Lv do konstrukcji pewnych układów PBB Zastosowanie iloczynu Kroneckera

H. Br z e s k w i n i e w i c z Poznań

Zastosowanie iloczynu Kroneckera do konstrukcji pewnych układów PBB

( Praca wpłynęła do Redakcji 18.02.1991)

1. Wprowadzenie Przy planowaniu doświadczeń w układach bloko- wych natrafiamy na wiele kłopotów natury technicznej. Ciekawym sposo- bem ich ominięcia jest konstruowanie pożądanego układu blokowego z ilo- czynu kroneckerowskiego odpowiednio dobranych macierzy. Podejście takie prezentujemy w niniejszej pracy.

Udowodniono w niej, że iloczyn kroneckerowski macierzy jednostkowej oraz macierzy incydencji układów PBB (częściowo zrównoważonych bloków) z m klasami partnerów jest macierzą incydencji układu PBB z 2m + l klasami partnerów. Podano macierze partnerów, ich parametry oraz, co jest bardzo ważne, spektralną postać macierzy C_ otrzymanego układu.

2. Wiadomości wstępne W tej części pracy podamy niezbędne wia- domości dotyczące układów PBB oraz iloczynu Kroneckera macierzy.

Zdefiniujemy wpierw układy PBB z m klasami partnerów, które dla uproszczenia oznaczać będziemy przez PBB (m). Wiadomości o nich zna- leźć można u Kageyamy (1974, 1981) oraz Brzeskwiniewicza (1986 oraz, gdy m = 2, 1989). Układy te definiuje się w oparciu o macierze partnerów Ao —

Lv

m i= 0

oraz TO

AiAj = ^ 2 plij—1 dla *’ i ' 1 = ° ’ 1 ’ • • • ’

1=0

przy czym I_v oraz l v oznaczają odpowiednio macierz jednostkową oraz ko- lumnowy wektor o wszystkich elementach równych 1 a A; oznacza transpo- zycję macierzy A {. Wielkości v, n; oraz p\^ i , j , l = 1,.. .,ra nazywamy pa- rametrami tak zwanego schematu partnerstwa, określonego regułą: obiekty s i s' są /-tymi partnerami, jeżeli element stojący na przecięciu się s-tego wiersza i s'-tej kolumny macierzy A t jest równy 1.

Dodajmy, że rozpatrywane układy zapewniają jednakową porównywal- ność dla każdej pary obiektów, będących tymi samymi partnerami. Uzasad- nia to użycie słowa „partnerstwo” .

Układowi blokowemu o (u X 6)-wymiarowej macierzy incydencji N_ pod- porządkujemy macierz

(2.1) C = r6 - N k ~ 6H ',

gdzie r i k~6 są macierzami diagonalnymi o elementach diagonalnych rów- nych odpowiednio składowym wektora replikacji r (= N lb) oraz odwrotno- ściom składowych wektora pojemności bloków fc (= N 'lv).

Układ blokowy o macierzy incydencji N_ nazywamy układem PBB (m) jeżeli

m

(2 .2 ) C = Y j a i A i -

i= 0

Wielkości v, b, r_,hL, ai, i = 0 , 1, . . . , m, nazywamy parametrami rozważanego układu blokowego. Macierz (2.1) odgrywa ważną rolę w teorii eksperymen- tów. Stąd ważną sprawą jest podanie spektralnej postaci macierzy (2.1), która w przypadku układów PBB (m) przyjmie postać

m

(2.3) £ = X > i 2 Q ,

1=0

gdzie fii są wartościami własnymi macierzy (2.3) oraz (2.2) a X_{ są syme- trycznymi, idempotentnymi macierzami spełniającymi warunki: Y m = Lv oraz 2Łi2Li> = 0 dla i ^ i' , przy czym 0 oznacza macierz zerową. Znany jest i= 0 fakt, że Xą są kombinacjami liniowymi macierzy partnerów A {, Zachodzi równość: a* = trQQ), gdzie a i jest krotnością wartości własnej f.ii a tr(2Q) oznacza ślad macierzy X t.

Przejdźmy do iloczynu Kroneckera macierzy. Niech A = (dij) oraz B_ = (b^) będą macierzami stopnia odpowiednio (pi x<7i) oraz (p2 x ^ ). Iloczynem kroneckerowskim macierzy A i B_ nazywamy macierz A®B_ = (aijB ) stopnia

(P1P2X <Zi</2)- Macierz tę można przedstawić jako macierz blokową o blokach ctijB_, i = 1,... ,pi; j = 1, . . . , </i (Rao, 1982, s. 47). Z przytoczonej definicji wynika że A x A2 ®B.\B.2 — (A j ®B_1)(A 2 ®Bj2) jeżeli występujące tu iloczyny macierzy istnieją oraz

(2.4)

(A

+A2)®B

3. W yn ik i Niech = I Vi i = l Vll!v ~L Vl będą macierzami stopnia vi a A j, j — 0,1, . . . , m, macierzami określającymi schemat partnerstwa o parametrach v, n, p[j, i ,j ,l = 0 ,1, . . . , m. Udowodnimy

Tw i e r d z e n i e 1. Macierze

(3.1) A l = R i ® A j , k = 0, l , . . . ,2m + 1,

gdzie k = i(m + 1) + j , i = 0,1, j = 0,1, . . . , m, są macierzami partnerów dla schematu partnerstwa z 2m + 1 klasami partnerów i parametrami u*, n*k, pjfcfk,,, fc, k', kn = 0,1, . . . ,2m + 1, (7<tóe u* = lą-u,

nk, k = 0,1, . . . , ra,

(ni - l)rijfe_(m+1), A: = m + l,...,2ra + 1, oraz

Pk^k" —

dla k' — i'(

0,1, . . . , m.

Pj'j" ^’ k= 0 , 1 , . . . , m , P = i" -^{= 0 ,}

0 , k⁼ m + 1 ,., . . , 2 m + 1, i' = i" = : 0 ,

0 , kzz 0 , 1 , . . . Im,

i1= 0 , i" = 1 lub i' — 1 , *" - o,

fc —( m + 1 )

Pjijn •> k⁼ m + 1 ,., . . , 2 m - f 1 ,

i' zz 0 , i" = 1 lub i' = 1, i" = 0 ,

(vi ~ 2)pj,j", k= 0 , 1 , . . . N . II *£> .

= 1 , ( U l - j\ k—(m

l)prj» ^{l + 1 ) ,} k⁼ m + 1 ,., . . , 2 m ^{-fi 1 , II II} _{= 1,}

+ 1 ) + j', k" — i " ( m + 1 ) + j " , przy i', i" = 0 , 1 a

D o w ó d . Z budowy macierzy (3.1) wynika ich binarność i symetryczność.

2m+l m 2m+l m

Z (2.4) otrzymujemy: E

Al

Al

Al

fc=0 k=0 fc=m+l j=0

m m

U X - u ® E Aj] = ® E Aj - ® I X = stąd

j= o j = 0

wynika kolejna własność macierzy A£, a mianowicie sumowanie się ich do macierzy jedynek. Słuszność wzoru Ally* = nkl v* wynika z następujących dwu przeliczeń:

(a) dla k = 0,1, . . . , m

A l i v- = ( / Ul 0 A j„ ) ( I Vl 0 I J = L Vll v i ® A j l v = I W1 0 ™ jl„ = n j l t , . ,

(b) dla k = m + 1, . . . , 2m + 1

Atlv* = - LVl) ® A j]{lVl ® l v) = ( l Vll!Vl ~ LVl ) l Vl ® A jly =

= (*>i - l ) I Wl ® ^ 1^ = (vi - l)n jlv*.

Dla udowodnienia równości A k,A l„

padki

(i) dla i' = i" — 0 mamy:

2m+lS P $k"M rozważmy trzy przy- k-o

Ak'At" — (ŁVl ® Aj>)(lVl ® A j") — ŁVl ® Aj>Aj" — LVl ® ^ ^ P j1 j"Ak

k= o

m m 2 m + 1

= £ d ' i " ( i v , ® 4 * ) = £ d ' i " 4 £ + £ o -a :,

/c=0 fc⁼⁰

(ii) dla i1 = 0, i" = 1 dostajemy

A k ' A t " = (L Vl ® A j ' ) [ ( i Vll!Vl — Z Wl) ® A j " ] = ( I VlI^ i _ =£vi) ® A j » A j " —

k= 0 fc=0

rfi, / f ł 2 7714" 1

= (i„, i i , - i „ , ) ® £ p£ . a * = £ O ■ a ; + £ P •,-,(,m+1)A l k=m+l

Analogicznie przebiega dowód dla i' = 1, i" = 0.

(iii) dla i' = i" = 1 otrzymujemy:

AJ.AJ.. = [(!„,i 'Vl) ® Aj,][(!„,4 - ) ® Aj..] =

— “ -v\ ~ Lv,)® A j,A j" — m

= [( vi - 2 ) 1 ^ 1 ^ + LvJ ® ^ 2 p kj'j"Ak =

k=0

2m+l

= ( » i - 0 £ p ‘ . j . .A J + ( » i - 2 ) £ 7?^{fc -(m+l) a}* j'j" —k'

k=O k=- 771+1

Uwodowniliśmy, że macierze A*k, k = 0,1, . . . , ra, spełniają wszystkie wa- runki wymagane dla macierzy partnerów, co kończy dowód.

Następne twierdzenie określa postać macierzy incydencji pewnego ukła- du PBB (2ra | 1 ) z macierzami partnerów A k, k = 0,1, . . . , 2m + 1.

Tw i e r d z e n i e 2. Jeżeli I jest macierzą jednostkową stopnia y-i a N macierzą incydencji układu PBB (m) o parametrach v, b, r, k, ai, l = 0,1, . . . , m, i macierzach partnerów A { to

(3.2) N^{_ * =} ŁV1® K

jest macierzą incydencji układu PBB (2m + 1) o parametrach v* = tą • u,

b* - vib, r* = lVi ® r , fc* = lVi ® k,

* _ f ^ — O}!}***}rn^

k ~ \ O, k — m + 1, . . . , 2m + 1, i macierzach partnerów Ak.

D o w ó d . Macierz C_ dla układu o macierzy incydencji (3.2) jest postaci:

£ * = LVl ® t 6 - (I Vl 0 N)(/VI 0 ks) - \ l Vl 0 N ) ' =

= LVl 0 Ls - I Vl 0 N_k~sN_' = I Vl 0 (re - N k~6N!) = 0 C.

Stąd oraz z (2.2) otrzymujemy:

m m

ŁV1®C = LVl

Y akAk = Y a k =

k=0 k—0

m 2 m + 1 2 m + i

= X > * 4 i + y , o -m = y au : ,

k=0 ^{fc= m + 1 &=0}

co kończy dowód twierdzenia.

Podobną konstrukcję podaje w twierdzeniu 15.5 Kageyama (1974, s. 594), przy czym od macierzy N_ wymaga on spełnienia warunku r = rl (równore- plikowanych obiektów) a w miejsce macierzy I może występować macierz incydencji układu PBB o innym schemacie partnerstwa, ale z równorepłiko- wanymi obiektami.

2 m + l

Podamy teraz spektralną postać macierzy C_* = Y atAk- Korzystając k=⁰

z (2.3) otrzymujemy:

m

£* = i „ , ® y > Ł =

k- 0

m 2 m + l

= Y ® £*) + Y 0 ‘ lUv1- iv1l'vJVl)®Xk_im + 1)}.

k—0 fc=m -f 1

Rozpatrzmy macierze:

oX

2Lt = Y-i®2Lj,

i(m

z = 0,1, i = 0,1, . . . , m,

gdzie Zo — oraz Hi — ŁVl ~ ±Vl¥ v J n są macierzami stopnia zą.

Udowodnimy, że macierze 2Lt s4 symetryczne, idempotentne, niezerowe, parami ortogonalne oraz sumują się do macierzy jednostkowej. Wprost z (3.3) wynika ich symetryczność oraz niezerowość,to znaczy, że dla dowolnego k = 0,1, . . . ,2m + 1 XX ź 0.

Idempotentność wykażemy w dwóch krokach:

(a) dla k = 0 ,1,. . . , m

M 2L1 = ( L X J v i ® X j ) =

= li,/®? ® X jX j = 1 vX J v i ® x 3 = X I.

(b) dla k = m + 1, . . . , 2m + 1

K I M = [(/„, - - 1 a t . M ) ® * ; ] =

= (I,„ - - Lv,L'vJ>h)® K jX , =

= (/„ , - l vX J vi ) ® £ j = £L-

2 m + l m 2 m + l m

Z równości E 2Ck - E X * + E =SE = (IVll'VlM <g> E X j) + (I Vl ~

fc=0 A:= 0 /c = m + l j ~ 0

I ^ I ^ /^ i ) ® E m 2Lj — I Vl ®Zt; = Lv* wynika sumowanie się macierzy JLl do

j

macierzy jednostkowej. Ortogonalność parami, to znaczy równość 2Lt2Lk' — 0 dla k k' wynika z równości X_j2Lj> = 0 dla j j' i to zarówno gdy k, k1 G { 0 , 1 , . . . , m}; gdy k G { 0 , 1, . . . , m}, k1 G {m + 1,..., 2m + 1} oraz gdy k, k’ G {m + 1 , . . . , 2m -j- 1}.

Z wykazanych własności macierzy (3.3) oraz z twierdzenia 12.3.16 poda- nego przez Graybilla (1969) wynika, że

2 m + l

(3-4) £* = E

k= 0

jest spektralną postacią macierzy C_*, przy czym wartości własne macierzy C_* wyrażają się wzorem

* f fJ> ki — 0,1, . . . , m,

^k \ 0, k = m -f 1, . . . , 2m + 1.

Wiadomo, że zero jest wartością własną macierzy C_ dowolnego układu blokowego. Jeżeli krotność zera wynosi jeden to odpowiedni układ blokowy nazywamy układem spójnym, co oznacza, że dowolne porównanie między obiektami jest estymowalne. Ponieważ krotność zerowej wartości własnej układu o macierzy incydencji N* przekracza jeden, więc nie jest on ukła- dem spójnym i tym samym, nie wszystkie porównania między obiektami są estymowalne.

Rozpatrzmy teraz sytuację, gdy w iloczynach Kroneckera (3.1), (3.2) i (3.3) macierze występują w odwrotnej kolejności. Dowody przebiegają ana- logicznie, więc będziemy je pomijać.

Twi e r d z e n i e 3. Macierze

At = Aj k

gdzie k = i(m -f 1) + j , i = 0,1, j = 0,1, . . . , ra, są macierzami partnerów z 2m + 1 klasami partnerów i parametrami v*, n j, p jk^,<, wyrażającymi się identycznymi wzorami jak w twierdzeniu 1.

Tw ie r d z e n i e 4. Macierz

(3.6) Ł * = K ® Ł Vl

jest macierzą incydencji układu PBB (2m -f 1) o parametrach v* = v • v\, b* = b -v u r* = r ® I Vi, r = ł<8> i Vl,

* _ f & ki k — O? • • * i Tn>

k \ O, k = m + 1, . . . , 2ra + 1,

i macierzach parametrów Aj., k = 0,1, , 2m + 1, zdefiniowanych wzorem (3.5).

Macierz C_ układu z macierzą incydencji (3.6) zapisać możemy dwojako:

2 m + l 2 m + l

c * = E ° * * 4 E = E

A:=0 k—O

gdzie

* _ f Bki k — 0? T • • • •> TH?

^ k ^ 0, k = m + 1, .. . ,2m + 1,

a X*k — 2Lj ®¥_{, przy tym samym znaczeniu X_j oraz Y_{ co w (3.3).

4. Przykład Weźmy pod uwagę układ blokowy o macierzy incydencji -1 0 1 0 1^-

1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 .0 1 0 0 1.

którego macierz C_ liczoną zgodnie z wzorem (2.1) przyjmuje postać C = - A o - - A v - - A9 _■2>

( 4 - 1 ) ^ 6 ^ “ g .

przy czym Ao jest macierzą jednostkową stopnia 6,

■o 1 1 0 0 0-

1 0 1 0 0 0

1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1

0 0 0 1 0 1

. 0 0 0 1 1 0 .

-o 0 0 1 1 1-

0 0 0 1 1 1

0 0 0 1 1 1

1 1 1 0 0 0

1 1 1 0 0 0

. 1 1 1 0 0 0 .

Łatwo można stwierdzić, że binarne macierze A$, i A2 spełniają wszyst- kie, wyszczególnione w paragrafie drugim, warunki wymagane dla macierzy partnerów, przy czym v = 6, ni — 2, n2 = 3, ph = 1, p\2 = }Ąi — 0?

P22 — 3, P12 = P21 — 2, P22 — 0- Stąd N jest macierzą incydencji układu PBB(2) o parametrach v = 6, b = 5, r = (3 ,3,2 ,2,2 ,2)', = (3 ,3,1 ,1,6 )', ao — §, «i = — |, 02 = — Układ ten należy do układów grup podzielnych (por. Raghavarao, 1971 oraz Brzeskwiniewicz 1989) z m — 2, n — 3. Stąd też łatwo można obliczyć wartości własne macierzy (4.1): p,o = 0, p 1 = 2, p2 = 1, ich krotności: op = 1, aą = 4, 02 = 1 oraz jej postać spektralną:

(4.2) C = 2 X ^ X 2,

gdzie 2Co = K.\ — |(2Ao — A i) i X .2 — |(Ao + A i — A A Zgodnie z twierdzeniem 2 układ o macierzy incydencji

N * 1 0

0 1 ®N_

jest układem PBB(5). Ma następujące parametry: u* = 12, b* = 10, r* — (3,3,2,2,2,2,3,3,2,2,2,2)', fc* = (3,3,1,1,6,3,3,1,1,6)', «S = § , < = - | , 05 = 0. Macierz C_ tego układu ma wartości własne:

Pl = 0, Pl = 2, Pl = 1, //3* = Pl = ^ = 0.l 2

Stosując natomiast twierdzenie 4 otrzymujemy, że N* = N

jest macierzą incydencji układu PBB(5) o parametrach v* = 18, b* = 15, I* = (3 ,3 ,3 ,3 ,3 ,3 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 )', fc* = (3,3,3,3,3,3,1,1,1,1, 1,1,6,6,6)', Oq = f , ai = ~ b a2 = ~ b a3 = a4 = al = 0 oraz o wartościach własnych macierzy C* równych juj, = 0, //, = 2,

= Mi = 0.

Prace cytowane

H. B rz e s k w in ie w icz , Metody konstrukcji częściowo zrównoważonych układów bloko- wych, Szesnaste Colloquium Metodologiczne z Agro-Biometrii (1986), 15-21.

H. B rz e s k w in ie w icz , E-optymalność układów PBB z dwiema klasami partnerów, Ma- tematyka Stosowana 31 (1989), 39-46.

F. G r a y b ill, Introduction to Matrices with Applications in Statistics, California 1969.

S. K a g ey a m a , Reduction of associate classes for block designs and related combinatorial arranements. Hiroshima Math. I. Vol. 4 (1974), 527-618.

S. K a g ey am a, Some bounds for partially balanced block design, Ann. Inst. Statist. Math.

33, A(1981), 141-153.

C . R. R ao, Modele liniowe statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1982.

D. R a g h a v a ra o , Constructions and Combinatorial Problems in Designs of Experiments, Wiley, New York 1971.

Summary

The application of Kronecker product of matrices to construction of certain PBB designs

In this paper it is shown that Kronecker product of the unit matrix and the incidence matrix of PBB design with m associate classes is the incidence matrix of PBB design with 2m + 1 associate classes. Also association matrices, their parameters and the spectral expansion of C_ matrix of PBB design with 2m + 1 associate classes is given.