Statystyka i eksploracja danych Testy statystyczne — teoria

(1)

Statystyka i eksploracja danych

Testy statystyczne — teoria

Niech X1, . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu Pθ, θ ∈ Θ oraz niech α ∈ (0, 1) będzie poziomem istotności (najczęściej 0,1, 0,05, czy 0,01).

Oznaczenia: Φ — dystrybuanta rozkładu N(0, 1), t_1−α/2 = Φ⁻¹(1 − α/2),

Ft_n−1 — dystrybuanta rozkładu t-Studenta z n − 1 stopniami swobody, zⁿ⁻¹_1−α/2= F_t⁻¹_n−1(1 − α/2),

ni — liczebności empiryczne, n⁰_i — liczebności teoretyczne,

F_χ²_(k−1) — dystrybuanta rozkładu χ² z k − 1 stopniami swobody, u^k−1_1−α = F_χ⁻¹2(k−1)(1 − α).

Jeżeli statystyka testowa należy do obszaru krytycznego, to hipotezę zerową odrzucamy i przyjmujemy hipotezę alternatywną. Jeżeli statystyka testowa nie należy do obszaru krytycznego, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.

W programie PASW Statistics zadeklarowany poziom istotności należy porównać z istot- nością wyliczaną przez program. Jest to minimalny próg odrzucenia bądź nie hipotezy zerowej. W związku z tym hipotezę zerową odrzucamy, gdy istotność podawana przez program jest mniejsza niż deklarowany przez nas poziom istotności, a nie mamy podstaw do odrzucenia, gdy jest większa.

1. Test dla jednej średniej.

Hipoteza zerowa: Średnia wartość zmiennej jest równa określonej wartości a0.

Hipoteza alternatywna: Średnia wartość zmiennej jest różna od określonej warto- ści a0.

a) X ma rozkład normalny o znanej wariancji σ². Statystyka testowa: Tn= √n¯x − a⁰

σ .

Obszar krytyczny: K = (−∞, −t^1−α/2) ∪ (t^1−α/2,+∞).

b) X ma rozkład normalny o nieznanej wariancji σ². Statystyka testowa: Tn= √n¯x − a⁰

s .

Obszar krytyczny: K = (−∞, −zⁿ⁻¹1−α/2) ∪ (z1−α/2ⁿ⁻¹ ,+∞) dla n ¬ 30, K = (−∞, −t^1−α/2) ∪ (t^1−α/2,+∞) dla n > 30.

c) X ma rozkład dowolny, istnieje D²X, n > 30.

Statystyka testowa: Tn= √n¯x − a⁰

σ lub Tn = √n¯x − a⁰

s , lub Tn= √n¯x − a⁰ ˆs . Obszar krytyczny: K = (−∞, −t^1−α/2) ∪ (t^1−α/2,+∞).

W programie PASW Statistics wybieramy: Analiza → Porównywanie średnich → Test t dla jednej próby...

(2)

2. Test dla dwóch średnich i prób niezależnych Hipoteza zerowa: Dwie zmienne mają jednakowe średnie.

Hipoteza alternatywna: Dwie zmienne mają różne średnie.

Wymagania testu:Dla prób mało licznych (tzn. choćby jedna z grup o liczebności nie większej niż 30) konieczne jest sprawdzenie normalności rozkładów.

Statystyka:Dwa różne wzory w zależności od tego, czy wariancje zmiennych są równe, czy różne (to jest sprawdzane testem Levene’a) (patrz A. Malarska str. 139).

W programie PASW Statistics wybieramy: Analiza → Porównywanie średnich → Test t dla prób niezależnych...

3. Test dla dwóch średnich i prób zależnych

Hipoteza zerowa: Dwie zmienne mają jednakowe średnie (inaczej: różnica odpowia- dających sobie wartości zmiennych ma średnią równą 0).

Hipoteza alternatywna: Dwie zmienne mają różne średnie.

Statystyka: (patrz A. Malarska str. 139).

W programie PASW Statistics wybieramy: Analiza → Porównywanie średnich → Test t dla prób zależnych...

4. Test dwumianowy

Hipoteza zerowa: Zmienna ma rozkład dwumianowy z określonym parametrem p0. Hipoteza alternatywna: Zmienna ma rozkład z innym parametrem p0.

Wymagania testu: Zmienna może przyjmować tylko 2 różne wartości.

Statystyka: (patrz A. Malarska str. 139).

W programie PASW Statistics wybieramy: Analiza → Testy nieparametryczne → Dwu- mianowy...

5. Test chi-kwadrat

Założenia testu: Zmienna ma rozkład dyskretny, przyjmuje tylko wartości l1, . . . , lk

z prawdopodobieństwami odpowiednio p⁰₁, . . . , p⁰_k, które nie są znane.

Hipoteza zerowa:Zmienna ma rozkład dyskretny z określonymi prawdopodobieństwa- mi p⁰₁, . . . , p⁰_k.

Hipoteza alternatywna: Zmienna ma rozkład z innymi prawdopodobieństwami niż zadane.

Statystyka testowa: χ² =^P^k_i=1(ni− n⁰i)² n⁰_i . Obszar krytyczny: K = (u^k−1_1−α,+∞).

Uwagi:

• W przypadku zmiennej o rozkładzie z ciągłą dystrybuantą dane grupujemy w k (10k ¬ n) klas. Prawdopodobieństwa teoretyczne wyliczamy z dystrybuanty. Klasy staramy się dobrać tak, aby prawdopodobieństwa znalezienia się w klasie były równe 1/k. Testujemy wówczas hipotezę zerową: Zmienna ma rozkład o podanej dystrybuancie.

(3)

• Jeżeli liczebności teoretyczne dla jakiejś wartości lub w jakiejś klasie są mniejsze od 10, to należy połączyć tę wartość lub klasę z wartością lub klasą sąsiednią i zredukować liczbę stopni swobody.

• Liczbę stopni swobody redukujemy również wówczas, gdy do określenia rozkładu teoretycznego konieczne jest wyznaczenie jakiejś statystyki (np. średniej) z próbki.

W programie PASW Statistics wybieramy: Analiza → Testy nieparametryczne → Chi- kwadrat...

6. Test Kołmogorowa

Hipoteza zerowa: Zmienna ma rozkład o zadanej dystrybuancie F .

Hipoteza alternatywna: Zmienna ma rozkład o innej niż zadana dystrybuancie.

Wymagania testu: Ciągłość dystrybuanty.

a) n ¬ 100

Statystyka testu:Dn= max{Dn⁺, D_n⁻}, gdzie D_n⁺= max1¬i¬n

i

n − F (x⁽ⁱ⁾)

, D_n⁻= max1¬i¬n

F(x(i)) − i − 1 n

.

Obszar krytyczny: (dn(1 − α), 1] (odczytujemy z tablic Kołmogorowa -Smirnowa, jest to taka wartość, dla której P (Dn dⁿ(1 − α)) = α).

b) n > 100.

Statystyka testu:√

nDn = √n max{D⁺n, D_n⁻}, gdzie D_n⁺= max1¬i¬n

i

n − F (x⁽ⁱ⁾)

, D_n⁻= max1¬i¬n

F(x(i)) − i − 1 n

.

Obszar krytyczny:(λ1−α,+∞), gdzie λ^1−α jest kwantylem rzędu 1−α granicznego rozkładu Kołmogorowa.

Uwaga:W przypadku danych zgrupowanych w klasy bierzemy pod uwagę prawy koniec każdej z klas i zamiast podanych statystyk wyznaczamy wartość maksymalną statystyki

|Fⁿ(xi) − F (xⁱ)|, gdzie Fⁿ jest dystrybuantą empiryczną.

W programie PASW Statistics wybieramy: Analiza → Testy nieparametryczne → K-S dla jednej próby... Można testować zgodność z rozkładem normalnym, jednostajnym Poissona i wykładniczym.