na pierścieniu kołowym.

Mieczysław Cichoń

0.1 Uwagi o zagadnieniu Dirichleta na pierścieniu. Rozważmy równanie Laplace’a

∂2u ∂x2 +

∂2u

∂y2 = 0, (x, y) ∈ Ω, (1)

z warunkiem brzegowym Dirichleta na pierścieniu kołowym

u(x, y) = fa(x, y) dla x2 + y2 = a2 (2)

u(x, y) = fb(x, y) dla x2 + y2 = b2. (3) gdzie Ω = n_{(x, y) ∈ R}2 : a2 < x2 + y2 < b2o.

Tak jak w przypadku prostokąta - uwagi przedstawimy dla pierścienia wyznaczonego przez okręgi o środku w (0, 0), w innym przypadku (środek dowolny (x0, y0)) wystarczy dokonać przesunięcia ξ = x − x0 , η = y − y0,

równanie nie ulegnie zmianie i otrzymamy nasz przypadek.

Jak już ustaliliśmy, potrafimy rozwiązywać równanie Laplace’a na pro-stokącie, to też mamy tu do czynienia z przypadkiem obszaru, który można przekształcić przez pewne podstawienie na prostokąt. Rrównanie w nowych zmiennych z pewnością będzie inne niż równanie Laplace’a (ale nadal elip-tyczne). Postać obszaru Ω sugeruje możliwość skorzystania ze współrzędnych biegunowych

x = ρ cos α, y = ρ sin α, a ¬ ρ ¬ b, 0 ¬ α < 2π,

a to oznacza, że równanie uzyskane przy badaniu zagadnienia Dirichleta dla koła nie zmieni się. Zmianie ulegną jedynie warunki brzegowe. Skorzystamy z wcześniejszego wyprowadzenia równania w nowych zmiennych:

∂2v ∂ρ2 + 1 ρ ∂v ∂ρ + 1 ρ2 ∂2v ∂α2 = 0. (4)

Mamy w nowych zmiennych “prostokąt: P = {(ρ, α) : 0 ¬ α < 2π , a ¬

ρ ¬ b}. Warunek (2) przyjmie postać

Mieczysław Cichoń

v(b, α) = gb(α), α ∈ [0, 2π),

gdzie ga(α) = fa(a cos(α), a sin(α)), gb(α) = fb(b cos(α), b sin(α)). Warunki na 2 brzegach prostokąta są dane. Na pozostałych dwóch nadal mamy zagad-nienie okresowe: funkcje są 2π-okresowe ze względu na α, to mamy dodatkowo

v(ρ, 0) = v(ρ, 2π).

Zestaw warunków brzegowych do równania (4) na brzegu prostokąta bę-dzie postaci

ρ = a ⇒ v(a, α) = ga(α) , ρ = b ⇒ v(b, α) = gb(α)

α = 0, α = 2π ⇒ v(ρ, 0) = v(ρ, 2π). (5)

Szukamy rozwiązania o zmiennych rozdzielonych - ale to już wiemy jak...

v(ρ, α) = φ(ρ) · ψ(α)...

...

Zauważmy, ze możemypróbowaćrozwiązywać taką metodą zagadnienie na obszarach, które można transformować na prostokąt w nowych zmiennych, ale pamiętajmy o 2 trudnościach do rozstrzygania w każdym przypadku: rów-nanie w nowych zmiennych musi pozwalać na rozdzielanie zmiennych oraz warunki brzegowe (również w nowych zmiennych) muszą pozwolić na roz-wiązanie zagadnienia własnego - ale to jednak metoda do przemyślenia w pewnych zagadnieniach.