Modellen van polystyreenschuim

IR.

W.

j. BERANEK

MODELLEN

VAN

POL

YSTYREENSCHUIM

o

Inleiding

U.D.C. 624.001.57: 678.746.22·496.8

Het artikel behandelt de vervaardiging en beproeving van modellen van polystyreenschuim, een elastisch materiaal met een zeer gering volumegewicht en een zeer lage elasticiteitsmodulus. Het materiaal biedt typische mogelijk-heden, staat snel en voldoend nauwkeurig werk toe, maar vereist een aparte meettechniek. De meetapparatuur en de nauwkeurigheid van de meting worden uitvoerig behandeld. Tenslotte voIgt een korte beschri:fving van enkele uitgevoerde metingen en wordt ingegaan op de modelregels, nodig voor de interpretatie van de meetresultaten.

Bij modelonderzoekingen wordt de keuze van het modelmateriaal en de meetmethodiek bepaald door de aard van de gegevens die men wenst te ver-krijgen. Vervaardigt men een model van hetzelfde materiaal als de oorspron-kelijke constructie, of tracht men dit in zijn eigenschappen zo goed mogelijk na te boots en, dan zullen de verschijnselen zich op analoge wijze voordoen als in werkelijkheid. Men kan dan eveneens uitsluitsel verkrijgen over eventuele scheurvorming of vloeiverschijnselen en de wijze van bezwijken. In vele geval-len zal men het model echter vervaardigen van een "ideaal" materiaal, waar-onder wordt verstaan een homogeen, elastisch, isotroop materiaal dat voldoet aan de Wet van Hooke. Men kan een dergelijk model beschouwen als een zeer doeltreffend werkende rekenmachine, die voor een bepaald geval resultaten levert die zijn gebaseerd op de elasticiteitstheorie.

Sinds enkele jaren wordt bij het Instituut als "ideaal" materiaal ook ge-bruik gemaakt van polystyreenschuim, waarmede ingewikkelde modellen snel kunnen worden vervaardigd. Voorts kan het model gemakkelijk worden ge-wijzigd, zodat de constructeur ook variantoplossingen van het probleem aan het model kan toetsen.

Het grote voordeel van het polystyreenschuim ligt in de zeer lage waarde van de elasticiteitsmodulus, tengevolge waarvan de meeste belastingen door middel van kleine gewichtjes kunnen worden aangebracht, zodat men geen belastingapparatuur behoeft op te bouwen. Fig. 1 geeft hiervan een duidelijk voorbeeld; op de rechterhelft van het balkon wordt een gelijkmatig verdeelde belasting aangebracht d.m.v. kleine boutjes. Worden de belastingen gevormd door vloeistof- of korreldrukken, dan kan men in het model nog goed meetbare vervormingen verkrijgen door een belasting aan te brengen met water, resp. een korrelachtig materiaal. De vervormingen t.g.v. het eigen gewicht van de constructie kan men bepalen door het model in delen gesplitst te denken en in de zwaartepunten hiervan krachtjes te laten aangrijpen die evenredig zijn met

Fig.!. Bet belasten van een model. Zelfs bij deze geringe belasting bedragen de waarden van de hoekverdraaiing en de rek in het model ongeveer het drievoudige van die in de wer-kelijke constructie.

de volumes van de desbetreffende delen. Bij ingewikkelde modellen is dit echter zeer omslachtig. Het is dan doelmatiger het model onderstboven in water onder te dompelen. De opwaartse kracht van het water grijpt dan op dezelfde wijze aan als de zwaartekracht en veroorzaakt aanzienlijke vervormingen.

De lage waarde van de elasticiteitsmodulus is echter tevens de oorzaak dat het meten van de vervormingen niet met de gebruikelijke meetmethoden plaats kan vinden. Rekstrookjes b.v. veroorzaken plaatselijk grote verstij-vingen, terwijl aIle meetinstrumenten die door de waarnemer op het model worden geplaatst tengevolge van de druk van de hand verstoringen veroor-zaken. Om deze reden is een optische meetmethodiek ontwikkeld, die boven-genoemde bezwaren niet vertoont. De vervormingen van de constructie worden hierbij met behulp van spiegeltjes waargenomen (zie fig. 1).

In sommige gevallen kan men echter door een model met de hand of een gewicht te belasten reeds een indruk van de krachtswerking of de stijfheid ver-krijgen, daar de vervormingen duidelijk zichtbaar zijn. In dit laatste geval be-hoeven geen hoge eisen aan het materiaal en de afwerking van het model te worden gesteld, zodat men b.v. reeds tijdens een bespreking een eenvoudig

model kan laten vervaardigen, waaruit waardevolle indicaties kunnen worden verkregen. Ook voor aanschouwelijk onderricht zal men met vrucht van een-voudige modellen gebruik kunnen maken.

In de volgende hoofdstukken worden de vervaardiging van de modellen en de eigenschappen van het materiaal besproken en wordt nader ingegaan op de meetinstrumenten en de nauwkeurigheid van de metingen. Tenslotte wordt een overzicht gegeven van de meest gebruikte modelregels en worden enkele karakteristieke modelproeven kort besproken om een indruk van de mogelijk-heden te geven.

1 Polystryreenschuim.

1.1 Materiaal en vervaardiging

In 1950 werd door de Badische Analin & Sodafabrik A.G. een procede ont-wikkeld om polystyreen (synoniem: polystyrol) het vermogen tot zwellen te geven. Deze stof werd door de BASF styropor genoemd. Het materiaal wordt in korrelvorm aan de industrie geleverd. Daar worden de korrels in heetwater-baden of door middel van stoom tot een zekere mate van expansie gebracht die afhankelijk is van de duur van de verhitting. De gedeeltelijk geexpandeerde korrels worden vervo1gens in stalen vormen gestort, waarin stoom onder over-druk wordt geblazen, waardoor de korrels verder uitzetten en aaneen kitten. Er ontstaat zo een materiaal, dat 3 tot 6 mi1joen gesloten cellen per liter bevat en dat voor circa 98% uit lucht bestaat. Het volumegewicht bedraagt 15~30 kgf/m3 . Het materiaal wordt voornamelijk voor isolatiedoeleinden toegepast en wordt onder verschillende handelsnamen 1) aangeboden. De maximale afme-tingen van de in Nederland vervaardigde blokken bedragen 3,5 X 1 X 0,5 m3 •

N aarmate bij het eerste procede de korrels minder worden voorgeexpan-deerd kunnen de stalen vormen met meer materiaal worden gevuld en nemen het volumegewicht en de elasticiteitsmodulus van de vervaardigde blokken toe. De normale blokken van handelskwaliteit bezitten echter een aanzienlijke inhomogeniteit, die wordt veroorzaakt door het niet even groot zijn van de voorgeexpandeerde korrels en door het van buitenaf inbrengen van de stoom in de stalen vormen. Slechts door geselecteerd materiaal toe te passen en grote zorg aan de vervaardiging van een blok te bested en, kan de homogeniteit zo zeer worden verbeterd, dat het materiaal als modelmateriaal geschikt is, mits de buitenste laag van de blokken niet wordt gebruikt.

1.2 Verwerking

Het materiaal kan worden gesneden, gezaagd en gefraisd. Voor de ver-vaardiging van modellen is de meest geschikte methode het snijden van het materiaal door middel van een weerstandsdraad van circa 0,4 mm dikte, die wordt verwarmd door een stroomsterkte van 4

a

5 A bij een regelbaar potentiaal-1) o.a. tempex, polyeel, rhenaeell, frigolit, poleuxiet.

Fig. 2. Bewerken van het polystyree;1schuim.

verschil, dat circa 20 V per m' weerstandsdraad bedraagt. Door deze draad langs twee mallen of rijen met constante snelheid voort te bewegen, smelt het materiaal en verkrijgt men een snede van ongeveer 1 mm (zie fig. 2a). Op deze wijze zijn zeer snel modellen of gedeelten van modellen te ver-vaardigen met een ingewikkelde

dwarsdoorsnede, die constant

blijft over de lengte (zie b.v. fig.

30 en 33).

Gaten en sleuven in een model kunnen door fraisen worden ver-kregen, terwijl op deze wijze ook platen zeer vlak kunnen worden afgewerkt (zie fig. 2b). Ingewik-kelde modellen, zoals in fig. 31, die men uit een stuk wil vervaar-digen, verkrijgt men door eerst enkele gaten tot de juiste diepte te boren en vervolgens de weer-standsdraad via glazen buisjes te geleiden (zie fig. 2c).

Door ge bruik te maken van een weerstandsdraad kunnen ook op eenvoudige wijze regelvlakken worden vervaardigd. Om een con-stante dikte te verkrijgen is echter grote nauwkeurigheid vereist. De dikte van de regelvlakken zal minstens 4 mm moeten bedragen

(zie b.v. fig. 35).

In het algemeen zal men het model niet uit een stuk kunnen vervaardigen, zodat men de ver-schillende onderdelen aan elkaar moet bevestigen. Vrijwel aIle in de handel verkrijgbare

lijmsoor-a. Snijden met een weerstandsdraad. b. Fraisen. c. Snijden via glazen buisjes.

ten blijken echter ongeschikt te zijn. Sommige lijmnaden laten grote vervormingen toe bij be-lasting, andere bezitten een te grate stijfheid of lossen het poly-styreenschuim op.

Ret meest geschikte verbin-dingsmiddel blijkt te bestaan uit minerale was, die in vloeibare vorm tussen de samen te stellen delen wordt aangebracht en na afkoeling een hechte verbinding vormt. Deze wasnaad is bij be-lasting vrijwel niet onderhevig aan kruip, terwijl breuk van de praef-stukken buiten de wasnaad op-treedt. Met een fohn kan warme lucht op het model worden ge-blazen, waardoor de overtollige was smelt en gemakkelijk kan worden verwijderd. De samenge-voegde delen kunnen op dezelfde wijze zonder beschadiging weer worden losgemaakt.

1.3 Eigenschappen van het polysty-reenschuim en de minerale was-soorten

Ret globale verband tussen de elasticiteitsmodulus en het volu-megewicht van polystyreenschuim is weergegeven in fig. 3. In fig. 4

is het a-s-diagram weergegeven van polystyreenschuim met een volumegewicht y = 27 kgf/m3 .

Dit diagram is bepaald met be-hulp van een vierpuntsbuigproef; het verb and tussen a en s blijkt tot een spanning van 0,2 a 0,3 kg/cm2

vrijwel rechtlijnig te zijn; ook bij hogere spanningen zijn de afwij-kingen echter gering. Uit trek- en wringproeven voIgt eveneens een

N 600 E

.1

"

]> 400 1---300 200 100 o o

---/

10 20

V

/

/

./

/

/

30 40 50 6 _________ volumegewlcht in kgf/m Fig. 3. Elasticiteitsmodulus van polystyreenschuim

als functie van het volumegewicht. Fig. 4. a-E-diagram van polystyreenschuim.

a. verloop bij eenmaal belasten en ontlasten; b. verloop bij wisselbelasting.

r

1-

-:---1

-,-1-j06 -

--~I

-

-1-

-t

T

os - -

t, - __

J ___

f-

-t

+--

I ! I ' I !

I

0.4 - -

-1----1--1- ___

-+ ____

1 I 0,3 - - - - J 0,2 O~----~----~----~ o r H I -E in 1 O~-3

o 0.2 0.4 0.60.8 1 4 6 8 10 20 40 60 80100

~ tijd in minuten

Fig. 5. Toeneming van de vervorming van het polystyreenschuim bij constante belasting.

~-2.0

1.5

1.0

0,5

Fig. 6. a-s-diagrammen van twee minerale

was-soorten. (1. witte was; 2. gele was) . OL-__ ~-L~~ _ _ ~ _ _ _ _ ~~ _ _ _ _ ~ _ _ _ _ _ _

o 10 15 20 25

_ _ _ _ _ _ _ f' In 10 -I

vrijwel volkomen rechtlijnig verband bij niet te hoge spanningen. Indien men een dergelijk balkje een of tweemaal voorbelast, blijkt het diagram de vol-gende malen steeds dezelfde hysteresislus van fig. 4b te doorlopen. De waarde van de contractiecoefficient varieert nogal bij verschillende proefbalkjes en -plaatjes en ligt tussen 0,20 en 0,38. In fig. 5 is het verloop van de rek

weer-gegeven bij constante belasting als functie van de logaritme van de tijd; dit verband is praktisch rechtlijnig.

In fig. 6 zijn ter illustratie de globale a-c:-diagrammen van 2 minerale

was-soorten weergegeven. De plastische vervormingen zijn aanzienlijk. In fig. 7 is

de vervorming van de was bij constante belasting als functie van de tijd weer-gegeven; de kruip blijkt eveneens aanzienlijk te zijn. Ter vergelijking is ook een van de kruiplijnen van het polystyreenschuim ingetekend

(a=

0,193 kgf/cm2).

-"'b 2,0

1,0

~---l---L-==:==~===t:::~±:==:=j==J

(J =1 kgf/cm2 Fig. 7. Toeneming

van de vervorming van de minerale was so orten bij con-stante belasting. 1. witte was. 2. gele was. 0o:---:'::---:l:---~---L---L---L--- 3. polystyreen-10 20 30 40 50 60 70 schuim. _______________ tljd In mlnuten Heron 10 (1962) no. 2 85

De elasticiteitsmoduli en de kruip van de beide wassoorten zijn dus aanzien-lijk groter dan die van het polystyreenschuim. Een dunne wasnaad tussen het polystyreenschuim blijkt de vervormingen echter vrijwel niet te belnvloeden. De smeltpunten van de wassoorten bedragen 76°C voor de witte was en 66°C voor de gele was. Bij het verwerken dient men er rekening mede te houden, dat het polystyreenschuim niet bestand is tegen hogere temperaturen dan ca. 75°C (kortstondig ca. 100°C). Verder wordt polystyreenschuim aan-getast door minerale olien, benzine, benzol, terpentijn, ether, chloorkool-waterstoffen en esters. Bet polystyreenschuim veroudert niet en blijkt onge-voelig voor kleine temperatuurverschillen tijdens een proef. Bij onderdompe-ling in water vertoont het polystyreenschuim geen volumeverandering; de wateropneming bedraagt i.h.a. minder dan 2 volume-procent.

Ais laatste punt dient de homogeniteit van het materiaal te worden bespro-ken. Ondanks de grote vooruitgang die reeds is verkregen, komen toch steeds weer blokken voor die te grote afwijkingen vertonen. Aan de verkrijging van een meer constante kwaliteit wordt gewerkt. Ret is echter noodzakelijk steeds voldoende steekproeven te nemen, hetgeen zeer eenvoudig kan geschieden door enkele extra platen uit te snijden, welke zich direct naast gedeelten hebben bevonden, waaruit het model is opgebouwd. In extreme gevallen kan men dus een verlopende elasticiteitsmodulus invoeren.

2 MeetDlethodiek

2.1 Algemeen

Zoals reeds vermeld kunnen de gebruikelijke meetmethoden voor poly-styreenschuim niet worden toegepast. De afneembare mechanische rek- en krommingsmeters moeten door de waarnemer op het model worden geplaatst waardoor grote vervormingen in het materiaal ontstaan die de meetresultaten vertroebelen. De vaste rek- en krommingsmeters belemmeren het materiaal sterk in de vervorming of bezitten een te grote meetlengte. Rekstrookjes zijn onbruikbaar daar het polystyreenschuim te veel wordt verstijfd door de pa-pieren drager van het rekstrookje. Bovendien tasten de gebruikelijke rek-strookjes-lijmsoorten het polystyreenschuim aan. Elektrische krommingsmeters zijn niet toe te pass en, daar het materiaal geen hard en volkomen vlak opper-vlak bezit. De moiremethode is dus eveneens niet mogelijk.

Springlakken, b.v. van gedistilleerd colofonium, zijn in principe wel moge-lijk; het verkrijgen van een goede springlak van constante kwaliteit levert nog moeilijkheden op.

Bij modellen van polystyreenschuim wordt derhalve gebruik gemaakt van de spiegelreflectiemethode. De krommingen worden afgeleid uit de hoekver-draaiingen van de constructie die met behulp van spiegeltjes worden gemeten. De lengteveranderingen worden gemeten met behulp van speciaal ontwikkelde spiegelrekmetertjes, waarbij rekken worden omgezet in hoekverdraaiingen.

AG

Het principe om hoekverdraaiingen en lengteveranderingen langs optische weg te meten, is uiteraard reeds lang in diverse meetinstrumenten toegepast. Het typerende van de spiegelreflectiemethode - gebaseerd op de aligneerme-thode van VAN HEEL 1) - is echter, dat het snijpunt van een lichtstraal met een scherm nauwkeurig kan worden vastgelegd door gebruik te maken van een puntvormige lichtbron en een speciaal soort spiegeltjes (zoneplaatjes) zonder verdere optische hulpmiddelen. Bij de gebruikelijke optische apparatuur daarentegen wordt de lichtstraal gefixeerd door middel van een kijker met kruisdraad, waardoor men via een spiegeltje een schaalverdeling moet aflezen met aIle nadelen van dien (scherpsteIlen van de kijker, beperkte grootte van de hoekverdraaiing, die liefst aIleen in een bepaalde richting moet optreden, gevoelig voor verplaatsingen van de kijker).

De spiegelreflectiemethode berust op een interferentieverschijnsel van het licht.2 ) Om dit toe te lichten, kan het gemakkelijkst worden uitgegaan van de proefvan Young (zie fig. 8a). Een puntvormige lichtbron A beschijnt een vrij

M

W'

"~"

Fig.8a. Interferentie van het licht. Fig.8b.

ver verwijderd scherm V met twee smaIle spleten S. Volgens het principe van HUYGENS kan elke spleet weer als een nieuwe coherente 3) lichtbron worden beschouwd. Deze bronnen zijn volkomen in fase als ASI = AS2 dus AT ~ V. In punt B van vlak W komen lichtgolven samen die een faseverschil hebben, dat overeenkomt met het verschil in weglengte tussen SIB en S2B. De licht-golven versterken elkaar indien het verschil in weglengte gelijk is aan een ge-heel aantal golflengten, en verzwakken elkaar indien dit verschil een on even aantal halve golflengten bedraagt. Er ontstaat zo een systeem van donkere en lichte banden bij monochromatisch licht en van gekleurde banden bij gebruik van wit licht. AIleen in punt M is de band wit daar hier voor aIle golflengten versterking optreedt. In het algemene geval zuIlen de secundaire lichtbronnen Sl en S2 niet in fase zijn maar wel coherent; aIleen voor punt M zijn de op-tische lichtwegen gelijk, zodat hier weer een witte band ontstaat (zie fig. 8b).

1) VAN HEEL, A.C.S., Modern alignment devices. Progress in optics, vol. I. North Holland Publishing Company, Amsterdam 1961.

') Zie b.v. LIEM, S. H., Optische precisiemetingen op civiel- en werktuigkundig gebied in de praktijk. De Ingenieur no. 8 februari 1961.

3) Lichtbronnen heten coherent indien het uitgezonden licht op overeenkomstige tijdstippen dezelfde fase en amplitude heeft; de beide lichtbronnen moe ten dus getrouwe copieen van elkaar

z~jn. Dit is slechts te bereiken door uit te gaan van een lichtbron en hiervan met optische hulp middelen twee of meer fictieve lichtbronnen te vormen.

Fig. 9. Zoneplaatje.

Wijze van bevestigen.

Afbeelding op het scherm.

Ret voorgaande geldt slechts exact als AT

=

TM. Indien AT

#

TM geldt dit echter met goede benadering, daar deze beide afstanden veel groter zijn dan de afstand SlS2 tussen de spleten. In de praktijk blijkt de ligging van het interferentiecentrum ongevoelig te zijn voor verdraaiing van vlak V. In plaats van twee rechte spleten kan men ook meerdere cirkelvormige spleten gebrui-ken (zoneplaat) en de enkele spleet A vervangen door een klein cirkelvormig gaatje. Bij gebruik van wit licht ontstaat een wit centrum met een aantal gekleurde concentrische ringen. Vervangt men de cirkelvormige spleten nu door spiegelende ringen, dan treedt precies hetzelfde verschijnsel op, maar ontstaat het beeld op het vlak

W'

aan dezelfde zijde van de zoneplaat als de puntvormige lichtbron. Plaatst men hier een matglazen scherm dan kan het centrum van het interferentieverschijnsel nauwkeurig worden aangetekend (zie fig. 9 en 11).

Ais lichtbron kan gebruik worden gemaakt van een spiegelcondensorlamp, die een ellipsoidevormige reflector bezit welke een vrij scherp brandpunt vormt. In dit brand punt wordt een diafragma geplaatst met een diameter van 1 mm, hetgeen klein genoeg is om voldoende coherent licht te verkrijgen. Een aanmerkelijk grotere helderheid wordt verkregen door een kwiklamp toe te pass en en een brand punt te formeren door middel van een condensor.

Als zoneplaatjes worden glasplaatjes gebruikt waarin aequidistante cirkels zijn geslepen. Deze plaatjes worden aan de voorzijde veraluminiseerd. De ge-slepen zones verstrooien het licht, de onbewerkte zones weerspiegelen het licht en vervullen dus de functie van de spleten. In het vervolg zullen de zone-plaatjes steeds als spiegeltjes worden aangeduid (zie fig. 9). De spiegeltjes worden instelbaar gemaakt door deze via een dun koperdraadje van ca. 3 cm lengte aan een klein koperen plaatje te bevestigen. Deze koperen plaatjes worden met behulp van gips of was op het model bevestigd. Ret draadje wordt nu zodanig verbogen, dat de teruggekaatste lichtstraal op het scherm valt.

r----

- - - -R ---- -I

l

Fig. 10. Aflezing op het scherm als maat voor de hoekverdraaiing.

over deze hoek f{! verdraaien. Uit fig. 10 voIgt dat de teruggekaatste Iichtstraal dan over een hoek 2f{! is verdraaid. Indien de hoek, die deze teruggekaatste Iichtstraal maakt met het seherm, niet te veel afwijkt van 90° kan men met goede benadering schrijven:

is = 2f{!R of wel f{!=--is . . . .

2R . . . ( 1) en (1 ')

De Iigging van twee corresponderende punten op het seherm geeft dus een maat voor de grootte en de richting van de hoekverdraaiing.

Bij het meten kunnen twee methoden worden gevolgd:

a. Voor de Iichtbron wordt een smalle buis geplaatst zodanig, dat de uit-tredende Iiehtkegel ter plaatse van het model een iets grotere doorsnede heeft dan het oppervlak van een spiegeltje. Via een richtmechanisme wordt deze buis door een meettechnicus zodanig verdraaid, dat de spie-geltjes achtereenvolgens worden besehenen. De waarnemer tekent de punten met hun nummer aan op het scherm. Na dit in onbelaste en belaste toestand te hebben gedaan, worden de eoi:irdinaatversehillen van de overeenkomstige punten opgemeten (zie fig. 12). Het aantekenen van de punten geschiedt door geoefende waarnemers zeer snel, ca. 200-400 meet-punten per uur, afhankelijk van de plaatsing; het noteren van de eoi:irdi-naatversehillen in het meetboek neemt meer tijd in besIag, evenals het riehten van de spiegeItjes op het seherm.

b. Heeft men betrekkelijk weinig meetpunten maar b.v. meerdere belastings-stappen, dan worden aIle spiegeltjes tegelijk besehenen en aehtereenvolgens aangetekend (zie fig. 11). Bij toepassing van een kwikIamp kan men het

Fig. 11. Het aantekenen van de waarne- Fig. 12. Het opmeten van de verplaatsingen mingspunten. op het scherm in radiale en tangentiale

rich-ting.

beeld van de spiegeltjes op het scherm zowel in onbelaste als belaste toe-stand van het model fotografisch vastleggen op hetzelfde negatief. Het is eveneens mogelijk de interferentiepatronen van de spiegeltjes direct op lichtgevoelig papier te laten inwerken. Ret voordeel van de fotografische methoden bestaat hierin dat de invloed van de kruip van het polystyreen-schuim sterk kan worden beperkt.

Daar de spiegeltjes zeer gemakkelijk in resonantie geraken dienen tijdens een meting trillingen te worden vermeden, ook al zijn deze nauwelijks hoor-baar of voel hoor-baar.

2.2 Nauwkeurigheid van de meting

Om een indruk te verkrijgen in hoeverre de hoekverdraaiing juist wordt weergegeven door de waarde

o/2R

beschouwe men fig. 13, waarbij is aange-nomen dat het spiegeltje draait om een as die loodrecht staat op het vlak van tekening, terwijl de geschetste lichtstralen in het vlak van tekening liggen. Formule (2) van fig. 13 is in deze vorm niet bruikbaar, maar kan op verschil-lende wijzen worden vereenvoudigd.

Om na te gaan, welke invloed de horizon tale en vertic ale verplaatsingen van het spiegeltje op de aflezing uitoefenen kan men in formule (2) in eerste

6h

~Ir

~--- ---~---~--

-op her scherm meet men -op:

,) = (R+6h)tg(2j3+2<p+O~")+(R+611)tg(f1+0)~Rtga~Rtg(2fJ~a) ____ (2) <l ~ + I 'S ~II en '" <l

-=~+1

I I i 'I i~ ! I o + ~ + ~i ~ en ~ <l + 'S

Fig. 13. Aflezing op het scherm als functie van de verdraaiing en de verp1aatsing van het spiegeltje.

instantie de tangens van een hoek vervangen door de hoek zelf. Bij een scherm-hoogte van 1 m en een afstand R

">

6 m bedraagt de maximale afwijking door deze benadering 0,8%. Formu1e (2) gaat dan over in:

15

=

2rp(R+tJ.h) +2()(R+tJ.h) +2f3tJ.h . . . (3)

Stelt men R+tJ.h

=

R' dan is

15

=

2rpR' +2()R' +2f3tJ.h

=

2rpR'

+

2tJ.v

+

2f3tJ.h . . . (3')

Men meet dus behalve de waarde 2rpR' tevens 2 X de verticale verplaatsing en maximaal

1/3

X de horizontale verplaatsing daar f3max

=

1/6.

Ret is dus noodzakelijk de opstelling zodanig te maken dat een verplaatsing

tJ.v wordt vermeden, daar men anders de aftezingen op het scherm met de

zakkingen van de constructie moet corrigeren.

Een opstelling als in fig. 14a is derhalve niet aanbevelenswaardig; beter is een opstelling volgens fig. 14b. Ret nadeel is dat de belasting met hefbomen of via kogellagers moet worden aangebracht; bij de opstellingswijze van fig. 14c is ook dit bezwaar ondervangen (zie ook fig. 1).

Fig. 14a. Ongunstige op-stelling. Llv beinv10edt de aflezing voor 'P.

Fig. 14b. De invloed van

Llh op 'P is aanmerkelijk k1einer dan van Llv. De krachten moeten echter veelal door middel van hefbomen worden aange-bracht.

Fig. 14c. Grote spiegel onder 45°. De invloed van

Llh is nog enigszins kleiner dan in fig. l4b daar

Rc > Rb • De belasting kan

direct door middel van ge-wichten worden aange-bracht.

Fig. 14. Wijze van opstel-len van het model.

fl.h = 0 fl.vof 0 R YJricert voor de verschillende spiegeltjes fl.h of 0 ~ _ _ fl.v= 0 R constant

In vele gevallen is ~v

=

0 en ~h ~ 0 waardoor formule (2) overgaat in:

a

=

R{tg(2gJ+2t1-a)

-tg(2t1-a)} =

=

Rtg2gJ{

1 +tg(2gJ+2t1- a)tg(2t1-

a)}

. (4)

Als gJ klein is, kan hiervoor met goede benadering worden geschreven:

15= 2gJR{l+tg2(2t1-a)} . . .

(4')

De term

tg

2

(2t1-a)

_{is gelijk aan nul voor}

21'1

=

a,

d.w.z. indien de terug-gekaatste straalloodrecht op het scherm staat. Voor een schermhoogte van 1 m en een afstand R

>

6 m, bedraagt de maximaal mogelijke fout]

=

(1/6)2

=

= 2,8%. Door de spiegeltjes met enige zorg te richten, kan deze fout worden teruggebracht tot minder dan 1

%.

Bij een willekeurige verdraaiing van het spiegeltje zal de gereflecteerde lichtstraal S2F van fig. 13 niet meer in het vlak van tekening liggen. Om dit geval te kunnen onderzoeken, wordt de verdraaiing f1J van het spiegeltje ont-bonden in drie loodrecht op elkaar staande richtingen. Hiervoor zijn gekozen (zie fig. 15):

f1JI loodrecht op VI, waarin VI het vlak voorstelt door de invallende lichtstraal en de normaal op het spiegeltje;

f1J2 loodrecht op V2 , waarin V2 het vlak van het (/y,

spiegeltj e voorstelt en

f1J3 loodrecht op f1J1 en f1J2 , dus eveneens loodrecht

op V3 • Fig. 15.

v,

De verdraaiing f1JI van het spiegeltje is reeds in fig. 13 behandeld. De ver-draaiing f1J2 heeft geen invloed op de teruggekaatste lichtstraal. De invloed

van de verdraaiing f1J3 is nagegaan in fig. 16, waar ter vereenvoudiging aIle

sinus- en tangenswaarden door de hoek zelf zijn vervangen. Is het model niet belast dan voIgt de lichtstraal de weg A-S-C en snijdt het scherm in H'. Na verdraaiing van het spiegeltje wordt de invallende straal AS weerkaatst vol-gens SF en snijdt het scherm in F'. Voor punt L' geldt dat de "verticale" ver-plaatsing van punt H' gelijk is aan nul en de "horizontale" verver-plaatsing gelijk aan 2R'1jJ, zodat men hieruit de correctietermen

jv,!,

en fi"p kan berekenen. Ondergaat het spiegeltje tevens een verdraaiing rp loodrecht op VI, zoals ge-schetst is in fig. 13, dan voIgt uit (4) dat:

6 = 2rpR{l+(2fl-a)(2rp+2fl-a)}

Uit een vergelijking van fig. 13 met fig. uiteindelijk als correctietermen vindt:

ift

lp = 21jJR( 1jJ2+1jJ?+1/2flrj)

iv,p

= 21jJR(fl1jJ+fl?)

j~"r

=

2rpR(fl+1j) (fl+rl+2rp)

16 voIgt dat a

=

fl-"Y),

zodat men

. (5) . (6)

(4") Om een indruk van de orde van grootte van de afwijkingen te verkrijgen, kunnen in de vormen tussen haakjes waarden voor de hoeken worden ingevuld die slechts zelden zullen worden overschreden. Gesteld is 1j)

=

rp

=

0,03 en

ti

=

1) = ;, = 0,08. Men vindt dan:

ift

,p

=

21jJR (0,0065)

iv,p

= 21jJR (0,0088) j~(r = 2rpR (0,0352)

Indien 1jJ en rp even groot zijn, kan de fout in de "verticale" aflezing dus bij de veronderstelde ongunstige omstandigheden tot 4,4% oplopen. Resumerend

kan echter worden gezegd, dat bij een juiste opstelling en met enige zorg rich-ten van de spiegeltjes de formule cp

=

o/2R

geen grotere afwijking vertoont dan 2%. De nauwkeurigheid van aantekenen en aflezen op het scherm, zoals aangegeven in de fig. 11 en 12, bedraagt bij nauwkeurig werk

±O,5

mm. Bij de fotografische method en is deze nauwkeurigheid tot

±O,2

mm op te voeren.l)

2.3 Bepaling van de hoekverdraaiing bij een willekeurige stand van het onderzochte vlak

Om het weerkaatste beeld van de lichtstraal op het scherm te doen vaIlen, moeten de spiegeltjes ongeveer evenwijdig met het scherm worden opgesteld; uit het voorgaande blijkt dat kleine afwijkingen vrijwel geen invloed hebben op de meetresultaten. De formule cp =

o/2R

is echter aIleen juist als het onder-zochte vlak zich eveneens evenwijdig aan het scherm bevindt. Staat de nor-maal van het onderzochte vlak niet loodrecht op het scherm, dan moeten cor-recties worden aangebracht die als voIgt kunnen worden bepaald. De ver-draaiing van het onderzochte vlak kan worden gekarakteriseerd door de vector v, die men weer kan ontbinden in de onderling loodrecht op elkaar staande vectoren x,y en z. De vectoren x eny worden naar believen in het beschouwde vlak gekozen; z staat dus loodrecht op dit vlak. De verdraaiing van het onder-zochte vlak veroorzaakt een zelfde verdraaiing van het spiegeltje dat vrijwel evenwijdig met het scherm staat opgesteld. De verdraaiing van het spiegeltje wordt ontbonden in de onderling loodrechte vectoren x',y' en z'. De vectoren

x' eny' worden b.v. horizontaal en verticaal gekozen, evenwijdig met het vlak van het scherm, zodat z' loodrecht staat op het vlak van het scherm. De stand van beide assenkruisen OXY2 en OX' Y' 2' ten opzichte van elkaar wordt be-paald door de richtingscosinussen van de hoeken, die deze assen onderling met elkaar maken. Onderstaande tabel geeft: hiervan een overzicht.

I--I~-I-;

iz

I

i

x'

I

a,

I

b,

I "

I

I Y'

I

a,

I

b,

I "

! Z' I a3 I b3 I C3 I

Drukt men de oude coordinaten x, y, z uit in de nieuwe coordinaten x', y', z' dan vindt men:

x

=

alx' +a2Y' +a3z'

y = b1x'

+

b2y'

+

b3z'

Z

=

CIX'+C2y'+C3Z'

-1) Zie ook noot 1, pag. 87.

94

(7a)

(7b)

(7c)

Fig. 16. Afiezingen op het scherm als de normaal van het spiegeltje na verdraaiing nict meer

in het vlak van tekening ligt.

Ret spiegeltje verdraait vanuit stand V 2 over een hoek IjJ tot stand V2" Vlak W2 is evenwijdig aan V 2' De normaal SB van het spiegeltje V 2 zal in het algemeen niet lood-recht staan op het vlak W2 ' van het scherm. De hoek X tussen W2 ' en W2 kan worden afgeleid uit de groottc van L C'BC

=YJ en LD'BD = A en bcdraagt X =

= Yl)'+A'. De afstand R tussen spiegeltje en scherm wordt bepaald door de loodlijn SK op W/ necrgelaten. Ret blijkt, dat

R "" R', aangezien cos X "" I.

V oar de verdraaiing van het spiegeltje voIgt de lichtstraal de weg ASC en na de ver-draaiing de weg ASF. De vlakken door deze lichtstralen zijn links onder in de tekening nogmaals apart weergegeven teneinde de ligging van de verschillende punten duide-lijker aan te ton en.

V, A iB w, ~ 'I w; C C' H' ,A D" D' w, D W' s-G~ E E' F' Heron 10 (1962) no. 2

Bij benadering geldt:

h,1p_

= 1/2EC en

F

V'P =

:SC

= {l

GE'~ = Ij) GE' R'

Voorts is GE' = 2D"D+2DD'+CC' = = (2R'1j)2+2R'1pA+R'{lYJ) R' = RY I +},2+J)2 "" "" R(l+1/2A'+1/21j2) "" R C'R' = R'1){l2, .!v,p = j'v,p -C'R zodat men vindt:

h",p

= 2RIj)(1p2+,p},+I/,fJI)) iuv' = 2Rf3(1p2+1pA)

,

_,

""'-(5) (6)

95

Dit wil zeggen dat de gezochte vectoren x eny (dus de verdraaiingen van het beschouwde vlak) zijn uitgedrukt in de op het scherm opgemeten vectoren x'

en y' en in de niet te meten vector

z'.

Daar echter vrijwel altijd de vector z gelijk aan nul zal zijn - het onderzochte vlak draait dan niet om een as lood-recht op dit vlak - kan uit de laatste betrekking z' worden uitgedrukt in x' en

y', zodat ook x eny aIleen functies zijn van x' eny'. De uitdrukkingen (7a) en (7b) gaan dan over in:

x

=

(a1 - :: C1 ) x'

+ (

a2 -

:>2)

y' (8a)

(8b)

Hierin stellen dus x eny de hoekverdraaiingen van het onderzochte vlak voor en x' eny' de hoekverdraaiingen die men uit de aftezingen op het scherm be-rekent. De uitdrukkingen (8a) en (8b) worden zeer eenvoudig indien een stel vectoren evenwijdig is; zijn b.v. x' en x evenwijdig dan vindt men:

, x = x . .

y=~y'

b2 (8a') (8b')

Indien de vector z van het onderzochte vlak niet gelijk is aan nul kan deze worden gevonden door in een punt twee spiegeltjes aan te brengen. Ret ene spiegeltje leest men afvia de grote spiegel onder 45° (zie fig. 14c), zodat men de vectoren x' en y' kan bepalen. Het tweede spiegeltje leest men direct af (zie fig. 14a), zodat men hieruit de vectoren x' en z' kan vinden. De verdraai-ingen van het onderzochte vlak

vol-gen dan uit (7a) tot en met (7c)o

2.4 Werking van de spiegelrekmetertfes

Voor het bepalen van de 1engte-veranderingen wordt een portaa1-constructie van zeer dun messing toegepast volgens fig. 17. Indien dit portaaltjes op het model wordt be-vestigd, zal bij vervorming van het model ook het portaaltje vervormen. De vervormingen van het portaaltje zijn zowel afhankelijk van de hoekver-draaiing als van de verplaatsing van de voetpunten A en B ten opzichte van elkaar. Er zijn echter twee sym-metrisch gelegen punten A' en B' op het portaaltje te bepa1en waarvan

Fig. 17. Spiegelrekmetertje. AB = 4 em. Bij een schermafstand R = 7,50 m geeft een ver-1enging van 1/1000 mm van de afstand A-B een aflezing van 1 mm op het scherm.

het verschil in hoekverdraaiing uitsluitend afhankelijk is van de horizontale verplaatsing D.h tussen A en B en onafhankelijk van de hoekverdraaiing van deze punten. Brengt men in A' en B' spiegeltjes aan dan bedraagt de speci-fieke lengteverandering tussen A en B:

ch

=

3/sD.cp • . • . . • . . ( 13)

waarin D.cp het verschil in hoekverdraaiing voorstelt tussen A' en B'. In fig. 20 is de berekening van een spiegelrekmetertje weergegeven bij symmetrische vervorming. De portaalvorm van fig. 20 is de meest eenvoudige en ruimte-besparende, bovendien is bij deze vorm de grootte van D.cp weinig gevoelig voor kleine afwijkingen in de plaats van de spiegeltjes. Het is echter ook mogelijk een rechthoekig portaaltje toe te passen.

In het algemeen zal het moment over de afstand AB niet constant zijn en zullen de benen AC en BC niet symmetrisch vervormen ten opzichte van de lijn CD. Ook in dit geval wordt de specifieke lengteverandering weergegeven door Ch

=

3/sD.cp zoals in fig. 21 wordt aangetoond.

Bij zuivere buiging, al dan niet gecombineerd met normaalkracht, is het gemiddelde van de hoekverdraaiingen van A' en B' gelijk aan de hoekver-draaiing van punt D en kan men een rij rekmetertjes zowel gebruiken voor de bepaling van de rek als de kromming. Bij een sterk verlopend moment worden de afwijkingen echter groot en dient men tevens krommingsspiegeltjes toe te pass en (zie fig. 22).

In fig. 23 is nagegaan welke tegenwerkende krachten de rekmetertjes uit-oefenen bij buiging en normaalkracht. Deze krachten zijn uitgezet als functie van de plaatdikte. Bij een gegeven kromming of rek van de plaat levert het rekmetertje een tegengesteld gericht moment resp. kracht. Voor de normaal gebruikelijke rekmetertjes is in fig.

21

de verhouding weergegeven tussen het moment (resp. de normaalkracht) van twee aan weerszijden van de plaat ge-legen rekmetertjes en het moment (resp. de normaalkracht) in de plaat. De afstand van de rekmetertjes loodrecht op de richting van de verlenging is hierbij gelijk gesteld aan I'. In fig. 25 zijn de tegenwerkende momenten tenge-volge van de verwringing van een rekmetertje berekend. Bij dunne platen is het dus noodzakelijk rekmetertjes van zeer lichte constructie toe te passen, zie fig. 24 en 25. De werkelijk optredende krachten zullen iets kleiner zijn dan de berekende krachten, daar het polystyreenschuim onder de punten A en B plaat-selijk zal kunnen vervormen, zonder dat dit echter veel invloed he eft op het verschil van de aflezingen dat de specifieke lengteverandering bepaalt.

2.5 BeschriJving van de spiegeldynamometer

Meestal zal men op het model een belasting aanbrengen en daarna de ver-vormingen meten. Soms kan het echter wenselijk zijn een gegeven verplaat-sing op te leggen en vervolgens na te gaan welke kracht bij deze verplaatverplaat-sing behoort. Dit is vooral het geval indien het kracht-verplaatsingsdiagram zodanig

verloopt, dat bij toenemende vervorming alleen evenwicht mogelijk is bij een geringe vermeerdering of zelfs vermindering van de

kracht. Vooral stabiliteitsverschijnselen, zoals knik en Fig. 18. Schets van de

1 b h d 1 d . spiegeldynamometer.

doors ag, e oren tot e aatstgenoem e categone. Daar bij modellen van polystyreenschuim slechts ge-ringe krachten optreden, zijn de gebruikelijke kracht-meters minder geschikt; het ligt bovendien voor de hand deze metingen eveneens met behulp van de spiegel-reftectiemethode uit te voeren, zodat met hetzelfde pro-cede zowel de op de constructie werkende krachten als de vervormingen hiervan kunnen worden gemeten. Ret is uiteraard niet mogelijk krachten te meten zonder dat het meetinstrument vervormt; er is echter naar gestreefd de vervorming in de richting van de kracht gering te houden. In fig. 18 is een schets van een dergelijke krachtmeter gegeven. De krachten werken in de richting Al -A2 en veroorzaken een geringe lengteverandering 151 in deze

richting. De 1engteverandering 151 wordt vergroot in de

richting Bl -B2 en bedraagt daar 152 = 151 cotg

fl.

De

lengteverandering 152 veroorzaakt weer buiging in het

portaaltje C1 -C2, die met behulp van 2 spiegeltjes kan

worden gemeten. In fig. 26 is dit in formule uitgewerkt. In fig. 19 is een afbeelding van het prototype van de spiegeldynamometer gegeven. Ret portaaltje Cl~C2 is

hierbij 90° gedraaid om gemakkelijker te kunnen aftezen. In fig. 27 is zowel de kracht als de verplaatsing van het metertje volgens fig. 19 als functie van de hoekverdraaiing van de spiegeltjes uitgezet. Als men dus punt Al in fig. 18 een gegeven verplaatsing oplegt, is uit de aftezingen van de spiegeltjes zowel de plaatsing van punt A2 als de veroorzaakte kracht bekend. Ret verschil in ver-plaatsing tussen Al en A2 is dermate gering ten opzichte van de op te leggen verplaatsingen dat het onderzochte verschijnsel hiervan geen hinder ondervindt.

2.6 ~erekeningen

Fig. 20. Werking van een spiegelrekmetertje bij symmetrische vervorming.

?7J/~

A B

Indien CA en CB symmetriseh vervormen ten op-zichte van de lijn CD kan men CB ingeklemd denken in C met de hieronder aangegeven reaeties in B.

De vervormingen rp en 0" bed rag en dan:

rp

=~

(Ml

+~TI2).

. (9)

El 2 .

Ondergaat B aIleen een hoekverdraaiing plaatsing dan voIgt uit:

3M

2 I

en geen

ver-Men vindt dan de hiernaast geschetste momentenlijn, waaruit voIgt dat in B' op een afstand? l vanuit C de

3

hoekverdraaiing ten opzichte van C nul is. (Oppervlakte momentenvlak van C tot B' is gelijk aan nul.) Geeft men vervolgens B aIleen een horizontale verplaatsing, dan voIgt uit:

M rp = O-'rT= - 2 [ .

Men vindt dan de hiernaast geschetste momentenlijn. De verplaatsing (5" van B voIgt uit (10) en bedraagt:

0 " =

1 Ml2y2

12 El ( 10')

De hoekverdraaiing van B' ten opzichte van C ofB bedraagt:

2 Ml

. . . (11)

rpE' = -

9

El

(rpE =

-~

;j,

dus rpB' =

~rpE

=

~rpmax)

Voor het gehele portaaltje geldt:

zodat

. 1 Ml'y2

I':lh = 20h = - 6-jfI- en I':lrp = 2rpB' =

I':lh =

~

ly2l':lrp, en 3 I':lh 3 0/ = - - - = - I':lrp I [y2 3 Heron 10 (1962) no. 2 4Ml 9El ( 12) ( 13)

99

Fig. 21. Werking van een spiegelrekmetertje bij asymmetrische vervorming.

Denk de constructie in A ingeklemd, terwijl in B de geschetste reacties aangrijpen. De ver-vormingen bedragen: cP = _1_ (24M+18TI+6RI) . . . (14) 12El 0v = 12..j2 (12M+ 11 TI+SRI) . . . (IS) 12El Ok = [2..j2 (6M+STl+RI) . . . . (16) 12El

De hoekverdraaiingen van A' en B' bedragen (AN = BB' = 1/31) : I CPA' = 18El(6M+6TI+SRI) . . . (17) I CPB' = - (30M+26TI+9RI) 18El

Het verschil in hoekverdraaiing bedraagt: 41

I1cp = CPB'-CPA' = 18E/6M+STI+RI)=

=~~

31..j2

en is dus onafhankelijk van cP en 0v, zie for-mule (16).

Men kan omgekeerd uit de formules (14),

(IS) en (16) ook R, T en M uitdrukken in cP, oven

ok -

formules (27) tim (29) - zodat CPA'

en CPB' als functies van cP, oven Ok zijn weer te geven.

Ondergaat A tevens nog een hoekverdraai-ing tP (B dus een hoekverdraaihoekverdraai-ing rJJ+cp) dan worden de uitdrukingen voor CPA' en CPB':

1 - - - - ... - .. .

"'_L 1 S 0v _ 4 0" (19)

CPA' = ' P I lZCP +61..j2 31..j2 . . . .

mB,=",+lm+Sov +40" (20)

"i' ' P 12"i' 61..j2 3 1 . . j 2 · · · . Ook in dit geval is dus:

8

ok

8 I1cp = CPB'-CPA' = - -_ .. = - c".

Fig. 22. Gemiddelde waarde van de hoekverdraaiingen van de spiegeltjes van een

rek-metertje.

De gemiddelde waarde van beide aflezingen voIgt uit (19) en (20) en bedraagt:

rpB'+rpA' ,1 5 01'

rpgem=---=IP-i--rp+-- . (21)

2 12 61y2

Deze gemiddelde waarde is alleen gelijk aan de hoekverdraaiing van D bij een zuiver buigend moment of indien de vervormingen symmetrisch zijn t.O.V. D.

Ret eerste is als voIgt in te zien. Gaat men uit van een gelijkmatig verdeelde belasting dan geldt:

d'y

=!L

dx' EI . . (22)

Integratie van (22) en substitutie van de rand-voorwaarden

y =

o

voor x = 0; y = 0vvoorx = ly2;

dy dy

- = 0 voor x = 0 en -- = rp voor x = 1 V/2

dx dx

levert als vergelijking van de elastische lijn :

6

A D B y

t

A ~'r

~/F

x B ~ _____ ._'_!'2 _________ ~ y = x'(x-I y 2V(L

+

~(x-Iy2)rp+ x2 (31_xy2)15 1' . . . (23) 24 EI 212 213 Hieruit voIgt: dy x q x 3x .

dx = 12(x-l y 2)(2x-I y 2) EI

+

2[i.(3x-2IY2)rp+V3 (2l-xy2)b" . . (24) De hoekverdraaiing van D vindt men door in (24) de waarde x = '/2Iy2 te substitueren. Ondergaat A tevens een hoekverdraaiing IP dan wordt:

_ rp I 3y2 .

rpD - IP-::j. T

41

151" . . . (25) Deze waarde is dus niet gelijk aan de waarde van formule (21). Slechts bij een zuiver buigend moment gaan (21) en (25) in elkaar over, immers dan geldt

d3_y 1 y2

q = 0 en D = E I -= 0, waaruit voIgt 01' = -rp---, zodat:

d~ 2

rpD = rpgem = _{IP+ ' /}2rp . . . (26)

Fig. 23. Kracht in een rekmetertje als functie van de vervorming.

Uitgaande van de vervormingen, die zijn uitgedrukt in de krachten volgens de formules (14). (15) en (16) kan men omgekeerd ook de krachten in de vervormingen uitdrukken. Deze for-mules luiden: R = El Y 2(3rplY2+60v-240h ) • • 413 T = Ely2 (-9rply2+60v+24bh ) 413 M =

~~{,2

(+ 7rplY2-6b.v-12bh ) Heron 10 (1962) no. 2 (27) (28) (29) 101

Bij zuivere buiging geldt voor de vervorming van de neutrale lijn van de plaat:

°

Y = -_2{2 X2 _, zodat (30)

(31)

(32) De lengteverandering C,b van de buitenste vezel van de plaat voIgt uit

~

= Zv 2 , zodat men door

sub-'/2d (!

stitutie van (32) vindt: Ab =

?!!v2

u 2Z . . . (33) Uit (30), (31) en (33) volgen de vervormingen van punt B van het portaaltje (zie ook fig. 21):

°

~ ~ Od

v

2 (34)

h ~ 2Z

(35) (36) Substitutie van deze waarden in (27) tot en met (29) Ievert: R = 3Elov~ _{(l+d v 2)} Z' (27') T = ~ 3E10v2 (l+dv2) Z' (28') M = li,]ov2 (8Z+6dv2) 4Z3 (29')

Uit (27') en (28') voIgt dat de resulterende kracht horizontaal gericht is met een grootte:

6Elo

H = ~---y< (l+d v 2) . . . (37)

A

i

I·

De kracht per eenheid van lengteverandering bedraagt dan:

H ~ H ~ ~ 6El Zv 2+ 2d

, ~ C,b ~

i s

~--d-- . . . .

Ret moment per eenheid van lengteverandering bedraagt

E14l+3d v 2

M, = [2 d . . . .

1-12

(37')

(29") Indien uitsluitend een normaaikracht op de pIa at werkt, zijn de vervormingen van punt B van het portaaltje gelijk aan:

Ok = c'n (38)

0v = 0 (39)

Substitutie van deze waarden in (27) en (28) levert: R = _ 6E1I1 ny2 . . . . [3 T =

_{- +}

6E1I1" y2 _{,zo at} d 13 H=

+

12Ell:ln . . . /3

De kracht per eenheid van lengte-verandering bedraagt dan:

H, = 12El

/3 . (41 ')

Horizontale kracht H die een rek-metertje uitoefent per eenheid van lengteverandering als functie van de plaatdikte.

I. bij zuivere buiging 2. bij normaalkracht . (37') (41') ~cl_ 6 .--.---,---- - ~-ut (27") (28") (41 )

(Waar nodig zijn de indices r en p

toegevoegd die resp. betrekking heb-ben op het rekmetertje en het

poly-styreenschuim. ) o~---~----~---

__ _

o 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

d

~T' Fig. 24. Vergelijking van de krachten in cen rekmetertje en in het polystyreenschuim.

De krachten, welke door de vervorming van het rekmetertje ontstaan, dienen klein ten opzichte van de krachten die in het polystyreenschuim optreden.

Uit formule (32) voigt het buigend moment in de plaat:

te zijn

Mp = dy = ~ _{. . . (42)} Eplp dx2 _{2

Substitutie van (33) in (42) levert:

M = -E 1 I:lby2

p p p Id . . . (43) zodat het moment per eenheid van lengteverandering van de buitenste vezel gelijk is aan:

y2

M p, = -EplPTrl . . . (43')

Plaatst men ter weerszijden van de plaat een rekmetertje, dan voigt uit de formules (37') en

(29") een tegenwerkend moment ter grootte:

M,' = H,d+2M, = 2~;lr (3~~~-t_6_d

+

4/+~dY2) . . . (44)

De verhouding tussen het moment, geleverd door beide rekmetertjes, en het moment in het polystyreenschuim bedraagt:

M{ = ErbJ:..h 3 y2 (3/y2+6d

+

~/+3dY2)

r . • • • • • • . • • • (45)

M p, Epb p Id2 _{I d}

Bij vervorming uitsluitend tengevolge van normaalkracht bedraagt de kracht per eenheid van lengteverandering in het polystyreenschuim:

]( _ EpFp _ Epbpd

PI - - [ - - - [ - • • • • • • • • • • • • • • • • • (46) Twee rekmetertjes lever en een kracht:

](1' = 24~J"

[3 (41")

De verhouding tussen de kracht in de rekmetertjes en de kracht in het polystyreenschuim bedraagt:

. . . (47) Percentage van het moment en de

nor-maalkracht dat door twee rekmetertjes van de gegeven afmetingen wordt op-genomen, als functie van de plaatdikte. Stelt men bp = l' en d = al' dan gaan de

formules (45) en (47) over in: l. en 2. Moment: M1 ' = '!.>.: b h 3 4,12 3a2±3a+ I _ Mp1 Ep T T 1'4 a' 3a2_{+3a+ I} = C1 : -a3 3. Normaalkracht: . . (45') ~12 I - - r--4 \

j~

I i

II

I' = 4,0 em

I

I

IIV

~.~.r--bp=I'

\

h, =0,03 em) 1 br =0,2 em 3 ~-~ h~ =0,02 em} 2 b~ =0,1 em

!\

E,=1,HO i kgf/em2 Ep= 100 kgf/em 2 3

\

"(

r--

I I

Fig. 25. Invloed van de verwringing

van een rekmetertje.

o

o 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

d

---.. a = _

I'

Beschouwt men het op biz. 105 geschetste plaatgedeelte dan kan de verdraaiing (/) van B t.o.v. A worden ontbonden in de vectoren (/)" (/)2 en (/)3' De invloed van de vector (/)1 is in de voorgaande figuren behandeld; de vector (/)2 is slechts zeer klein en kan worden verwaarloosd; de vector (/)3 veroorzaakt een verwringing van de plaat. Deze verwringing veroorzaakt een keer-symmetrische vervorming van het portaaltje zodat men dit weer in C ingeklemd kan denken. De verdraaiing van B t.O.V. C bedraagt 1/ 2(/)3 = "P. De hoekverdraaiing "P wordt ontbonden in

"Pr en "Pt; "Pr veroorzaakt een verwringing van CB, "Pt een buiging in breedterichting van CB.

De verdraaiing van punt B' op een afstand

1/3 [

vanaf B bedraagt

2/3

"P en heeft geen invloed op de aflezingen voor de rek.

Men dient echter na te gaan of de tegenwerkende momenten van het rekmetertje niet te groot zijn t.o.v. de wringende momenten in het polystyreenschuim. Het wringende moment in het polystyreenschuim bedraagt:

Mtv = {3pGpbpd3

e

1 ({3p = 0,333 daar bp ~ d)

Daar de specifieke hoekverdraaiing

e

1 = ,12 "P vindt men:

[

M = 0333.12 G bpd3

tv , V P [ "P . . • . • . • • • . Voor het rekmetertje geldt "Pr = "Pt = 1/211) ,12.

. . . (48)

c c

'fr Ret wringende moment in CB bedraagt:

Mw' = fJrG r brhrS(h' = '/2v12fJ, G,.

br~rs

1p • • • . • . • • • . • • • . • • (49)

(fJ,. hangt af van de verhouding br/hr). Ret buigend moment in CB bedraagt:

M' - Erlr ,_ 1 vl2 Erhrb rs

b - ~I-rp - 24 ~-I~1p

Men vindt nu de volgende verhoudingen tussen de momenten: M ' w Mw fJr Grbrhr" ----~-0,666 Gpbpds . . . (50) . . . (51) Mb' _ 1 Erhrb,." Mw

-"8

Gpbvds . . . (52)

Percentage van het moment dat door twee rekmetertjes van de gegeven afmetingen wordt opgenomen bij verwringing van de plaat. Stelt men d = aI', bp = I' ') en Vr = Vv = 0,3 dan

gaan de formules (51) en (52) over in: Mw' = 3fJr Er brhr" ~ = Cs . . . (51') Mw Ep 1"1 as as

Mb' = 0,65 Er h,.b rs ~ = C. . . (52') Mw Ev 1'4 as a3

Verder blijkt dat Cs/C. "" 0.

') met bp = I' wordt bedoeld dat de

afstand van de rekmetertjes gelijk is aan I', zodat ook bij varierende a de waarde fJv = 0,333 constant blijft.

Heron 10 (1962) no. 2 ~ 12 4 o o i I 1 1\

\

\

_k~

---

1

0,5 1,0 1,5

,/>Z

I- 1'=4,0 em .. ! I 1

"v

h, =0,03 em 11 br =0,2 em h; =0,02 em )2 br =0,1 em . E, = 1 ,110' kgf/em' Ep= 100 kgf/em' I

I

2~ 2j 3~ d _________ a = _ I' 105

Fig. 26. Berekening van de spiegeldynamometer.

Bij de berekening kan men volstaan met het beschouwen van een kwart gedeelte van de dynamometer. De horizon tale verplaatsing van B, ten opzichte van A,D bedraagt:

I

(I

2 I I )

r5h = -- -Ha e+-Pabe+-Mae . . (53)

EI 6 6 2

Het portaaltje C,-C, werkt als een veer, zodat:

H = -xr5h • . . ' . ' • . . . (54)

De veerconstante x voIgt uit de afmetingen van het portaaltje.

Uit symmetrie-overwegingen is de hoek-verdraaiing van B, gelijk aan nul, zodat:

'P =

-~ (~Hae +~Pbe +

Me) = O. (55)

EI 4 4

waaruit voIgt

I I

M = --Ha - - Pb

4 4 . . (55')

Substitutie van (54) en (55') in (53) levert:

_l!

=

J.. (J..

Ha 2e

+

2.

Pabe) . . (56)

x EI 24 24

Stelt men:

l!I

= f3 _{. . . (57)} x

dan vindt men:

H=--~P

a2e+24f3 . . . (58) Bepaling van de veer con stante van het portaaltje. De enige voorwaarde voor het portaaltje is dat 'P in C, gelijk is aan nul of wei:

'P = Ell'

H

Hs(s+2t)

+

M'(s+t)} = 0 (59) zodat

(59')

M'=_~Hss+2t

4 s+t

De horizon tale verplaatsing ()" van punt C , bedraagt:

I

{I

I }

15k = EI' "6HS2 (s+3t) +ZM's(s+2t) . . . . (60)

Substitutie van (59') in (60) levert: 15_k = ~_ {lHs2(s+3t) __ ~HS2~+2tL2}

EI' 6 8 (s+t)

= _1_ Hs" s+4t

24EI' s+t . . . (61) De veerconstante x wordt in dit geval bepaald dO::lr:

H = +x(l" . . . . . (54')

I I

ff/

\~-Substitutie van (54') en (61) in (57) geeft voor f3:

f3 _ EI _ S3 s-f-4tEI _{- -; - 24 s+t EI' . . . (62)} Uit (58) voigt dan de waarde van H:

___ a_b_c_ p a2c+s3 s+4t ~

s+t I'

H= . . . (63)

Tenslotte dient nog onderzocht te worden, waar de spiegel~jes

op het portaaltje C , - C2 moeten worden geplaatst om een maximale hoekverdraaiing te verkrijgen.

s+2t

Uit formule (59') voigt dat deze punten gelegen zijn op een afstand u = - - - -s vanaf C. 2s+2t

Daar de spiegeltjes in de krommingsnulpunten van het portaaltje zijn geplaatst, hebben onnauwkeurigheden in de afstand u hier de minste invloed. De grootte van de hoekverdraaiing in F bedraagt:

rpF =

~ ~:

u

= 116 ; ,

(s

~~2:r

. . . (64) Op het scherm leest men af ~rp = 2rpF, zodat:

~ = ~ s2(s+2t)2 abc p

rp 8 s+ t a2c(s+ t)EI' +s3(s+4t)EI

waarmede de kracht is uitgedrukt in de gemeten hoekverdraaiing. De vertic ale verplaatsing van B, bedraagt: .5v =

~.5h

a

De verplaatsing van A, ten opzichte van A2 is gelijk:

. . . (65)

.5v' = 2b _.5h • • . • . . . • . • . • . • • . . . • . . . • . (66)

a

Substitutie van (61) en (63) in (66) geeft:

.5v' =

~

s3(s+4t) b2c P . . . . (67)

12 a2c(s+ t)EI' +s3(s+4t)EI

Fig. 27. IJkgrafiek voor het prototype van de spie-gel dynamometer.

I. Verb and tussen de kracht en de hoekverdraai-mg. 2. Verband tussen de kracht en de verplaatsing in de richting van de kracht.

Bij een schermafstand van G m veroorzaakt een kracht van I gf dus een aflezing () ter grootte van 1,5 mm.

Heron 10 (1962) no. 2 0.6 f----~--0,4 0,2 - - ---,---+----t-0~ ____ ~ ____ ~ ______ L -____ ~ ____ -L ____ _

°

0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 _ t i q ;

°

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 _______________ r5v In mm 107

3 Uitgevoerde proeven

3.1 Modelregels

Het model en de belasting moeten aan bepaalde voorwaarden voldoen, wil men de verkregen meetresultaten kunnen omwerken tot bruikbare gegevens voor de werkelijkheid. Deze voorwaarden kunnen gemakkelijk worden be-paald volgens de door Buckingham ontwikkelde methode van de "dimensional analysis"I). Uitgaande van een geometrisch verkleind model waar de belasting op dezelfde wijze wordt aangebracht als bij de werkelijke constructie komt het hierop neer, dat men de grootheden dient te bepalen die het gedrag van de constructie karakteriseren. Is de differentiaalvergelijking die het probleem be-heerst bekend, dan kunnen hieruit de benodigde gegevens worden verkregen; in de overige gevallen moet men trachten deze grootheden op andere wijze te bepalen.

De materiaaleigenschappen zijn vastgelegd door de elasticiteitsmodulus E,

de contractiecodficient v en het volumegewicht y. Bij sommige constructies wordt de krachtsverdeling eveneens be'invloed door de ondergrond. Dit gedrag kan bij benadering worden gekarakteriseerd door een tegendrukcoefficient k.

Voor de meting van bovenstaande grootheden zijn slechts 2 grondeenheden nodig, namelijk een kracht P en een lengte I, waarmede de belasting en de schaal van de constructie kunnen worden gekarakteriseerd. Met behulp van deze grondeenheden kan men de volgende onafhankelijke dimensieloze groe-pen vormen:

P kl yl

E12' E' E' v . . . . . . . . . (68)

Andere groepen bestaan uit produkten van bovenstaande grootheden en zijn dus niet onafhankelijk. De grootheden, die men wenst te bepalen, worden

al2 _{b R}

nu eveneens in dimensieloze groepen ondergebracht, b.v.

p' I'

Ii, rp,

p'

resp.

voor de spanning a, de verplaatsing b, de rek Ii, de hoekverdraaiing rp en de

oplegreactie

R.

De spanning in een punt kan nu als voIgt worden uitgedrukt als functie van de belasting en de eigenschappen van constructie en ondergrond:

a;

= ji

(:Z2'

~, ~,

v, ... ) . . .

(69)

Hierin stelt 11 een functie voor, waarvan de mathematische vorm veelal niet te bepalen is; de functie is echter voor elk geval eenduidig bepaald; het model

') Zie voor een uitvoeriger beschrijving: GOODIER, J. N., Dimensional analysis. Handbook

of experimental stress analysis. HETENYI, M., appendix II, John Wiley & Sons, New York 1950 of: IBC-mededelingen 3 (1955) no. 4.

moet te hulp worden geroepen om dit verband vast te leggen. Voor de overige grootheden vindt men evenzo:

o

I

= 12 (. . .); E = 13 ( ... ) enz.

Daar de bovenstaande uitdrukkingen dimensieloos zijn, gelden zij voor aIle systemen van eenheden en zijn zij zowel voor het model als voor de werkelijke constructie toe te passen. Zorgt men nu dat de grootte van de onafhankelijke dimensieloze groepen in model en werkelijkheid dezelfde zijn, dan zijn eveneens de dimensieloze groepen voor de gelijktekens dezelfde, waarin dus de te onder-zoeken grootheden zijn verwerkt. Geeft men de modelgrootheden aan met een index m en de grootheden van de werkelijke constructie met een index w en stelt men lw/lm = fh, dan volgen uit de groepen (68) onderstaande voorwaarden:

Em 1 Pm = -E - Pw . . . . (70) w f12 Em km = - ftkw • • • • • • . • . • • • • • • . • • • • . (71) Ew Em Ym = - fiYw· . . . . (72) Ew 11m = vw (73)

Voor de te ondcrzoeken grootheden geldt dan:

Pm Em am

= -

!(,2aw

= -

aw . . . (74) Pw Ew Ow . . • . . . • . . . . (75) Em = Ew rpm = rpw Pm Em 1 Rm = -- Rw = , - , - Rw P,v Ew,u2 (76) (77) (78)

Is dus aan (70) tot en met (73) voldaan, dan zijn de waarden van E en rp in model en werkelijkheid aan elkaar gelijk. De overige grootheden moeten wor-den omgerekend. De spanningen bij de werkelijke constructie kunnen uiteraard ook rechtstreeks worden bepaald uit aw = EwE.

In de voorgaande beschouwingen is aangenomen dat de elasticiteits-modulus E en de tegendrukcoefficient k constante grootheden zijn.

a

Dit is echter geenszins noodzakelijk; in p1aats van - = s kan men bij een niet rechtlijnig verlopend a-s-diagram schrijven:

E

a

Ii

=

S-Fl(S) . . . (79)

waarin Fl(O)

=

0 zodat E de tangent modulus in de oorsprong voorstelt.

b'-~--'~---'~-r-- -~~--~~-r I 1

---1 en 2

V

~-

---~----b ! a L-~~~~~~~~~~~~~~~.~F

- ,

Fig. 28. a. Niet lineair verlopende a-c-diagrammen.

b. De diagrammen van fig. 28a uitgezet als dimensieloze betrekking. I en 2 voldoen aan (79); 3 voldoet aan (80); C1 = 10/7.

Ook deze betrekking is weer dimensieloos. Ret a-s-diagram van het model-materiaa1 moet een affiene transformatie zijn van dat van het werkelijke ma-teriaa1, zodat bij het modelmateriaal vergelijking (79) ook de vo1gende ge-daante mag aannemen:

a

Ii

=

cls-Fl(ClS) . . . (SO)

De tangentmodu1us wordt nu voorgesteld door clE waarin Cl constant is (zie

fig. 2S).

Voor de tegendrukcoefficient kan men eveneens een dergelijke dimensieloze betrekking opstellen:

a' clo-F2(ClO)

kl I (Sl )

waarin a' de spanning in de ondergrond voorstelt en waarin F2(0)

=

O. Om in het model ana10ge verschijnselen te verkrijgen a1s in de werkelijke constructie is het nu niet meer mogelijk de grootte van de dimensieloze groepen bij model en werkelijkheid gelijk te houden. Uit fig. 2Sb voIgt dat de model-belastingen met een factor l/cl moeten worden vermenigvu1digd zodat de voorwaarden (70) en (72) overgaan in:

1 Em 1

Pm = -~- Pw • • • • • • • • • • • • . • • • • . (70')

C1 Ew fl2

1 Em

Ym

=

C1 Ew fl Yw . . . • • • . . . (72')

De voorwaarden (71) en (73) b1ijven onveranderd.

Alle vervormingen en spanningen in het model worden dan eveneens ver-menigvu1digd met de factor

11c1

zodat de uitdrukkingen (74)

tim

(78) over-gaan in: 1 Em am = -~aw C1 Ew 1 1 bm

= - -

bw C1 fl-1 rpm =-rpw C1 1 Em 1 Rm=-~-Rw C1 Ew fl2 (74') (75') (76') (77') (78')

Het niet gelijk houden van de dimensieloze groepen in model en werkelijk-heid 1egt echter ook beperkingen op. Men kan nl. de vo1gende constructie-typen onderscheiden:

a. Het me est voorkomende type waarbij de vervormingen recht evenredig zijn met de belastingen, indien het a-e-diagram van het materiaa1 vo1doet aan de Wet van HOOKE. Een eventuele wijziging in de spanningsverdeling kan alleen worden veroorzaakt door het niet rechtlijnig veriopen van het a-e-diagram.

b. Het type waarbij de vervormingen niet evenredig zijn met de belastingen ook a1 vo1doet het a-e-diagram van het materiaa1 aan de Wet van HOOKE. De spanningsverdeling is steeds afhankelijk van de grootte van de belas-ting, zoals b.v. bij een excentrisch gedrukte of getrokken staaf.

Bij een willekeurige waarde van C1 kunnen aIleen de onder a genoemde

pro-blemen worden onderzocht. Bij de onder b genoemde propro-blemen dient C1

=

1

te zijn. Voldoet het materiaal tevens aan de Wet van Hooke, dus F1(e) = 0,

dan behoeft men bij de onder a genoemde problemen niet meer te voldoen aan voorwaarde (70); brengt men immers een belasting

AP

m aan dan worden de

vervormingen eveneens

A

X vergroot, zodat formule (70) dan aIleen geldt voor het bepalen van de factor A. Voorwaarde (71) is alleen van belang als de onder-grond de spanningsverdeling beinvloedt. Past men in een dergelijk geval een modelmateriaal toe waarvan het a-e-diagram voldoet aan (80) dan moet het a' -c5-diagram van de ondergrond bij het model zowel voldoen aan (71) als aan

(81), waarbij de faktor C1 in (80) en (81) gelijk moet zijn.