6. Testy statystyczne

(1)

Statystyka matematyczna (2 mie, 2011/2012)

6. Testy statystyczne

w. 6.1 Wedªug normy technicznej wykonanie obróbki mechanicznej jednego pier±cienia stalowego powinno zajmowa¢ szlierzowi 22 minuty. Wylosowano 16 stanowisk ro- boczych, dla których ±redni czas obróbki wynosiª 24 minuty. Jednocze±nie z przeprowadzonego badania generalnego wiadomo, »e odchylenie standardowe σ czasu obróbki wynosi 4 minuty. Zakªadaj¡c, »e czas obróbki ma rozkªad normalny, zwerykuj na poziomie istotno±ci α = 0, 05 hipotez¦ H0 : a = 22 wobec hipotezy alternatywnej H1 : a 6= 22

w. 6.2 Liczb¦ sprzedanych biletów MZK w Toruniu w kolejnych niedzielach maja i czerw- ca przedstawia tabelka.

Numer niedzieli 1 2 3 4 5 6 7 8

Liczba sprzedanych biletów w tysi¡cach 2,9 3,3 3,2 3,2 3,2 3,0 2,9 3,1 Na podstawie tych danych, na poziomie istotno±ci α = 0, 1, przetestuj hipotez¦,

»e ±rednia liczba sprzedawanych biletów w niedziele jest równa 3, 2 tys. przeciw hipotezie, »e ±rednia sprzedawanych biletów jest

(a) mniejsza ni» 3, 2 tys., (b) ró»na od 3, 2 tys.,

je»eli wiadomo, »e liczba sprzedawanych biletów ma rozkªad normalny.

w. 6.3 Na pudeªkach zapaªek jest napisane ±rednio 64 zapaªki. Wylosowano 1000 pudeªek, dla których ±rednia liczba zapaªek wyniosªa 65 sztuk, a wariancja s² wynosiªa 625. Zwerykuj na poziomie istotno±ci α = 0, 05 hipotez¦ H0 : a = 64 wobec hipotezy alternatywnej H1 : a > 64.

w. 6.4 Producent pªatków mydlanych wysun¡ª hipotez¦, »e stopie« wyprania tkaniny weªnianej pªatkami mydlanymi jest wy»szy od stopnia wyprania pªynem do prania.

W celu sprawdzenia tej hipotezy wykonano pomiary stopnia wyprania 10 wycinków tkaniny pranej pªatkami, otrzymuj¡c w procentach wyniki

74, 4, 75, 1, 73, 0, 72, 8, 76, 2, 74, 6, 76, 0, 73, 4, 72, 9, 71, 6 oraz 7 wycinków pranych pªynem do prania, otrzymuj¡c

56, 8, 57, 8, 54, 6, 59, 0, 57, 1, 58, 2, 57, 6.

Zakªadaj¡c, »e stopie« wyprania tkaniny ma rozkªad normalny i wiedz¡c, »e test równo±ci wariancji wykonany dla powy»szych próbek nie pozwoliª na odrzucenie hipotezy zerowej, na poziomie istotno±ci α = 0, 05 zwerykuj hipotez¦ wysuniet¡

przez producenta.

(2)

w. 6.5 rednia pr¦dko±¢ tramwaju (w km/h) obliczona na podstawie zmierzonych w ±rod¦

pr¦dko±ci 200 tramwajów byªa równa 15, 1, natomiast ±rednia pr¦dko±¢ obliczona dla 120 tramwajów w niedziel¦ wynosiªa 16, 4. Wariancja pr¦dko±ci wynosiªa odpowied- nio s²1 = 6, 8, s²2 = 4, 2. Na podstawie uzyskanych danych zwerykuj na poziomie istotno±ci α = 0, 05 hipotez¦, »e ±rednia pr¦dko±¢ tramwajów w ±rod¦ jest mniejsza ni» w niedziel¦.

w. 6.6 Zmierzono ci±nienie t¦tnicze w±ród losowo wybranej grupy chorych na pewn¡

chorob¦ przed i po podaniu takiego samego leku ka»demu z badanych pacjentów.

Otrzymano nast¦puj¡ce wyniki:

Nr pacjenta 1 2 3 4 5 6 7 8

Ci±nienie przed 210 180 260 270 190 250 180 200 Ci±nienie po 180 160 220 260 200 230 180 190

Na poziomie istotno±ci α = 0, 05 zwerykuj hipotez¦, »e stosowany lek nie powoduje zmiany ci±nienia u pacjentów, wobec hipotezy alternatywnej, »e warto±¢ przeci¦tna ci±nienia przed podaniem leku jest wy»sza ni» po jego podaniu, wiedz¡c, »e ci±nienie t¦tnicze ma rozkªad normalny.

w. 6.7 W czasie sonda»u przeprowadzonego przez pracowni¦ badania opinii spoªecznej spo±ród 1100 ankietowanych dorosªych Polaków 1090 odpowiedziaªo, »e w ubiegªym miesi¡cu nie przeczytali »adnej ksi¡»ki, a pozostali potwierdzili, »e przeczytali przy- najmniej jedna ksi¡»k¦. Na podstawie tych danych, na poziomie istotno±ci 0, 01, przetestuj hipotez¦, »e odsetek dorosªych Polaków, którzy nie przeczytali w ubie- gªym miesi¡cu »adnej ksi¡»ki wynosi 99%, przeciw hipotezie, »e odsetek ten jest inny. U»yj testu dla jednej ±redniej oraz testu chi-kwadrat zgodno±ci.

w. 6.8 Tabela przedstawia dane dotycz¡ce liczby ro±lin ostu na poletkach do±wiadczal- nych.

Liczba ro±lin ostu 0 1 2 3 4 5 6 i wi¦cej Liczba poletek 24 57 65 35 10 6 3

Na poziomie istotno±ci 0,05 zwerykuj hipotez¦, »e rozkªad ten jest rozkªadem Poissona.

w. 6.9 Generator liczb losowych wygenerowaª 20 liczb z rozkªadu wykªadniczego E(2).

Liczby s¡ uporz¡dkowane niemalej¡co:

0, 02 0, 03 0, 04 0, 04 0, 06 0, 11 0, 11 0, 18 0, 22 0, 26 0, 27 0, 44 0, 46 0, 60 0, 65 0, 80 0, 85 0, 95 1, 20 2, 00

Za pomoc¡ testu χ² oraz testu Koªmogorowa na poziomie istotno±ci 0,05 przetestuj zgodno±¢ tych danych z rozkªadem E(2).

(3)

w. 6.10 Z populacji pobrano 1000 elementow¡ próbk¦. Wyniki jej badania ze wzgl¦du na cech¦ X przedstawia tabelka

Przedziaª [0, 1) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7) [7, 8)

Liczno±¢ 120 273 280 192 92 34 7 2

Na poziomie istotno±ci 0,01 testem Koªmogorowa zwerykowa¢ hipotez¦, »e cecha X ma rozkªad o dystrybuancie

F (x) =

(0, x ≤ 0,

1 − e^−x²^/2, x > 0.

w. 6.11 Wybrano losowo 780 mieszka«ców Torunia, których zapytano o najch¦tniej ogl¡dany rodzaj seriali. Poni»sza tabela przedstawia wyniki sonda»u. Za pomoc¡

testu chi-kwadrat niezale»no±ci, przyjmuj¡c poziom istotno±ci 0,05, zbadaj czy pªe¢

telewidza i rodzaj seriali przez niego ogl¡danych s¡ niezale»ne.

Rodzaj seriali

Pªe¢ telenowele seriale kryminalne seriale komediowe Razem

Kobieta 210 90 160 460

M¦»czyzna 50 150 120 320

Razem 260 240 280 780

w. 6.12 Spytano 1000 respondentów o ±redni dzienny czas sp¦dzany przed telewizorem.

Na podstawie wyników przedstawionych w poni»szej tabeli kontyngencji, przetestuj na poziomie istotno±ci 0,025 niezale»no±¢ liczby godzin sp¦dzanych dziennie przed telewizorem od wyksztaªcenia telewidzów.

Wyksztaªcenie

Liczba h podstawowe zas. zawodowe ±rednie wy»sze

0-2 65 57 63 55

2-4 68 70 62 60

4-6 78 82 68 72

powy»ej 6 53 60 43 44

w. 6.13 Dziewi¦ciu pacjentów ze zdiagnozowan¡ depresj¡ poddano terapii lekiem uspo- kajaj¡cym T . Dane w tabeli poni»ej dotycz¡ warto±ci tzw. czynnika Hamiltona u pacjentów. Warto±ci Xi zostaªy uzyskane podczas pierwszej wizyty pacjenta po rozpocz¦ciu terapii, natomiast warto±ci Yi zostaªy uzyskane podczas drugiej wizyty.

(4)

Statystyka matematyczna (2 mie, 2011/2012) Pacjent (i) X_i Y_i

1 1,83 0,878

2 0,50 0,647

3 1,62 0,598

4 2,48 2,05

5 1,68 1,06

6 1,88 1,29

7 1,55 1,06

8 3,06 3,14

9 1,30 1,29

Polepszeniu stanu pacjenta odpowiada obni»enie warto±ci czynnika Hamiltona. Sto- suj¡c test znakowanych rang Wilcoxona, na poziomie istotno±ci α = 0, 049 przetestuj hipotez¦, »e efekt terapii jest zerowy, przeciwko hipotezie, »e lek T przynosi pozy- tywne efekty. Wyznacz p-warto±¢ zbudowanego testu.

w. 6.14 W celu zbadania, czy pªace w sektorze publicznym s¡ wspóªmierne do pªac w sektorze prywatnym, wybrani pracownicy z obu grup zostali poª¡czeni w pary (na podstawie typu pracy, wyksztaªcenia, lat do±wiadczenia itp.). W tabeli poni»ej podane zostaªy wysoko±ci zarobków rocznych (w dolarach) dla 12 utworzonych w ten sposób par.

Nr pary Sektor prywatny Sektor rz¡dowy

1 12500 11750

2 22300 20900

3 14500 14800

4 32300 32300

5 20800 21500

6 19200 18400

7 15800 14500

8 17500 17900

9 23300 21400

10 42100 43200

11 16800 15200

12 14500 14200

Za pomoc¡ testu znakowanych rang Wilcoxona przetestuj hipotez¦, »e nie ma ró»nic mi¦dzy zarobkami w obu sektorach, przeciwko hipotezie, »e pracownicy sektora pry- watnego zarabiaj¡ wi¦cej ni» odpowiadaj¡cy im pracownicy w sektorze publicznym.

Wyznacz p-warto±¢ zbudowanego testu.