Wykad 14

MECHANIKA 2

Wykład Nr 14

Teoria uderzenia

DYNAMIKA PUNKTU NIESWOBODNEGO

Punkt, którego ruch ograniczony jest jakimiś więzami,

nazywamy punktem nieswobodnym.

Więzy oddziaływają na poruszający się punkt pewnymi siłami, które nazywamy reakcjami więzów. Istnienie więzów powoduje więc pojawienie się w równaniach rucha dodatkowych sił – reakcji więzów.

(1)

Rys. 7

Równania ruchu:

gdzie:

Po podstawieniu:

Przy małych wychyleniach wahadła sinϕ = ϕ , wówczas

więc równanie ruchu przybiera postać:

Jest to równanie ruchu harmonicznego prostego. Przypomnijmy, że równanie ruchu harmonicznego prostego ma postać:

Równanie ruchu ma posta

ć

:

0

=

υ

ω

t

=

ϕ

Warunek początkowy: _dla

Po wyznaczeniu stałej c i podstawieniu do wzoru na v:

Ponieważ _to

Przykład 1

W kabinie windy wisi wahadło. Gdy kabina porusza się ze stałym przyspieszeniem skierowanym w dół, to okres drgań wahadła wynosi T = 1 s. Natomiast gdy porusza się ze stałą prędkością, to okres ten wynosi T = 0.3 s. Znaleźć przyspieszenie windy.

Dane:

1

s,

T

0.3

s

g

9.81

T

=

=

=

Szukane:

a

=

?

Zakładamy, że:

a

<

g

Rozwi

ą

zanie

Okres drgań wahadła wyraża się wzorem:

Gdy winda porusza się z przyspieszeniem w górę, na wahadło działa siła wypadkowa skierowana w dół. Zatem:

W drugim przypadku, zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona, siły działające na ciało równoważą się, zatem:

Drgania wahadła matematycznego (bez działania sił zewnętrznych) nazywamy drganiami własnymi wahadła.

Wobec powyższego:

l

=

Stąd

Rys. 2

Zderzenie proste

ś

rodkowe

Zderzenie zachodzi w przypadku działania na siebie dwu ciał siłą o skończonej wartości w bardzo krótkim przedziale czasu.

Zderzenie

środkowe

charakteryzuje

się

tym,

że

normalna do płaszczyzny styku w punkcie styku obu

ciał przechodzi przez środki masy tych ciał.

W procesie zderzenia rozróżniamy dwa charakterystyczne okresy:

a) - pierwszy okres: od chwili zetknięcia się ciał aż do chwili największego zbliżenia ich środków mas, przy

równoczesnym odkształcaniu się obu ciał,

Okresy zderzenia

P

ę

d zderzaj

ą

cych si

ę

mas

Pęd przed po zderzeniu jest taki sam

Rys. 2

c

Energia kinetyczna

W wyniku odkształcania się ciał przy zderzeniu występuje zmiana energii kinetycznej układu w pewnej jej części na pracę odkształcenia. Strata ta może być pozorna lub rzeczywista, w zależności od tego, czy zostanie zwrócona w drugim okresie zderzenia. Oznaczmy ją przez

Uwzględniając wzór otrzymamy

(2)

P

ę

d układu w drugim okresie zderzenia

Przechodząc do drugiego okresu zauważamy, że obowiązuje nadal zasada zachowania pędu badanego układu, czyli że

Prędkości

oraz

zależeć będą od tego, czy strata energii

kinetycznej została:

Zderzenie sprężyste i plastyczne

a) zwrócona w 100% (zderzenie ciał doskonale sprężystych),

b) pochłonięta w 100% (zderzenie ciał idealnie plastycznych),

Współczynnik zderzenia

przy czym oczywiście

Wartości graniczne współczynnika

k

1

=

k

0

=

k

dla ciała idealnie sprężystego, dla ciała idealnie plastycznego.

Prędkości po zderzeniu

Uwzględniając równania (3) i (4) otrzymamy po podstawieniu i przekształceniu

(5)

Dla zderzenia ciał idealnie sprężystych

(

k

=

1

)

Dla zderzenia ciał idealnie plastycznych

(

k

=

0

)

(7)

Rzeczywista strata energii kinetycznej

Rzeczywista strata energii kinetycznej wynosi

Charakterystyczne przypadki:

Po zderzeniu nastąpiła więc wymiana prędkości

pomiędzy obiema masami.

1. (ciało doskonale sprężyste). m1 = m2

k

=

1

Ze wzorów (27) otrzymamy:

2. , (nieruchoma ściana),

υ

=

0

m

=

∞

k

=

1

Ze wzorów (27) otrzymamy:

Masa m

odbija się z tą samą prędkością.

3. υ2 = 0 , m2 = ∞ (nieruchoma ściana),

k

≠

0

ZDERZENIE PROSTE

Ś

RODKOWE

Przypadek ten podaje zarazem prosty sposób wyznaczania współczynnika zderzenia k. Jak wiadomo bowiem z kinematyki, ciało spadające z wysokości H na stałą podstawę ma w początkowej chwili zderzenia prędkość . Po odbiciu wznosi się na wysokość h, czyli przy

końcu drugiego okresu zderzenia miało ono prędkość .

Ponieważ (pomijając znak minus, gdyż interesuje nas tylko moduł), zatem gH 2 1 = υ gh 2 w₁ = 1 1 – w = k

υ

Masa m₂ odbije się z prędkością zmniejszoną o k .

Podczas

kucia

materiału

plastycznego

występuje

uderzenie plastyczne.

Strata energii kinetycznej jest równa:

Ponieważ

, więc:

gdzie:

m

– masa bijaka młota;

v

– prędkość bijaka młota przed uderzeniem;

m

– masa kutego materiału wraz z kowadłem;

v

= 0 – prędkość kowadła przed uderzeniem.

Ostatecznie:

Podczas kucia strata energii zamienia się na pracę odkształcenia

kutego materiału. Strata energii powinna być więc jak największa.

Kucie

Kucie jest tym ekonomiczniejsze, im mniejsza jest masa m

bijaka w porównaniu z masą bitego materiału m

.

Sprawność kucia:

Wbijanie

Podczas wbijania pokonujemy opór gruntu. Zatem strata energii

powinna być jak najmniejsza.

W tym przypadku

m

>> m

.

(masa młotka powinna być dostatecznie duża w

porównaniu z masą gwoździa lub pala).

Sprawność wbijania:

gdzie:

E

– energia kinetyczna młota przed uderzeniem;

E

– energia kinetyczna młota i pala po uderzeniu.

Przykład 2

Wyznaczyć stosunek mas dwóch kul, które przed uderzeniem toczą się naprzeciw siebie

a) z różnymi prędkościami v₁ i v₂;

b) z równymi prędkościami o wartości v,

a po uderzeniu prostym druga kula zatrzymuje się. Współczynnik uderzenia wynosi k.

Rozwi

ą

zanie

a)

0

w

=

Dane:

v

, v

, k

Ponieważ prędkość v₂ jest zwrócona w przeciwnym kierunku, więc:

Mamy:

b)

Wystarczy podstawić v₁ = v₂ = v:

Dane: k

Przykład 3

Dwie jednakowe kulki z plasteliny (ciało doskonale plastyczne) zawieszono na nitkach o długości l każda. Jedną nitkę odchylono od pionu o kąt α = 60° i puszczono. Po zderzeniu obie kulki zderzyły się i wychyliły na nitkach w drugą stronę. Oblicz ich maksymalny kąt wychylenia β.

Rozwi

ą

zanie

Zadanie składa się z trzech etapów:

a) ruch jednej kulki po pierwotnym odchyleniu; b) zderzenie obu kulek;

c) Ruch obu kulek po zderzeniu. a) Z zasady zachowania energii:

b) Nastąpiło zderzenie obu kulek. Jest to zderzenie plastyczne. Po zastosowaniu zasady zachowania pędu, zgodnie ze wzorem (7), prędkość obu kulek w chwili zderzenia jest równa:

c) Prędkość obu kulek jest od tej chwili wspólna. Zgodnie z zasadą zachowania energii:

Po podstawieniu: Zatem:

Przykład 4

Punkt materialny o masie m₁ przywiązany do nierozciągliwej nici porusza się po okręgu w płaszczyźnie poziomej. W pewnej chwili punkt ten zderza się z drugim punktem o masie m₂, który przed zderzeniem był nieruchomy. Po zderzeniu oba punkty poruszają się razem po tym samym torze i ze wspólną prędkością. W jakim stosunku zmieni się napięcie nici?

Rozwi

ą

zanie

Korzystamy z zasady zachowania krętu (kręt przed uderzeniem jest równy krętowi w chwili uderzenia):

Stąd:

Siła napięcia linki jest siłą dośrodkową, powodującą ruch, zatem:

gdzie v – prędkość początkowa kulki o masie m₁ przed zderzeniem.

A więc:

Przykład 5

Wagon kolejowy o masie m₁ porusza się w prawo z prędkością v₁. Naprzeciw niego porusza się drugi wagon o masie m₂, z prędkością v₂, skierowaną w lewo. Z jaką prędkością poruszają się wagony po złączeniu? Opory ruchu pomijamy.

Rozwi

ą

zanie

Ponieważ wypadkowa sił zewnętrznych jest równa zeru, zatem korzystamy z zasady zachowania pędu. Pęd wagonów przed i po zderzeniu jest taki sam:

Przejdźmy teraz do omówienia zderzenia ukośnego środkowego (rys. 3). Rozkładamy wektory prędkości na składowe normalne i styczne do płaszczyzny styku

Rys. 3

Jeżeli pominiemy straty tarcia przy zderzeniu i możliwości, ewentualnych obrotów mas (przyjęto je jako punkty materialne) w wyniku na ogół różnych wartości składowych stycznych oraz (przyjmując idealnie gładkie powierzchnie styku mas), to w wyniku zderzenia zmienią się tylko składowe normalne.

t

1

υ υ2t

oraz

Do oceny zmian składowych normalnych wykorzystamy wzory (26), wprowadzając jedynie odpowiednie wskaźniki n, składowe zaś styczne pozostaną bez zmiany, czyli:

Ostatecznie składając wektorowo otrzymamy po zderzeniu

Kula o masie m porusza się z prędkością v₁ i uderza w nieruchomą kulę o masie 2m w ten sposób, że prędkość v₁ tworzy w chwili

uderzenia ze wspólną normalną O₁x obu kul kąt

α

prędkości obu kul po uderzeniu;

kąt wektora prędkości końcowej w₁ z osią O₁x.

Rozwi

ą

zanie

Wyznaczamy składowe prędkości

w

ρ

w

ρ

Wartości prędkości obu kul wynoszą:

Oddziaływanie strumienia padaj

ą

cego na przegrod

ę

Do wyznaczenia reakcji przegrody na działanie strumienia, padającego pod kątem (rys. 4), wykorzystamy zasadę pędu i impulsu według wzoru

R

α

Załóżmy, że dane są ponadto przekrój strumienia A, gęstość ρ (niezmienna w czasie) oraz

średnia prędkość strumienia v.

W czasie dt wystąpi przemieszczenie przekroju ab w położenie a'b' (rys. 4) o od vdt. Równocześnie strumień rozdzielając się na przegrodzie przemieści się w swych strugach z położeń ef w e'f' oraz z położeń cd w c'd' (rys. 4). Zauważmy, że kierunki wektorów prędkości tych rozdzielonych na przegrodzie strug są przeciwne i styczne do przegrody.

Oddziaływanie strumienia padaj

ą

cego na przegrod

ę

Zgodnie więc z zasadą pędu i impulsu (19) napiszemy rzutując

wektory pędów pulsu na oś x, prostopadłą do przegrody

Oddziaływanie strumienia padaj

ą

cego na przegrod

ę

Gdyż wektory pędów tych strug są styczne do przegrody, zatem

Stąd ostatecznie otrzymujemy

reakcję przegrody w kierunku osi

x