Nieparametryczne testy statystyczne

(1)

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna

Testy statystyczne

cz.II

(2)

(3)

(4)

Test zgodności χ

χχχ

2 _{( Pearsona )}

Mamy dany histogram empiryczny, o klasach niekoniecznie równej szerokości,

z liczebnościami klas:

n

₁

+ n

₂

+ ….. + n

_k

= n

Testujemy hipotezę, że rozkład populacji generalnej przewiduje dla tych klas

prawdopodobieństwa:

p

₁

, p

₂

, ….., p

_k

Liczymy wartość:

(5)

Test zgodności χ

χχχ

2 _{( Pearsona )}

Uwagi dot. testowanego histogramu:

wartości

np

_i

≥ 5 (również

n

_i

), dla każdego

i

przy ilości klas k ≤ 3 –

npi

≥ 10

w tych przypadkach klasy małoliczne należy połączyć.

Jeśli do wyznaczenia

np

_i

używaliśmy

m

parametrów estymowanych z próby,

to ilość stopni swobody ulegnie zmniejszeniu:

r = k – m – 1

(6)

Test zgodności χ

χχχ

2 _{( Pearsona )}

Jeśli

to badana próba nie przeczy hipotezie

weryfikowanej na poziomie istotności

α

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

W ramach unowocześniania produkcji tabletów wprowadzono nowe klawiatury.

Dla partii 500 sztuk wykonano zestawienie ilości działających jeszcze bez żadnej

naprawy po upływie danego okresu:

po1 miesiącu

343 po 9 miesiącach

16

2

250

10

7

3

160

11

7

4

95

12

5

60

13

2

6

45

14

2

7

35

15

1

8

25

16

0 Czy można twierdzić, że czas bezawaryjnej pracy tabletu

jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym?

Zadanie 37-JM

(17)

(18)

(19)

Dane są dwa histogramy empiryczne, o tej samej ilości klas

k

z liczebnościami:

n

_1,1

+ n

_2,1

….. + n

_k,1

= n

_*,1

n

_1,2

+ n

_2,2

….. + n

_k,2

= n

_*,2

Testujemy hipotezę, że rozkłady obu populacji generalnych są jednakowe.

Jeśli jest ona prawdziwa, to zmienna

Test χ

χχχ

2 _{dla dwu rozkładów}

(

)

∑

=

−

=

k i _i i i

n

1 _*,₁ _*,₂ _,* 2 2 , 1 *, 1 , 2 *, 2

χ

ma rozkład zdążający do

χχχχ

2 o

r = k – 1

stopniach swobody.

Obszar krytyczny prawostronny.

gdzie

n

_i,*

= n

_i,1

+ n

_i,2

(20)

Gdy próby są równej liczebności, to poprzedni wzór upraszcza się:

i stosować go można, gdy

n

_i,1

+ n

_i,2

≥ 10

dla każdego

i.

Test χ

χχχ

2 _{dla dwu rozkładów}

(

)

∑

=

+

−

=

k i _i _i i i

n

1 _,₁ _,₂ 2 2 , 1 , 2

χ

(21)

(22)

(23)

Test niezależności χ

χχχ

2 Mamy dwuwymiarowy histogram empiryczny

n

_i,j

i = 1, …, k

j = 1, …, m

z łącznego rozkładu zmiennych losowych

x

i

y

.

Jednowymiarowe (brzegowe) histogramy oraz całkowita liczebność próby

dane są wzorami:

∑

=

m j j i i

n

1 , ,*

∑∑

= =

=

k i m j j i

n

1 1 , *,*

∑

=

k i j i j

n

1 , *,

(24)

Test niezależności χ

χχχ

2 Testujemy hipotezę o statystycznej niezależności zmiennych x i y.

Jeśli jest ona prawdziwa, to zmienna:

















−

=

∑∑

=

k

i

m

j

_i

_j

j

i

n

1

1 _,*

_*,

2 ,

,

2

1 χ

ma rozkład

χχχχ

2

_o

_{r = (k-1)(m-1)}

_{stopniach swobody.}

W praktyce wystarcza, jeśli dla każdego

i

,

j

mamy

n

_i,*

n

_*,i

/ n

_*,*

≥ 5

;

jeśli nie – możemy połączyć niektóre z klas.

(25)

(26)

(27)

Test χ

χχχ

2 _{dla wielu rozkładów}

Test niezależności

χχχχ

2

_{może być stosowany do weryfikacji hipotezy,}

że

m

histogramów

k

- klasowych pochodzi z takich samych populacji generalnych

– drugim wymiarem jest wówczas numer histogramu.

Dla

m = 2

(28)

(29)

Test dla dystrybuanty

zwany

(30)

Test Kołmogorowa

Test Kołmogorowa służy do testowania zgodności

dystrybuanty empirycznej z próby

n

– elementowej,

F

_n

(x)

, z hipotetyczną,

F(x)

.

Zmienna testowa definiowana jest jako największe odchylenie

między

F(x)

a

F

_n

(x)

:

)

(

)

(

max

F

x

F

x

D

_n x n

=

−

Z nieciągłości

F

_n

(x)

i monotoniczności

F(x)

wynika,

że wartości różnicy dystrybuant należy sprawdzić dla

x = x

₁

, x

₂

… x

_n

λλλλ

= D

_n

· √√√√

n

Hipotezę odrzucamy, gdy

λλλλ

jest większa od wartości krytycznej (stablicowane).

Nie zaleca się wyznaczania

F

na podstawie histogramu.

(31)

(32)

Test Kołmogorowa

Niżej – analiza zadania:

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

Test dla dwu dystrybuant

zwany

(39)

Testem Kołmogorowa – Smirnowa

Test Kołmogorowa - Smirnowa służy do testowania hipotezy o jednakowości

dystrybuant w populacjach generalnych na podstawie dwu dystrybuant

empirycznych

F

_n

(x)

i

F

_m

(x)

–

indeksy oznaczają liczebności prób

.

Zmienna testowa definiowana jest:

)

(

)

(

max

,

F

x

F

x

D

_n _m x m n

=

−

wartości krytyczne

λλλλ

(obszar prawostronny) stablicowane dla niewielkich

n

i

m

.

Nie zaleca się wyznaczania

F

_n

i

F

_m

na podstawie histogramu.

n

D

_n,

_m

=

(40)

(41)

(42)

Test znaków

Test znaków jest szczególnym przypadkiem

testu dla frakcji

dla prawdopodobieństwa wyróżnienia elementu próby = 1/2.

Typowe zastosowanie –

wykrywanie współzależności statystycznej między wartościami zmiennej losowej x,

a kolejnością elementów w próbie – np. trendu czasowego.

Jeśli uporządkowana próba liczy

n + 1

elementów,

możemy utworzyć z nich

n

par:

(

x

₁

, x

₂

), (

x

₂

, x

₃

), … (

x

_n

, x

_n+1

)

Pary te dzielimy na

n

₁

takich, gdzie

x

_i

< x

_i+1

i

n

₂

= n – n

₁

takich, gdzie

x

_i

>

x

_i+1

.

(43)

Test znaków

n

– elementowa próba, zawierająca

n

₁

elementów wyróżnionych

używając testu frakcji

testujemy hipotezę

H

₀

: prawdopodobieństwo wyróżnienia wynosi

1/2

.

Obszar krytyczny

będzie dwu- lub jednostronny,

w zależności od hipotezy alternatywnej

H

₁

- jakikolwiek trend

- trend rosnący

- trend malejący.

(44)

J. Greń – 1/146

(45)

J. Greń – 1/146

(46)

(47)

(48)

Test serii

Mamy przemieszane elementy dwóch rodzajów,

n

elementów 1-szego i

m

- 2-go rodzaju;

stąd może być

r

serii (każda od 1-elementowej w górę):

(49)

Test serii

Jeśli przemieszanie jest całkowicie losowe, to

r

ma rozkład:























+













−













−

+













−













−













+













−













−

=

n

m

n

k

m

k

n

k

m

k

n

m

n

k

m

k

n

r

p

1

2 )

(

dla

r = 2k

dla

r = 2k + 1

w granicy (

n, m

→

→ ∞

∞

, praktycznie dla

m, n ≥ 10

) dąży do rozkładu normalnego

o parametrach:

1

2 +

+

=

m

n

nm

µ

)

1 (

)

(

)

2 (

2

₊

₋

+

−

=

m

n

m

n

m

n

nm

σ

(50)

Test serii

Hipotezę o losowości odrzucamy, gdy ilość serii jest podejrzanie mała (

r ≤ r(

α

)

α

– poziom istotności;

Gdy nie stosujemy rozkładu normalnego,

to

r(

α

)

można wyliczyć, jako największą wartość

r

, dla której jeszcze zachodzi

α

≤

∑

= r i

i

p

2

)

(

Krytyczne wartości

r(

α

)

są stablicowane;

Test ten jest wykorzystywany np.. do badania losowości próby,

podobnie jak test znaków.

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)