Macierz odwzorowania liniowego, macierz przej´scia

Grupa, cia lo

Zadanie 1. Jakie w lasno´sci w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maja dzia lania_,

a ◦ b = a − b, a ? b =√

a²+ b², a ∗ b = ^a+b₂ , a  b = b.

Zadanie 2. Pokaza´c, ˙ze (Rⁿ,L) jest grupa przemienn_, a, je˙zeli dzia lanie_, L okre´sli´c nastepuj_, aco:_,

∀(a₁, a₂, . . . , a_n), (b₁, b₂, . . . , b_n) ∈ Rⁿ

(a₁, a₂, . . . , a_n)L(b₁, b₂, . . . , b_n) = (a₁+ b₁, a₂+ b₂, . . . , a_n+ b_n)

Zadanie 3. Pokaza´c, ˙ze ((0, ∞), ·, ?) jest cia lem je˙zeli dzia lanie · jest zwyk lym mno˙zeniem, a dzia lanie ∗ okre´sli´c nastepuj_, aco:_,

∀a, b ∈ (0, ∞) a ∗ b = a^log2b.

Zadanie 4. Czy (R, ), gdzie a  b = a · b + 3 · a + 3 · b + 6 jest grupa? Czy (R, ⊕, ), gdzie,

a  b = a · b + 3 · a + 3 · b + 6, a ⊕ b = a + b + 3 jest cia lem?

Zadanie 5. Zbi´or Q[√

2] liczb rzeczywistych postaci a +√

2 · b, gdzie a, b ∈ Q z dzia laniami dodawania i mno˙zenia jak w zbiorze liczb rzeczywistych jest cia lem.

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezale˙zno´s´c wektor´ ow, bazy przestrzeni wektorowych

Zadanie 6. Sprawdzi´c czy zbi´or odwzorowa´n liniowych L (R, R) to jest odwzorowa´n postaci A : R 3 x −→ ax ∈ R, gdzie a ∈ R jest grupa ze sk ladaniem odwzorowa´_, n ◦ (∀A, B ∈ L (R, R) ∀x ∈ R (B ◦ A)(x) = B(A(x))).

Zadanie 7. Wykaza´c, ˙ze V = {f : R −→ R} z dzia laniami (f + g)(x) = f (x) + g(x), (λf )(x) = λ(f (x)) jest przestrzenia liniow_, a nad R._,

Zadanie 8. Wykaza´c, ˙ze (V, ⊕, ⊗), gdzie V = {(x₁, x₂, . . . , x_n) ∈ Rⁿ :

∀i ∈ {1, 2, 3 . . . , n} x_i > 0} jest przestrzenia liniow_, a nad R je˙zeli dzia lania okre´sli´c nast_, epuj_, aco:_,

∀(x₁, x₂, . . . , x_n), (y₁, y₂, . . . , y_n) ∈ V

(x₁, x₂, . . . , x_n) ⊕ (y₁, y₂, . . . , y_n) = (x₁· y₁, x₂· y₂, . . . , x_n· y_n)

∀α ∈ R ∀(x1, x₂, . . . , x_n) ∈ V α ⊗ (x₁, x₂, . . . , x_n) = (x^α₁, x^α₂, . . . , x^α_n). Wyznaczy´c baze tej prze-_, strzeni. Znale´z´c wsp´o lrzedne wektora (1, 2, 2_, ², . . . , 2ⁿ⁻¹) w wybranej wcze´sniej bazie.

Zadanie 9. Pokaza´c, ˙ze uk lady wektor´ow sa liniowo niezale˙zne w przestrzeni liniowej okre´_, slonej w zadaniu 7.

a) f (x) = sinx, g(x) = cosx, h(x) = x.

b) f (x) = x, g(x) = 1, h(x) = x²− 1.

Zadanie 10. Pokaza´c, ˙ze (1, 1, 2), (1, 1, 1), (0, 1, 2) stanowia baz_, e R_, ³. Znale´z´c wsp´o lrzedne wek-_, tor´ow (2, 1, 1) oraz (3, 4, 7) w tej bazie.

Zadanie 11. Pokaza´c, ˙ze x − 1, x − 2, x²+ 2x stanowia baz_, e przestrzeni W_, 2[x] = {ax²+ bx + c : a, b, c ∈ R}. Znale´z´c wsp´o lrzedne wektor´_, ow 1, x, x² oraz 2x²+ 3 w tej bazie.

Zadanie 12. Znale´z´c baze i wymiar przestrzeni W = {w(x) = ax_, ³ + bx² + cx + d : w(1) = 0, a, b, c, d ∈ R}.

Zadanie 13. Znale´z´c baze podprzestrzeni R_, ⁴ generowanej przez wektory (−1, −2, 3, 2), (−2, −3, 5, 3), (2, 2, −4, −2), (−2, 0, 1, 1), (0, −4, 4, 4).

Zadanie 14. Znale´z´c baze przestrzeni {(x, y, z, t) ∈ R_, ⁴ : x − 2y + z = 0} zawierajac_, a wektory_, (1, 2, 3, 2), (−2, 1, 4, 3).

Problem 1. Pokaza´c, ˙ze ∀n ∈ N wektory {1, x, x², x³, . . . , xⁿ} sa liniowo niezale˙zne w przestrzeni_, okre´slonej w zadaniu 7. Uzasadni´c, ˙ze wektory {1, x, x², x³, . . . , xⁿ, . . . } nie sa baza tej przestrzeni._, Problem 2. Uzasadni´c, ˙ze wektory 1, √

2, √

3 sa liniowo niezale˙zne w przestrzeni R nad Q. Czy_, prawdziwe jest twierdzenie, ˙ze je˙zeli p, q ∈ Q p 6= q oraz p, q nie sa kwadratami liczb wymiernych_, to 1, √

p, √

q sa liniowo niezale˙zne w przestrzeni R nad Q? Jaki jest wymiar przestrzeni R nad_, Q?

Odwzorowania liniowe

Zadanie 15. Sprawdzi´c, kt´ore z poni˙zszych owzorowa´n sa liniowe:_, a) f : R² 3 (x, y) −→ (x + y, x − 1) ∈ R²

b) f : R² 3 (x, y) −→ (x + y, x − y) ∈ R² c) f : R² 3 (x, y) −→ (x + y, x − y) ∈ R² d) f : R² 3 (x, y) −→ (x · y, x) ∈ R²

e) f : R² 3 (x, y) −→ (3x + y, x − 2y) ∈ R² f ) f : W₃[x] 3 w −→ w(1) · x + w(0) ∈ W₁[x]

g) f : W_n[x] 3 w −→ w⁰· x + w ∈ W_n[x]

h) f : W₃[x] 3 w −→ max{w(0), w(1)} ∈ R

Zadanie 16. Dane jest odwzorowanie liniowe f : R³ 3 (x, y, z) −→ f (x, y, z) ∈ R³, takie, ˙ze f (1, 0, 1) = (1, 0, 1), f (1, 1, 1) = (2, −1, 0), f (1, 1, 0) = (0, 0, 1). Wyznaczy´c f (1, 0, 0), f (0, 1, 0), f (0, 0, 1), f (x, y, z).

Zadanie 17. Dane jest odwzorowanie liniowe f : R³ 3 (x, y, z) −→ f (x, y, z) ∈ R², takie, ˙ze f (1, 0, 1) = (−1, 0), f (1, 1, 1) = (1, 1), f (2, 1, 2) = (0, 1). Wyznaczy´c f (0, 1, 0), f (x, y, z).

Zadanie 18. Znale´z´c baze przestrzeni wektorowej macierzy kwadratowych symetrycznych wymiaru_, 3 × 3.

Zadanie 19. Sprawdzi´c czy odwzorowanie f : M_3×33 {a_{i j}} −→ {b_{i j}} ∈ M_3×3 okre´slone wzorem b_{i j} = 1

2(a_{i j} + a_{j i}) jest liniowe.

Zadanie 20. Sprawdzi´c czy odwzorowanie f : M3×33 {ai j} −→ {bi j} ∈ M3×3 okre´slone wzorem b_{i j} = 1

2(a_{i j} − a_{j i}) jest liniowe.

Zadanie 21. Sprawdzi´c czy iloczyn macierzy symetrycznych (antysymetrycznych, tr´ojkatnych_, g´ornych, tr´ojkatnych dolnych) jest macierz_, a symetryczn_, a (antysymetryczn_, a, tr´_, ojkatn_, a g´_, orna,_, tr´ojkatn_, a doln_, a)._,

Problem 3. Wykaza´c, ˙ze je˙zeli odwzorowanie liniowe jest bijekcja to odwzorowanie odwrotne te˙z_, jest liniowe. Wykaza´c, ˙ze je˙zeli odwzorowanie

f : V −→ W jest izomorfizmem to wektory v₁, v₂, . . . , v_k sa liniowo niezale˙zne wtw gdy s_, a liniowo_, niezale˙zne wektory f (v₁), f (v₂), . . . , f (v_k).

Macierz odwzorowania liniowego, macierz przej´scia

Zadanie 22. Znale´z´c baze przestrzeni wektorowej V = {A ∈ M_{, 3×3} : A^T = −A}. Dane jest odwzorowanie liniowe Λ : V −→ V okre´slone wzorem

Λ





0 a b

−a 0 c

−b −c 0



=





0 b − a 2a a − b 0 c − a

−2a a − c 0



. Wyznaczy´c macierz tego odwzorowania w wybranej wcze´sniej bazie.

Zadanie 23. Znale´z´c baze przestrzeni wektorowej V = {A ∈ M_, 2×2}. Dane jest odwzorowanie liniowe Λ : V −→ V okre´slone wzorem

Λa b c d



=a + 2b + c a + 2b + c a + 2b + c a + 2b + c

 . Wyznaczy´c macierz tego odwzorowania w wybranej wcze´sniej bazie.

Zadanie 24. Dana jest macierz A odwzorowania liniowego f : R³ −→ R² A =1 −1 2

1 2 1



w bazach ((1, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2)) oraz ((1, 1), (2, 1)). Znale´z´c macierz tego odwzorowania w ba- zach kanonicznych.

Zadanie 25. Dana jest macierz A odwzorowania liniowego f : R² −→ R³ A =





1 0

2 −1

1 1





w bazach kanonicznych. Znale´z´c macierz tego odwzorowania w w bazach ((1, −1), (2, −1)) oraz ((0, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 0)).

Zadanie 26. Dana jest macierz odwzorowania liniowego f : V −→ V, gdzie V = {A ∈ M2×2 : A = A^T} w bazie v = 1 1

1 0



,0 1 1 1



,1 1 1 1



. Obliczy´c f (x) wiedza´_,c, ˙ze x = [1, −1, 2]_v,

M_{f v v} =





1 2 −1

1 1 0

−1 0 1





Zadanie 27. Dana jest macierz przej´scia od bazy v do bazy v⁰ A =1 2

2 −1



oraz baza R² v⁰ = ((2, 3), (2, 2)). Znale´z´c baze v._,

Zadanie 28. Dana jest macierz przej´scia od bazy v do bazy v⁰ A =1 1

1 −1



oraz baza R² v = ((1, 2), (2, 2)). Znale´z´c baze v_, ⁰.

Zadanie 29. Dana jest macierz przej´scia od bazy v do bazy v⁰ A =1 0

1 −1



oraz wsp´o lrzedne wektora x w bazie v x = [1, 1]_{, v}. Znale´z´c wsp´o lrzedne wektora x w bazie v_, ⁰. Zadanie 30. Dana jest macierz przej´scia od bazy v do bazy v⁰

A =1 2 1 1



oraz wsp´o lrzedne wektora x w bazie v_, ⁰ x = [2, −1]_v⁰. Znale´z´c wsp´o lrzedne wektora x w bazie v._,

Zadanie 31. Dana jest macierz odwzorowania liniowego f : R³ −→∈ R³, A =





1 2 −1

1 1 0

−1 0 1





w bazach v = ((1, 1, 2), (1, 1, 0), (1, 0, 1)) w = ((1, 0, 1), (1, 0, 2), (0, 1, 1)). Znale´z´c macierz odwzo- rowania f

a) w bazie kanonicznej,

b) bazach v⁰ = ((1, 1, 1), (2, 1, 1), (1, 2, 1)) w⁰ = ((0, 0, 1), (1, 2, 0), (1, 1, 0)).

J adro i obraz odwzorowania liniowego

Zadanie 32. Dane sa macierze odwzorowa´_, n liniowych









1 1 1 1 1 −1 2 2 0 3 3 1













1 2 1 1 1 −1 2 1 0









a 1 1

1 a 1

a 2a 4 − a

















2 0 −1

1 1 1

4 2 1

1 −1 −2

3 1 0

















2 0 −1 2 0 −1

1 1 1 4 2 1

1 −1 −2 3 1 0





Znale´z´c wymiary jadra i obrazu tych odwzorowa´_, n.

Zadanie 33. Niech V = {A ∈ M3×3 : A^T = −A}. Dane jest odwzorowanie liniowe Λ : V −→ V okre´slone wzorem

Λ





0 a b

−a 0 c

−b −c 0



=





0 b − a 2a a − b 0 c − a

−2a a − c 0



. Znale´z´c bazy jadra i obrazu tego odwzorowania._,

Zadanie 34. Niech V = M_3×3. Dane jest odwzorowanie liniowe Λ : V −→ V okre´slone wzorem

Λ





a b c d e f g h i



=





0 b + d c + g

0 0 f + h

0 0 0



.

Znale´z´c bazy jadra i obrazu tego odwzorowania._,

Zadanie 35. Dane jest odwzorowanie liniowe f : R⁵ 3 (x, y, z, u, v) −→ (x + y − v, z + v − u, x + y + z − u, x + y − z − 2v + u) ∈ R⁴. Znale´z´c bazy jadra i obrazu tego odwzorowania._,

Wektory i warto´sci w lasne odwzorowania liniowego

Zadanie 36. Znale´z´c wektory w lasne i warto´sci w lasne odwzorowania linio-wego A : R³ −→ R³ je˙zeli jego macierz w bazie v = ((1, 1, 1), (1, 2, 1), (2, 1, 1)) ma posta´c





3 4 5 1 6 5 1 7 13





Wyznaczy´c macierz odwzorowania w bazie z lo˙zonej z wektor´ow w lasnych.

Zadanie 37. Znale´z´c przy pomocy macierzy przej´scia macierz odwzorowania liniowego w bazie kanonicznej je˙zeli jego warto´sci w lasne to λ₁ = −2, λ₂ = 2, λ₃ = 2 za´s odpowiadajace im wektory_, w lasne to v₁ = (−1, 0, 1), v₂ = (−1, 1, 1), v₃ = (−1, 0, 2).

Zadanie 38. Sprawdzi´c czy sa diagonalizowalne macierze odwzorowa´_, n liniowych





4 −1 −1

3 0 −1

3 −1 0









−2 −5 −4

1 3 1

2 3 4













1 2 1 −1

−1 4 1 −1

−1 0 5 −1

−2 6 0 0

















4 6 −6 0 0 10 −6 0 0 12 −8 0 0 6 −6 4









Zadanie 39. Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne odwzorowanioa liniowego f : M2×2 −→ M2×2

danego wzorem fa b

c d



=a + b − c − d a + b − c − d a + b − c − d a + b − c − d



Zadanie 40. Znale´z´c warto´sci i wektory w lasne odwzorowanioa liniowego f : R³ −→ R³ danego wzorem

f (x, y, z) = (7x − 4y − z, 9x − 6y − z, 6x − 4y)

Zadanie 41. W jakiej bazie macierz odwzorowania liniowego A ma posta´c





−2 2 1

−5 5 1

−4 2 3



 je˙zeli

wektory w lasne w kolejno´sci rosnacych odpowiadaj_, acym ich warto´_, sci w lasnych to (1, 2, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 2)?