Macierze (pdf),

(1)

Macierzą nazywamy prostokątną tablicę utworzoną z liczb lub innych elementów: A =       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... am1 am2 . . . amn       .

Kolumny powyższej macierzy A są długości m, a jej wiersze są długości n. Mó-wimy, że macierz A ma wymiary m × n.

Wiersze macierzy A są macierzami o wymiarach 1 × n:

h a11 a12 . . . a1n i , h a21 a22 . . . a2n i , .. . h am1 am2 . . . amn i .

Kolumny macierzy A są macierzami o wymiarach m × 1:

      a11 a21 .. . am1       ,       a12 a22 .. . am2       , . . . ,       a1n a2n .. . amn       .

Zbiór macierzy m × n o wyrazach rzeczywistych oznaczamy przez Matm×n(R).

Analogicznie określamy zbiory Matm×n(Z), Matm×n(Q) itp.

2.1 Dodawanie macierzy

Dodajemy tylko macierze o tych samych wymiarach. Sumę dwóch macierzy m×n określamy następująco:       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... am1 am2 . . . amn       +       b11 b12 . . . b1n b21 b22 . . . b2n .. . ... ... bm1 bm2 . . . bmn       = =       a11+ b11 a12+ b12 . . . a1n+ b1n a21+ b21 a22+ b22 . . . a2n+ b2n .. . ... ... am1+ bm1 am2+ bm2 . . . amn+ bmn       .

Krócej możemy to zapisać tak:

h aij i m×n+ h bij i m×n = h aij + bij i m×n. 1

(2)

Przykład 1. " 1 2 1 3 4 −4 # + " 3 2 1 4 −3 3 # = " 4 4 2 7 1 −1 # .

Twierdzenie 1. Dla dowolnych macierzy m × n zachodzą równości:

(a) A + B = B + A, (b) (A + B) + C = A + (B + C), (c) A + 0m×n = A, (d) A + (−A) = 0m×n. Macierz 0m×n=       0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 .. . ... ... 0 0 . . . 0      

nazywamy macierzą zerową.

Macierzą przeciwną do macierzy A =haij i m×n nazywamy macierz −A =      

−a11 −a12 . . . −a1n

−a21 −a22 . . . −a2n ..

. ... ...

−am1 −am2 . . . −amn       .

2.2 Mnożenie macierzy przez liczbę

Dowolną macierz np. o wyrazach rzeczywistych możemy pomnożyć przez liczbę rzeczywistą. Iloczyn ten określamy następująco:

c ·       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... am1 am2 . . . amn       =       ca11 ca12 . . . ca1n ca21 ca22 . . . ca2n .. . ... ... cam1 cam2 . . . camn       .

Mnożąc dowolną macierz przez liczbę otrzymujemy macierz o tych samych wy-miarach.

Twierdzenie 2. Dla dowolnych macierzy A, B o wymiarach m × n i dowolnych

liczb α, β zachodzą równości:

(a) α(A + B) = αA + αB, (b) (α + β)A = αA + βA,

(c) (αβ)A = α(βA),

(d) 1 · A = A, (−1) · A = −A, (e) 0 · A = 0m×n, α · 0m×n = 0m×n.

(3)

2.3 Mnożenie macierzy

Pierwszym krokiem do zdefiniowania iloczynu dwóch macierzy jest określenie iloczynu wiersza i kolumny. Iloczynem macierzy 1 × n i macierzy n × 1 jest macierz 1 × 1: h a1 a2 . . . an i ·       b1 b2 .. . bn       =ha1b1+ a2b2+ . . . + anbn i . Przykład 2. h 1 2 3 4i·      −1 0 1 7      =h1 · (−1) + 2 · 0 + 3 · 1 + 4 · 7i=h30i

Drugi krok to iloczyn macierzy i kolumny, w którym wykonujemy mnożenie kolej-nych wierszy tej macierzy przez daną kolumnę. Iloczynem macierzy m×n i macierzy

n × 1 jest macierz m × 1:       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... am1 am2 . . . amn       ·       b1 b2 .. . bn       =       a11b1+ a12b2+ . . . + a1nbn a21b1+ a22b2+ . . . + a2nbn .. . am1b1+ am2b2+ . . . + amnbn       . Przykład 3.    1 2 3 4 2 3 4 5 0 1 0 −1   ·      −1 0 1 7      =    1 · (−1) + 2 · 0 + 3 · 1 + 4 · 7 2 · (−1) + 3 · 0 + 4 · 1 + 5 · 7 0 · (−1) + 1 · 0 + 0 · 1 + (−1) · 7   =    30 37 −7   

Zdefiniujemy teraz iloczyn dwóch macierzy. Iloczynem macierzy m×n i macierzy

n × k jest macierz m × k:       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... am1 am2 . . . amn       ·       b11 b12 . . . b1k b21 b22 . . . b2k .. . ... ... bn1 bn2 . . . bnk       = =       c11 c12 . . . c1k c21 c22 . . . c2k .. . ... ... cm1 cm2 . . . cmk       , gdzie cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + ainbnj.

(4)

Twierdzenie 3. Dla dowolnych macierzy (odpowiednich wymiarów) zachodzą

rów-ności:

(a) (AB)C = A(BC) dla A ∈ Matm×n(R), B ∈ Matn×k(R), C ∈ Matk×l(R),

(b) (A + B)C = AC + BC dla A, B ∈ Matm×n(R), C ∈ Matn×k(R),

(c) A(B + C) = AB + AC dla A ∈ Matm×n(R), B, C ∈ Matn×k(R),

(d) (cA)B = A(cB) = c(AB) dla A ∈ Matm×n(R), B ∈ Matn×k(R), c ∈ R.

2.4 Macierze szczególnej postaci

Mnożąc dowolną macierz przez macierz zerową otrzymujemy macierz zerową:

A · 0n×k = 0m×k, 0k×m· A = 0k×n dla A ∈ Matm×n(R). Macierz In=          1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 0 .. . ... ... ... 0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0 1          ∈ Matn×n(R)

nazywamy macierzą jednostkową. Macierz jednostkowa jest elementem neutralnym mnożenia macierzy (odpowiednich wymiarów):

A · In= Im· A = A dla A ∈ Matm×n(R). Macierz c · In=          c 0 . . . 0 0 0 c . . . 0 0 .. . ... ... ... 0 0 . . . c 0 0 0 . . . 0 c          ∈ Matn×n(R),

c ∈ R, nazywamy macierzą skalarną. Mnożenie dowolnej macierzy przez macierz

skalarną odpowiednich wymiarów daje ten sam skutek, co mnożenie przez liczbę (skalar):

cA = A · (cIn) = (cIm) · A dla A ∈ Matm×n(R).

Macierz diagonalna:          c1 0 . . . 0 0 0 c2 . . . 0 0 .. . ... ... ... 0 0 . . . cn−1 0 0 0 . . . 0 cn          ∈ Matn×n(R),

(5)

gdzie c1, . . . , cn∈ R.

Macierz A =haij i

i,j=1,...,n ∈ Matn×njest diagonalna dokładnie wtedy, gdy aij = 0

dla i 6= j.

Mnożenie przez macierz diagonalną:

      c1 0 . . . 0 0 c2 . . . 0 .. . ... ... 0 0 . . . cm       ·       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... am1 am2 . . . amn       =       c1a11 c1a12 . . . c1a1n c2a21 c2a22 . . . c2a2n .. . ... ... cmam1 cmam2 . . . cmamn             a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... am1 am2 . . . amn       ·       c1 0 . . . 0 0 c2 . . . 0 .. . ... ... 0 0 . . . cn       =       c1a11 c2a12 . . . cna1n c1a21 c2a22 . . . cna2n .. . ... ... c1am1 c2am2 . . . cnamn      

Macierz o wymiarach n × n nazywamy kwadratową. Macierz diagonalna jest macierzą kwadratową. Spośród macierzy kwadratowych wyróżniamy macierze gór-notrójkątne i dolgór-notrójkątne.

Macierz górnotrójkątna to macierz postaci

         a11 a12 . . . a1,n−1 a1n 0 a22 . . . a2,n−1 a2n .. . ... ... ... 0 0 . . . an−1,n−1 an−1,n 0 0 . . . 0 ann          , gdzie aij ∈ R. Macierz A = haij i

i,j=1,...,n ∈ Matn×n(R) jest górnotrójkątna dokładnie wtedy,

gdy aij = 0 dla i > j.

Macierz dolnotrójkątna to macierz postaci

         a11 0 . . . 0 0 a21 a22 . . . 0 0 .. . ... ... ... an−1,1 an−1,2 . . . an−1,n−1 0 an1 an2 . . . an,n−1 ann          , gdzie aij ∈ R. Macierz A = haij i

i,j=1,...,n ∈ Matn×n(R) jest dolnotrójkątna dokładnie wtedy,

(6)

2.5 Transponowanie macierzy

Niech A ∈ Matm×n(R) będzie dowolną macierzą:

A =       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... am1 am2 . . . amn       .

Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz

AT =       a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2 .. . ... ... a1n a2n . . . amn       , AT _{∈ Mat} n×m(R).

Przykład 4. Przykłady macierzy transponowanych.

(a) Jeśli A = " 1 2 3 4 5 6 # , to AT ₌    1 4 2 5 3 6   .

(b) Macierzą transponowaną do macierzy diagonalnej jest ta sama macierz. (c) Macierz transponowana do macierzy górnotrójkątnej jest macierzą

dolnotrój-kątną, i na odwrót.

Symbolicznie możemy zapisać: AT = hbij i

n×m, gdzie bij = aji dla i = 1, . . . , n,

j = 1, . . . , m.

Twierdzenie 4. Dla dowolnych macierzy A, B i dowolnej liczby c zachodzą

równo-ści:

(a) (A + B)T _{= A}T _{+ B}T_{, A, B ∈ Mat}

m×n(R),

(b) (cA)T _{= cA}T_,

(c) (AB)T = BTAT, A ∈ Matm×n(R), B ∈ Matn×k(R),

(d) (AT)T = A.

Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeśli AT = A. Macierz kwadratową A nazywamy antysymetryczną, jeśli AT _{= −A.}

Przykład 5. (a) Macierz

   1 2 3 2 4 5 3 5 6    jest symetryczna.

(7)

(b) Macierz    0 1 −3 −1 0 2 3 −2 0    jest antysymetryczna.

Dla dowolnej macierzy kwadratowej A macierz A + AT _{jest symetryczna, a}

ma-cierz A − AT _{jest antysymetryczna.}

Zadanie. Przedstawić dowolną macierz kwadratową w postaci sumy macierzy

symetrycznej i macierzy antysymetrycznej. Uzasadnić, że takie przedstawienie jest jednoznaczne.

2.6 Zapis macierzowy układu równań liniowych

Układ m równań liniowych z n niewiadomymi

           a11x1+ a12x2+ . . . + a1nxn = b1 a21x1+ a22x2+ . . . + a2nxn = b2 .. . am1x1+ am2x2 + . . . + amnxn = bm

można zapisać jako równanie macierzowe

      a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... am1 am2 . . . amn       ·       x1 x2 .. . xn       =       b1 b2 .. . bm       . Przyjmując oznaczenia A =       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... am1 am2 . . . amn       , b =       b1 b2 .. . bm       , x =       x1 x2 .. . xn      

możemy dany układ zapisać w postaci

Ax = b,

gdzie A ∈ Matm×n(R) i b ∈ Rm są dane, zaś x ∈ Rn jest „szukane”.

Macierz A nazywamy macierzą układu równań:

A =       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... am1 am2 . . . amn       .

Macierz [A|b] nazywamy macierzą rozszerzoną układu równań:

[A|b] =       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... ... am1 am2 . . . amn b1 b2 .. . bm       .

(8)

2.7 Algorytm sprowadzania macierzy do postaci

górnoschod-kowej

Przekształceniami elementarnymi wierszy macierzy nazywamy: – pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera,

– zamianę dwóch wierszy,

– dodanie do wiersza innego pomnożonego przez liczbę.

Metoda eliminacji Gaussa. Za pomocą przekształceń elementarnych

doprowa-dzamy macierz rozszerzoną [A|b] do zredukowanej postaci górnoschodkowej.

Przy przekształceniach elementarnych tej macierzy nie zmienia się zbiór rozwią-zań układu równań Ax = b.

Postać górnoschodkowa macierzy rozszerzonej:

                      0 . . . 0 ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ ∗ . . . . . . ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 ∗ . . . ∗ ∗ . . . . . . ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 ∗ . . . . . . ∗ ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . . . . ∗ ∗ . . . ∗ .. . . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . . . . . ... ... . . . ... 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . . . . 0 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . . . . 0 0 . . . 0 .. . . . . ... ... . . . ... ... . . . ... ... . . . . . . ... ... . . . ... 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . . . . 0 0 . . . 0 ∗ ∗ ∗ ∗ .. . ∗ ? 0 .. . 0                       .

Elementy ∗ są różne od zera.

Zredukowana postać górnoschodkowa macierzy rozszerzonej:

                   0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗ 0 ∗ . . . . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 1 ∗ . . . . . . ∗ 0 ∗ . . . ∗ .. . . . . ... ... ... . . . ... ... ... . . . ... ... ... . . . . . . ... ... ... . . . ... 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . 0 1 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . 0 0 0 . . . 0 .. . . . . ... ... ... . . . ... ... ... . . . ... ... ... . . . . . . ... ... ... . . . ... 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 0 . . . . . . 0 0 0 . . . 0 ∗ ∗ ∗ .. . ∗ ? 0 .. . 0                    .

(9)

2.8 Macierz odwrotna

Niech A ∈ Matn×n(R) będzie macierzą kwadratową. Macierz B ∈ Matn×n(R)

nazywamy odwrotną do macierzy A, jeśli AB = BA = In. Oznaczenie macierzy

odwrotnej: A−1.

Przykład 6. Macierzą odwrotną do A =

" 1 a 0 1 # jest macierz " 1 −a 0 1 # . Przykład 7. Macierz A = " 1 2 3 6 #

nie posiada macierzy odwrotnej.

Przykład 8. Macierzą odwrotną do macierzy diagonalnej:

A =          c1 0 . . . 0 0 c2 . . . 0 .. . ... ... 0 0 . . . 0 0 0 . . . cn          ,

gdzie c1, . . . , cn6= 0, jest macierz

A−1 =          c−1₁ 0 . . . 0 0 c−1₂ . . . 0 .. . ... ... 0 0 . . . 0 0 0 . . . c−1_n         

Załóżmy, że macierz kwadratowa A ∈ Matn×n(R) jest odwracalna (tzn. posiada

macierz odwrotną). Niech_{b ∈ R}n_{. Wówczas układ równań}

Ax = b

ma dokładnie jedno rozwiązanie, które wyraża się wzorem