De levertijd in machinefabrieken: Een oriënterend onderzoek

De levertijd in machinefabrieken

BIBLIOTHEEK TU Delft P 1295 1302

DE LEVERTIJD

IN MACHINEFABRIEKEN

EEN ORIËNTEREND ONDERZOEK

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAP-PEN AAN DE TECHNISCHE HOGESCHOOL TE DELFT, OP GEZAG VAN DE RECTOR MAG-NIFICUS IR. H. J. DE WIJS, HOOGLERAAR IN DE AFDELING DER MIJNBOUWKUNDE, VOOR EEN COMMISSIE VAN DE SENAAT TE VERDEDIGEN OP WOENSDAG 2 J U N I 1965

DES NAMIDDAGS TE 4 UUR DOOR

WILLEM BAKKER

werktuigkundig ingenieur geboren te Haren (Gr.)

/^^<r

/3o

n U I T G E V E R I J W A L T M A N - D E L F T

DIT PROEFSCHRIFT IS GOEDGEKEURD DOOR DE PROMOTOR PROF. IR. R. V.AN HASSELT

Aan de nagedachtenis van mijn broer Aan Annie, Hillian en Bouwien

De basis voor deze dissertatie werd gelegd tijdens een verblijf van een j a a r op het Operations Research Center van het Massachusetts Institute of Technology. Dit verblijf werd mede mogelijk ge-maakt door een door de Nederlandse Organisatie voor Zuiver-Wetenschappe-lijk Onderzoek verleende „Nato Science Fellowship".

De simulaties werden verricht op de T R 4 rekenmachine van de Wiskundige Dienst van de Technische Hogeschool te Delft.

I N H O U D

HOOFDSTUK 1 I n l e i d i n g

1.1 Produktieplanning 9 1.2 Het n u t van een goede produktieplanning 10

1.3 Detailplanning en werkuitgifte in machinefabrieken 10

1.4 A a n p a k van het probleem 12 HOOFDSTUK 2 W a c h t p r o b l e m e n bij enkelvoudige en bij parallelle loketten

2.1 Inleiding 15 2.2 Overgangswaarschijnlijkheden en overgangsintensiteiten 15

2.3 Aankomst- en bedieningsduurverdelingen 17 2.4 W a c h t p r o b l e m e n met bediening der klanten in volgorde van aankomst 21

2.4.1 Beknopt historisch overzicht 21 2.4.2 Een voorbeeld van het oplossen van wachtproblemen 21

2.4.3 Samenvatting van enkele belangrijke resultaten 24 2.4.4 Invloed van een aantal systeemgrootheden, zoals bezettingsgraad

en a a n t a l parallelle loketten 28 2.5 Volgorde- en voorrangregels 33

2.5.1 Inleiding 33 2.5.2 Het volgördeprobleem 34

2.5.3 H e t volgordeprobleem met voorkennis van de toekomst . . . . 39

2.5.4 Voorrangsregels 41 2.5.5 Samenvatting 48 HOOFDSTUK 3 W a c h t p r o b l e m e n bij loketten in serie

3.1 Inleiding 50 3.2 Een systeem met constante bewerkingstijd 51

3.3 Systemen met Erlang-verdeelde bewerkingstijden 53 3.4 Een systeem met ongelijke overgangswaarschijnlijkheden 56 HOOFDSTUK 4 Volgorde- en voorrangsregels bij netwerken van wachtrijen

4.1 Inleiding 59 4.2 M e t h o d e n van onderzoek 60

4.3 Bereikte resultaten met volgorde- en voorrangsregels 62

4.3.1 Volgorderegels 62 4.3.2 Voorrangsregels 64 4.4 Welke voorrangsregels zijn veelbelovend? 72

4.4.1 Bespreking van een a a n t a l resultaten 72 4.4.2 De invloed van de bezettingsgraad 77

4.5 Levertijdregels 78 4.5.1 Inleiding 78 4.5.2 Verschillende soorten levertijdregels 79

HOOFDSTUK 5 O p z c t van het uitgevoerde onderzoek

5.1 Inleiding 84 5.2 H e t gebruikte model 84

5.3 De beoordeling van de werking van het systeem 87

5.4 H e t p r o g r a m m a van de simulatie 89

5.4.1 Inleiding 89 5.4.2 H e t genereren van de gegevens van een order 89

5.4.3 H e t opbergen van de gegevens van een order 92

5.4.4 D e opbouw van het p r o g r a m m a 93 5.4.5 H e t registreren van d e werking van het systeem 94

5.4.6 De bezettingsgraad 95 HOOFDSTUK 6 Resultaten van het onderzoek

6.1 Hypothesen 96 6.2 Enkele resultaten voor ,,zuivere" machinefabrieken als uitgangspunt . 97

6.3 De invloed van de levertijdregel bij negatief exponentieel verdeelde

bewerkingstijden 99 6.3.1 Inleiding 99 6.3.2 Bediening in volgorde van aankomst 100

6.3.3 Bediening in volgorde van toenemende bewerkingstijd 102 6.3.4 Bediening in volgorde van gewenste leverdatum 102 6.3.5 Bediening in volgorde van de verwachte beschikbare vrije tijd

per bewerking 102 6.3.6 Vergelijking van de resultaten van verschillende voorrangsregels

en verschillende levertijdregels 103 6.4 D e invloed van de voorrangsregel en de levertijdregel bij 3-Erlang

ver-deelde bewerkingstijden 105 6.4.1 D e invloed van de kleinere spreiding van de bewerkingstijd. . . 1 0 5

6.4.2 De invloed van de levertijdregel 106 6.4.3 Vergelijking van de resultaten van verschillende voorrangsregels

en levertijdregels 107 6.5 Overschrijding van de levertijd van de te laat geleverde orders . . . . 1 0 7

6.6 Enkele resultaten bij lijnproduktie 108

6.6.1 Inleiding 108 6.6.2 De invloed van de voorrangsregel en de levertijdregel 109

6.7 De invloed van asymmetrie in het model en de invloed van het gebruikte

orderpakket 110 6.8 Enkele variaties op het bewerken in volgorde van toenemende

be-werkingstijd 112 6.9 Conclusie 114 S u m m a r y 117 Samenvatting 119 Bijlagen 121 L i t e r a t u u r 167

HOOFDSTUK 1

I N L E I D I N G

1.1 P r o d u k t i e p l a n n i n g

Ten einde tot een doelmatige produktie te komen is het noodzakelijk niet alles aan het toeval over te laten, maar de produktie te ordenen. Hiertoe is het nodig plannen te maken betreffende uit te voeren bewerkingen en hun volgorde (bewerkingsplan), machines en/of mensen, die met de produktie belast zullen worden, enz.

Men maakt vaak een onderscheid tussen de planning in engere zin (uitslui-tend omvat(uitslui-tende het vooruitzien, dus de tijdbepaling) en de planning in ruimere zin (zie V A N DER T O R N [108], p. 6). Deze planning in ruimere zin omvat dan tevens het vaststellen van de bewerkingsvolgorde, de werkuitgifte (werkverdeling) en de voortgangscontrole. Ook D E BEER [8] kent aan het woord ,,planning" een ruimere betekenis toe, want in de produktieplanning neemt hij bijvoorbeeld ook het maken van instructiekaarten en gereedschaps-lijsten op.

Het nadeel van deze indeling is, dat de planning in engere zin een aantal direct met de tijd verband houdende elementen niet bevat, zoals bijvoorbeeld de werkuitgifte, terwijl de planning in ruimere zin elementen bevat die als zo-danig niets met het in de tijd vastleggen van de produktie te maken hebben, bijvoorbeeld het vaststellen van de bewerkingsvolgorde.

Vele plannen, die gemaakt worden om de produktie geordend en doelmatig te doen verlopen (zoals het bepalen van de bewerkingsvolgorde en de te ge-bruiken gereedschappen) kunnen samengevat worden onder het begrip: produktievoorbereiding. Het woord planning blijft dan gereserveerd voor het opmaken van plannen in de tijd. Deze planning bestaat uit vier fasen:

a. Lange termijnplanning. Het opstellen van een programma ter verwezen-lijking van het gekozen bedrijfsbeleid, mede aan de hand van systematische kwantitatieve analyses over de toekomst der onderneming (SCHAAFSMA [98]). In deze fase wordt o.a. de voor de toekomst benodigde produktiecapaciteit bepaald en vastgelegd.

b. Capaciteitsplanning. Het inpassen van de voor de verschillende orders be-nodigde bewerkingstijden in de beschikbare produktiecapaciteit, zonder dat de detailtoewijzing der orders in rekening wordt gebracht. In deze fase wordt tevens de leverdatum vastgesteld.

c. Delailplannins. Het aan de hand van de opgegeven leverdatum bepalen op welke tijdstippen aan de verschillende bewerkingen van de orders moet worden begonnen.

d. Werkuitgifte. Een gereed gekomen man of machine van werk voorzien, waarbij gekozen moet worden uit de wachtende orders.

De fasen b, c en d kunnen samengevat worden onder: produktieplanning. Ten slotte dient nog vermeld te worden dat er voor alle fasen een terug-koppeling plaats vindt via de voortgangscontrole.

1.2 Het nut v a n een goede p r o d u k t i e p l a n n i n g

Bij het opstellen van het lange termijnplan wordt o.a. bepaald hoeveel citeit nodig is om de verwachte orders te kunnen fabriceren. Zodra deze capa-citeit (machines, apparaten, mensen) aanwezig is, moet getracht worden deze capaciteit optimaal te bezetten. Door met behulp van de produktieplanning vooruit te zien, kunnen tijdig maatregelen getroffen worden (bijvoorbeeld het uitbesteden van werk of het aantrekken van extra werk) om deze optimale bezetting zo goed mogelijk te benaderen.

Zouden we te veel aan het toeval overlaten, dan is de kans groot dat aan een deel van de orders te vroeg wordt begonnen en aan een ander deel te laat. De te vroeg gestarte orders zullen dan ofte vroeg gereed zijn, wat als de klant op te vroege levering geen prijs stelt, resulteert in te grote voorraden gereed pro-dukt, óf tijdens de produktie vertraagd worden, wat resulteert in te veel onder-handen werk. De orders die te laat gestart zijn, lopen het risico pas na de af-gesproken leverdatum gereed te komen, zodat óf de klant ontevreden wordt, óf met behulp van maatregelen die extra geld kosten (bijvoorbeeld overwerk) getracht moet worden de levering toch nog op tijd te doen plaatsvinden. Door het hanteren van een goede produktieplanning moet enerzijds getracht worden de levertijd zo goed mogelijk aan te houden, terwijl er anderzijds naar ge-streefd moet worden de hoeveelheid onderhanden werk klein te houden. Het gevolg van een lange doorlooptijd van een order (de tijd die verloopt tussen het starten en gereedkomen van een order) is niet alleen dat de rente-, ruimte-en risicokostruimte-en hoog zullruimte-en zijn, maar ook dat de kans van het,,vergetruimte-en" van orders groter wordt, zodat deze orders vervolgens tegen extra kosten als spoed-^ [ order behandeld zullen moeten worden. Een lange doorlooptijd heeft tevens

'I een nadelige invloed op de stabiliteit van het produktieproces (BAKKER [6]).

1.3 D e t a i l p l a n n i n g e n werkuitgifte i n m a c h i n e f a b r i e k e n

namelijk de legkaartplanning en de doorstroomplanning. Bij een legkaart-j l a n n i n g worden de bewerkingen van een order tot in detail achter elkaar ge-pland in volgorde van het bewerkingsplan. Gelijktijdig ontstaat dan een be-zettingsplan (capaciteitsplan), dat wellicht openingen vertoont, maar door de opvolgende orders zo goed mogelijk wordt bezet. De taak van de werkuitgifte zou nu slechts zijn op het in het detailplan aangegeven moment de orders aan de verschillende mensen of machines te doen toekomen. Het zou op deze manier mogelijk zijn exact te voorspellen hoe (in de tijd gerekend) de order door het bedrijf zal stromen, ware het niet dat optredende storingen (zie voor een syste-matische opsomming van mogelijke storingen DAUBERT [23]) steeds weer een aanpassing van de detailplanning noodzakelijk zal maken.

Onder een machinefabriek zal worden verstaan een fabriek waarin zeer vele onderdelen met zeer verschillende bewerkingsplannen gefabriceerd moeten worden, waarbij het aantal regelmatig terugkerende orders (orders die gelijk zijn aan reeds eerder uitgevoerde orders) zo klein is, dat het niet mogelijk is een belangrijk deel van de produktiecapaciteit volgens een vast patroon met deze orders te bezetten (zie ook M A G E E [62], p. 198). Daar bij een machine-fabriek, zoals hier gedefinieerd, aan iedere individuele order slechts een be-perkte aandacht kan worden besteed, zullen er ten gevolge van wijzigingen in bijvoorbeeld de werkmethoden en de gebruikte gereedschappen en ten gevolge van prestatieverschillen tussen de werknemers bij deze niet aan een vast tempo gebonden werkzaamheden, veelvuldig afwijkingen tussen de werkelijke be-werkingstijd en de voorgecalculeerde tijd voorkomen. Deze afwijkingen zullen in vele gevallen aanpassing van het detailplan noodzakelijk maken.

De gemiddelde bewerkingstijd per bewerking van de orders in machine-fabrieken blijkt in vele gevallen klein te zijn (3 a 9 uur, zie hiervoor hoofdstuk 5.4.2). Dit betekent dat per man of machine 1 a 3 orders per dag uitgegeven worden. Zouden deze orders in detail gepland zijn volgens een legkaart-planning, dan zou bij een machinefabriek van enige omvang (bijvoorbeeld meer dan 100 direct produktieven) het aantal noodzakelijke aanpassingen ten gevolge van storingen, ten gevolge van wijzigingen in de gevraagde levertijd en ten gevolge van verschillen tussen werkelijke bewerkingstijd en voorgecalcu-leerde tijd zo groot zijn dat men aan de hoofdtaak, namelijk het efficiënt plannen van nieuw ontvangen orders, nauwelijks aandacht kan besteden of, daar men weet dat toch vele orders later weer overgepland moeten worden, nauwelijks aandacht wil besteden.

De doorstroomplanning berust op de overweging dat onder normaal heer-sende omstandigheden de wachttijd per bewerking een bepaalde gemiddelde waarde heeft. Door optelling van de bewerkings- en de wachttijden vindt men dan, uitgaande van een zekere levertijd, eventueel na toevoeging van een zekere veiligheidstoeslag, een bepaald gewenst starttijdstip van de order. Aangezien de

hoeveelheid onderhanden werk in sterke mate de gemiddelde wachttijd be-ïnvloedt, moet er dan streng de hand aan worden gehouden dat deze hoeveel-heid per bewerkingsgroep niet te veel verandert.

Het op het juiste moment starten van orders is echter nog niet voldoende. Zijn de orders eenmaal gestart, dan loopt men het gevaar dat, wanneer men aan deze orders verder geen aandacht besteedt, ,,minder aantrekkelijke" orders minder snel in bewerking genomen worden dan andere orders (minder aan-trekkelijke orders kunnen, afhankelijk van de situatie, bijvoorbeeld zijn: orders met zware onderdelen, met korte cyclustijd of met als lastig bekend staand materiaal). Het is dus nodig in het systeem een voorziening in te bouwen, waardoor het (al of niet opzettelijk) ,,vergeten" van orders wordt voorkomen. Dit zou opgevangen kunnen worden door aan de produktieafdelingen week-programma's te verstrekken, waarin wordt aangegeven welke orders die week beslist in bewerking genomen of klaargemaakt moeten worden. Het nadeel van deze weekprogramma's is dat bij het samenstellen er van nog niet precies bekend is of de orders, waaraan men wil laten beginnen, inderdaad wel aan-wezig zullen zijn. Verder kunnen spoedorders, waarvoor meestal op kortere ter-mijn dan één week maatregelen getroffen moeten worden, meestal niet in de weekprogramma's opgenomen worden, zodat voor de spoedorders een aparte regeling moet worden ontworpen.

Maar waarom zou men, terwijl de startdata van orders bepaald zijn door het in rekening brengen van de gemiddelde wachttijd per bewerking, nu week-programma's moeten geven? Het lijkt aantrekkelijk de beslissing over de wen-selijkheid van het in bewerking nemen van een order bij een volgende machine uit te stellen tot het moment, waarop de meest recente informatie over de stand van zaken bekend is. Dat tijdstip is aangebroken wanneer een m a n of machine vrijkomt of zeer binnenkort zal vrijkomen.

Bovenstaande overwegingen doen verwachten dat het voor een machine-fabriek aantrekkelijk zou kunnen zijn gebruik te maken van een doorstroom-planning. Hierbij zou eerst met behulp van de capaciteitsplanning de be-zettingsgraad moeten worden vastgelegd, waarmede tevens de leverdata wor-den bepaald. De afdeling detailplanning zal, uitgaande van deze leverdata, het gewenste tijdstip van het starten (ter beschikking van de fabricage stellen) van een order moeten bepalen, terwijl de afdeling werkuitgifte met behulp van zekere voorrangs- of prioriteitsregels vaststelt van welke der wachtende orders de volgende bewerking uitgegeven moet worden.

1.4 Aanpak v a n het p r o b l e e m

In het voorgaande werd aangegeven dat men voor het gebruiken van een doorstroomplanning zal moeten kunnen beschikken over regels voor het

be-palen van de gewenste startdata van de orders en over voorrangsregels om te kunnen kiezen uit de wachtende orders.

Een ,,produktiecentrum" (één of meer gelijksoortige mensen en/of machines, die zich onderscheiden van in de andere produktiecentra aanwezige mensen en/of machines) kan opgevat worden als een loket (of een aantal parallelle loketten), waarbij orders arriveren en, na te zijn behandeld, worden door-gestuurd.

Over wachtproblemen bij loketten is een uitgebreide literatuur beschikbaar (zie bijvoorbeeld SAATY [95]), waarbij, uitgaande van eenvoudige modellen, allerlei complicaties ingevoerd worden, zoals een aantal loketten met speciale bediening, meerdere bronnen van klanten, voorrangsregels, enz. O p die mo-dellen, die van belang zijn voor de behandeling van de doorstroomplanning in machinefabrieken, zal in hoofdstuk 2 worden ingegaan.

Bij een machinefabriek hebben we te maken met een meer ingewikkeld probleem. De in de werkplaats arriverende orders hebben een bepaalde be-werkingsvolgorde. We zouden dit ook als volgt kunnen omschrijven: ,,De in de werkplaats arriverende orders worden met een zekere kans toegewezen aan één der produktiecentra, waar ze in de eventueel aanwezige wachtrij op hun beurt moeten wachten. Na bewerkt te zijn gaan deze orders met een zekere overgangswaarschijnlijkheid naar één der andere produktiecentra of naar het eindmagazijn". Deze overgangswaarschijnlijkheden kunnen vastgelegd worden in een matrix. Deze overgangsmatrix zal van bedrijf tot bedrijf verschillend zijn, maar kan bij machinefabrieken binnen het bedrijf onder normale om-standigheden als constant worden beschouwd. Een werkplaats, waarbij de gang van de orders langs de verschillende produktiecentra weergegeven wordt met behulp van een matrix van overgangswaarschijnlijkheden, zullen we een netwerk van stromende orders of een netwerk van wachtrijen noemen. In hoofdstuk 3 zullen enkele eenvoudige netwerken worden onderzocht.

Daar bij het analyseren van deze netwerken gebruik gemaakt zal worden van matrices van overgangswaarschijnlijkheden of van overgangsintensiteiten, zal bij de behandeling van de modellen in hoofdstuk 2, hoewel ook een andere behandeling mogelijk zou zijn, reeds veelvuldig gebruik worden gemaakt van overgangswaarschijnlijkheden en -intensiteiten.

Zijn aan het begin van een zekere periode alle orders aanwezig en worden alleen deze orders in de beschouwing betrokken, dan zullen we spreken over volgorderegels. Arriveren er tijdens de beschouwde periode steeds nieuwe orders en worden ook deze orders in de beschouwing betrokken, dan zullen we spreken over voorrangsregels. In hoofdstuk 4 zal worden aangegeven welk onderzoek, dat van belang is voor de doorstroomplanning, er tot nu toe ver-richt is op het gebied van volgorde-, voorrangs- en startregels bij netwerken van wachtrijen.

In hoofdstuk 5 zal een vereenvoudigd model van een machinefabriek worden samengesteld en voor simulatie op een digitale computer worden geprogram-meerd, waarbij tevens enkele in de praktijk gevonden situaties (b.v. bewer-kingstijdverdelingen) zullen worden vermeld. In het volgende hoofdstuk worden met behulp van dit model, uitgaande van de in hoofdstuk 2 en 4 ver-melde voorrangsregels en de in hoofdstuk 3 verworven kennis van eenvoudige netwerken, start- en voorrangsregels ontwikkeld. Tenslotte wordt in hoofd-stuk 6.9 een samenvatting gegeven, aangevuld met enkele beschouwingen over verder onderzoek.

HOOFDSTUK 2

W A C H T P R O B L E M E N B I J E N K E L V O U D I G E E N B I J P A R A L L E L L E L O K E T T E N

2.1 Inleiding

In hoofdstuk 1.3 werd vermeld dat de doorstroomplanning berust op de over-weging dat onder normaal heersende omstandigheden de wachttijd per be-werking een bepaalde gemiddelde waarde heeft. Bij het analyseren van deze planning voor netwerken van wachtrijen kan met vrucht voortgebouwd wor-den op de resultaten van wachtproblemen bij enkelvoudige en bij parallelle loketten.

In de te beschouwen wachtproblemen is steeds sprake van eenheden, die arriveren bij een bedieningsorgaan, voor het bedieningsorgaan eventueel op hun beurt wachten, in bediening worden genomen en nadat de bediening is voltooid en eventueel een volgende vrije plaats beschikbaar is, het bedienings-orgaan verlaten. In dit hoofdstuk zal steeds worden gesproken van klanten die bij een loket arriveren en daar in bediening worden genomen, terwijl in de volgende hoofdstukken bij de behandeling van netwerken gesproken zal wor-den over orders, die in bewerking worwor-den genomen bij een produktiecentrum. Het geheel van wachtende klanten (orders), klanten in bediening (orders in bewerking) bij een loket (produktiecentrum) zal het systeem genoemd worden.

2.2 O v e r g a n g s w a a r s c h i j n l i j k h e d e n e n o v e r g a n g s i n t e n s i t e i t e n Voor het bestuderen van wachtproblemen kan met vrucht gebruik worden ge-maakt van de theorie der Markov-ketens en -processen, zie b.v. H O W A R D [44] en MORSE [76]. De grondbegrippen hierbij zijn de ,,toestand" waarin een systeem verkeert en de ,,overgang" van de ene toestand naar een andere toestand. Wanneer een overgang alleen op discrete tijdstippen kan plaats-vinden spreken wij van een Markov-keten, anders van een Markov-proces. Bij een Markov-keten (-proces) is de kans dat een systeem, dat zich in toestand i bevindt, op het eerstvolgende tijdstip (in het eerstvolgende tijdsinterval) van toestand i naar toestand j zal gaan, alleen een functie van i en j en niet van de geschiedenis van het systeem voordat de toestand i werd bereikt. Deze kans wordt de overgangswaarschijnlijkheid pfj genoemd. De overgangswaarschijn-lijkheden pij kunnen vastgelegd worden in de overgangsmatrix P = \pij\. Daar in deze matrix alle mogelijke overgangen weergegeven zijn volgt dat de

som van ieder der rijen van de overgangsmatrix één is (^pa == 1). Een matrix

y

met niet-negatieve elementen, waarvan de som van ieder der rijen één is, wordt een stochastische matrix genoemd.

De kans dat het systeem op het tijdstip / in toestand i verkeert, wordt weer-gegeven door Pi{t). We zien nu eenvoudig in dat geldt (vergelijking van CHAPMAN-KOLMOGOROV)

Pj[t+\) =i:p,{t)p,j (2.1)

i

Definiëren we een rijvector P[t) van de waarschijnlijkheden dat het systeem op het tijdstip t in een zekere toestand verkeert, dan kunnen we (2.1) ook schrijven als

P{t+\) = P{t)-P (2.2)

Door een limietovergang is het mogelijk om de vergelijkingen voor het continue geval uit het discrete af te leiden. In dit geval kan niet meer worden gesproken van overgangswaarschijnlijkheden, maar moet gerekend worden met over-gangsintensiteiten. Stel dat in het discrete geval de tijdseenheid h bedraagt en de kans op een overgang van i naar j gegeven wordt door pij. Het verband tussen overgangswaarschijnlijkheid en -intensiteit kan nu als volgt gelegd worden (zie ook REINITZ [87]):

Pj{t+h) =^Pi{l)Pij (waarbijE/^y = 1) (2.1) ' j P-j{t+li)^Pj{t) - S A ( 0 / ' y - ^ : / W i Pj{t+h)-Pj{t) = i:Pt{t){pu-óij} waarin lim A-»0 (^ij de Kronecker Pj{t+k)^Pj{t) h

Definieer ry zodanig dat y pij Tij = h m — A^O -delta = 2 P , i -óij h is,

(0

d.w.z. lim / i ^ O

hl

=

{

Pij — ^ij h 1 als 0 als (2.3) waarbij verondersteld wordt dat r,; bestaat. Voor i ^j wordt rtj de overgangs-intensiteit van i naar j genoemd. Gebruik makend van (2.3) wordt verkregen

1^ Pj{t) = S P,(On, (2.4)

O m d a t

Sr,; = o of Srj-j = 11rij-\-ru = O en dus J j j -/ !

m = -^rij (2.5)

Van de overgangsintensiteitsmatrix R — \ri,]\ is dus de som van ieder der rijen nul.

2.3 A a n k o m s t - en b e d i e n i n g s d u u r v e r d e l i n g e n

Veronderstel dat het arriveren van een klant bij een loket slechts op discrete tijdstippen kan plaatsvinden. Stel dat de kans dat een nieuwe klant arriveert aan het einde van een tijdseenheid / bedraagt, onafhankelijk van wat er aan het einde van de vorige tijdseenheid gebeurd is, terwijl de kans op twee of meer arriverende klanten nul is. De overgangswaarschijnlijkheid pi,i+i be-draagt dan /, pa = \—l, terwijl alle andere overgangswaarschijnlijkheden nul zijn. De kans dat m klanten gearriveerd zijn wordt voorgesteld door

Pm-De kans dat er na n tijdseenheden m klanten gearriveerd zijn, is

O

_iyn-mim (binominale verdeling) (2.6)

Het gemiddelde aantal in n tijdseenheden arriverende klanten bedraagt:

[l—l)«-™l™ =

Z-O"

z

n\ (OT—1)! in — m) m = l ^ ' ^ ' ^1—Z)»-'"/"» = V^ {n-\)\ nl > VvTT^ ^ (l_/)»-™/m-l = „ / [ ( ! _ / ) + / ] « - ! = nl / - j (m—1)! (« —m)! VI = 1

wat ook wel direct aan te voelen was, gezien de kans / op het arriveren van een klant.

In analogie met hoofdstuk 2.2 kan het continue uit het discrete geval worden afgeleid. We benaderen het continue proces door een discreet proces met kleine tijdstap A; en stellen dat de kans op het arriveren van een klant in zo'n tijds-interval A< gegeven wordt door A A^, onafhankelijk van wat er in het vorige tijdsinterval is geschied. De kans op het arriveren van 2 of meer klanten in dit interval is van de orde (A/)2 of hoger en blijkt verwaarloosd te kunnen worden. Nu volgt:

,. pi,i+l — èi.i+l ,. Pi.i+l ,. A Ai »'i,i+i = hm = hm — — = hm —— = A

pii — ^li ,. 1—/'i.i+1 —1 ,. pi i+1 X At

ra = h m — = h m = — h m = — h m = —A Al—o Ai Al—o Ai Al—o Ai AI—o Ai

Het aantal arriverende klanten in een periode van lengte io kan nu als volgt bepaald worden (zie Cox and SMITH [22], p. 7): verdeel de periode io in n inter-vallen van gelijke lengte. Ai, zodat n At = to. De kans op het arriveren van m klanten in deze periode is (zie 2.6):

lim h (A Ai)^(l-A A i ) " - ^ lim ^ i ^ A™ (^»)'" (l - ^ T ^ ™ =

Al—o V " / „--cc m!(K — m ) ! \n/ \ nl (Aio)™ ,. n\ I Aio\»-» (Aio)™ _,,

= ^—— hm — h m 1 = ' — ~ e ^'" 2.7 m\ „ .co «"*(« — m ) ! „ .oo V n 1 m\

Wanneer het aantal arriverende klanten in een tijd i gesteld wordt op m geldt dus de relatie

Pm-^e-"^^- (2.7a) m\

Deze verdeling wordt de Poisson-distributie genoemd.

O p deze plaats wordt er nog even de aandacht op gevestigd dat het discrete geval met een kans l op het arriveren van één klant aan het eind van het tijds-interval en een kans (1—/) op het niet-arriveren van een klant onafhankelijk van wat er aan het einde van het voorgaande interval geschied is, door het beschouwde tijdsinterval steeds kleiner te nemen en dus naar nul te laten naderen, overgaat in het continue geval met een Poisson-aankomstverdeling. V a n dit resultaat zal in hoofdstuk 3 veelvuldig gebruik worden gemaakt.

Een nadere beschouwing van de Poisson-distributie leert dat het gemiddelde aantal arriverende klanten in een tijd i

[Xt)^

E[A) = ^mPm = ^ kt,

( m - 1 ) ! bedraagt, terwijl de variantie hiervan is

v a r ( J ) = E{A-^)-{E{A)}2 = V m2P„,-A2i2

co

z

_{e-" - ^ - ^ {lm~\)+\}-m^ = A2i2 + Ai-A2i2 = kt,} ,-. (^0' ( m - 1 ) !

zodat gemiddelde en variantie beide Xt bedragen.

Soms is het zinvol de verdeling te beschouwen van de tijdsperioden tussen het arriveren van twee opeenvolgende klanten. Deze verdeling kan afgeleid worden uit (2.7) door m = O te stellen, waarna verkregen wordt:

F[x) = prob (er arriveren geen klanten in het tijdsinterval

De waarschijnlijkheidsdichtheidverdeling van het interval tussen een wille-keurige aankomst en de eerstvolgende aankomst is d a n :

, _ ^ f W - i ^ ( . + A . ) ^ - d F W ^ , . .

Ax->o Ax dx

Dit wordt de exponentiële verdeling genoemd. Enige nadere gegevens van deze verdeling zijn:

a. Gemiddelde interval tussen 2 aankomsten is

fxf{x)dx = \ (2.10)

ó '^

h. De standaarddeviatie van het interval is

) / / V w d x - l = A (2.11)

c. Daar de kans op het arriveren van een nieuwe klant onafhankelijk is van de

gebeurtenissen in het verleden (men zegt wel eens: het Poisson-proces heeft geen geheugen) geldt de exponentiële verdeling zowel voor het interval tussen twee aankomsten als voor het interval tussen een willekeurig gekozen moment en de eerstvolgende aankomst.

Een grootheid die ook van belang kan zijn, is het interval tussen een aankomst en de l'^''- volgende aankomst. De verdelingsfunctie hiervan is de som van / on-afhankelijke stochastische variabelen die ieder de verdeling (2.9) bezitten. De Laplace-transformatie van (2.9) is:

A^-^d^ = - — (2.12) ö ^+^

zodat de Laplace-transformatie van de gezochte verdeling A'

bedraagt (zie FELLER [25]). ./

(^4

Terugtransformeren levert de waarschijnlijkheidsdichtheidverdeling

xixxy-'e-'"

(l-l)l (2.13)

We kunnen deze verdeling ook van een geheel andere kant beschouwen, name-lijk als zijnde de verdeling van de intervallen tussen twee opeenvolgende aan-komsten, als de klanten volledig willekeurig arriveren met intensiteit A en enkel iedere l^*' klant tot het systeem toegelaten wordt.

Een andere methode om een soortgelijke verdeling als (2.13) te verkrijgen is om uit te gaan van het volgende systeem (zie MORSE [75]. Een arriverende

klant moet een kanaal met / fasen doorlopen. Pas als alle / fasen doorlopen zijn wordt een nieuwe klant tot het kanaal toegelaten. De overgangsintensiteit van ieder van deze fasen naar de volgende fase is /A, dus de verdelingsfunctie van het interval tussen twee overgangen (of wel de verdelingsfunctie van het ver-blijf in een zekere fase) is, in analogie met (2.9): IXe "''. De Laplace-transfor-matie hiervan is IXj^lX+s) en de Laplace-transforLaplace-transfor-matie van de verdeling van de tijd, nodig om alle / fasen te doorlopen, wat dus tevens de verdeling is voor het tijdsinterval tussen twee opeenvolgende aankomsten, bedraagt [lXYI[lX-\-s)K

Terugtransformeren levert de verdeling

max)'

'/-"'

^ — ~ 2 . 4 )

Dit wordt de Erlang-verdeling genoemd. Het gemiddelde van deze verdeling blijkt l/A te zijn, terwijl de standaarddeviatie \l[l^/ï) bedraagt. Het is dus nu mogelijk met behulp van de Erlang-verdeling aankomstverdelingen weer te geven met een variatiecoëfficiënt (standaarddeviatie gedeeld door gemiddelde) variërend van 100% (/ = 1, het Poisson-proces) tot 0"„ (/ = co, volledig regel-matige aankomsten).

Na de voorgaande bespreking van de verdelingen van het tijdsinterval tussen het arriveren van twee opeenvolgende klanten kunnen we over bedieningsduur-verdelingen kort zijn. Stellen we voor het continue geval de kans dat de be-diening in het eerstvolgende tijdsinterval Ai beëindigd wordt, op /(Ai, dan geldt in analogie met (2.8) t/m (2.11):

G[x) = prob (de bediening komt niet gereed in het

tijds-interval tussen een willekeurig tijdstip io en io+A:) =e''" (2.15)

-dGix)

g{x) =—-^=i,e-'- (2.16)

dx

Gemiddelde bedieningsduur tb = l/fi (2-17) Standaarddeviatie van dit gemiddelde = 1/// (2-18)

Zou de klant in k fasen bediend worden en zou de overgangsintensiteit van ieder der fasen kfi bedragen, dan verkrijgen we een A:-Erlang verdeelde be-dieningsduur, waarvoor geldt

kiLi{k/Lix)''-'^

g{.^)-vr^^-"" (2-19)

Daar het waarschijnlijk is dat aankomst- en bedieningsduurverdelingen met een variatiecoëfficiënt groter dan 100% niet voorkomen (zie hoofdstuk 5.4.2) zal hier verder niet ingegaan worden op hyper-exponentiële verdelingen.

2.4 W a c h t p r o b l e m e n m e t bediening der k l a n t e n i n v o l g o r d e v a n a a n k o m s t

2.4.1 Beknopt historisch overzicht

De eerste systematische aanpak van wachtproblemen was die van A. K. E R -LANG, die van 1908 tot 1929 bij de Kopenhaagse Telefoonmaatschappij zijn theorieën ontwikkelde. Hij ging uit van een oneindig grote populatie, Poisson-aankomsten en exponentiële of constante bedieningsduur [10]. In zijn be-schouwingen betrok hij reeds exponentiële verdelingen van het type dat ont-staat wanneer een bediening in fasen plaatsvindt (zie hoofdstuk 2.3), vandaar dat deze verdelingen momenteel algemeen ,,Erlangverdelingen" genoemd worden.

O p het werk van ERLANG werd o.a. voortgebouwd door F R Y [29], MOLINA [72, 73] en O ' D E L L [83]. Recentere ontwikkelingen zijn o.a. te danken aan FELLER [25], KENDALL [57, 58] en LINDLEY [59], waarbij voor een overzicht van de door KENDALL ontworpen klassificatie verwezen kan worden naar bijlage 2.1. Daarnaast werden door diverse auteurs speciale modellen bestu-deerd (bediening in groepen, ongeduldige klanten, voorrangsregels) of aan-vullende formules afgeleid voor reeds bekende modellen.

Een uitstekend overzicht wordt gegeven in een artikel van R. R. P. JACKSON en ADELSON [55] waarin duidelijk is aangegeven op welke principieel ver-schillende manieren (respectievelijk ontwikkeld door ERLANG, KENDALL, LINDLEY en KEILSON) wachtproblemen aangepakt kunnen worden. Deze beide schrijvers zijn van mening dat de methode van ERLANG het meest belovend is. Daar deze methode tevens een goede grondslag geeft voor het probleem van loketten in serie (zie hoofdstuk 3) zal hieronder in 2.4.2 een bepaald model met behulp van deze methode opgelost worden, waarna in 2.4.3 een samen-vatting van de voor deze dissertatie van belang zijnde resultaten en in 2.4.4 een interpretatie van deze resultaten zal worden gegeven.

2.4.2 Een voorbeeld van het oplossen van vuachtproblemen

Bij een loket arriveren klanten volgens een Poisson-proces. Er is een onbeperkte wachtrij mogelijk en de verdeling van de bedieningsduur is overeenkomstig een /:-Erlang verdeling. De aankomstintensiteit is A, de bedieningsintensiteit is //. Zeggen wij dat de bediening in k fasen plaats vindt, dan is de bedienings-intensiteit van ieder der fasen kfi.

Het systeem kan op een zeker moment O, 1, 2, . . . . klanten bevatten, waar-bij de in bediening zijnde klant in één der fasen 1 t/m k kan verkeren. De kans op een leeg systeem wordt PQ genoemd, terwijl Py de kans is dat het systeem

zijnde klant zich in de 7"" fase bevindt. De overgangsintensiteitsmatrix is van de volgende vorm: - A A — (A+A;//,) k/t A — ( A + V ) kfi A R = A;/t

_-(A+/t/,0

- ( A + V )

De vergelijking van CHAPMAN-KOLMOGOROV (2.4) neemt voor de evenwichts-toestand (waarbij d/(di)P;(i) = 0) de volgende vorm a a n :

-^xPo+hiPik = o

A P o - ( A + V ) ^ 1 1 + ^ - ^ 2 * = 0

k/jPy-{X + kf^)Pij+l = 0 ( j = 1, . . . , k~\) XPi-i,i-{X+k/,)Pii+kfiPi+i,, = 0 (z = 2, 3, . . .)

XP(-i,j+i+k,^Pij-{X+k/,)Pij+i = 0 (ï = 2, 3, . . .; 7 = 1, . . . , k-l]

In het geval van bediening in fasen kan met vrucht gebruik worden gemaakt van een aantal genererende functies:

(2.20)

W{s) = list Pi (waarin Pi = HPij voor i = 1,2,

>=o j=l

Wj{s) = hi Pij (voor j = \,...,k)

Hieruit volgt dus:

W{s)

(2.21)

Po+I^Wj{s)

Het voordeel van het gebruik van genererende functies is dat het mogelijk is, zonder Pn expliciet te bepalen, een aantal belangrijke gegevens van een systeem te berekenen. Hierbij moeten we bedenken dat

W(_s 1) = ^Pn

« = ()

l)» = 1

— W{s = 1) = - - S PnS"/s=i = S nPn = L (gemiddelde aantal in """ """ het systeem aanwezige klanten)

d co 00

j - S Pn.f"-Vs-i = S {n—\}Pn = Lu, (gemiddelde aantal

Van (2.20) wordt de eerste vergelijking vermenigvuldigd met s°, de tweede en derde met s, de vierde en vijfde met s*. Optellen van alle vergelijkingen levert:

ku 1

W{s) = f - W,{s) (2.22)

A j '

Een eenmaal in bediening genomen klant doorloopt alle fasen, waarbij ieder der fasen dezelfde bedieningsduurverdeling heeft. Hieruit volgt dat de kans om een klant in ieder der fasen aan te treffen even groot is. Dus:

cx> co co

S Pil = S Pi2 = . . . ^ S Pile

1=1 i = l 1-1

Uit (2.22) volgt voor 5 = 1 :

W[l) = 1 = ^ M^*(l) -> W,{1) = ^ A k/l Uit (2.21) volgt: co W,{\)=i:Pi, en 1 = 1 W{1) = Po + 2 Wj{\) = Po+XI/i ; = i

Ten slotte wordt dus gevonden dat Po = 1 —A/// = 1 —a. Dit resultaat zou ook afgeleid kunnen worden zonder gebruik te maken van symmetrie-overwe-gingen.

Uit de derde en vijfde vergelijking van (2.20) volgt door vermenigvuldigen met machten van s en optellen

kfj^is'Pij + X isiPi-ij+i-{X+k/ii) I^siPij+i = O 1=1 1 = 2 i = l

of kfi Wj = [X+kju -Xs) Wj+i {j = 1, . . . /t - 1 ) zodat:

-«--«r-±t=^r"

kju

Dit resultaat gesubstitueerd in de som van de eerste, tweede en vierde verge-lijking van (2.20) geeft, tezamen met het resultaat Po = 1 —a:

Differentiëren van (2.23) en het bepalen van de limiet hiervan voor s naderend tot 1 geeft het gemiddelde aantal in het systeem aanwezige klanten

2ka-a2(k^l)

L = ^ 2.24 2k{\-a) ^ '

Voor een andere methode om tot dit zelfde resultaat te komen kan bijvoor-beeld worden verwezen naar MORSE [75] p. 72-75.

2.4.3 Samenvatting van enkele belangrijke resultaten

Daar het uiteindelijke doel van het onderzoeken van wachtproblemen het ont-werpen van zo economisch mogelijke systemen is, zal een aantal karakteristieke grootheden van deze systemen bekeken worden en wel de bezettingsgraad van het systeem en de kans dat een arriverende klant meteen in bediening kan worden genomen, het gemiddelde aantal in het systeem en in de wachtrij aanwezige klanten [L, resp. i^w), de gemiddelde door een klant in het systeem, resp. in de wachtrij doorgebrachte tijd (W, resp. Ww) en het gemiddelde aantal weggestuurde klanten als er slechts een beperkt aantal wachtplaatsen beschik-baar is.

2.4.3.1 Bezettingsgraad en kans op bediening zonder wachten

Onder de bezettingsgraad a van een systeem wordt verstaan: de verhouding van het gemiddelde aantal per tijdseenheid arriverende klanten en het ge-middelde aantal klanten dat per tijdseenheid gereed zou kunnen komen als het loket voortdurend bezet zou zijn. Is de aankomstintensiteit A terwijl er voor de bediening van de klanten c parallelle loketten, ieder met bedienings-intensiteit i-i, beschikbaar zijn, dan geldt:

a = — (2.25)

c/i

De kans dat een arriverende klant niet behoeft te wachten, maar meteen in be-diening wordt genomen (P»), is gelijk aan de kans dat er minstens één loket vrij is. Voor een systeem met c parallelle loketten geldt dus:

Pv = ^Pn (2.26) l ! = 0

Voor systemen met een onbeperkt aantal beschikbare wachtplaatsen levert dit de volgende resultaten:

MjEkll: P^ = Po = \-a (zie GARBER [31] p. 16) . . . (2.27)

M/M/c: P , = - ^ - ^ ^ ^ ^ - ^ 1 ^ ^ (2.28)

„=o n\ c\[\^a)

Deze laatste formule is het complement van de door SHELTON [99] gegeven formule 11, en ook af te leiden uitgaande van enkele resultaten van SAATY [95]

(p. 116, formules 4-126 en 4-129). Zijn er slechts m wachtplaatsen beschikbaar, dan worden de resultaten:

M/M/l: P^ 1 1 — fl'«+2 (2.29) M/Ekll: m = O P„ m = \ P„

l+a

1

\+a{alk+iy^

. (2.30) m Pv = 1 1 +fl(a/yt+ l)2t-fl2(fl/^_^ 1 jfr-l m = oo Pp ^ 1 —a M/Mlc: Pv

's' (^'

n=n n! (ac)« C' a<'(l—«"«n) (2.31) „=o ?Z! _{;! \-a}

2.4.3.2 Aantal aanwezige en aantal wachtende klanten; wachttijden De reden dat het gemiddelde aantal in een systeem aanwezige, respectievelijk het gemiddelde aantal wachtende klanten (L, resp. /-») tegelijk behandeld wordt met de gemiddelde door een klant in het systeem, resp. in de wachtrij doorgebrachte tijd (W, resp. IVui), is dat deze grootheden op een zeer eenvou-dige manier samenhangen. Door MORSE [75] p. 22 wordt het verband tussen

L en W aannemelijk gemaakt, GALLIHER [30] bewijst dit verband voor een systeem met Poisson verdeelde aankomsten bij c parallelle loketten, die ieder een negatief exponentieel verdeelde bedieningsduur hebben. Het meest alge-mene bewijs is afkomstig van LITTLE [60]. Hij toont aan dat, indien L, W en l/A (gemiddeld tijdsinterval tussen twee opeenvolgend arriverende klanten) alle drie een eindige waarde bezitten, voor zeer vele gevallen, waaronder be-grepen EjclEicjc-systemen voor k = 1 totoo, in de stationaire toestand de vol-gende betrekkingen geldig zijn:

'^Z I

'"^>

Lw= XWw \

Deze betrekkingen zijn echter niet geldig wanneer niet alle arriverende klanten tot het systeem worden toegelaten, zoals bijvoorbeeld het geval is als slechts een beperkt aantal wachtplaatsen beschikbaar is. In dit geval kan A echter zodanig gedefinieerd worden dat er alleen rekening gehouden wordt met de klanten die tot het systeem worden toegelaten. Ook is het mogelijk de weggestuurde

klanten mee te rekenen, hen een wachttijd nul toe te kennen en hen daarna in de berekening van W op te nemen. In beide gevallen zijn de betrekkingen (2.32) weer gewoon geldig.

Het gemiddelde aantal wachtende klanten is Lu,. In het algemene geval met

c parallelle loketten is de bezettingsgraad a = Xjc/i, zodat gemiddeld, als alle

arriverende klanten tot het systeem worden toegelaten, ac klanten in bediening zijn. Hieruit volgt dus de betrekking:

L = Lu,+ac (MORSE [75], p. 103) (2.33)

Gebruik makende van deze drie algemene betrekkingen zijn de volgende ver-gelijkingen ontleend aan de literatuur of speciaal afgeleid (alleen geldig voor een onbeperkt aantal beschikbare wachtplaatsen, tenzij het tegendeel uit-drukkelijk vermeld is):

1 M/Mjl: L 1 W Wu, = / l ( l - f l ) a {^LY ~a a m wachtplaatsen: L a

(r=«)ï

a{l—(m+2)a™+i + (TO+l)a'«+2 M O R S E [ 7 5 ] , p. 71) (2.34) (1-M / £ s / l : L {OLY MjMjc: Lu 2ka~d^{k--\] 2k[\-a) fl2(A;+l)_ 2k{\-ay a W [k-IVu, • l ) a 2 ! ' " + 2 ) ( l — « ) _^ 2k-a{k-\) a{k+\) 2k/i[l ( M O R S E [75], p. 75 en 76) (2.35) ( l - a ) 2 \2k%l-a) {(18^ + 12)-aiacY ;10/t-4)a + (/t-5)a2} 1 (2.36)

c ! ( l - a ) 2 ' ' [acY {acY (MORSE [75], p. 103) (2.37) -o n\ c\{\-a)

L, W en Ww kunnen hierna berekend worden met behulp van de betrekkingen

(2.32) en (2.33)

MIE2I2: L = 8a+25/4fl2_7/4a3_ii/ga4_i/4a5

Als d e a a n k o m s t e n p l a a t s v i n d e n volgens een Poisson-proces, geldt d e z.g. f o r m u l e v a n P O L L A C Z E K ( K E N D A L L [ 5 7 ] , C o x [ 2 1 ] , S H E L T O N [99]) w a a r i n h d e g e m i d d e l d e b e d i e n i n g s d u u r is [b = 1//'). V o o r e e n n e g a t i e f e x p o n e n t i e e l v e r d e e l d e b e d i e n i n g s d u u r is ai, = b, z o d a t v o o r Wu> w e e r h e t r e s u l t a a t v a n (2.34) v e r k r e g e n w o r d t . V o o r een c o n s t a n t e b e d i e n i n g s d u u r is o-» = O, z o d a t : /7 /72 M/D/l: Wu, = PTT. ^ ; ^

w

2f,[\ay 2 ( 1 -2 - f l ^ a{-2- a{2-2 / < ( l - f l ) a{2-2 ( 1 - a ) (2.40) 2.4.3.3 P e r c e n t a g e w e g g e s t u u r d e k l a n t e n W a n n e e r liet a a n t a l l o k e t t e n e i n d i g en h e t a a n t a l w a c h t p l a a t s e n b e p e r k t is, z u l l e n , als alle l o k e t t e n en alle w a c h t p l a a t s e n bezet zijn, d e a r r i v e r e n d e k l a n t e n w e g g e s t u u r d m o e t e n w o r d e n . Bij c l o k e t t e n e n m w a c h t p l a a t s e n is Pc+m d e k a n s d a t alles bezet is. Bij v o l k o m e n toevallige a a n k o m s t e n is h e t a a n t a l a r r i -v e r e n d e k l a n t e n in e e n zeker tijdsinter-val onafhankelijk -v a n h e t a a n t a l d a t in e e n vorig i n t e r v a l g e a r r i v e e r d is, d u s ook onafhankelijk v a n d e t o e s t a n d w a a r i n h e t loket g e d u r e n d e h e t vorige i n t e r v a l is k o m e n te v e r k e r e n . D e fractie v a n d e tijd d a t een loket i n d e t o e s t a n d (C + TO) v e r k e e r t , geeft d u s tevens d e fractie v a n d e k l a n t e n , die w e g g e s t u u r d w o r d t , w e e r : ^vol ^ ^c + m 1 - f l MjMll: m w a c h t p l a a t s e n : Pi,„i = ö'^+i ( M O R S E [ 7 5 ] , p . 18) (2.41) 1 —a™+2 a l + a

(a-l)(l+a//t)«^+l (2.42)

fl(l+a/^)^ + l

( a - l ) ( l + a / ; t ) 2 * ^ - f l ( f l - l ) ( l + f l / ^ ) * - i + l a ( l + a / A ) 2 « ^ - f l 2 ( l + a / / t ) * - i + l [acY ^ - + a™ c\ M / M / c : m w a c h t p l a a t s e n : P^oi = ^ . . . . . (2.43) ' v ('^'^)" '^'^'^y 1—a^+i ZJ -\-„_o n\ c\ 1—a MjEic/l'-O w a c h t p l a a t s e n : P„„i = 1 w a c h t p l a a t s : Pvoi = 2 w a c h t p l a a t s e n : Pvoi =

2.4.4 Invloed van een aantal systeemgrootheden, zoals bezettingsgraad en aantal

parallelle loketten

Aan de in hoofdstuk 2.4.3 gegeven formules is op het eerste gezicht nog weinig te zien. Het is interessant om na te gaan wat de invloed van de bezettings-graad (fl), het aantal parallelle loketten [c), het aantal beschikbare wacht-plaatsen (m) en de spreiding in de bedieningsduur (gekarakteriseerd door k) is op de kans op bediening zonder wachten, op het aantal aanwezige en het aantal wachtende klanten en op het percentage weggestuurde klanten.

2.4.4.1 Kans op bediening zonder wachten

Zoals uit de figuur 2.1 blijkt, neemt de kans dat een arriverende klant een vrij loket aantreft en dus zonder wachten in bediening genomen kan worden, af met toenemende bezettingsgraad (a). Deze afname is kleiner naarmate het aantal beschikbare wachtplaatsen kleiner is. Bij een lage bezettingsgraad is de invloed van het aantal beschikbare wachtplaatsen klein, bij hoge bezettings-graad is deze invloed echter wel zeer belangrijk.

De invloed van de regelmatigheid van de bediening is tot een bezettings-graad van 0,5 te verwaarlozen en is zelfs bij a = 0,95 in absolute zin nog

be-o.M,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 " a

Fig. 2.1 De invloed van de bezettingsgraad [a] en het aantal beschikbare wachtplaatsen (m) op de kans d a t een arriverende klant zonder wachten in bediening wordt genomen (P^) bij een negatief exponentiële bewerkingstijdverdeling {k = 1).

trekkelijk gering (P„ = 0,35 voor k = \ en Pp = 0,29 voor k = oneindig bij

m = 1, zie bijlage 2.2).

Uit bijlage 2.3 blijkt dat de kans dat een arriverende klant meteen in be-diening genomen kan worden, bij een bepaalde bezettingsgraad toeneemt als het aantal parallelle loketten toeneemt. Dit betekent dat, wanneer de tevreden-heid van de klanten afhangt van de kans om niet te hoeven wachten, een gro-tere tevredenheid bereikt kan worden door een aantal parallelle loketten te kiezen, die ieder een hogere gemiddelde bedieningsduur hebben. (Vanzelf-sprekend moeten de kosten van één snel loket en een aantal langzame loketten vergeleken worden om te zien of het aanbeveling verdient deze grotere te-vredenheid te realiseren).

Daar de kans op een vrij loket niet zo'n grote praktische betekenis heeft, zal met deze resultaten worden volstaan.

2.4.4.2 Aantal aanwezige en aantal wachtende klanten

De goede werking van een systeem wordt vaak beoordeeld aan de hand van het gemiddelde aantal aanwezige klanten. Deze grootheid is namelijk bepalend voor de gemiddelde tijd, dat een klant in het systeem aanwezig is en daarmede tevens voor de verblijfkosten.

m = co

Fig. 2.2 De invloed van de bezettingsgraad (a) en het aantal beschikbare wachtplaatsen (m) op het gemiddelde a a n t a l in het systeem aanwezige klanten (L) bij een negatief exponentiële bedieningsduurverdeling {k ^= 1).

Als het aantal beschikbare wachtplaatsen beperkt is, wordt een deel der arriverende klanten weggestuurd en blijft het gemiddelde aantal in het systeem aanwezige klanten altijd een eindige waarde behouden. Is het aantal beschik-bare wachtplaatsen echter oneindig, dan neemt het gemiddelde aantal aanwe-zige klanten boven een bezettingsgraad van 0,6 zeer sterk toe om bij a = 1 de waarde oneindig te bereiken (zie fig. 2.2).

Wanneer de klanten arriveren volgens een Poisson-proces en er zijn oneindig veel wachtplaatsen ter beschikking, dan blijkt het gemiddelde aantal aanwezige klanten te dalen wanneer de spreiding in de bedieningsduur afneemt (zie fig. 2.3). Een kleine afname in de spreiding blijkt reeds een groot resultaat te hebben. Het gemiddelde aantal aanwezige klanten voor een exponentieel verdeelde bedieningsduur met k = 2 blijkt ongeveer halverwege te liggen tussen dat bij A = \ en k = cx). Daar voor een oneindig aantal wachtplaatsen en één loket het gemiddelde aantal wachtende klanten gelijk is aan het ge-middelde aantal aanwezige klanten min de bezettingsgraad, gelden deze con-clusies over de invloed van de spreiding in de bedieningsduur ook voor het gemiddelde aantal wachtende klanten.

Verder blijkt uit fig. 2.3 dat het verschil in gemiddeld aantal aanwezige klanten voor A; = 1 en ^ = oo klein is (ook in relatieve zin) voor een lage

be-- , 1 0 8 6 1 2 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 " a

Fig. 2.3 D e invloed van de bezettingsgraad (a) en de spreiding in de bedieningsduur (geka-rakteriseerd door k) o p het gemiddelde a a n t a l in het systeem aanwezige klanten (L) bij on-eindig veel beschikbare wachtplaatsen {m ~ o o ) .

zettingsgraad, terwijl bij een bezettingsgraad groter dan 0,9 dit aantal voor

k = oo ongeveer de helft bedraagt van het aantal voor k = \.

Het gemiddelde aantal aanwezige en wachtende klanten kan ook worden be-ïnvloed door in plaats van één snelwerkend loket een aantal langzamer wer-kende loketten te kiezen (zie fig. 2.4). Wordt als criterium het gemiddelde aantal wachtende klanten (en dus de gemiddelde wachttijd in de wachtrij) gekozen, dan verdient het aanbeveling (afgezien van kostenoverwegingen) een aantal langzame parallelle loketten te kiezen. Wordt de klant in bediening genomen, dan ondervindt hij de invloed van het langzame werken van het loket. De gemiddelde totale verblijfstijd in het systeem en dus ook het ge-middelde aantal aanwezige klanten wordt groter door een aantal parallelle loketten te kiezen.

Fig. 2.4 D e invloed van de bezettingsgraad (a) en het aantal parallelle loketten (c) op het gemiddelde a a n t a l in het systeem aanwezige (L, getrokken lijn) en het gemiddelde a a n t a l w a c h t e n d e (/-„„ gestreepte lijn) klanten bij oneindig veel beschikbare wachtplaatsen (m = o o ) en negatief exponentiële bedieningsduurverdeling {k = 1).

2.4.4.3 Weggestuurde klanten

Als het beschikbare aantal wachtplaatsen beperkt is, zal een deel van de klanten moeten worden weggestuurd. Vanzelfsprekend zal het percentage weggestuurde klanten afnemen bij toenemend aantal beschikbare wachtplaat-sen. Uit fig. 2.5 blijkt dat een vermeerdering van het aantal wachtplaatsen

50 fiO 30 20 10 /

L

/ /

L ^

/ / y / / ^

g^

/ / / ^ / / , ^

y

y

r

jA / / z' y ; >

r

y

.A

/ ^ y

y'

y

y

^A

/

y

y ^

A

A

y

/

y

y / / / m = o, k = 1, to m = 1, k = 1 m = 1, k = oo m = 2, k = 1 m = 2, k = t c o 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Fig. 2.5 De invloed van de bezettingsgraad (a), het a a n t a l beschikbare wachtplaatsen {m) en de spreiding van de bedieningsduurverdeling (gekarakteriseerd door k) op het percentage weggestuurde klanten ( f „,). c = 1 50 40 30 20 10 /

u

/ / f

y

/ / / / / / / / / /

y

^ / / / / / ^^^ / / /

y

yy

y

/

y

^y

y y / / / y ^

y

y

y

^ / y / / / _ m = o 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ->- a

Fig. 2.6 De invloed van de bezettingsgraad (a), het aantal beschikbare wachtplaatsen (m) en het a a n t a l parallelle loketten (c) op het percentage weggestuurde klanten (P,„) bij negatief exponentiële bedieningsduurverdeling (A: = 1).

van nul naar twee bij hoge bezettingsgraad ruim een halvering van het per-centage weggestuurde klanten tot gevolg heeft, terwijl deze vermindering bij lage bezettingsgraad nog groter is.

Wanneer er geen wachtplaatsen beschikbaar zijn, heeft de spreiding in be-dieningsduur geen enkele invloed op het percentage weggestuurde klanten. Zijn er echter wel wachtplaatsen beschikbaar, dan neemt het percentage weg-gestuurde klanten af wanneer de spreiding in de bedieningsduur afneemt. Bij een bezettingsgraad van één is het percentage weggestuurde klanten in een systeem met één wachtplaats en A; = oo ongeveer even groot als dat in een systeem met twee wachtplaatsen enk = 1. In dit geval zouden dus tegen elkaar afgewogen kunnen worden de kosten van het beschikbaar stellen van een extra wachtplaats tegen de kosten van het aan elkaar gelijk maken van de bedie-ningsduur van elke klant.

Het percentage weggestuurde klanten kan ook verminderd worden door een aantal langzaam werkende loketten te nemen in plaats van één snel loket (zie fig. 2.6). Daar bij de in de volgende hoofdstukken besproken systemen altijd aangenomen wordt dat het aantal beschikbare wachtplaatsen oneindig, althans zeer groot is, zal op deze plaats niet verder meer worden ingegaan op het per-centage weggestuurde klanten.

2.5 Volgorde- e n v o o r r a n g s r e g e l s 2.5.1 Inleiding

In de voorgaande hoofdstukken werd steeds aangenomen dat de klanten in volgorde van binnenkomst worden behandeld. Dit nu behoeft in de praktijk helemaal niet het geval te zijn. Wanneer we denken aan formulieren, die na het arriveren op een stapel gelegd worden, is het duidelijk dat het heel goed kan voorkomen dat de laatst gearriveerde formulieren het eerst afgehandeld worden.

Een andere mogelijkheid is, dat de klanten in willekeurige volgorde worden afgewerkt, of dat een deel der klanten voorrang geniet boven eventueel wach-tende andere klanten. In dit laatste geval kunnen we twee mogelijkheden onderscheiden, nl. dat een in behandeling zijnde klant bij het arriveren van een klant met een hogere urgentie eerst afgehandeld wordt of dat de in be-handeling zijnde klant opzij wordt gezet en pas na het afhandelen van alle aanwezige klanten met hogere urgentie weer in behandeling genomen wordt. Daar in hoofdstuk 5 en 6 alleen voorrangsregels onderzocht zullen worden waarbij, om redenen aangegeven in hoofdstuk 5.2, reeds in behandeling zijnde orders niet zullen worden onderbroken, zal op deze plaats ook niet ingegaan worden op regels waarbij een eenmaal begonnen bediening wel wordt

onder-broken (voor deze zogenaamde ,,preemptive priorities" zie b.v. Cox en SMITH [22] p. 87-89 en SAATY [95] p. 237-241).

Hoewel het uiteindelijk doel van het hanteren van voorrangsregels is het minimaliseren van de kosten, verbonden aan het bedienen van de klanten, zullen we hier echter niet op de kosten ingaan (zie voor nadere motivering hoofdstuk 5.3). Wel zal worden aangegeven hoe een aantal karakteristieke grootheden van het systeem veranderen bij het toepassen van bepaalde voor-rangsregels.

2.5.2 Hel volgordeprobleem

Hoewel historisch gezien eerst aandacht besteed zou moeten worden aan het werk van COBHAM [12], zal hier begonnen worden met het zogenaamde volg-ordeprobleem. Bij dit probleem moeten n klanten behandeld worden, die alle-maal, als het loket begint te werken, reeds aanwezig zijn, terwijl de door hen verlangde bedieningsduur bekend is. Tijdens het afwerken van deze n klanten zullen er geen nieuwe klanten arriveren.

Veronderstel dat de klanten in willekeurige volgorde genummerd zijn van 1 tot en met n. De eerste klant wordt in bediening genomen op het tijdstip nul. De bedieningsduur van de z^ klant wordt weergegeven door Si, het moment van gereedkomen van deze klant door Cj. Wanneer de klanten in volgorde van h u n index in bediening genomen worden, geldt:

Ci = iSj (2.44)

De gemiddelde tijd van gereedkomen is:

C = ~i: Ci = -ï: s5,- = - s [n-i^\)Si (2.45) « , - l W , = l j = l K , = |

Wanneer de klanten daarentegen in omgekeerde volgorde, dus beginnend bij klant n, in bediening genomen worden en het moment van gereedkomen van de

i^ klant wordt nu weergegeven door Ri, dan geldt:

Ri = iSj (2.46)

— 1 " I n n 1 "

P = - S Pi = - S S 5y = - S z 5,- (2.47) w i =I n i \ i = i n i = \

Vervolgens denken we de n klanten ingedeeld in twee urgentieklassen. Deze indeling vindt volkomen willekeurig plaats, onafhankelijk van de oorspronke-lijke nummering en dus ook onafhankelijk van h u n bedieningsduur. Er worden

m klanten ingedeeld in groep 1 en [n-m) klanten in groep 2. De klanten van

van groep 2 aan de beurt komen in volgorde van hun index. M A X W E L L [65] heeft bewezen dat de gemiddelde tijd van gereedkomen voor dit geval weer-gegeven wordt door:

G= {\-k)C+kR (2.48) min—m)

waarin k = — -—

n{n— 1)

Bovenstaande resultaten zijn door CONWAY en M A X W E L L [20] gebruikt om de verschillen te analyseren tussen de situatie waarbij de klanten in bediening ge-nomen worden in volgorde van toenemende bedieningsduur, in volgorde van afnemende bedieningsduur of waarbij de klanten op grond van een zeker criterium, dat onafhankelijk van de bedieningsduur is, in twee groepen inge-deeld worden waarbij de klanten van ieder der groepen in bediening genomen worden in volgorde van toenemende bedieningsduur.

Het gemiddelde aantal aanwezige klanten bij bediening in volgorde van toenemende, respectievelijk afnemende bedieningsduur {Ljc, resp. Li), is (ge-zien (2.44) t/m (2.47), waarbij de klanten nu genummerd zijn in volgorde van toenemende bedieningsduur): Li = Y.{n-i + \)Si II I^Si i = i iiSi . = 1 n S Si i Si 1 = 1 1 = 1 n

iSi

! = 1 Cl (2.49)

waarin (?* en Ci de gemiddelde tijd van gereedkomen der orders is, wanneer deze orders bediend worden in volgorde van toenemende, resp. afnemende be-dieningsduur.

In analogie met (2.48) volgt dat bij indeling der klanten in twee groepen, waarbij binnen de groepen de bediening in volgorde van toenemende bedie-ningsduur geschiedt, het gemiddelde aantal aanwezige klanten gegeven wordt door:

L2,k = ^{{\-k)C,c+kCi} (2.50)

^Si

Bij bediening in volgorde van toenemende bedieningsduur volgt dat Si < Si+i. Wanneer de volgorde van deze twee klanten verwisseld wordt, veranderen alleen de tijdstippen van gereedkomen van deze twee klanten:

l ' - l C'i+i= I. Sj+Si+1 (2.51) ; = i 1-1 1+1 C i ^ Z, Oj-\-Si+l-{-Si ^ S O; = Ci+l j - i i - i

Bij het bepalen van de gemiddelde tijd van gereedkomen C" moet dus alleen

d vervangen worden door C'j+i.

i - i

Ci = S Sj+Si (2.44)

i = i

C'i+i = 'l.Si+Si+i (2.51)

; = l

Daar Si < S{+i volgt dan Ci < C'j+i, dus C < C'.

Willen we twee willekeurige klanten, b.v. de z*" en de (i-^m)^ klant, van plaats laten wisselen, dan verschuiven we eerst de i^ klant m plaatsen naar achteren en vervolgens de (z' + m)'' klant {m—l) plaatsen naar voren. Bij iedere keer verschuiven komt een klant met een grotere bedieningsduur vóór een klant met een kleinere bedieningsduur te staan, waardoor dus iedere keer de gemiddelde tijd van gereedkomen toeneemt.

Wordt in een systeem, waarbij de klanten in volgorde van toenemende bedieningsduur behandeld worden, de volgorde van twee willekeurige klanten verwisseld, dan neemt de gemiddelde tijd van gereedkomen toe.

Worden de klanten in volgorde van toenemende bedieningsduur behandeld, dan is de gemiddelde tijd van gereedkomen en dus ook hel gemiddelde aantal in het systeem aan-wezige klanten minimaal.

O p analoge wijze kan bewezen worden dat door het van plaats verwisselen van twee willekeurige klanten de gemiddelde tijd van gereedkomen altijd kleiner wordt als de klanten eerst in volgorde van afnemende bedieningsduur behandeld werden.

Het gemiddelde aantal in hel systeem aanwezige klanten is maximaal als de klanten in volgorde van afnemende bedieningsduur behandeld worden.

Bovengenoemde resultaten zijn onafhankelijk van het gemiddelde en de variantie van de bedieningsduurverdeling.

Veronderstel dat de n bedieningsduren n onafhankelijke variabelen zijn met dezelfde cumulatieve verdelingsfunctie G{S). De klanten worden in volgorde van toenemende bedieningsduur genummerd, zodat Si < Si+i. De mathema-tische verwachting van de bedieningsduur van de i'^ klant wordt aangegeven met E[Si). Worden de klanten behandeld in volgorde van toenemende be-dieningsduur, dan moet de bijdrage van E[Si) in de som van de tijden van ge-reedkomen voorzien worden van de coëfficiënt (« —z'+l) (2.45), bij behan-deling in volgorde van afnemende bedieningsduur wordt de coëfficiënt i (2.47).

Worden de klanten in volkomen willekeurige volgorde in bediening genomen, dan wordt de coëfficiënt i met kans 1 /«, zodat de mathematische verwachting van de coëfficiënt (nH-l)/2 bedraagt.

Noem de som van de tijden van gereedkomen voor bediening in volgorde van toenemende resp. afnemende bedieningsduur en in willekeurige volgorde Cfc, Cl en Cr. Nu volgt:

" n + \

Cr = ^ ^ EiSi) 1 = 1 / Ci = i i E{Si) i = i

C* = 2 {n-i+\)E{Si) = (n + 1) S E{Si) - S iE{Si)

!=1 !=1 i - 1

Uit deze drie vergelijkingen volgt dan direct:

C,+Ci = 2Cr (2.52)

Stel dat de plaats van een bepaalde klant onder een bepaalde voorrangsregel

i is, dan is de plaats van deze klant onder de precies tegenovergestelde

voor-rangsregel (n—z'+l). De bijdrage van deze klant in de som van de tijden van gereedkomen is onder de eerste regel [n—i-\-l)E[Si), onder de tegenoverge-stelde regel {n — {n—i-\-\)-{-\ }E[Si) = iE{Si). De som van deze twee bijdragen is {n^l)E{Si), wat precies tweemaal de bijdrage is van de klant i, wanneer de volgorde willekeurig is. Altijd geldt dus dat de som van de gemiddelde tijden van

ge-reedkomen bij twee tegenovergestelde voorrangsregels gelijk is aan tweem.aal de gemiddelde tijd van gereedkomen bij willekeurige volgorde.

Voordat het resultaat van (2.50) geanalyseerd zal worden, moet eerst nog een resultaat van M A X W E L L [66] worden vermeld. Wanneer de bedienings-duurverdeling gegeven wordt door G[x) (met gemiddelde m) dan bewijst hij dat: Cr = ^ m Cic = n'^m—n{n—\)I Cl = nm-\-n{n—\)I TO waarin / = j yG{y)dG[y) i)

De verbetering in de som van de tijden van gereedkomen door toepassing van de ,,kortste-bedieningsduur-regel" volgt uit:

Cr-Ck n-\ (21 \

~ ^ ^ = 1 (2.54

Voor grote waarden van n nadert (n — 1) /(n + 1 ) tot één, zodat de door M A X W E L L vermelde waarden van (2//ffz —1) (zie bijlage 2.4) tevens de verbetering aan-geeft, die te bereiken is door de ,,kortste-bedieningsduur-regel" toe te passen. Voor een negatief exponentieel verdeelde bedieningsduur is de gemiddelde tijd van gereedkomen bij toepassing van een willekeurige volgorde tweemaal zo groot als bij toepassing van de kortste-bedieningsduur-regel.

Voor grote waarden van n geldt tevens:

U ^ C ^ \-Ilm ^2_^^^ Li Cl Ijm

Lk 1

Voor een rechthoekige verdeling: I/m = 2/3 ^^ ' ^ = o '

Li 2 Lk 1

Voor een negatief exponentiële verdeling: I/m = 3/4 ^ ^ = o ;

Li 3 Lk

Voor een 3-Erlang verdeling: I/m = 0 , 6 5 6 ^ — = 0,524,

Li

en voor een Erlang-verdeling met k = oo volgt voor deze verhouding van-zelfsprekend 1.

In de vergelijking (2.48) en (2.50), waarbij de waarde voor de gemiddelde tijd van gereedkomen en voor het gemiddelde aantal in het systeem aanwezige klanten gegeven werd, als de klanten op grond van een criterium, onafhan-kelijk van de bedieningsduur, in twee groepen werden ingedeeld, komt de coëfficiënt k voor, waarbij k = min — m)jn[n- 1). De waarde van k blijft onver-anderd, of er nu m of [n—m) klanten ingedeeld worden in klasse 1. De maximum waarde voor k wordt bereikt voor m = n/2 en bedraagt (voor grote waarden van n) 1/4. Voor een negatief exponentieel verdeelde bedieningsduur en

m = w/2 volgt uit (2.50)

3 1

Lik = - L k-\- -Li = l,5Zfc

4 4

Tabel 2.1 geeft de voorgaande resultaten weer.

T a b e l 2.1 H e t gemiddelde a a n t a l in het systeem aanwezige klanten bij verschillende volg-orderegels

Negatief exponentieel verdeelde bedieningsduur

volgorderegel gemiddelde aantal klanten in het systeem kortste bedieningsduur Lj. slechtste 2-groepen indeling en

b i n n e n de groepen kortste bedieningsduur U^L/c

willekeurig 2,0Z-j. langste bedicningsduur 3,01.^.

2.5.3 Hel volgordeprobleem met voorkennis van de toekomst

Bij het gewone volgordeprobleem (hoofdstuk 2.5.2) wordt aangenomen dat op een zeker tijdstip n klanten, waarvan de bedieningsduur bekend is, aan-wezig zijn en dat er tijdens het bedienen van deze n klanten geen nieuwe klan-ten arriveren. Vervolgens werd nagegaan hoe de gemiddelde tijd van gereed-komen en het gemiddelde aantal in het systeem aanwezige klanten reageren op een aantal voorrangsregels. Voordat overgegaan zal worden naar een sys-teem met één loket, waarbij klanten arriveren, terwijl op een zeker tijdstip niet exact bekend is wanneer de volgende klant zal komen, noch hoe groot zijn bedieningsduur zal zijn, zal nog een tussenstap worden genomen.

O p een zeker tijdstip zijn nog niet alle n klanten bij het loket aanwezig, maar wél weten we dat de z" klant zal arriveren op tijdstip Ai en dat zijn be-dieningsduur Si zal zijn. Bij het analyseren van dit systeem zal gebruik ge-maakt worden van de verblijfsduur Bt, waarbij Bi het verschil tussen het tijd-stip van gereedkomen en het tijdtijd-stip van arriveren is.

De kortste-bedieningsduur-regel zou geïnterpreteerd kunnen worden als de regel waarbij de bedieningsduur van de eerste in bediening genomen klant kleiner is dan de bedieningsduur van de tweede klant, enz. Hierbij wordt het tijdstip van aankomst verwaarloosd. Het is vanzelfsprekend dat deze regel, waarbij eerst gewacht zou moeten worden tot de klant met de kortste bedie-ningsduur aanwezig is, een onverstandige regel zou zijn. De meer gebruikelijke interpretatie is dan ook dat uit de op een zeker tijdstip aanwezige klanten die klant in bediening genomen wordt, die de kortste bedieningsduur heeft. M A X W E L L [67] wijst er op dat de kortste-bedieningsduur-regel in dit geval niet de optimale regel is. Dit is zeer eenvoudig in te zien door zich het geval voor te stellen waarbij de tweede klant een heel korte bedieningsduur heeft en zeer kort na de eerste klant arriveert, terwijl de eerste klant een lange be-dieningsduur heeft. Laten we de eerste klant even wachten tot de tweede klant gearriveerd en bediend is, dan wordt de verblijfsduur van de eerste klant slechts vermeerderd met het kleine bedrag A2+S2, terwijl de verblijfsduur van de tweede klant vermindert met het grote bedrag S1—A2.

Wanneer we voorkennis van de toekomst hebben, kunnen we ons afvragen hoeveel beter we het systeem kunnen laten lopen door niet de kortste-bedie-ningsduur-regel toe te passen, maar gebruik te maken van deze voorkennis. Dit hangt natuurlijk af van de verdeling van ^i, ^'2 en A2.

M A X W E L L beschouwt eerst het geval met twee klanten, waarbij Si, S2 en A2 negatief exponentieel verdeeld zijn met gemiddelden Ijfii, I///2 en l/A. Als eerste wordt de kortste-bedieningsduur-regel toegepast, als tweede de optimale regel waarbij normaal de eerste klant voor de tweede klant gaat, behalve als •^1—^2 > A2-\-S2. Met l//<i = I///2 = l//< en A//f = a, volgt voor de mathe-matische verwachting van de som der verblijfsduren

E{BY

f, !ti}+a) E{B)"= E[B)'

(2.56)

4 / < l + a / 2 ) J

De procentuele verbetering, die te bereiken is, wordt gegeven door

E[B)'^E{B)" lOOfl

100

E[By 4 ( l + a / 2 ) ( 2 + a / ( l + a ) )

Zijn Si, 6*2 en A2 rechthoekig verdeeld met minimum nul, dan blijkt dat

(2.57) E{By 2 a /i ifi E{B)"= E{B)' Procentuele verbetering E{BY-E{BY' 24/« (2.58) 100 100a E{BY 24(2+a/3) (2.59)

T a b e l 2.2 Procentuele verbetering die te bereiken is door de volgorde van twee klanten te bepalen met b e h u l p van de optimale regel in plaats van met de kortste-bedienings-duur-regel (2.57 en 2.58).

Verdeling van bedieningsduur en aankomstinterval negatief exponentieel rechthoekig 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 4,286 4,754 5,375 5,844 6,273 6,667 0,962 1,136 1,306 1,470 1,630 1,786

Voor het geval met drie klanten werd door M A X W E L L gebruik gemaakt van een rekenmachine (Burroughs 220), waarop hij 10.000 gevallen simuleerde. Voor negatief exponentieel verdeelde bedieningsduren en aankomstintervallen en een bezettingsgraad 0,8 gaf de optimale regel een verbetering van 7,74% en de regel waarbij slechts één klant vooruitgezien wordt, een verbetering van 6,91 % ten opzichte van de kortste-bedieningsduur-regel.

Geconcludeerd mag dus worden dat, als we voorkennis van de toekomst hebben, het toepassen van de kortste-bedieningsduur-regel een oplossing geeft, die dicht bij de optimale oplossing ligt.