z) w zbiorze B i oznaczamy RRR

Bf (x , y , z)dx dy dz, a funkcję f nazywamy całkowalną w zbiorze B.

Jeżeli γ(x , y , z) oznacza gęstość objętościową w punkcie (x , y , z), to masa obszaru B jest równa

Z Z Z

B

γ(x , y , z)dx dy dz.

TWIERDZENIE.

Funkcja ciągła w obszarze regularnym jest w nim całkowalna.

RRR

B

f (x , y , z) ± g (x , y , z)^dx dy dz

=^RRR_Bf (x , y , z)dx dy dz ±^RRR_Bg (x , y , z)dx dy dz;

RRR

Bλf (x , y , z)dx dy dz = λ^RRR_Bf (x , y , z)dx dy dz;

jeśli B jest sumą obszarów regularnych B1 i B2 o rozłącznych wnętrzach, to

RRR

Bf (x , y , z)dx dy dz

=^RRR_B

1f (x , y , z)dx dy dz +^RRR_B

2f (x , y , z)dx dy dz;

objętość bryły B = {(x , y , z) : 0 ¬ z ¬ f (x , y ), (x , y ) ∈ D} jest równa^RRR_B1dx dy dz.

TWIERDZENIE.

Gdy f jest ciągła w obszarze normalnym

Bxy = {(x , y , z) : (x , y ) ∈ D, p(x , y ) ¬ z ¬ q(x , y )}, to

Z Z Z

Bxy

f (x , y , z) dx dy dz

= Z Z

D

hZ q(x ,y ) p(x ,y )

f (x , y , z)dzⁱdx dy .

PRZYKŁAD

Stosując całki potrójne znaleźć współrzędne środka masy (x_s, y_s, z_s) pięciościanu B o wierzchołkach

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1), jeżeli gęstość objętościowa γ(x , y , z) = 2.

1 x

0 Bryła B da się opisać następująco:

{(x, y , z) : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ x, 0 ¬ z ¬ 1}.

Stosując całki potrójne znaleźć współrzędne środka masy (x_s, y_s, z_s) pięciościanu B o wierzchołkach

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1), jeżeli gęstość objętościowa γ(x , y , z) = 2.

1

1 x

y z

0 Bryła B da się opisać następująco:

{(x, y , z) : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ x, 0 ¬ z ¬ 1}.

Stosując całki potrójne znaleźć współrzędne środka masy (x_s, y_s, z_s) pięciościanu B o wierzchołkach

(0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1), jeżeli gęstość objętościowa γ(x , y , z) = 2.

1

1 x

y z

0 Bryła B da się opisać następująco:

{(x, y , z) : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ x, 0 ¬ z ¬ 1}.

Podstawiamy do wzoru na współrzędne środka masy x_s = 1

m Z Z Z

B

x γ(x , y , z) dx dy dz, y_s = 1 m

Z Z Z

B

y γ(x , y , z) dx dy dz,

z_s = 1 m

Z Z Z

B

zγ(x , y , z) dx dy dz, m = Z Z Z

B

γ(x , y , z) dx dy dz.

m = Z Z Z

B

γ(x , y , z) dx dy dz

= Z 1

0

hZ x 0

Z 1 0

2dz
dyⁱdx

= Z 1

0

hZ x 0

2z^z=1_z=0dyⁱdx

= Z 1

0

Z x 0

2dy
dx

= Z 1

0

2y^{y =x}_{y =0}dx

= Z x

0

2x dx

= ^x^21₀ = 1;

xs = 1 m

Z Z Z

B

x γ(x , y , z) dx dy dz

= 1

1 Z 1

0

hZ x 0

Z 1 0

2x dz
dyⁱdx

= Z 1

0

Z x 0

2xz^z=1_z=0x dy
dx

= Z 1

0

Z x 0

2x dy
dx

= Z 1

0

2xy^{y =x}_{y =0}dx

= Z 1

0

2x²dx = 2 3;

y_s = 1 m

Z Z Z

B

y γ(x , y , z) dx dy dz

= Z 1

0

hZ x 0

Z 1 0

2y dz
dyⁱdx

= Z 1

0

Z x 0

2y dy
dx

= Z 1

0

y^{2y =x}_{y =0}dx

= Z 1

0

x²dx

= 1

3;

zs = 1 m

Z Z Z

B

zγ(x , y , z) dx dy dz

= Z 1

0

hZ x 0

Z 1 0

2zdz
dyⁱdx

= Z 1

0

 Z x

0

z^2z=1_z=0dy^dx

= Z 1

0

Z x 0

1dy
dx

= Z 1

0

x dx = 1 2.

Współrzędne sferyczne punktu P , to liczby

% ∈ [0, ∞), ϕ ∈ [0, 2π), Θ ∈ [0, π] takie, że % jest odległością punktu P od początku układu O (długością promienia wodzącego), ϕ jest miarą kąta między rzutem prostokątnym wektora −→

OP na płaszczyznę Oxy a dodatnią półosią Ox , a Θ jest miarą kąta między^∗ wektorem−→

OP a dodatnią półosią Oz.

∗ Niektórzy przyjmują za współrzędne sferyczne punktu P liczby %, ϕ, Θ, gdzie Θ = ¹₂π − Θ jest (dla z > 0) miarą kąta między wektorem−→

OP a płaszczyzną 0xy .Zamiast % możemy pisać r .

Uwaga. Oczywiście zamiast ϕ ∈ [0, 2π) możemy przyjmować ϕ ∈ (−π, π].

Jak dla nas, to oba przedziały mogą być domknięte:

warunki ϕ ∈ [0, 2π] czy też ϕ ∈ [−π, π] nie sprawią kłopotu.

B : % = 2, ϕ = 0, Θ = π/2 C : % = 1, ϕ = π/2, Θ = π/2 D : % = 1, ϕ = π, Θ = π/2 E : % = 2, ϕ = 3π/2, Θ = π/2 F : % = 1, ϕ = 0, Θ = π A

C B D

E F

2

2 1

1 x

y 1 z

0

y

x

% v 0

P(x , y , z) Θ

ϕ

cos Θ = z

%, z = % cos Θ.

y

x

% v 0

P(x , y , z) Θ

ϕ

cos Θ = z

%, z = % cos Θ.

y

x

% v 0

P(x , y , z) Θ

ϕ

sin Θ = v

%, v = % sin Θ,

y

x

% v 0

P(x , y , z) Θ

ϕ

v = % sin Θ, cos ϕ = x

v,

x = v cos ϕ = % sin Θ cos ϕ

y

x

% v 0

P(x , y , z) Θ

ϕ

v = % sin Θ, sin ϕ = y

v,

y = v sin ϕ = % sin Θ sin ϕ

y z

x

% v 0

P(x , y , z) Θ

ϕ

x = % sin Θ cos ϕ, y = % sin Θ sin ϕ, z = % cos Θ.

y z

x

% v 0

P(x , y , z) Θ

ϕ

Oczywiście

x²+ y²+ z²= v²+ z² = %²

x_%⁰ x_Θ⁰ x_ϕ⁰ y_%⁰ y_Θ⁰ y_ϕ⁰ z_%⁰ z_Θ⁰ z_ϕ⁰

=       

sin Θ cos ϕ % cos Θ cos ϕ −% sin Θ sin ϕ sin Θ sin ϕ % cos Θ sin ϕ % sin Θ cos ϕ

cos Θ −% sin Θ 0

= 

sin Θ cos ϕ % cos Θ cos ϕ −% sin Θ sin ϕ sin Θ sin ϕ % cos Θ sin ϕ % sin Θ cos ϕ

cos Θ −% sin Θ 0

sin Θ cos ϕ % cos Θ cos ϕ sin Θ sin ϕ % cos Θ sin ϕ

cos Θ −% sin Θ

= 0 + % cos Θ cos ϕ · % sin Θ cos ϕ · cos Θ + (−% sin Θ sin ϕ) · sin Θ sin ϕ · (−% sin Θ)

−(−% sin Θ sin ϕ) · % cos Θ sin ϕ · cos Θ − sin Θ cos ϕ · % sin Θ cos ϕ · (−% sin Θ) − 0

=%²cos²Θ sin Θcos²ϕ +%²sin³Θsin²ϕ +%²sin Θ cos²Θsin²ϕ +

%²sin³Θcos²ϕ =%²cos²Θ sin Θ(cos²ϕ + sin²ϕ)

+%²sin³Θ(sin²ϕ + cos²ϕ) =%²cos²Θsin Θ+%²sin²Θ ·sin Θ

=%²sin Θ(cos²Θ + sin²Θ) = %²sin Θ

TWIERDZENIE. Gdy S jest zbiorem B „opisanym” we współrzędnych sferycznych, tzn.

S = {(%, ϕ, Θ) : (% sin Θ cos ϕ, % sin Θ sin ϕ, % cos Θ) ∈ B} i gdy funkcja f jest ciągła w obszarze regularnym B, to

Z Z Z

B

f (x , y , z) dx dy dz

= Z Z Z

S

f (% sin Θ cos ϕ, % sin Θ sin ϕ, % cos Θ) ·%²sin Θ d%dϕdΘ.

Czynnik %²sin Θ to odpowiedni jakobian.

Jeśli układ współrzędnych wybierzemy tak, by jego środek był środkiem kuli K , to gęstość γ(x , y , z) =^px²+ y²+ z², a więc

m = Z Z Z

K

q

x²+ y²+ z² dx dy dz.

Kula K to obszar opisany we współrzędnych sferycznych jako S = {(%, ϕ, Θ) : 0 ¬ % ¬ 1, 0 ¬ ϕ ¬ 2π, 0 ¬ Θ ¬ π}.

Oczywiście ^px²+ y²+ z² = %.

Przypominam, że jakobian to %²sin Θ.

m = Z Z Z

K

q

x²+ y²+ z² dx dy dz = Z Z Z

S

%·%²sin Θd%dϕdΘ

= Z 1

0

hZ 2π 0

Z π 0

%³sin Θ dΘ
dϕⁱd%

= Z 1

0

hZ 2π 0

−%³cos Θ^Θ=π_Θ=0 dϕⁱd%

= Z 1

0

hZ 2π 0

2%³ dϕⁱd%

= Z 1

0

4π%³d%

= 4π^1

4%^41₀ = π.

a c p

Całkę z poprzedniego slajdu mogliśmy więc wyliczyć tak (wszystkie całki mają stałe granice i całkujemy odpowiedni iloczyn):

m =

Z ₁

0

hZ _2π

0

Z _π

0

%³sin Θ dΘ
dϕⁱd%

= Z 1

0

%³d% · Z 2π

0

1dϕ · Z π

0

sin Θ dΘ

= ^1

4%^41₀·^ϕ^2π₀ ·^− cos Θ^π₀ = 1

4· 2π ·^[−(−1)] − [−1]^= π.

moment statyczny bryły B względem płaszczyzny 0xy jest równy

Mxy=

Z Z Z

B

z · γ(x , y , z) dx dy dz

moment statyczny bryły B względem płaszczyzny 0xz jest równy

Mxz=

Z Z Z

B

y · γ(x , y , z) dx dy dz

moment statyczny bryły B względem płaszczyzny 0yz jest równy

Myz=

Z Z Z

B

x · γ(x , y , z) dx dy dz

moment bezwładności bryły B względem osi 0x jest równy

Ix=

Z Z Z

B

(y²+ z²) · γ(x , y , z) dx dy dz

moment bezwładności bryły B względem osi 0y jest równy

Iy=

Z Z Z

B

(x²+ z²) · γ(x , y , z) dx dy dz

moment bezwładności bryły B względem osi 0z jest równy

Iz =

Z Z Z

B

(x²+ y²) · γ(x , y , z) dx dy dz

I₀=

B

(x²+ y²+ z²) · γ(x , y , z) dx dy dz

moment bezwładności bryły B względem płaszczyzny 0xy jest równy

Ixy=

Z Z Z

B

z²· γ(x, y , z) dxdy dz

moment bezwładności bryły B względem płaszczyzny 0xz jest równy

Ixz=

Z Z Z

B

y²· γ(x, y , z) dxdy dz

moment bezwładności bryły B względem płaszczyzny 0yz jest równy

I_yz=

Z Z Z

B

x²· γ(x, y , z) dxdy dz