Wykorzystanie modeli przeżycia i analizy dyskryminacyjnej do oceny ryzyka upadłości przedsiębiorstw

Aneta Ptak-Chmielewska

Szkoła Główna Handlowa

WYKORZYSTANIE MODELI PRZEŻYCIA

I ANALIZY DYSKRYMINACYJNEJ DO OCENY

RYZYKA UPADŁOŚCI PRZEDSIĘBIORSTW

Streszczenie: Artykuł przedstawia wykorzystanie regresji logistycznej, analizy

dyskrymi-nacyjnej oraz modelu Coxa do oceny zajścia zdarzenia upadłości przedsiębiorstwa. Obec-nie standardem w praktyce jest wykorzystywaObec-nie analizy dyskryminacyjnej lub regresji lo-gistycznej do modelowania ryzyka upadłości. Podejście takie ma charakter statyczny i nie uwzględnia czynnika czasu. Alternatywną propozycją jest wykorzystanie modeli hazardu. Modele te mają charakter dynamiczny, ponieważ uwzględniają upływ czasu, po jakim nastą-piło zgłoszenie upadłości. Głównym przedmiotem zainteresowania oraz celem artykułu jest identyfikacja wpływu zmiennych współwystępujących na ryzyko upadłości oraz ewentual-nych różnic w wynikach w zależności od przyjętego ujęcia: statycznego oraz dynamicznego. Przedstawione są wyniki badania empirycznego przeprowadzonego dla próby 1536 przedsię-biorstw (w tym 456 upadłości) na podstawie wybranych zmiennych finansowych.

Słowa kluczowe: analiza przeżycia, modele upadłości przedsiębiorstw, analiza

dyskrymina-cyjna, regresja logistyczna.

1. Wstęp

W dostępnej literaturze istnieje wiele definicji systemów i modeli wczesnego ostrze-gania przed upadłością przedsiębiorstw. Modele wczesnego ostrzeostrze-gania przed upa-dłością są podstawowym narzędziem analitycznym dostarczającym jedynie informa-cji na temat istniejących zagrożeń, nie wskazują jednakże na sposoby rozwiązania zidentyfikowanych problemów. Systemy te powinny być wspierane przez bardziej zaawansowane metody monitorowania sytuacji finansowej przedsiębiorstwa. Mode-le wykorzystywane w analizie przedsiębiorstw dotyczą głównie skali mikro i bazują na wybranych wskaźnikach ekonomiczno-finansowych.

Pierwsze modele systemów wczesnego ostrzegania powstały na początku XX wieku. Za przełomowe uważa się prace E. Altmana z lat 60. XX wieku. Opra-cował on modele dostarczające informacji o zagrożeniach w funkcjonowaniu przed-siębiorstwa. Autor jest prekursorem przejścia od modeli jednowymiarowych do wielowymiarowych metod statystycznych analizy dyskryminacji. W latach 70. i 80. dynamicznie rozwijały się prace związane z wykorzystaniem w predykcji zagrożeń

finansowych modeli logitowych. W latach 90. w tym celu zaczęto używać metod sztucznej inteligencji oraz sieci neuronowych [Mączyńska 2009, s. 70-71]. W Polsce tematyką systemów wczesnego ostrzegania zaczęto zajmować się szerzej dopiero w latach 90. XX wieku, w następstwie transformacji gospodarczej. Mimo że od tego czasu poczyniono wiele w kierunku rozwoju systemów w Polsce, to nadal w prakty-ce zarządzania w przedsiębiorstwach nie są one popularnym narzędziem. Najwięk-szy postęp w tej dziedzinie wykazują banki, którym tego typu systemy dostarczają niezwykle cennych informacji.

Zastosowanie modeli zagranicznych w warunkach polskich w świetle przepro-wadzonych badań międzynarodowych nie jest możliwe bezpośrednio. Ich wykorzy-stanie jest możliwe tylko pod warunkiem, że zostaną one dostosowane do specy-ficznych warunków polskiej gospodarki. Oprócz tego zastosowanie modeli spośród modeli dotychczas skonstruowanych wymaga zweryfikowania poziomu trafności prognozowania tych modeli, zestawu wskaźników użytych w modelu w odniesieniu do konkretnej branży oraz prowadzonej działalności. Konieczne jest także dostoso-wanie w zakresie kryteriów uznania przedsiębiorstwa za zagrożone bankructwem bądź upadłe. Systemy wczesnego ostrzegania mają zarówno wady, jak i zalety, ale nie ma aktualnie szybszej metody dostarczającej informacji o standingu firmy oraz łatwiejszej w interpretacji. Obecnie istnieje wiele metod budowy systemów oraz wiele modeli.

2. Analiza historii zdarzeń

– semiparametryczny model regresji Coxa

Analiza historii zdarzeń (analiza przeżycia) jest określona jako zbiór technik staty-stycznych służących opisowi i badaniu przebiegu życia jednostki, tj. częstości pew-nych zdarzeń, ich sekwencji, rozkładu, czasu pobytu jednostki w różpew-nych stanach. Przedmiotem analizy jest proces stochastyczny, w którym występują zdarzenia, określane również jako stany. Proces opisywany jest zazwyczaj w postaci czasów trwania, określających okres, jaki upływa od rozpoczęcia jakiegoś zjawiska, aż do momentu jego zakończenia, bądź do momentu dokonania pomiaru, jeśli poprzedza on moment zakończenia zjawiska. Przedmiotem badania jest czas upływający mię-dzy zdarzeniami, określany mianem czasu trwania zjawiska bądź epizodu.

Ze względu na liczbę zdarzeń, które mogą zajść, wyróżnia się analizę pojedyn-czego epizodu oraz wielokrotnych epizodów, przy czym analiza pojedynpojedyn-czego epi-zodu jest najbardziej podstawowym modelem analizy historii zdarzeń. Porównując analizę historii zdarzeń z tradycyjnymi badaniami przekrojowymi bądź panelowy-mi, należy stwierdzić, że zaletą tej pierwszej jest dostarczenie informacji o dynami-ce badanego prodynami-cesu (zjawiska).

Proces stochastyczny będący przedmiotem analizy rozpatrywany jest w trzech podstawowych płaszczyznach:

• czasów oczekiwania na wystąpienie wyróżnionych stanów (zdarzeń), • intensywności przejść między wyróżnionymi stanami,

• liczby i kolejności zdarzeń.

Podstawową strukturę analityczną w analizie historii zdarzeń stanowią: prze-strzeń stanów i oś czasu. Przeprze-strzeń stanów jest dyskretna, pomiar czasu zaś może być ciągły bądź dyskretny. Sama oś czasu może zostać zdefiniowana na dwa spo-soby: jako czas kalendarzowy bądź jako czas względny (wiek jednostki mierzony względem zdarzenia początkowego mającego miejsce w momencie t₀). Stan wejścia jest wspólny dla wszystkich jednostek badanej zbiorowości, która jest definiowa-na właśnie przez wspólne doświadczenie przez wszystkie jednostki w momencie t₀ pewnego zdarzenia (stanowi więc kohortę). Wystąpienie zdarzenia upadłości eli-minuje przedsiębiorstwo z kohorty przedsiębiorstw działających. Stanowi więc ono zdarzenie kończące (stan wyjścia) dla modelu pojedynczego epizodu.

Analiza historii zdarzeń obejmuje wiele metod, których klasyfikacji można do-konać ze względu na różne kryteria. Ze względu na zastosowane metody estymacji można wyróżnić metody parametryczne i nieparametryczne. Rozróżnienie wynika z założeń przyjętych co do postaci funkcyjnej rozkładu czasu między zdarzeniami T. W przypadku braku takich założeń mamy do czynienia z analizą nieparametryczną, klasycznym przykładem są tu tablice trwania życia. Z kolei w podejściu parame-trycznym zakłada się, że czas między zdarzeniami jest zmienną losową należącą do konkretnej rodziny rozkładów. W analizie parametrycznej wykorzystuje się meto-dy regresji, co pozwala na oszacowanie wpływu zestawu dodatkowych zmiennych objaśniających na przejście między stanami, jak również uwzględnienie zagadnień związanych z tzw. heterogenicznością badanej populacji.

Połączeniem obu podejść są tzw. modele semiparametryczne. Najbardziej popu-larnym z tej grupy jest model proporcjonalnych hazardów Coxa, opisany w dalszej części artykułu. W modelach semiparametrycznych mamy do czynienia częściowo z podejściem parametrycznym, ponieważ wyspecyfikowana jest funkcja regresji, co daje możliwość badania interakcji między różnymi procesami. Jednocześnie w mo-delach tych nie zakłada się konkretnej postaci rozkładu czasu zdarzeń, co jest podej-ściem nieparametrycznym.

Podstawowym narzędziem do przeprowadzenia analizy historii zdarzeń jest mo-del przeżycia, opisujący rozkład zmiennej losowej, jaką jest czas do wystąpienia określonego zdarzenia w pewnej zbiorowości. Przyjmijmy, że ciągła zmienna loso-wa T jest czasem, jaki upłyloso-wa do momentu zajścia zdarzenia dla jednostki należącej do badanej kohorty w momencie t_0. Zmienna T wyraża więc przyszłe trwanie życia jednostki mierzone w momencie t₀. Rozkład zmiennej T można opisać na kilka spo-sobów, wykorzystując poza standardowo używanymi do opisu rozkładu zmiennych losowych funkcjami gęstości i dystrybuanty także funkcję przeżycia oraz hazardu. • Funkcja przeżycia

( )

(

)

,

gdzie S(t) oznacza bezwarunkowe prawdopodobieństwo tego, że zdarzenie zajdzie po momencie t, a więc że kredytobiorca „dożyje” co najmniej do momentu t. Funk-cja ta wyraża wzorzec przeżycia w badanej zbiorowości.

• Funkcja hazardu

( )

(

)

0 | lim , t P t T t t T t h t t ∆ → ≤ < + ∆ ≥ = ∆

gdzie h(t) jest warunkową gęstością czasu do wystąpienia badanego zdarzenia (pod warunkiem, że zdarzenie nie wystąpiło do momentu t). Konsekwentnie iloczyn h(t)Δt oznacza (przybliżone) prawdopodobieństwo tego, że zdarzenie wystąpi w krótkim przedziale czasu (t, t + Δt), pod warunkiem że jednostka przeżyła co naj-mniej do czasu t.

Modelem najczęściej wykorzystywanym w praktyce jest model proporcjonal-nych hazardów Coxa. Dla modelu Coxa funkcja hazardu wyraża się wzorem:

(

| , ...,1 k

)

0

( )

exp

(

1 1 ... k k

)

h t x x =h t α x + +α x ,

gdzie: h t0( ) oznacza tzw. hazard bazowy; jest to niewyspecyfikowana parametrycz-nie funkcja czasu, natomiast X₁, X₂, …, X_k oznaczają zestaw zmiennych współtowa-rzyszących (mogą to być zmienne zależne od czasu).

Poza samą postacią modelu Cox zaproponował również specjalną metodę jego estymacji, tzw. metodę pseudowiarygodności. Metoda ta wykorzystuje możliwość rozdzielenia funkcji wiarygodności dla modelu proporcjonalnych hazardów na dwa składniki: pierwszy, zawierający informacje tylko o współczynnikach

α

_i, oraz dru-gi, zawierający informacje zarówno o współczynnikach

α

i, jak i o funkcji hazardu. Zaletą modelu Coxa (jak również innych modeli semiparametrycznych) jest możli-wość pomiaru wpływu wielu zmiennych, zarówno niezależnych, jak i zależnych od czasu, na badane zjawisko, bez konieczności specyfikacji bazowej funkcji hazardu h₀(t). Pamiętać należy o poważnym ograniczeniu zastosowań takiej wersji modelu Coxa, jakim jest założenie proporcjonalnych hazardów. Oznacza ono, że dla każdej pary jednostek badanej populacji, w każdym momencie t stosunek wartości funkcji hazardu jest stały. W konsekwencji względny ranking jednostek populacji ze wzglę-du na ryzyko zajścia zdarzenia jest stały w czasie. Problem ten może być jednak roz-wiązany przez włączenie do modelu dodatkowych zmiennych zależnych od czasu (np. będących iloczynem zmiennych współtowarzyszących oraz czasu x i t). Model w takim wariancie określany jest jako model nieproporcjonalnych hazardów Coxa. Model Coxa jest szczególnie atrakcyjny dla badacza w sytuacji [Blossfeld, Rohwer 2002]:

• braku znajomości kształtu zależności hazardu względem czasu,

• braku teoretycznych podstaw do specyfikacji modelu parametrycznego,

• mimo znajomości zależności hazardu względem czasu braku możliwości wska-zania funkcji opisującej tę zależność,

• zainteresowania głównie wpływem zmiennych współwystępujących na czas trwania (a tym samym hazard).

Powyższe wskazania do praktycznego stosowania modelu Coxa pozwala-ją uznać, że model ten może być stosowany do oceny ryzyka upadłości przedsię-biorstw. Wynikiem estymacji modelu Coxa są współczynniki wskazujące wpływ zmiennych współtowarzyszących na prawdopodobieństwo doświadczenia zdarzenia oraz prawdopodobieństwo (hazard) bazowe, które jest takie samo dla wszystkich jednostek populacji i zależy jedynie od czasu.

3. Analiza dyskryminacyjna

Analiza dyskryminacyjna służy do określenia, które z analizowanych zmiennych mają zdolności do wyłonienia dwu lub więcej grup z analizowanego zbioru obserwa-cji. Pozwala ona na zidentyfikowanie tych zmiennych, które pozwalają zaklasyfiko-wać obserwacje do różnych grup z większą trafnością niż przypadkowa. Zadaniem analizy dyskryminacyjnej jest prawidłowa klasyfikacja obserwacji do określanych jako grupy dwóch podprzestrzeni. Funkcja dyskryminująca jest maksymalizacją miary odległości pomiędzy populacjami [Staniec 2000, s. 90].

W metodach analizy dyskryminacyjnej klasyfikacja jednostek jako zagrożone bądź niezagrożone obywa się na podstawie minimum dwóch zmiennych objaśnia-jących. Następuje równoczesna analiza podmiotu pod kątem wszystkich wybranych wskaźników. Kluczowe jest tutaj odnalezienie zależności między zmiennymi umoż-liwiających prawidłowe rozróżnienie podmiotów. W modelach analizy dyskrymi-nacyjnej zmienna objaśniana jest zmienną jakościową. Klasyfikacja jednostek go-spodarczych następuje na podstawie liniowej funkcji dyskryminacyjnej. Powstały w efekcie zastosowania modelu wskaźnik syntetyczny (wartość funkcji) umożliwia jednoznaczną klasyfikację podmiotu [Prusak 2009, s. 47-48]. Metody analizy dys-kryminacyjnej mają pewne ograniczenia. Ich zastosowanie możliwe jest w przy-padku, gdy analizowane wskaźniki mają rozkłady normalne. Konieczne jest także spełnienie założenia o ich niezależności i kompletności. Brak spełnienia założeń wpływa negatywnie na zdolności klasyfikacyjne modelu. Sprawdzenie spełnienia tych założeń przez dobrane wskaźniki może być zweryfikowane przez przeprowa-dzenie odpowiednich testów oraz statystycznych procedur.

Funkcje dyskryminacyjne, na podstawie których budowane są modele wielowy-miarowe systemów ostrzegania przed upadłością, mogą przyjmować różną postać – mogą być funkcjami liniowymi, kwadratowymi itp. Liniowe funkcje dyskrymina-cyjne przyjmują zazwyczaj postać:

Z = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + … + a_nX_n, gdzie: Z

–

zmienna objaśniana (zależna),

a_i, i = 1, 2, …, n

–

współczynniki (wagi) dyskryminacyjne, X₁, X₂, …, X_n

–

zmienne objaśniające (wskaźniki finansowe).

Przedstawiona postać funkcji dyskryminacyjnej nazywana jest funkcją dyskry-minacyjną Fishera. Parametry a_i są zwane współczynnikami dyskryminacyjnymi (wagami). Po wyznaczeniu postaci funkcji dyskryminacyjnej następuje określenie wartości granicznej, pozwalającej na jednoznaczne zaklasyfikowanie jednostki jako zagrożonej bądź niezagrożonej finansowo. Najczęściej wyznaczana jest wartość śred-nia funkcji dyskryminacyjnej w poszczególnych grupach oraz wartość odcięcia w po-łowie między średnimi. Jeżeli wartość Z dla danego przedsiębiorstwa jest mniejsza niż Z_odcięcia, to wówczas jednostka ta klasyfikowana jest jako zagrożona upadłością, jeśli zaś większa, to jako jednostka zdrowa. Prawidłowość dokonanych klasyfikacji (efektywność modelu) oceniana jest za pomocą kategorii: błąd I rodzaju oraz błąd II rodzaju. Pierwsza z kategorii określa procent przedsiębiorstw zagrożonych zakla-syfikowanych jako przedsiębiorstwa zdrowe, natomiast druga kategoria przedstawia, ile procent zdrowych przedsiębiorstw zostało zaklasyfikowanych jako zagrożone.

Za prekursora modelu wielowymiarowego uważa się prof. Altmana, który przedstawił swój model w 1968 r. Model ten stanowi połączenie analizy wskaź-nikowej oraz metody statystycznej – wielowymiarowej analizy dyskryminacyjnej. Autor przeprowadził analizę 22 wskaźników na grupie 66 przedsiębiorstw (33 upa-dłych i 33 nieupaupa-dłych). W kolejnych etapach analizy odrzucano wskaźniki o naj-niższych wartościach predykcyjnych, w efekcie czego do ostatecznego modelu we-szło 5 wskaźników. W 1977 r. prof. Altman wraz z zespołem przeprowadził kolejne badania związane z predykcją upadłości przedsiębiorstw. Przeanalizowano 58 firm upadłych oraz 58 firm w dobrej kondycji finansowej. W efekcie powstał model skła-dający się z 7 zmiennych, dla których tym razem nie określono wag, a co za tym idzie – nie wyznaczono postaci funkcji dyskryminacyjnej. Otrzymany model ZETA cechował się dużą zdolnością predykcyjną w ciągu 5 lat przed upadkiem jednostki – na rok przed upadkiem wynosił on 90%, a 5 lat przed upadkiem 70%. Kolejna wersja modelu Altmana opracowana została w 1983 r. E.I. Altman dokonał zmian wartości wag przypisanych do zmiennych z pierwszego modelu. Dla funkcji dyskry-minacyjnej wartość błędu prognozy wynosiła 6%. Kolejne udoskonalenie modelu Altmana dotyczyło obniżenia wpływu koniunktury oraz specyfiki branży na wartość wskaźnika Z. Modele Altmana opracowane zostały dla przedsiębiorstw działają-cych w realiach rynkowych amerykańskich. Jego zastosowanie dla przedsiębiorstw działających w innych uwarunkowaniach nie daje zadowalających efektów [Zaleska 2002, s. 28-33].

4. Analiza logitowa

Modele logitowe są bardzo popularną obecnie metodą wykorzystywaną do progno-zowania bankructwa przedsiębiorstw. Mogą one występować jako modele

dwumia-nowe, gdzie jedna ze zmiennych jest dychotomiczna, lub jako modele wielomianowe uporządkowane, gdzie zmienna objaśniana może występować w więcej niż dwóch stanach. Do szacowania funkcji logitowych wykorzystywane są metoda ważona naj-mniejszych kwadratów lub metoda największej wiarygodności.

Funkcja logitowa w modelach dwumianowych przyjmuje postać:

0 1 1 ( ... ) 1 ( 1) , 1 exp x k kx P Y= = _{−β β+ + +β} +

gdzie: P(Y = 1)

–

zmienna zależna, zazwyczaj oznacza prawdopodobień-stwo upadłości,

β₀

–

stała,

β_i, i = 1, 2, …, k

–

wagi,

x_i, i = 1, 2, …, k

–

zmienne niezależne – wskaźniki finansowe.

Wskaźnik P(Y = 1) przyjmuje wartości z przedziału <0;1>, gdzie 0 oznacza przedsiębiorstwo zdrowe, 1 zaś zagrożone. Im wartość wskaźnika jest bliższa 0, tym mniejsze prawdopodobieństwo zaistnienia zagrożenia w stosunku do danego przedsiębiorstwa.

Istotną kwestią przy szacowaniu modelu dwumianowego jest właściwe wyzna-czenie punktu granicznego. W przypadku modeli szacowanych na podstawie próby zbilansowanej wartość tego punktu równa jest zazwyczaj 0,5. Jednak nie zawsze się to sprawdza. Wpływ na wartość tego punktu ma struktura grupy (udział zagro-żonych i zdrowych przedsiębiorstw). W interpretacji wyników otrzymanych za po-mocą analizy logitowej dużą rolę odgrywa tzw. iloraz szans (odds ratio). Wskaź-nik ten obliczany jest jako stosunek prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia do prawdopodobieństwa jego niewystąpienia. Wielkość tego wskaźnika mówi, o jakie krotności (exp (c_i)) zwiększają się średnio ilorazy szans, jeżeli zmienna zmienia się o jednostkę. Jeżeli exp (c_i) > 1, wówczas można spodziewać się wzrostu ilorazu szans, jeżeli natomiast exp (c_i) < 1, nastąpi sytuacja odwrotna. Należy pamiętać, że interpretacje obowiązują jedynie przy wybranym zestawie zmiennych niezależnych oraz założeniu ceteris paribus [Gruszczyński 2010, s. 67-68].

Model logitowy wymaga spełnienia wielu założeń, najistotniejszymi z nich są losowy charakter próby (o dużej liczebności), brak współliniowości zmiennych oraz niezależność obserwacji.

5. Wyniki empiryczne

Dokonano estymacji trzech opisanych modeli: regresji logistycznej, analizy dyskry-minacyjnej i modelu Coxa. Jako datę upadłości przyjęto datę postanowienia sądu o upadłości układowej bądź likwidacyjnej. Złączono sprawozdania z różnych źró-deł, w tym głównie z danych zakupionych od wywiadowni gospodarczej oraz

da-nych wewnętrzda-nych o klientach jednego z banków w Polsce. Usunięto obserwacje z ujemnymi kapitałami własnymi oraz z przychodami poniżej 8 mln zł. Wybrano sprawozdania z przynajmniej 3 miesięcy przed datą upadłości. Usunięto sprawoz-dania dla deweloperów oraz sprawozsprawoz-dania z brakami danych. W rezultacie próba obejmowała 4297 sprawozdań za lata 2002-2011 dla 1536 podmiotów ze wszystkich branż działalności, w tym 456 zgłoszone upadłości. Obliczenia przeprowadzono w programie SAS 9.2 oraz R.

Zdefiniowano zestaw wskaźników zgodnie z publikacją M. Zaleskiej [2012] (por. tab. 1).

Tabela 1. Wskaźniki finansowe wykorzystane w modelach

Wskaźnik (etykieta) Definicja

1 2

WSKAŹNIKI PŁYNNOŚCI

PŁYNNOŚĆ BIEŻĄCA [PL_PB] aktywa obrotowe/zobowiązania krótkoterminowe PŁYNNOŚĆ SZYBKA[PL_PS] aktywa obrotowe – zapasy – krótkoterminowe

rozliczenia międzyokresowe/zobowiązania krótkoterminowe

PŁYNNOŚĆ GOTÓWKOWA [PL_PG] Inwestycje krótkoterminowe/zobowiązania krótkoterminowe

WSKAŹNIKI AKTYWNOŚCI CYKL ROZLICZENIOWY KAPITAŁU

OBROTOWEGO [AK_CRKO] kapitał obrotowy netto/przychody netto ze sprzedaży × 360, kapitał obrotowy netto = majątek obrotowy – zobowiązania bieżące

CYKL ROZLICZENIOWY NALEŻNOŚCI

[AK_CRN] średni stan należności handlowych/przychody netto ze sprzedaży × 365 dni UDZIAŁ NALEŻNOŚCI W AKTYWACH

OGÓŁEM [AK_UNAO] należności długoterminowe + należności krótkoterminowe/aktywa razem CYKL ROZLICZENIOWY ZAPASÓW

OGÓŁEM [AK_CRZA] średni stan zapasów/przychody netto ze sprzedaży × 365 dni CYKL ROZLICZENIOWY ZOBOWIĄZAŃ

[AK_CRZK] średni stan zobowiązań handlowych/przychody netto ze sprzedaży × 365 dni CYKL ROZLICZENIOWY ŚRODKÓW

PIENIĘŻNYCH [AK_CRSP] średni stan gotówki w kasie/przychody netto ze sprzedaży × 365 dni WSKAŹNIKI ZADŁUŻENIA

WSKAŹNIK OGÓLNEGO ZADŁUŻENIA

[SB_WOZ] zobowiązania ogółem/pasywa razem

WSKAŹNIK POKRYCIA AKTYWÓW KAPITAŁEM/FUNDUSZEM WŁASNYM [SB_AKW]

kapitał własny/aktywa razem WSKAŹNIK DŁGOTERMINOWEGO

1 2 WSKAŹNIK OGÓLNEGO ZADŁUŻENIA

KAPITAŁU/FUNDUSZU WŁASNEGO [SB_WOZKW]

zobowiązania ogółem/kapitał własny WSKAŹNIK POKRYCIA OBSŁUGI

DŁUGU Z WYNIKU FINANSOWEGO [OD_PODWF]

zysk netto/odsetki + suma spłat rat kapitałowych WSKAŹNIK POKRYCIA OBSŁUGI

DŁUGU Z EBIT [OD_PODE] zysk netto + podatek dochodowy/odsetki + suma spłat rat kapitałowych WSKAŹNIK POKRYCIA OBSŁUGI

DŁUGU Z NADWYŻKI FINANSOWEJ NETTO [OD_PODNFN]

zysk netto + amortyzacja/odsetki + suma spłat rat kapitałowych

WSKAŹNIKI EFEKTYWNOŚCI WSKAŹNIK POZIOMU KOSZTOW

[EF_PK] przychody netto ze sprzedaży – zysk netto – podatek dochodowy/przychody netto ze sprzedaży WSKAŹNIK RENTOWNOŚCI

SPRZEDAZY [EF_ROS] zysk netto/przychody netto ze sprzedaży WSKAŹNIK RENTOWNOSCI AKTYWÓW

[EF_ROA] zysk netto/aktywa razem

WSKAŹNIK RENTOWNOŚCI

KAPITAŁÓW/FUNDUSZY WŁASNYCH [EF_ROE]

zysk netto/kapitał własny Dodatkowo zdefiniowano zmienną opartą na

przychodach w postaci: LOG_OBROTY log(przychody ogółem) Źródło: opracowanie własne.

Dla wszystkich zmiennych, poza (‚OD_PODWF’,’OD_PODE’,’OD_POD-NFN’), zastosowano zamianę wartości skrajnych na wartości 1 i 99 percentyla w ca-łej próbie. Dla zmiennych (‚OD_PODWF’,’OD_PODE’,’OD_PODNFN’) zastoso-wano zamianę na wartości 5 i 95 percentyla w całej populacji ze względu na duży rozstęp wartości zmiennej. Dystrybuanty wartości zmiennych w próbie ze względu na wystąpienie zdarzenia upadłości w następnym roku przedstawia rys. 1.

W celu ustabilizowania wyników opartych na symulacjach zdefiniowano 100 próbek obserwacji określonych jako 50% całej próby obserwacji wylosowanych bez zwracania.

Zbadano korelacje pomiędzy wskaźnikami. Usunięto zmienne silnie skorelowa-ne ze sobą, stosując kryterium r > 0,7 jako punkt odcięcia silskorelowa-nej korelacji. Media-na wartości AUC1 dla wszystkich zmiennych w przypadku 100 symulacji wyniosła

1 _{AUC (Area Under the Curve) – pole pod krzywą ROC – jest miarą syntetyczną mocy}

dyskrymi-nacyjnej, czyli zdolności do rozróżniania podmiotów „złych” od „dobrych”. Wartość AUC = 1 oznacza idealny model, AUC=1/2 oznacza model losowy. W wymiarze prawdopodobieństw można AUC

Rys. 1. Dystrybuanty wartości zmiennych w próbie

Źródło: opracowanie własne.

od 0,24 do 0,74. Usunięto zmienne z niską wartością AUC. W celu oszacowania parametrów modeli wybrano obserwacje z lat 2001-2008, dla których zdarzenia upa-dłości występowały w latach 2002-2009. W celu oszacowania siły prognostycznej modelu (walidacja) wybrano obserwacje z lat 2009-2011, dla których zdarzenia upa-dłości występowały w latach 2010-2012.

Ostateczny model zawierał 9 wskaźników, dla których zbudowano trzy typy funkcji: logistyczną, dyskryminacyjną oraz hazardu (Coxa).

terpretować jako prawdopodobieństwo, że losowo wybrany „zły” podmiot będzie miał gorszą wartość wskaźnika (oceny punktowej w modelu) niż losowo wybrany „dobry” podmiot.

MODEL GLM(LOGIT):

Logit( ) 0,459 0,078* _ 1,105* _ 0,249* _

0,001* _ 0,0002* _ 2,745* _ 0,020*

_ 0,002* _ 5,716* _ .

Y LOG OBROTY PL PG AK UNAO

AK CRZA AK CRZK SB AKW

SB WOZKW OD PODWF EF ROS

= − − − +

+ + − +

∗ − −

Wszystkie znaki zmiennych są zgodne z interpretacją ekonomiczną. Zmienne: LOG_OBROTY, AK_UNAO, AK_CRZA, AK_CRZK oraz OD_PODWF okazały się statystycznie nieistotne na poziomie istotności 0,1.

Dystrybuantę rozkładu miary AUC dla symulacji próbek uczących, całych i te-stowych dla modelu oszacowanego na całej próby uczącej przedstawia rys. 2.

Wartość kwantyla rozkładu miary AUC

Wa rtoś ćm iary AUC 0.75 0.80 0.85 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

AUC AUC_TEST AUC_UCZ Rys. 2. Dystrybuanta rozkładu miary AUC dla modelu regresji logistycznej

Wzrost wartości AUC dla modelu testowego wynika z oparcia próby uczącej na upadłościach z okresu początku kryzysu i problemu opcji walutowych – w takich warunkach model uczący musiał wykazać się niższą sprawnością. Populacja testowa zawiera upadłości z kolejnych lat kryzysu, gdy przedsiębiorstwa upadają w sposób bardziej przewidywalny.

MODEL LDA (FUNKCJA DYSKRYMINACYJNA):

(1) 0,091* _ 0,021* _ 0,142* _

0,001* _ 0,002* _ 1,582* _ 0,075*

_ 0,00001* _ 5,214* _ .

Y LOG OBROTY PL PG AK UNAO

AK CRZA AK CRZK SB AKW

SB WOZKW OD PODWF EF ROS

= − + +

+ + − +

+ −

Dystrybuantę rozkładu miary AUC dla symulacji próbek uczących, całych i te-stowych dla modelu oszacowanego dla całej próby uczącej przedstawia rys. 3.

Wartość kwantyla rozkładu miary AUC

Wa rtoś ćm iary AUC 0.75 0.80 0.85 0.0 Wa 0.2 wanty 0.4 adu 0.6 UC 0.8 1.0

AUC AUC_TEST AUC_UCZ

Rys. 3. Dystrybuanta rozkładu miary AUC dla modelu analizy dyskryminacyjnej

Model regresji Coxa:

Zastosowanie modelu Coxa wymagało dodania zmiennych zawierających warto-ści czasu ze względu na możliwość obserwacji danego podmiotu w kilku okresach. W celu uniknięcia możliwości ucięcia prognozy dla próby uczącej i testowej zasto-sowano odrębne daty startu tak, by pierwsza obserwacja dla danego klienta w każdej z grup zawsze zaczynała się od wartości zmiennej ‘start’ równej 0.

( )

0

( )

0,202* _ 0,827* _ 0,473* _

exp 0,0001* _ 0,0005* _ 2,716* _ .

0,0203* _ 0,00007* _ 3,783* _

LOG OBROTY PL PG AK UNAO

h t h t AK CRZA AK CRZK SB AKW

SB WOZKW OD PODWF EF ROS

− − +     = _− + − _ _{+ + −}   

Wartość kwantyla rozkładu miary AUC

Wa rtoś ć miar y AU C 0.75 0.80 0.85 0.90 0.0 Wa 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

AUC AUC_TEST AUC_UCZ

Rys. 4. Dystrybuanta rozkładu miary AUC dla modelu regresji Coxa

Źródło: opracowanie własne przy pomocy SAS 9.2 i R.

Wszystkie znaki zmiennych są zgodne z interpretacją ekonomiczną. Zmienne: AK_UNAO, AK_CRZA, AK_CRZK oraz OD_PODWF okazały się statystycznie

nieistotne na poziomie istotności 0,1. Dystrybuantę rozkładu miary AUC dla symu-lacji próbek uczących, całych i testowych dla modelu oszacowanego na całej próby uczącej przedstawia rys. 4.

PORÓWNANIE AUC DLA MODELI LOGIT, LDA oraz COX:

Dla całej próby testowej uzyskano poniższe miary AUC dla modeli oszacowanych na całej próbie uczącej (por. tab. 2).

Tabela 2. Porównanie miary AUC dla trzech estymowanych modeli

Próba ogółem Próba ucząca Próba testowa

LOGIT 0,7933552 0,7568146 0,8508912

LDA 0,790412 0,7484089 0,8454304

COXPH 0,780333 0,7370299 0,8507741

Źródło: opracowanie własne za pomocą SAS 9.2.

6. Podsumowanie i wnioski

Zastosowanie modeli klasyfikacyjnych typu LOGIT, LDA, COX nie prowadzi do zdecydowanego zróżnicowania siły prognostycznej. Występujące różnice są poten-cjalnie wynikiem odmiennych sposobów wyrażenia prognozy prawdopodobieństwa klasyfikacji w postaci przekształcenia logistycznego, prawdopodobieństwa posterio-ri lub ryzyka względnego. W porównaniu z modelem regresji logistycznej w modelu regresji Coxa dodatkowo zmienna wyrażająca wartość obrotów okazała się staty-stycznie istotna.

Z przedstawionego wcześniej opisu metod analizy historii zdarzeń wynika kil-ka powodów, dla których warto je zastosować jako alternatywę wobec tradycyjnie używanych modeli statycznych (np. modeli regresji logistycznej). Przede wszystkim należy podkreślić, że wykorzystanie metod analizy historii zdarzeń w modelowaniu ryzyka upadłości przedsiębiorstw pozwala rozszerzyć standardowe podejście sta-tyczne o dynamikę zjawiska. Pozostałe zalety takiego podejścia są następujące: • możliwość uwzględnienia danych cenzurowanych, jeśli przedsiębiorstwo z

ja-kiegoś powodu zostanie wyeliminowane z obserwacji przed zarejestrowaniem zdarzenia upadłości (np. data badania),

• uniknięcie niestabilności spowodowanej koniecznością wyboru sztywno ustalo-nej długości okresu, w ciągu którego jest obserwowane zajście zdarzenia upa-dłości,

• estymacja długości okresu do zajścia zdarzenia umożliwia śledzenie w czasie przebiegu natężenia ryzyka wystąpienia zdarzenia,

• uzyskanie „dynamicznej” prognozy prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia (wartość prognozy jest funkcją czasu), co jest bardzo użyteczne przy określaniu odpowiedniej strategii i polityki,

• możliwość uwzględnienia zmian w otoczeniu gospodarczym w ocenie ryzyka dzięki wykorzystaniu modeli umożliwiających włączenie zmiennych współto-warzyszących zależnych od czasu.

Podsumowując, należy powiedzieć, że zastosowanie metod analizy historii zda-rzeń jako alternatywnego podejścia do modelowania ryzyka upadłości przedsię-biorstw daje szansę na szersze wykorzystanie wyników tych metod, niż jest to moż-liwe w przypadku zastosowania metod statycznych, a dzięki temu ulepszenie modeli prognozy upadłości przedsiębiorstw.

Literatura

Allison P.D., Regression for Longitudinal Event Data, Sage University Paper Series on Quantitative Applications in the Social Sciences, nr 46, Publications, Sage 1984.

Allison P.D., Survival Analysis Using SAS, A Practical Guide Second Edition, SAS Publishing 2010. Blossfeld H.P., Rohwer G., Techniques of Event History Modeling. New Approaches to Causal

Analy-sis, Lawrence Elbaum Associates Publishers, London 2002

Dec P., Kompleksowy system wczesnego ostrzegania, [w:] Ryzyko w działalności przedsiębiorstw.

Wy-brane aspekty, red. A. Fierla, Szkoła Główna Handlowa – Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2009.

Frątczak E., Analiza historii zdarzeń, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 2005.

Gruszczyński M., Modele zmiennych jakościowych dwumianowych, [w:] Mikroekonometria.

Mod-ele metody analizy danych indywidualnych, red. M. Gruszczyński, a Wolters Kluwer bussines,

Warszawa 2010.

Hadasik D., Upadłość przedsiębiorstw w Polsce i metody jej prognozowania, [w:] Zeszyty Naukowe Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, AE w Poznaniu, Poznań 1998.

Hamrol M., Chodakowski J., Prognozowanie zagrożenia finansowego przedsiębiorstwa. Wartość

pre-dykcyjna polskich modeli analizy dyskryminacyjnej, [w:] Badania Operacyjne i Decyzje 2008,

nr 3.

Hołda A., Prognozowanie bankructwa jednostki w warunkach gospodarki polskiej z wykorzystaniem

funkcji dyskryminacyjnej, „Rachunkowość” 2001, nr 5.

Mączyńska E., Ocena ryzyka upadłości przedsiębiorstwa, [w:] Ryzyko w działalności przedsiębiorstw.

Wybrane aspekty, red. A. Fierli, Szkoła Główna Handlowa – Oficyna Wydawnicza, Warszawa

2009.

Mączyńska E., Wstęp, [w:] Meandry upadłości przedsiębiorstw, red. E. Mączyńska, Oficyna Wydaw- nicza Szkoły Głównej Handlowej w Warszawie, Warszawa 2010.

Pieńkowska M., Weryfikacja skuteczności funkcji dyskryminacyjnych opracowanych dla rynku

pol-skiego, [w:] Zagrożenie upadłością, red. K. Kuciński, E. Mączyńska, Szkoła Główna Handlowa,

Warszawa 2005.

Prusak B., Nowoczesne metody prognozowania zagrożenia finansowego przedsiębiorstw, Difin, Warszawa 2009.

Ptak-Chmielewska A., Pęczkowski M., Analiza dyskryminacji, [w:] Wielowymiarowa analiza

staty-styczna. Teoria – przykłady zastosowań z systemem SAS, red. E. Frątczak, Oficyna Wydawnicza

SGH, Warszawa 2009.

Staniec I., Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych i wybranych metod statystycznych do

wspoma-gania decyzji kredytowych, praca doktorska, 2000.

Stasiewski T., Z-score – indeks przewidywanego upadku przedsiębiorstwa, „Rachunkowość” 1996, nr 12.

Zaleska M., Identyfikacja ryzyka upadłości przedsiębiorstwa i banku. Systemy wczesnego ostrzegania, Difin, Warszawa 2002.

Zaleska M., Ocena ekonomiczno-finansowa przedsiębiorstwa przez analityka bankowego, Szkoła Główna Handlowa – Oficyna Wydawnicza, Warszawa 2012.

Zarzecki D., O metodach zagrożenia bankructwem i możliwościach ich wykorzystania w Polsce, [w:] Rynek kapitałowy, red. W. Tarczyński, Wydawnictwo Uniwersytetu Szczecińskiego, Szczecin 2000.

APPLICATION OF SURVIVAL MODELS

AND DISCRIMINANT ANALYSIS IN EVALUATION OF ENTERPRISES’ BANKRUPTCY RISK

Summary: This paper presents the application of logistic regression, discriminant analysis

and Cox regression model in the prediction of enterprises bankruptcy. A standard approach is the application of discriminant analysis and logistic regression in risk of bankruptcy mod-elling. This approach, however, is static and does not include the time factor. Alternative proposal is the application of hazard rate models. Those models are dynamic because they include the time to the event occurrence (bankruptcy). The main goal of this paper is an identification of the explanatory variables influence on the risk of bankruptcy and differences in modelling approaches: static and dynamic. An empirical example is presented based on financial results of the sample of 1536 enterprises (including 456 bankrupts).

Keywords: survival analysis, enterprises bankruptcy models, discriminant analysis, logistic