Index of /rozprawy2/10359

Pełen tekst

(1)AKADEMIA GÓRNICZO - HUTNICZA Im. Stanisława Staszica w Krakowie. WYDZIAŁ INśYNIERII MECHANICZNEJ I ROBOTYKI. Rozprawa doktorska METODA SZYBKIEGO PROTOTYPOWANIA UKŁADU AKTYWNEGO TŁUMIENIA DRGAŃ KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH. autor mgr inŜ. Andrzej Piotr Koszewnik. promotor prof. dr hab. inŜ. Zdzisław Gosiewski. Kraków 2011.

(2) Niniejszą rozprawę doktorską dedykuję mojej Kochanej MałŜonce Ewie i córce Aleksandrze. Jednocześnie serdeczne dziękuję za okazaną mi cierpliwość, Ŝyczliwość i wyrozumiałość podczas jej realizacji..

(3) SPIS TREŚCI. Spis treści Wykaz oznaczeń .......................................................................................................... 5 Akronimy ..................................................................................................................... 8 1. Wstęp ........................................................................................................................ 9 1.1. Klasyfikacja metod redukcji drgań ........................................................................................10 1.1.1 Pasywne tłumiki drgań ..................................................................................................10 1.1.2. Aktywne tłumiki drgań .................................................................................................12 Materiały z pamięcią kształtu ...........................................................................................13 Materiały piezoelektryczne...............................................................................................13 Materiały magnetoreologiczne (MR) ...............................................................................14 1.1.3. Półaktywne tłumiki drgań .............................................................................................14. 2. Tematyka, cel i teza pracy .................................................................................... 16 2.1. Proponowana procedura sterowania drganiami ....................................................................16. 3. Modelowanie podatnych konstrukcji mechanicznych z wykorzystaniem metody elementów skończonych ......................................................................... 19 3.1. Model geometryczny i warunki brzegowe ............................................................................20 3.2. Wybór odpowiedniego modelu skończonego........................................................................21 3.3. Dyskretyzacja modelu geometrycznego ................................................................................21 3.4. Rozwiązanie zagadnienia metodą MES w środowisku Ansys i uwagi końcowe ..................22 3.5. Modelowanie belki konsolowej w środowisku MATLAB ...................................................23 3.5.1 Modelowanie elementu belkowego ...............................................................................23 3.6 Modelowanie prętowej konstrukcji przestrzennej w środowisku MATLAB.........................26 3.6.1 Modelowanie elementu prętowego ................................................................................26 3.7. Analiza dynamiki układu mechanicznego .............................................................................30 3.7.1 Drgania układów liniowych...........................................................................................30 3.7.2 Analiza strukturalna modelu i wyznaczenie quasi-optymalnego połoŜenia elementów pomiarowych i wykonawczych .....................................................................................31. 4. Identyfikacja parametrów dynamicznych aktywnej konstrukcji mechanicznej.................................................................................... 34 4.1. Przetwarzanie sygnałów uzyskanych na drodze eksperymentu ............................................35 4.2. Wyznaczenie odpowiedzi częstotliwościowej na podstawie dyskretnej transformaty Fouriera sygnału wejściowego i wyjściowego .......................................................................39 4.2.1. Identyfikacja transmitancji widmowej .........................................................................41 4.2.2 Wyznaczanie parametrów Markowa identyfikowanego modelu ..................................42 4.2.3. Identyfikacja modelu w przestrzeni stanu ....................................................................43 4.2.4 Minimalna realizacja układu .........................................................................................45. 5. Projektowanie praw sterowania aktywnych konstrukcji mechanicznych ...... 46 5.1. Projektowanie regulatora optymalnego LQR ........................................................................46 5.2. Budowa układu sterowania....................................................................................................49 5.3. Realizacja algorytmów sterowania ........................................................................................51. 6. Badania aktywnej stalowej belki konsolowej ..................................................... 52 6.1. Badania analityczne ...............................................................................................................52 6.1.1. Rozwiązanie problemu brzegowego i początkowego drgań giętnych belki.................54 6.1.2. Rozwiązanie problemu początkowego .........................................................................56 6.1.3. Wyznaczanie momentu pochodzącego od elementu wykonawczego i jego siły poprzecznej ....................................................................................................................57 6.1.4. Drgania wymuszone giętne belki .................................................................................60 6.1.5. Piezo-element jako element pomiarowy.......................................................................62. 3.

(4) SPIS TREŚCI. 6.1.6. Parametry belki stalowej i piezowstęg zastosowanych na stanowisku badawczym ....65 6.2. Badania symulacyjne .............................................................................................................67 6.2.1. Badanie częstości drgań własnych belki w środowisku Ansys ....................................67 6.2.2. Wyznaczanie parametrów modalnych obiektu sterowania ..........................................68 6.2.3. Badanie modalnych sił sterujących ..............................................................................71 6.2.4. Badanie modalnych wydłuŜeń belki pod wpływem przyłoŜonego napięcia ................72 6.2.5.Wyznaczanie quasi-optymalnego połoŜenia elementu pomiarowego i wykonawczego ....................................................................................................................73 6.2.6. Wyznaczenie macierzy korelacyjnych parametrów modalnych ..................................74 6.3. Badania identyfikacyjne aktywnej belki metodą odpowiedzi częstotliwościowej ................76 6.3.1. Redukcja rzędu identyfikowanego modelu ..................................................................78 6.4. Projektowanie regulatora optymalnego LQR do sterowania drganiami belki konsolowej ...81 6.5. Badania eksperymentalne układu sterowania drgań belki konsolowej .................................85 6.5.1 Sterowanie drganiami aktywnej belki ...........................................................................85. 7. Badania aktywnej przestrzennej konstrukcji .................................................... 89 7.1. Badania symulacyjne z wykorzystaniem programu Ansys ...................................................90 7.1.1. Wyznaczenie częstotliwości drgań własnych ...............................................................90 7.1.2. Elementy wykonawcze – piezo-stosy - opis .................................................................91 7.1.3. Wyznaczanie parametrów modalnych aktywnej konstrukcji prętowej ........................93 7.1.4. Wyznaczanie quasi-optymalnego połoŜenia piezo-elementów ....................................97 7.2.Badania identyfikacyjne aktywnej konstrukcji prętowej metodą odpowiedzi częstotliwościowej ..................................................................................................................99 7.2.1 Redukcja rzędu identyfikowanych modeli konstrukcji ...............................................105 7.3. Badania symulacyjne drgań konstrukcji z regulacją PD .....................................................112 7.4. Badania eksperymentalne układu sterowania drgań konstrukcji prętowej ..........................118 7.4.1. Stanowisko badawcze i zastosowana do badań aparatura ..........................................118 7.4.2. Konstrukcja stanowiska laboratoryjnego....................................................................118 7.4.3. Sterowanie drganiami aktywnej konstrukcji prętowej ...............................................120. 8. Podsumowanie, wnioski, dalsze badania........................................................... 127 Literatura ................................................................................................................. 129 Załącznik A .............................................................................................................. 133 Załącznik B .............................................................................................................. 136 Załącznik C .............................................................................................................. 140 Załącznik D .............................................................................................................. 141 Załącznik E .............................................................................................................. 142 Załącznik F ............................................................................................................... 143. 4.

(5) WYKAZ OZNACZEŃ. Wykaz oznaczeń Oznaczenia związane z modelowaniem ogólnym konstrukcji przy wykorzystaniu MES Cdamp- macierz globalna tłumienia Fctrl –siła regulacji pochodząca od piezo-stosu w układzie lokalnym Fctrl* - modalna siła regulacji pochodzących od piezo-stosu w układzie globalnym G- macierz warunków brzegowych JF – wartość wskaźnika jakości pochodzącego od modalnych sił sterujących Jε – wartość wskaźnika jakości pochodzącego od modalnych odkształceń konstrukcji K- macierz globalna sztywności K* - macierz sztywności modalnych elementu belkowego lub prętowego Kg- macierz sztywności geometrycznej m – postacie niesterowane M - macierz globalna bezwładności M* - macierz mas modalnych elementu belkowego lub prętowego n – postacie sterowane nn- liczba stosów w piezoelektrycznym elemencie stosowym nps – liczba postaci niesterowanych ps – liczba postaci sterowanych q - wektor przemieszczeń uogólnionych U – napięcie przyłoŜone do okładzin piezo-elementu wykonawczego Φ – macierz transformacji Oznaczenia związane z identyfikacją parametryczną obiektu. j = - 1 – liczba urojona fnyq – częstotliwość Nyquista związana z próbkowaniem sygnałów wejścia i wyjścia fs –częstotliwość próbkowania sygnałów wejściowych i wyjściowych G(zk) – transmitancja dyskretna obiektu uzyskana z eksperymentu przy wybranym rzędzie p L(zk) – licznik identyfikowanego modelu po realizacji DFT l- liczba próbek sygnałów wejściowych i wyjściowych M(zk) – mianownik identyfikowanego modelu po realizacji DFT mk – liczba wejść na obiekt p – wybrany rząd identyfikowanego modelu rk – liczba wyjść z obiektu t- czas U(k) – wektor związany z próbkowanym sygnałem wejściowym u(t) –sygnał wejściowy uzyskany podczas eksperymentu w dziedzinie czasu y(k) – funkcja odpowiedzi impulsowej Y(k) – próbkowany sygnał wyjściowy Yτ – parametry Markowa ∆t – okres próbkowania sygnału εu(k) – błąd wyznaczenia funkcji przejścia φ* – macierz pseudoodwrtona do macierzy φ ψ – wektor opisujący transmitancję widmową G(zk) w procesie identyfikacji ω – częstość własna [rad/s] ) Θ - wektor estymowanych współczynników licznika i mianownika Θ - wektor współczynników licznika i mianownika. 5.

(6) WYKAZ OZNACZEŃ. Oznaczenia związane z modelowaniem analitycznym i numerycznym belki konsolowej a – przyspieszenie Ab – przekrój poprzeczny elementu belkowego b – szerokość podatnej belki stalowej d – wysokość elementu piezoelektrycznego Eb – moduł Younga elementu belkowego h – wysokość podatnej belki stalowej i – pierwszy węzeł elementu belkowego Ib – moment bezwładności elementu belkowego j - drugi węzeł elementu belkowego Kb – macierz sztywności elementu belkowego Kgb –macierz sztywności elementu belkowego w układzie globalnym Kpb –macierz sztywności elementu belkowego w układzie lokalnym l – długość elementu piezoelektrycznego L – długość podatnej belki stalowej lb - długość pojedynczego elementu belkowego wynikającego z dyskretyzacji M(x,t) – moment gnący działający na belkę stalową M1, M2 – momenty węzłowe elementu belkowego MA – moment gnący generowany przez element wykonawczy Mb – macierz bezwładności elementu belkowego mbe – liczba węzłów w konstrukcji belkowej Mgb –macierz bezwładności elementu belkowego w układzie globalnym Mpb –macierz bezwładności elementu belkowego w układzie lokalnym N – wielomian interpolacyjny Hermite’a nb- liczba elementów belkowych w konstrukcji P1, P2 - siły węzłowe elementu belkowego Q(x,t) – siła poprzeczna działająca na belkę stalową QA –siła tnąca pochodząca od piezo-elementu wykonawczego qe – wektor współrzędnych uogólnionych elementu belkowego r – promień krzywizny związany z działaniem momentu gnącego T(t) – funkcja czasu t U(x) – funkcja współrzędnej x xp1 – miejsce początkowe przyklejenia elementu wykonawczego xp2 – miejsce środkowe przyklejenia elementu wykonawczego xp3 – miejsce końcowe przyklejenia elementu wykonawczego ε – odkształcenie elementu piezoelektrycznego i belki stalowej ξ- oś lokalna elementu belkowego ρb- gęstość elementu belkowego ωb – częstość drgań podatnej belki stalowej [rad/s] ωn – częstość drgań własnych podatnej belki stalowej [rad/s] Oznaczenia związane z modelowaniem i parametrami aktywnej konstrukcji prętowej Ap – przekrój poprzeczny elementu prętowego ap – wektor stałych współczynników elementu prętowego b0 – macierz współczynników konstrukcji w układzie globalnym Bl – macierz powiązań odkształceń od przemieszczeń uogólnionych d33 – stała piezoelektryczna elementu piezoelektrycznego Dp – macierz współczynników spręŜystości elementu prętowego Ep – moduł Younga elementu prętowego 6.

(7) WYKAZ OZNACZEŃ. Gp - macierz warunków brzegowych konstrukcji prętowej Ka – sztywność aktywnego elementu prętowego Kgp –macierz sztywności elementu prętowego w układzie globalnym Kp – macierz sztywności elementu prętowego Kpp –macierz sztywności elementu prętowego w układzie głównym lokalnym lp – długość pojedynczego elementu prętowego wynikającego z dyskretyzacji Mgp –macierz bezwładności elementu prętowego w układzie globalnym Mp – macierz bezwładności elementu prętowego Mpp –macierz bezwładności elementu prętowego w układzie głównym lokalnym mpr – liczba węzłów konstrukcji prętowej Ne - macierz funkcji kształtu elementu prętowego np- liczba elementów prętowych w konstrukcji pr – liczba prętów w konstrukcji qep – wektor współrzędnych uogólnionych elementu prętowego T – macierz kosinusów kierunkowych elementu prętowego ξp- oś lokalna elementu prętowego ρp- gęstość elementu prętowego Oznaczenia związane z prawem sterowania A – macierz stanu AZX , AZY - macierze stanu modelu obiektu HXY(s) oraz HYY(s) AZX2 , AZY2 - macierze stanu modelu obiektu HXX(s) oraz HYX(s) B – macierz wejść BZX , BZY - macierze wejść modelu obiektu HXY(s) oraz HYY(s) BZX2 , BZY2 - macierze wejść modelu obiektu HXX(s) oraz HYX(s) C – macierz wyjść CZX , CZY - macierze wyjść modelu obiektu HXY(s) oraz HYY(s) CZX2 , CZY2 - macierze wyjść modelu obiektu HXX(s) oraz HYX(s) D – macierz bezpośredniej transmisji Gbeam(s) - transmitancja operatorowa podatnej konstrukcji belkowej H(s) – transmitancja operatorowa konstrukcji prętowej HXY(s) – transmitancja operatorowa rozprzęŜonego modelu obiektu płaszczyzna sterowania Z-Y) HXX(s) – transmitancja operatorowa rozprzęŜonego modelu obiektu płaszczyzna sterowania Z-X) HYX(s) – transmitancja operatorowa rozprzęŜonego modelu obiektu płaszczyzna sterowania Z-X) HYY(s) – transmitancja operatorowa rozprzęŜonego modelu obiektu płaszczyzna sterowania Z-Y) Kr – wektor wzmocnień kompensatora Kf – wektor optymalnych wzmocnień estymatora Q – macierz wag od zakłóceń działających na obiekt R – macierz wag nałoŜona na sygnał sterujący φ – przesunięcie fazowe obiektu opisanego transmitancja dyskretną G(z). (czujnik pomiarowy Z-X, (czujnik pomiarowy Z-X, (czujnik pomiarowy Z-Y, (czujnik pomiarowy Z-Y,. 7.

(8) AKRONIMY. Akronimy A/D – przetwornik analogowo-cyfrowy (ang. Analog/ Digital) ARX – model autoregresyjny z zewnętrznym wejściem (ang. autoregressive with exogenous input) BR – redukcja rzędu modelu (ang. Balanced Realization Method) D/A – przetwornik cyfrowo-analogowy (ang. Digital/ Analog) DFT – dyskretna transformata Fouriera (ang. Discrete Fourier Transform) DSP - cyfrowy procesor sygnałowy (ang. Digital Signal Processor) ERA – algorytm rozwiązywania problemu własnego ( ang. Eigensystem Realization Algorithm) FEM - metoda elementów skończonych ( ang. Finite Element Method ) FRF – metoda odpowiedzi częstotliwościowej ( ang. Frequency Response Function) FPGA – programowalne układy logiczne (ang. Field Programmable Gate Array) LMFD/RMFD - ( ang. Left/ Right Matrix Fraction Description). LQR – regulator liniowo-kwadratowy (ang. Linear Quadraric Regulator) MIMO – układ o wielu wejściach i wielu wyjściach (ang. Multi Input Multi Output) MR - materiały megnetoreologiczne (ang. Magneto-rheological Materials) MS - materiały magnetostrykcyjne (ang. Magneto-strictive materials) OKID – identyfikacja z wykorzystaniem filtru Kalmana ( ang. Oberver/Kalman Filter Identification) PVDF - polifluorek winylidenu (ang. polyvinylidene fluoride) PZT – spiek cyrkonianiu ołowiu z tytanianem baru ( ang. Lead Zirconate-Titante ) SIMO – układ o jednym wejściu i wielu wyjściach (ang. Single Input Multi Output) SISO – układ o jednym wejściu i jednym wyjściu (ang. Single Input Single Output) SMA – materiały z pamięcią kształtu (ang. Shape Memory Alloys) SVD – dekompozycja na wartości singularne (ang. Singular Value Decompsition) TITO – układ o dwóch wejściach i dwóch wyjściach (ang. Twoi Input Two Output). 8.

(9) ROZDZIAŁ 1. WSTĘP. Rozdział 1. Wstęp Truizmem jest juŜ stwierdzenie greckiego filozofa – „panta rei” - wszystko płynie, wszystko porusza się wokół nas. Zaś wiele z tych ruchów przyrody oŜywionej i nieoŜywionej ma charakter powtarzający się, prawie okresowy. Znaczy to, Ŝe po pewnym ustalonym odcinku czasu - okresie historia połoŜeń obserwowanego obiektu, a tym samym i zjawisko ruchu powtórzy się. Takie powtarzające się ruchy odniesione do konkretnych obiektów nazywamy drganiami. Jeśli zaś zjawisko ruchu nie da się odnieść do konkretnego obiektu, a polega na zmianie pewnej zmiennej uogólnionej (np. ładunek, prąd elektryczny, napięcie, itp.) to ruch powtarzalny nosi nazwę oscylacji. Stąd teŜ mówimy o np. drganiach pojazdu w ruchu po swym torze, o drganiach mostu, ale dalej mówimy o oscylacjach napięcia w antenie nadajnika bądź odbiornika radiowego, oscylacjach poziomu wody bądź ciśnienia w instalacji, itp. Z powyŜszego wynika, Ŝe zjawiska drganiowe obejmują swym zasięgiem środowisko naturalne jak i techniczne człowieka, a takŜe jego samego (np. oscylacje, pulsacje ciśnienia krwi). Nas jednak będą interesować zjawiska drganiowe obiektów mechanicznych; ściślej: konstrukcji, maszyny, urządzenia czy teŜ pojazdu, będącego przedmiotem zainteresowań inŜynierii mechanicznej. Generalnie moŜna powiedzieć, Ŝe drgania zachodzą w kaŜdym obiekcie mechanicznym, zwłaszcza wypełniającym swą funkcję celu w dynamicznie zmieniającym się otoczeniu. Drgania te jednak zaczynają być dopiero istotne po przekroczeniu pewnego progu wyznaczanego przez amplitudę i częstotliwość zjawiska, (amplitudę w najprostszym przypadku mierzy się jako odchylenie od średniego połoŜenia równowagi, zaś częstotliwość to odwrotność wspomnianego juŜ okresu drgań). Po przekroczeniu tego progu drgania mogą być szkodliwe dla obiektu bądź dla jego otoczenia (np. następuje zmniejszenie trwałości materiału) lub teŜ w innych przypadkach mamy celową generację drgań dla wykonania poŜytecznej pracy np. zagęszczenia betonu. Wreszcie obserwując charakter drgań maszyn w kategoriach czasu ich Ŝycia, moŜemy wykorzystać informacje o maszynie zawarte w jej procesie drganiowym i dokonać oceny stanu technicznego maszyny (diagnostyki). JednakŜe ze względu na charakter rozprawy nie będziemy zajmować się ani diagnostyką maszyny ani teŜ drganiami, które ze względu na swą funkcję celu pełnią poŜyteczną funkcję. Skupimy się na drganiach, które naleŜy eliminować w celu poprawy jakości pracy konstrukcji. Zatem odpowiadając sobie na pytanie czy redukcja drgań jest potrzebna, z całą pewnością odpowiemy - tak. Rozwój technologii materiałowej sprawił, Ŝe na całym świecie pojawiają się bardzo wysokie konstrukcje budowlane, które z dekady na dekadę projektowane są z coraz lŜejszych materiałów posiadających większe wytrzymałości. Rozwiązania te niestety niosą za sobą pewne ryzyko związane z większą wiotkością konstrukcji, która z kolei powoduje, Ŝe dany obiekt jest bardziej naraŜony na działanie obciąŜeń dynamicznych o charakterze zewnętrznym i wewnętrznym. Typowymi charakterystycznymi obciąŜeniami dynamicznymi są: 1) siły wywołane trzęsieniem ziemi, 2) siły wywołane silnymi, huraganowymi wiatrami, 3) obciąŜenia parasejsmiczne, 4) obciąŜenia komunikacyjne, 5) niekiedy siły związane ze specyficznym sposobem uŜytkowania budynku, konstrukcji. Oprócz wyŜej wspominanych konstrukcji budowlanych wysokich budynków, konstrukcjami, w których naleŜy zastosować redukcję drgań są: platformy wiertnicze, satelity kosmiczne, wiotkie kominy, Ŝurawie budowlane, maszty antenowe, mosty lub teŜ konstrukcje wsporcze pod maszyny i urządzenia. Aby zapewnić im odpowiednią redukcję drgań naleŜy wybrać właściwy sposób. 9.

(10) ROZDZIAŁ 1. WSTĘP. przeciwdziałania drganiom poprzez zastosowanie tzw. eliminatorów drgań. Pod pojęciem „eliminator drgań” naleŜy rozumieć dodatkowe elementy konstrukcyjne, urządzenia lub dodatkowe systemy zainstalowane na konstrukcji lub teŜ w nią wbudowane. Celem takiego zabiegu jest zmniejszenie efektu dynamicznego oddziaływania na konstrukcję. 1.1. Klasyfikacja metod redukcji drgań Przegląd literatury [4,11,19] poświęconej redukcji drgań ukazał trzy grupy metod eliminacji drgań ze względu na zastosowane tłumiki drgań: 1) pasywne, 2) pół- aktywne (semi-aktywne), 3) aktywne. 1.1.1 Pasywne tłumiki drgań Pasywne eliminatory drgań charakteryzują się przede wszystkim prostotą konstrukcji lub teŜ prostotą poszczególnych elementów konstrukcyjnych. Zasadniczą cechą omawianych tłumików jest zapewnienie całej konstrukcji większej moŜliwości rozproszenia energii dostarczonej przez obciąŜenia dynamiczne bez przyłączania dodatkowego zewnętrznego źródła energii. Ponadto projektowane są w ten sposób, Ŝe mają dodatkowo zapewnić modyfikację częstości drgań własnych całej konstrukcji. Związane jest to głównie z obniŜeniem pierwszej częstotliwości rezonansowej w celu zapewnienia stabilizacji obiektu. Zaletą a być moŜe wadą tych rozwiązań jest fakt, iŜ posiadają stałość parametrów technicznych. Stałoparametryczność takiego materiału sprawia, Ŝe nie posiadamy moŜliwości zmiany tego parametru w trakcie pracy całej konstrukcji lub urządzenia. Najczęściej spotykanymi tłumikami pasywnymi są tłumiki lepko-spręŜyste. Zasada ich działania polega na tym, Ŝe tłumik składa się z jednej lub dwóch warstw materiału o właściwościach lepko-spręŜystych umieszczonych pomiędzy stalowymi płytkami. Drgania konstrukcji powodują przemieszczenie się płytek stalowych względem siebie. Warstwy materiału lepko-spręŜystego są ścinane i w ten sposób następuje rozpraszanie energii. Materiałami lepko-spręŜystymi uŜywanymi w tego typu tłumikach są kopolimery (polimery mieszane) lub substancje szkliste. Z badań właściwości tych materiałów lepko-spręŜystych wynika, Ŝe ich moduł ścinania i współczynnik tłumienia zaleŜą od: a) częstości wymuszenia, b) temperatury materiału, c) temperatury otoczenia, d) wielkości odkształceń ścinających.. 10.

(11) ROZDZIAŁ 1. WSTĘP. Rys.1.1. Tłumik lepko-spręŜysty składający się z dwóch warstw materiału o właściwościach lepkospręŜystych umieszczonych pomiędzy stalowymi płytkami [82] Kolejną grupą tłumików pasywnych są tłumiki lepkie. Jedną z odmian tych rozwiązań jest wiskotyczny tłumik Taylora. W odróŜnieniu od poprzedniego rodzaju eliminatora drgań elementem tłumiącym drgania jest ciecz posiadająca duŜą lepkość. Najczęściej spotykaną cieczą w tych tłumikach jest olej silnikowy. Zasada działania tego urządzenia polega na zamianie energii mechanicznej w energię cieplną spowodowaną ruchem tłoczyska w tłumiku i przepływie oleju poprzez otwory w tłoku z jednej komory do drugiej. Opisany powyŜej tłumik zapewnia wysokie tłumienie drgań, jednakŜe uzaleŜnione jest to od właściwego zaprojektowania i wykonania tłumika.. Rys. 1.2. Tłumik wiskotyczny Taylora [82] Ostatnią grupę pasywnych eliminatorów są tłumiki dynamiczne. Dobór masowego tłumika drgań określa się na podstawie masy modalnej całej konstrukcji szczególnie związanej z pierwszą częstotliwością rezonansową. Zwykle przyjmuje się masę omawianego eliminatora drgań na poziomie 1% masy modalnej. Dzieje się tak, iŜ najczęściej przy projektowaniu tłumika projektantom zaleŜy na. 11.

(12) ROZDZIAŁ 1. WSTĘP. obniŜeniu amplitudy drgań związanej z pierwszą częstotliwością rezonansową konstrukcji. Pozostałe drgania są tłumione, ale juŜ w znacznie mniejszym stopniu. Rozwiązań konstrukcyjnych omawianych tłumików jest wiele i ciągle pojawiają się nowe. 1.1.2. Aktywne tłumiki drgań Aktywne tłumiki drgań są układami automatycznej regulacji zamontowanymi na konstrukcji. Największy problem przy projektowaniu aktywnego eliminatora drgań stanowi właściwy dobór sił sterujących. Ich wyznaczenie stanowi swego rodzaju zadanie optymalizacyjne, które ma na celu uzyskanie duŜego zmniejszenia drgań przy niewiele moŜliwej ingerencji sił aktywnej regulacji u(t). W związku z tym głównymi elementami omawianego układu są: czujniki pomiarowe, elementy wykonawcze oraz komputer wraz z oprogramowaniem. W celu przeciwdziałania obciąŜeniom dynamicznym wprowadza się dodatkowe siły oddziaływujące na konstrukcję. Lokalizacja elementów pomiarowych uzaleŜniona jest od funkcji celu jaką ostatecznie chcemy uzyskać. Poszczególne czujniki mierzą stan dynamiczny konstrukcji (tzn. mierzą przemieszczenie, prędkość lub przyspieszenie). Informacja uzyskana z czujników przesyłana jest do sterownika, który poprzez zaimplementowane na nim prawo sterowania określa poŜądane wartości sił regulacji. Następnie wyliczone wartości w postaci sygnału wysłane są na elementy wykonawcze, które z kolei wzbudzają odpowiednie siły regulacji i działają nimi na konstrukcję. Celem przybliŜenia sposobu działania aktywnego eliminatora drgań został przedstawiony schemat układu automatycznej regulacji (rys.1.3).. Rys. 1.3. Ogólny schemat działania układu automatycznej regulacji Wspomniane czujniki pomiarowe oraz elementy wykonawcze mogą być wykonane z róŜnych materiałów. W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat nastąpił niebywały rozwój „inteligentnych” materiałów (ang. smart materials) charakteryzujących się niewielką masą, która moŜe mieć znikomy wpływ na ogólną masę konstrukcji. Ponadto wyŜej wymienione materiały mają szerokie właściwości mechaniczne, elektryczne itp, zatem wyśmienicie nadają się na elementy aktywnego tłumienia drgań.. 12.

(13) ROZDZIAŁ 1. WSTĘP. Z dostępnych na rynku materiałów wykorzystywanych do produkcji czujników pomiarowych są między innymi: materiały piezoelektryczne typu PZT (ang. Lead Zirconate Titante), PVDF (ang. polyvinylidene fluoride) lub materiały optyczne (ang. Fiber optics). Natomiast w przypadku materiałów do produkcji elementów wykonawczych najczęściej stosuje się: materiały z pamięcią kształtu SMA (ang. Shape Memory Alloys), materiały piezoelektryczne PZT (ang. Lead Zirconate Titante), materiały magnetoreologiczne MR (ang. Magneto-rheological Materials) oraz materiały magnetostrykcyjne MS (ang. magnetostrictive materials). W celu ułatwienia wyboru konkretnego materiału wykorzystanego na stanowiskach laboratoryjnych w dalszej części pracy dokonano ich przeglądu. Materiały z pamięcią kształtu Materiały z pamięcią kształtu (SMA) są pewną klasą stopów metali, które mogą zmieniać kształt, po osiągnięciu pewnej temperatury. Zmiana kształtu polega na powrocie materiału do kształtu wyjściowego, tego który został "zapamiętany" lub na tzw. efekcie pseudoelastyczności. Materiały te posiadają dwie stabilne fazy: fazę wysokotemperaturową (austenit) i niskotemperaturową (martenzyt). Dodatkowo, faza martenzytyczna występuje w dwóch formach: zbliźniaczonej i zbliźniaczonej zniekształconej. Stopy z pamięcią kształtu mają zdolność powracania, w odpowiednich warunkach, do nadanego im wcześniej kształtu. Związane z tym odkształcenia wynoszą dla polikryształów do 8%, a dla monokryształów do 15%. Energia wyzwalana przy odkształcaniu jest rzędu 106-107 J/m2. Zjawiskiem fizycznym wywołującym zmianę kształtu jest odwracalna przemiana martenzytyczna. W stopach z pamięcią kształtu moŜe występować jednokierunkowy efekt pamięci kształtu (materiał odkształcony w stanie martenzytycznym powraca po nagrzaniu do kształtu nadanego przy istnieniu fazy wysokotemperaturowej), dwukierunkowy efekt pamięci kształtu (przejście od kształtu nadanego w stanie martenzytycznym do kształtu nadanego przy istnieniu fazy wysokotemperaturowej jest odwracalne i odbywa się bez udziału napręŜeń), oraz zjawisko psuedospręŜystości (odkształcenie w wyniku przemiany martenzytycznej indukowanej napręŜeniami). Bodźcem aktywującym zmianę kształtu jest zmiana temperatury. Istnieje grupa stopów posiadających tzw. magnetyczną pamięć kształtu, w których przemiana martenzytyczna aktywowana jest polem magnetycznym (częstotliwość pracy moŜe być większa). Atrakcyjnymi materiałami są kompozyty zawierające SMA (wykorzystywane np. jako materiały tłumiące drgania) oraz tzw. heterostruktury, w których SMA występują w postaci cienkich warstw i stanowią np. mikroaktuatory w systemach mikroelektromechanicznych (MEMS). Najbardziej znanym materiałem SMA jest stop niklu i tytanu zwany bardzo często w literaturze Nitinol. Materiały piezoelektryczne Materiały piezoelektryczne stanowią drugą grupę materiałów wykorzystywanych w aktywnym sterowaniu konstrukcji. Ze względu na swoją niewielką masę i gabaryty znajdują szerokie zastosowanie w kaŜdej gałęzi przemysłu. Poprzez zachodzące zjawisko piezoelektryczności następuje zamiana energii mechanicznej w elektryczną (proste) oraz elektrycznej w mechaniczną (odwrotne). Dzięki temu przy dostarczeniu zewnętrznego źródła energii moŜna wpływać na redukcję drgań konstrukcji, w której powyŜsze elementy się znajdują. Podstawowymi cechami charakterystycznymi omawianych materiałów są ich właściwości spręŜyste, piezoelektryczne i dielektryczne. Podstawową zaleŜnością jest związek pomiędzy polaryzacją a napręŜeniem nazywany często modułem piezoelektrycznym, gdzie w zaleŜności od rodzaju efektu piezoelektrycznego wyraŜony jest w [C/N] (prosty) i [m/V] (odwrotny). Ponadto materiały piezoelektryczne charakteryzują się równieŜ 13.

(14) ROZDZIAŁ 1. WSTĘP. napięciowym modułem piezoelektrycznym wyraŜonym w [Vm/N]. Bardzo dobre parametry sprawiły, Ŝe najbardziej rozpowszechnionym piezoelektrykiem na świecie jest cyrkonian-tytanian ołowiu określany mianem PZT. W dalszej części pracy zarówno w badaniach symulacyjnych jak i eksperymentalnych został on wykorzystany jako element wykonawczy i pomiarowy. Materiały magnetoreologiczne (MR) Materiały magnetoreologiczne są cieczami, które mogą gwałtownie zmienić swoje własności lepkospręŜyste. Ciecze te mogą zmieniać swoją konsystencję z gęstego płynu (o konsystencji np. oleju samochodowego) do ciała prawie stałego - osiągnięty końcowy stan materiału zaleŜy od tego jak silne pole magnetyczne zostanie zastosowane. Proces ten trwa zaledwie kilka milisekund (do 10 ms) i jest wywołany obecnością pola magnetycznego. Efekt ten moŜe być odwrócony równie szybko jak został wywołany. Ciecz magnetoreologiczna zmienia swoją lepkość pod wpływem działania pola magnetycznego. Przy działaniu pola magnetycznego na ciecze magnetoreologiczne moŜe się zmienić równieŜ ich temperatura i odczyn pH. Rodzaj cieczy MR określają następujące parametry: rodzaj i lepkość oleju, stanowiącego fazę dyspersyjną oraz koncentracja i magnetyczne właściwości fazy zdyspergowanej. Wymienione wyŜej parametry cieczy MR decydują o jej podstawowej charakterystyce reologicznej, którą wyznacza zaleŜność napręŜeń od prędkości odkształcania postaciowego przy róŜnych natęŜeniach pola magnetycznego. Prawie wszystkie ciecze magnetoreologiczne wykazują równieŜ, w mniejszym lub większym stopniu zjawisko elektroreologiczne. Jest ono rezultatem obecności w cieczy reologicznej pewnej ilości wody oraz występowania mobilnych jonów na pokrytej tlenkami powierzchni cząstek. Obecnie nie ma uniwersalnej metody opisującej zjawiska w cieczach MR. Istnieje jednak powszechny pogląd, Ŝe zmiana we właściwościach mechanicznych jest wywołana ukierunkowaniem cząstek ferromagnetycznych i tworzeniem przez nie zawiesiny podobnej do włókienek. Siłą napędową tego procesu jest obniŜenie lokalnej energii potencjalnej układu. Ukierunkowanie struktury mieszaniny w polu magnetycznym wywołuje wzrost lepkości i wytrzymałości na ścinanie. Najczęściej materiały magnetoreologiczne zastosowane są w [35]: 1) 2) 3) 4). systemach zawieszenia w samochodach (tłumiki drgań), systemach ochrony pasaŜerów w samochodach (poduszki powietrzne, zderzaki, hamulce), układach pneumatycznych do kontroli szybkości i pozycji, układach tłumienia drgań i kontroli sztywności zawieszenia siedzisk samochodów cięŜarowych i autobusach.. 1.1.3. Półaktywne tłumiki drgań Ostatnim typem eliminatorów drgań są półaktywne tłumiki. Jak sama nazwa mówi są połączeniem tłumików pasywnych i aktywnych. Od aktywnych układów róŜnią się tym, Ŝe mają bardzo małe zapotrzebowanie na energię niezbędną do działania wzbudnika sił regulacji. Wspominane siły regulacji mają zwykle charakter sił tłumienia. Od układów pasywnych tłumiki półaktywne róŜnią się tym, Ŝe parametry urządzenia wywołującego siły regulacji moŜna zmieniać w zaleŜności od stanu dynamicznego konstrukcji. Ogólnie mówiąc półaktywnym eliminatorem drgań moŜe być kaŜdy układ pasywnej regulacji, którego parametry moŜna zmieniać w czasie rzeczywistym. Najczęstszymi tłumikami półaktywnej regulacji są: 1) półaktywne tłumiki hydrauliczne, 2) półaktywne tłumiki wiskotyczne, 14.

(15) ROZDZIAŁ 1. 3) 4) 5) 6). WSTĘP. półaktywne tłumiki elektroreologiczne, półaktywne tłumiki magnetoreologiczne, półaktywne tłumiki tarciowe, półaktywne tłumiki cieczowe.. Przeprowadzony we wstępie do pracy przegląd literatury, ukazał dostępne sposoby przeciwdziałania drgań konstrukcji niezaleŜnie od jej rozmiarów. Właściwe ich zastosowanie zaleŜy przede wszystkim od funkcji celu jaką chcemy ostatecznie uzyskać, ale równieŜ od masy i gabarytów obiektów poddanych redukcji drgań. W przedstawionej rozprawie doktorskiej obiektami badań są konstrukcje o niewielkich rozmiarach i niewielkiej masie. W związku z tym do sterowania takimi obiektami zostanie zastosowana metoda aktywnego tłumienia drgań konstrukcji. Elementami wykonawczymi oraz elementami pomiarowymi są równieŜ urządzenia o bardzo małej masie. Z przedstawionej charakterystyki dostępnych moŜliwości tłumienia drgań o małej masie, wynika, Ŝe najlepszym rozwiązaniem jest zastosowanie urządzeń wykonanych z materiałów piezoelektrycznych. Tak zaprojektowane konstrukcje wyposaŜone w dodatkowe piezo-elementy stanowią obiekty sterowania, do których zostaną zaprojektowane odpowiednie prawa sterowania mające na celu stłumienie drgań wybranych konstrukcji mechanicznych.. 15.

(16) ROZDZIAŁ 2. TEMATYKA I CEL PRACY. Rozdział 2. Tematyka, cel i teza pracy Konstrukcje mechaniczne są obiektami przestrzennymi (3-wymiarowymi – 3D) o rozłoŜonych parametrach i wielu innych trudnych z punktu widzenia teorii sterowania cechach. Proces projektowania układu sterowania drganiami dla takich obiektów jest wyjątkowo trudny i wymaga od projektanta duŜej wiedzy heurystycznej. Aby ułatwić proces projektowania w rozprawie podejmuje się próbę utworzenia takiej procedury projektowania, którą moŜna by z powodzeniem stosować dla szerokiej klasy obiektów mechanicznych. Procedurę tą nazwiemy metodą szybkiego prototypowania, gdyŜ celem jest jak najszybsze dojście do rozwiązania przez zastosowanie technik, które są obecnie dostępne. Stosowanie tej procedury zostanie przedstawione na dwóch przykładach: belki konsolowej oraz smukłej konstrukcji prętowej przymocowanej jednym końcem do nieruchomego podłoŜa. Sterowanie takich obiektów polegać będzie na wyeliminowaniu drgań swobodnego końca konstrukcji w płaszczyźnie równoległej do podłoŜa. Obiekt opisany w pracy jako konstrukcja prętowa moŜe reprezentować ramię robota, antenę czy wysmukły wieŜowiec. Sterowaniu drganiami poświęcone są juŜ liczne monografie, np. [10, 11, 19, 36]. Prezentują one w duŜej mierze podejście znane z teorii sterowania, czyli koncentrują się przede wszystkim na dobieraniu praw sterowania. Mniejszy nacisk kładzie się na inne waŜne problemy występujące w automatyzacji układów o rozłoŜonych parametrach. NaleŜy do nich liczba i rozmieszczenie elementów pomiarowych i wykonawczych, moŜliwości techniczne sterowania szybkimi procesami. Metody sterowania są często analizowane na przykładzie stosunkowo prostych obiektów jakim na przykład jest opisana w rozprawie stalowa belka konsolowa (sterowanie 1D) [42, 51]. Do klasy sterowań 1D zaliczyć moŜna równieŜ układy o kilku elementach wykonawczych (osiach sterowania) i pomiarowych, ale działających równolegle w tej samej płaszczyźnie. Znacznie mniej jest przykładów z obiektami sterowanymi płaszczyznowo [52]. Dlatego zaproponowane w rozprawie sterowanie 2D moŜe być dobrym przykładem sterowania innymi obiektami. 2. 1. Proponowana procedura sterowania drganiami Proces projektowania jest procesem twórczym a więc indywidualnym dla kaŜdego tworu. Dotyczy to równieŜ projektowania układów sterowania drganiami. JednakŜe proces projektowania moŜe być przyspieszony poprzez ukształtowanie odpowiednich procedur postępowania. Proponuje się następujące kroki w procedurze projektowania układem sterowania drganiami konstrukcji mechanicznych. 1. Część analityczna i twórcza projektu. 2. Określenie najlepszych lokalizacji elementów pomiarowych i wykonawczych na konstrukcji z wykorzystaniem metody elementów skończonych. 3. Identyfikacja modelu matematycznego obiektu sterowania. 4. Projektowanie praw sterowania. 5. Weryfikacja eksperymentalna działania zaprojektowanego projektu. 6. Jeśli uzyskane wyniki nie są zadowalające – powrót do pierwszego kroku. Ad1. NaleŜy ustalić z przyszłym uŜytkownikiem konstrukcji zadania i cele, które ma spełniać układ sterowania. Wynika z tych zadań wstępna struktura układu sterowania (liczba i rodzaje elementów pomiarowych i wykonawczych, rodzaje sterownika). Ze względów ekonomicznych oraz technicznych liczba tych elementów powinna być jak najmniejsza. Ponadto wyznacza się osie sterowania, wzdłuŜ których mają działać siły sterujące lub momenty sił.. 16.

(17) ROZDZIAŁ 2. TEMATYKA I CEL PRACY. W przypadku belki konsolowej moment generowany jest poprzez pojawienie się sił wzdłuŜ wstęgi piezoelektrycznej. Natomiast w przypadku konstrukcji przestrzennej poprzez dwa piezo-stosy umieszczone w wzdłuŜnych sąsiednich prętach leŜących w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny Z-X. Oczekuje się, Ŝe takie zlokalizowanie elementów wykonawczych pozwoli na rozprzęŜenie kierunków sterowania i sprowadzenie całego układu do dwóch pętli SISO (ang. Single Input Single Output). Ad2. Optymalna lokalizacja elementów pomiarowych i wykonawczych na obiektach o rozłoŜonych parametrach jest tematem wielu rozwaŜań teoretycznych i numerycznych, np. [40, 49]. NaleŜy jednak podkreślić, Ŝe w rzeczywistych konstrukcjach nie wszędzie moŜna takie elementy stosować, ze względu na budowę konstrukcji i proces technologiczny realizowany przez obiekt. Uwzględniając dostępne lokalizacje, moŜemy mówić jedynie o quasi-optymalnych rozwiązaniach. Najlepszym wskaźnikiem quasi-optymalnej lokalizacji moŜe być wskaźnik maksymalizujący modalne parametry dla wybranych postaci drgań. W rozwaŜanych przykładach przyjęto połoŜenie elementów wykonawczych (wstęgi piezoelektrycznej oraz dwóch stosów piezoelektrycznych) znajdujących się w kierunku wzdłuŜnym obu konstrukcji. Na podstawie ich połoŜenia zbudowano modele matematyczne danych konstrukcji metodą elementów skończonych. Jednocześnie zmieniano połoŜenie piezo-elementów wzdłuŜ wzdłuŜnej osi konstrukcji, dla kaŜdego połoŜenia wyznaczając róŜne parametry modalne. Ostatecznie przyjęto wskaźnik jakości oparty na modalnych siłach sterujących, którego maksymalizacja prowadzi do wyznaczenia quasi-optymalnej lokalizacji elementów wykonawczych. Operację optymalizacji moŜna powtórzyć dla poszukiwania najlepszej lokalizacji czujników pomiarowych, co zostało ukazane jedynie na przykładzie stalowej belki konsolowej. W tym przypadku wskaźnik jakości naleŜy budować na innych parametrach modalnych, np. modalnych przemieszczeniach. Operacja ta nie była powtarzana w rozwaŜanej konstrukcji prętowej, ze względu na realizowane zadanie sterowania. Przyjęto w nim, Ŝe czujniki przemieszczeń umieszczone są wzajemnie prostopadle w tej poziomej płaszczyźnie, w której chcemy wyeliminować drgania konstrukcji. Ad.3. Metoda elementów skończonych nie pozwala na dokładne uwzględnienie tych parametrów układu, które nie mogą być wyznaczone przed zbudowaniem konstrukcji. Do takich niepewności zaliczyć moŜna współczynniki tłumienia wewnętrznego i zewnętrznego drgań, działanie sił w róŜnego rodzaju połączeniach, nieliniowości parametryczne, itd. Dlatego naleŜy w kolejnym kroku zbudować konstrukcję z wbudowanymi elementami pomiarowymi i wykonawczymi oraz przeprowadzić identyfikację celem uzyskania modelu matematycznego wykorzystując jedną z wielu znanych metod [16,62]. Na tym etapie naleŜy równieŜ przeprowadzić w sposób przemyślany redukcję modelu, aby uprościć projektowanie układu sterowania. Przy identyfikacji dynamiki obu konstrukcji do generowania sygnałów wejściowych wykorzystano piezo-elementy wykonawcze, a sygnały wyjściowe uzyskano raz z piezo-elementu pomiarowego, drugi raz z czujników przemieszczeń. Tym samym uzyskano dokładnie takie same relacje wejściawyjścia, jakie wystąpią w układzie sterowania [33,34]. Ad.4. Przestrzenne (3D) lub płaszczyznowe (2D) sterowanie konstrukcjami o rozłoŜonych parametrach zwykle wymaga zastosowania układów sterowania o wielu wejściach i wielu wyjściach MIMO (ang. Multi Input Multi Output). Procesy drganiowe są szybkie, czyli stałe czasowe obiektu są małe i wyraŜane w milisekundach. Widmo procesu drganiowego, które naleŜy brać pod uwagę przy projektowaniu układu sterowania jest stosunkowo szerokie sięgające kilku kiloherców. To nakłada 17.

(18) ROZDZIAŁ 2. TEMATYKA I CEL PRACY. silne ograniczenia na wybór elementów automatyki, które moŜna stosować. Dlatego waŜne jest upraszczanie układu sterowania przez zastosowanie redukcji modeli matematycznych, rozprzęŜenie układów na podukłady o mniejszej liczbie wejść i wyjść, stosowanie prostych praw sterowania. W przypadku konstrukcji belkowej sterowanie 1D wymaga zastosowania modelu obiektu o co najmniej jednym wejściu i jednym wyjściu leŜących w jednej płaszczyźnie. Z tego teŜ powodu w projektowanym układzie sterowania zastosowano ten najprostszy układ (jedna wstęga piezoelektryczna i jeden czujnik pomiarowy piezoelektryczny). Dla tak zbudowanego modelu obiektu zastosowano optymalne sterowanie liniowo-kwadratowe. W drugim przypadku dotyczącym konstrukcji prętowej zastosowano sterowanie 2D dla modelu złoŜonego z dwóch wejść i dwóch wyjść (2 piezo-stosy i dwa czujniki przemieszczeń). RozprzęŜenie układu pozwoliło na zastosowanie dwóch regulatorów typu PD. Proces projektowania w obu przypadkach z wykorzystaniem metod symulacji komputerowej okazał się stosunkowo prosty, a osiągnięte wyniki są wynikami poŜądanymi. Ad.5. W proponowanej metodzie szybkiego prototypowania weryfikacja eksperymentalna jest naturalnym ciągiem poprzednich etapów projektowania. Dysponujemy przecieŜ gotową konstrukcją, sygnałami wejścia-wyjścia. Po dołączeniu sterowników z wyznaczonymi prawami sterowania moŜna sprawdzić działanie układu zamkniętego i wyznaczyć jego charakterystyki dynamiczne. Jeśli układ nie spełnia postawionych mu zadań naleŜy niestety całą procedurę prototypowania powtórzyć. Proces projektowania aktywnego tłumienia drgań w rozprawie doktorskiej został przeprowadzony na dwóch obiektach sterowania i szczegółowo opisany w poszczególnych rozdziałach, co przedstawia tab.2.1. Tab.2.1 Zakres prowadzonych prac w rozprawie doktorskiej. Belka Konstrukcja prętowa. Przekształcenia analityczne. Obliczenia numeryczne. Identyfikacja. Badania symulacyjne. Badania eksperymentalne. Rozdz. 6.1. Rozdz. 6.2. Rozdz. 6.3. Rozdz. 6.4. Rozdz. 6.5. Rozdz. 7.1. Rozdz. 7.2. Rozdz. 7.3. Rozdz. 7.4. Ostatecznie celem wyŜej opisanych badań jest udowodnienie następującej tezy pracy, która brzmi: MoŜliwe jest szybkie prototypowanie układu sterowania drganiami na drodze obliczeniowoeksperymentalnej, gdzie obliczenia wykorzystuje się do quasi – optymalnej lokalizacji elementów pomiarowych i wykonawczych na konstrukcji mechanicznej, natomiast badania eksperymentalne słuŜą do identyfikacji modelu wejście-wyjście układu otwartego oraz weryfikacji praw sterowania.. 18.

(19) ROZDZIAŁ 3. MODELOWANIE PODATNYCH KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH. Rozdział 3. Modelowanie podatnych konstrukcji mechanicznych z wykorzystaniem metody elementów skończonych Modelowanie obiektu sterowania jest pierwszym a jednocześnie bardzo istotnym etapem projektowania układu regulacji. Na potrzeby układu sterowania model obiektu powinien być maksymalnie prosty, a zarazem wystarczający, aby uzyskać w procesie projektowania prawa sterowania zapewniające stabilność i poŜądaną jakość układu regulacji. Wyznaczenie modelu stalowej belki oraz stalowej konstrukcji przestrzennej z aluminiowymi węzłami wymaga zrozumienia zjawisk mechanicznych i piezoelektrycznych niezbędnych do opisania konstrukcji jako obiektów sterowania. W celu opracowania modelu obiektu na potrzeby sterowania moŜemy skorzystać z trzech dostępnych sposobów modelowania: 1. Analitycznego - wykorzystując prawa fizyki, 2. Dyskretyzacyjnego - wykorzystując metodę elementów skończonych, 3. Eksperymentalnego - wykorzystując metodę identyfikacji. Analiza konstrukcji metodą elementów skończonych polega na sformułowaniu odpowiedniego opisu matematycznego, a następnie rozwiązaniu postawionego problemu. Pamiętać więc naleŜy, Ŝe warunkiem wiarygodności i praktycznej przydatności obliczeń MES jest znajomość odpowiedniego do potrzeb modelu matematycznego. MoŜe on być jednowymiarowy, dwuwymiarowy, trójwymiarowy, a jego wybór zaleŜy od samego uŜytkownika. Wybór modelu matematycznego stanowi bardzo waŜny etap analizy, od którego w zasadniczy sposób zaleŜy dokładność i przydatność wyników. Dobra lub znakomita znajomość badanych zjawisk jest więc podstawowym warunkiem symulacji komputerowej. Dodatkowo dla poprawnego korzystania z programów MES wymagana jest równieŜ znajomość samej metody w zakresie uzaleŜnionym od złoŜoności badanych obiektów i algorytmów obliczeniowych. Budowa modelu obliczeniowego w programach z wykorzystaniem pakietów programów MES przeprowadzana jest zwykle w części interaktywnej zwanej preprocesorem. W tym środowisku programowym uŜytkownik sam buduje model geometryczny analizowanej konstrukcji, definiuje jej właściwości materiałowe oraz warunki brzegowe. Po wskazaniu typów elementów skończonych, które mają być wykorzystane w modelu i wymagań wobec podziału na elementy (gęstość dyskretyzacji w poszczególnych fragmentach modelu) generowana jest automatycznie siatka węzłów i elementów skończonych. Uzyskany model dyskretny rozwiązywanego problemu moŜe być automatycznie sprawdzany pod względem formalnej poprawności [5,27]. Zasadnicze obliczenia tą metodą odbywają się bez bezpośredniego zaangaŜowania uŜytkownika. Definiuje on tylko rodzaj zagadnienia (np. statyka, drgania własne, drgania wymuszone, itp.), metodę rozwiązywania i jej główne parametry (np. kryteria zbieŜności, stopień szczegółowości wyników, itp.). Program przeprowadza na podstawie tych informacji obliczenia i zapisuje je na dysku komputera, który wykorzystywany jest do obliczeń. Prezentacja, analiza i archiwizacja otrzymanych wyników odbywa się w części oprogramowania zwanej postprocesorem. Wybrane rezultaty obliczeń moŜna w zaleŜności od potrzeb uŜytkownika przedstawić za pomocą map warstwicowych, wykresów, wydruków lub animacji. W celu przedstawienia bardziej szczegółowej analizy otrzymanych wyników niektóre z nich moŜna zsumować i ponownie poddać wtórnej operacji. Dzięki temu moŜliwe jest zdefiniowanie nowego wariantu, według której problem będzie rozwiązywany.. 19.

(20) MODELOWANIE PODATNYCH KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH. ROZDZIAŁ 3. Rys.3.1. Schemat postępowania rozwiązywania zagadnień analizy ośrodków ciągłych metodami przybliŜonymi [5] 3.1. Model geometryczny i warunki brzegowe Model geometryczny przedstawiony w postaci linii, powierzchni, bryły stanowi część całego modelu matematycznego i nie musi być (choć jest to wskazane) wiernym odzwierciedleniem rzeczywistego kształtu badanych konstrukcji mechanicznych. W otaczającym nas świecie kaŜda konstrukcja rzeczywista jest obiektem trójwymiarowym, ale wiele zagadnień moŜe być analizowanych przy pomocy prostych elementów: prętowych, belkowych, itp. Przyjęcie takich modeli znacznie zmniejsza liczbę elementów skończonych, liczbę węzłów, a tym samym liczbę stopni swobody niezbędną do uzyskania wymaganej dokładności obliczeń. W wielu przypadkach model geometryczny moŜe pomijać pewne szczegóły rzeczywistego obiektu (spawy, małe otwory, fragmenty konstrukcji nie mające wpływu na analizowane zjawisko). Dzięki temu znacznie skraca się czas trwania obliczeń, a wyniki uzyskane na tym etapie nie odbiegają w Ŝaden sposób od wyników modelu odzwierciedlającego w pełni rzeczywisty obiekt. Z tego teŜ powodu nie zawsze najlepszym rozwiązaniem jest bezpośrednie wykorzystanie modeli geometrycznych stworzonych w programach CAD. Stworzenie samego modelu geometrycznego w programach MES nie wystarcza do przeprowadzenia obliczeń numerycznych. Drugim bardzo istotnym faktem przy tworzeniu modelu jest określenie warunków brzegowych. W większości programów opartych na metodzie elementów skończonych takie warunki podaje się w odniesieniu do modelu geometrycznego (na liniach, powierzchniach, bryłach, punktach, węzłowych obszaru analizy). Wskazanie ich w ten sposób powoduje, Ŝe określamy miejsce podparcia, utwierdzenia konstrukcji, a tym samym odebranie liczby stopni swobody. W przypadku modeli dwuwymiarowych odbierane są 3 stopnie swobody, natomiast w przypadku trójwymiarowych – 6 stopni swobody. Odebranie stopni swobody jest jednoznaczne 20.

(21) ROZDZIAŁ 3. MODELOWANIE PODATNYCH KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH. z przyjęciem wartości zero dla odpowiednich składowych wektora przemieszczenia. Oprócz tego bardzo często na tym etapie definiuje się otoczenie (środowisko) w jakim znajduje się rzeczywisty obiekt. JednakŜe ze względu na fakt, iŜ w pracy rozwiązywany jest problem drgań własnych nie uwzględnia się wpływu otoczenia. 3.2. Wybór odpowiedniego modelu skończonego Analizując za pomocą metody elementów skończonych dowolną konstrukcję: prętową, belkową, powłokową wybieramy odpowiedni element skończony jaki ma być wykorzystywany do obliczeń. Elementy, które na krawędziach mają więcej niŜ dwa węzły pozwalają nam uzyskać lepsze odwzorowanie krzywoliniowego brzegu obiektu, a tym samym bardziej aproksymować pole przemieszczeń wewnątrz elementu w stosunku do elementu, na krawędzi którego znajdują się dwa węzły. W związku z tym w celu uzyskania odpowiedniej dokładności obliczeń naleŜy w pierwszej kolejności rozwaŜyć problem związany z wyborem elementu skończonego, który posiada proste funkcje kształtu lub teŜ bardziej złoŜone funkcje modelujące. Stosowanie bardzo złoŜonych aproksymacji jest bardzo niekorzystne, które bardzo często jednocześnie są wraŜliwe na wszelkiego rodzaju zaburzenia. W związku z tym wielu inŜynierów projektantów radzi [28], by do modelowania wszelkich konstrukcji uŜywać większej ilości elementów skończonych o prostych funkcjach kształtu. Dlatego teŜ wszystkie badania przeprowadzone w pracy zostały oparte o proste elementy belkowe i prętowe, które charakteryzują się prostymi funkcjami modelującymi i zostały opisane w dalszej części pracy przy modelowaniu belki konsolowej i przestrzennej konstrukcji prętowej. 3.3. Dyskretyzacja modelu geometrycznego Poprawnie zbudowany model dyskretny metodą elementów skończonych gwarantuje zbieŜność rozwiązania numerycznego wd do rozwiązania ścisłego ws przy zagęszczaniu siatki dyskretyzacyjnej tj. zwiększaniu liczby elementów i stopni swobody modelu. Typowa zaleŜność między rozwiązaniem ścisłym i dokładnym modelu dyskretnego przedstawiona jest rys.3.2.. Rys. 3.2. ZaleŜność rozwiązania modelu dyskretnego od N liczby stopni swobody modelu [5]. 21.

(22) ROZDZIAŁ 3. MODELOWANIE PODATNYCH KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH. Oczywiście przy badaniu konstrukcji mechanicznych bardzo często wykorzystuje się lokalne zagęszczanie dyskretyzacji. Szczególnie ma to miejsce w tych punktach konstrukcji, w których moŜemy spodziewać się miejscowych nagłych zmian, jak na przykład na granicy połączeń dwóch materiałów o róŜnych właściwościach. Podział na elementy skończone w programach MES jest algorytmem bardzo złoŜonym polegającym na podaniu szeregu parametrów, które będą miały istotny wpływ na uzyskanie ostatecznych wyników badań. JednakŜe nie zagłębiając się w samą treść algorytmu waŜne jest uwypuklenie dwóch metod dyskretyzacji: regularnej (ang. mapped meshing) i swobodnej (ang. free meshing). Bardzo często lepsze rezultaty badań daje podział regularny. Jednak ze względu na kształt konstrukcji jest on czasem trudniejszy do wykonania. Wówczas z pomocą przychodzi nam zastosowanie tej samej metody, ale w odniesieniu do wydzielonych podobszarów. Prace dyskretyzacyjne zastosowane w środowisku Ansys/Ansys Workbench podczas prowadzenia badań nad belką konsolową i konstrukcją przestrzenną zostały przeprowadzone z wykorzystaniem metody regularnej. Wyniki prowadzonych analiz nad badanymi konstrukcji zostały szczegółowiej opisane w rozdziale 6 i 7 pracy. 3.4. Rozwiązanie zagadnień dynamicznych metodą MES w środowisku Ansys i uwagi końcowe Rozwiązanie postawionego problemu w programach MES realizowane jest w części zwanej Solution. Poprzez automatyczne rozwiązanie układu równań dokonuje się wyznaczenie wszystkich przemieszczeń węzłowych. W odniesieniu do zagadnienia „problemu własnego” chodzi przede wszystkim o wyznaczenie wektorów i wartości własnych rozpatrywanego modelu geometrycznego. Wektory własne dają nam informacje o przemieszczeniach węzłowych. Natomiast wartości własne dają nam informacje o wartościach częstotliwości drgań własnych badanych konstrukcji. Metod by te zagadnienie rozwiązać w programach MES jest naprawdę wiele. JednakŜe ze względu na dostępną literaturę [5,25,26,67,69] najlepszym rozwiązaniem okazała się metoda Lanczosa (omówiona w załączniku A). Badania przeprowadzone z wykorzystaniem programów MES dają, jak juŜ zostało wspomniane, przybliŜone wartości. Dlatego teŜ wyniki bardzo często obarczone są błędem, którego wielkość zaleŜy od wielu czynników. W omawianych konstrukcjach największy problem okazuje się być przy połączeniu dwóch materiałów o róŜnych właściwościach materiałowych. Wówczas wymaga to od uŜytkownika szczegółowego i czasochłonnego przeglądu wbudowanych bibliotek. Ponadto dodatkowy problem pojawia się przy samym dyskretyzowaniu modelu. Szczególnie jest to utrudnione na styku elementów, których stosunek związany z ich gabarytami jest naprawdę duŜy. Rozwiązaniem jest wyznaczenie małego podobszaru, w którym dokonujemy odpowiedniego przeskalowania rozmiaru siatki dyskretyzacyjnej z zachowaniem jej np. regularności. Omówiony do tej pory sposób modelowania konstrukcji z wykorzystaniem metody elementów skończonych zakłada wykorzystanie gotowego oprogramowania. Jednak ze względu na czasochłonność przebudowywania modeli geometrycznych przy przesuwaniu piezo-elementów wzdłuŜ konstrukcji celem wyznaczenia quasi-optymalnego połoŜenia została wykorzystana metoda MES ale w odniesieniu do programu Matlab. Zaletą tej drogi postępowania jest to, Ŝe naleŜało korzystając z literatury [8], przedstawić pojedynczy element belkowy i prętowy za pomocą macierzy sztywności i bezwładności. Odpowiednia numeracja węzłów i ich wzajemna relacja pomiędzy poszczególnymi kolejnymi elementami skończonymi daje nam rzeczywisty obraz o algorytmie związanym z metodą elementów skończonych. JednakŜe aby w pełni rozwiązać problem zagadnienia własnego w pierwszej kolejności naleŜy zrozumieć metodykę modelowania pojedynczego elementu belkowego i prętowego.. 22.

(23) ROZDZIAŁ 3. MODELOWANIE PODATNYCH KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH. 3.5. Modelowanie belki konsolowej w środowisku MATLAB 3.5.1 Modelowanie elementu belkowego Modelowanie belki konsolowej naleŜy rozpocząć od rozwaŜenia pojedynczego elementu belkowego, który podlega zginaniu. Wówczas prosty element o długości lb o stałym przekroju poprzecznym Ab, wykonany z jednorodnego materiału o module Younga Eb i stałej gęstości ρb reprezentowany jest poprzez dwa węzły i i j, znajdujące się na końcach elementu. Oś układu lokalnego ξ przebiega przez oś obojętną zginania pręta, a początek układu współrzędnych lokalnych zaczyna się w węźle i. Wówczas współrzędnymi uogólnionymi elementu są dwa przemieszczenia translacyjne i dwa przemieszczenia rotacyjne (rys.3.1), a wektor współrzędnych uogólnionych przyjmie postać [1]:.  q1   w1  q   θ      qe =  2  =  1   q 3   w2  q 4  θ 2 . (3.1). gdzie: i=1,2, j=3,4 q1 i q3 - odpowiadają za przemieszczenia translacyjne odpowiednio węzła i i j. q2 i q4 - odpowiadają za przemieszczenia rotacyjne odpowiednio węzła i i j. Rys. 3.1. Stopnie swobody oraz odpowiadające im siły i momenty węzłowe pojedynczego elementu skończonego belki W metodzie elementów skończonych obciąŜenie zewnętrzne musi być przyłoŜone w węzłach, które moŜe wykonać pracę na odpowiadających im przemieszczeniach. Wówczas element belki jest obciąŜony tylko na swych końcach siłami P1 i P2 oraz momentami M1 i M2. W takim przypadku równanie zginania belki przyjmie postać: Eb I b w IV = 0. (3.2). Całkując czterokrotnie równanie (3.2) otrzymamy:. 23.

(24) ROZDZIAŁ 3. MODELOWANIE PODATNYCH KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH. w( x) = β1 + β 2 x + β 3 x 2 + β 4 x 3. (3.3). Wracając do załoŜenia dotyczącego początku układu współrzędnych w węźle i moŜemy wprowadzić lokalną współrzędną ξ, która jest równa:. ξ = x − xi. (3.4). w(ξ ) = α1 + α 2ξ + α 3ξ 2 + α 4ξ 3. (3.5). Wówczas otrzymujemy:. Stałe całkowania α i określimy z warunków brzegowych w(0) = α 1. w(l b ) = α 1 + α 2 l b + α 3 l b + α 4 l b 2. 3. (3.6). w , ( 0) = α 2 w , (l b ) = α 2 + 2α 3 l b +3α 4 l b. 2. Ostatecznie równanie (3.5) w odniesieniu do wektora przemieszczeń uogólnionych przyjmie postać:. w(ξ ) = q1 + q 2ξ + ξ 2 (−3q1 − 2q 2 + 3q3 − q 4 ) / lb + ξ 3 (2q1 + lb q 2 − 2q3 + lb q 4 ) / lb 2. 3. (3.7). Po uporządkowaniu równania (3.7) według qi mamy: w(ξ ) = (1 − 3. ξ2 lb. 2. +2. ξ3. ξ2. lb. lb. )q1 + (ξ − 2 3. +. ξ3. ξ2. lb. lb. )q 2 + (3 2. 2. −2. ξ3. ξ2. lb. lb. )q3 + (− 3. +. ξ3 lb. 2. )q 4 (3.8). Równanie (3.8) moŜna zapisać w postaci macierzowej jako iloczyn skalarny: w = [N]{q} = [N1. N2. N 4 ]{q}. N3. (3.9). gdzie poszczególnymi elementami wektora N są wielomiany interpolacyjne Hermite’a:. N1 = 1 − 3. ξ2 lb. N2 = ξ − 2 N3 = 3 N4 = −. ξ2 lb. 2. ξ2 lb. +2. 2. ξ2. +. lb. −2 +. lb. 3. ξ3 lb. ξ3 lb. ξ3. 3. 2. , , (3.10). ,. ξ3 lb. 2. 24.

(25) ROZDZIAŁ 3. MODELOWANIE PODATNYCH KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH. Otrzymany w ten sposób model (3.9) opisuje zginanie belki. Pozwala on wyznaczyć przebieg ugięcia w dowolnym przekroju skończonego elementu belkowego. Wyznaczone wielomiany interpolacyjne Hermite’a (3.10) pozwalają na zbudowanie macierzy bezwładności i macierzy sztywności pojedynczego elementu belkowego w układzie lokalnym. Macierz sztywności elementu belkowego wyraŜa się wzorem:  N 1 ' ' N1 ' ' N 1 ' ' N 2 ' ' N1 ' ' N 3 ' ' N 1 ' ' N 4 ' '   N 2 ' ' N 2 ' ' N 2 ' ' N 3 ' ' N 2 ' ' N 4 ' ' T K b = E b I b ∫ N ,, N ,, dξ = Eb I b ∫  dξ  N 3 ' ' N 3 ' ' N 3 ' ' N 4 ' ' 0 0   N 4 ' ' N 4 ' '  sym. 6lb − 12 6lb   12 2 2  4lb − 6lb 2lb  E I = b3b  12 − 6lb  lb   2  sym . 4lb   lb. { }{ }. lb. (3.11). Natomiast macierz bezwładności wyraŜa się następująco:  N1 N1 N 1 N 2  N2N2 T M b = ρ b ∫ {N } {N }dξ = ρ b ∫   0 0   sym.  156 22lb 54 − 13lb  2 2  4lb 13lb − 3lb  ρ b Ab lb  156 − 22lb  420   2  4lb   sym. lb. lb. N1 N 3 N2 N3 N3N3. N1 N 4  N 2 N 4  dξ = N3 N4   N4 N4 . (3.12). Stosując metodę superpozycji dla elementów belkowych z uwzględnieniem odpowiedniej numeracji węzłów j-tego elementu otrzymujemy pozorną globalną macierz bezwładności i sztywności według zaleŜności:. [M pb ] = [M b ]1 + [M b ] 2 + [M b ]3 + .... + [M b ] nb [K pb ] = [K b ]1 + [K b ] 2 + [K b ]3 + .... + [K b ] nb. (3.13). gdzie: nb- liczba elementów belkowych w konstrukcji Ostatnim etapem wyznaczania globalnej macierzy bezwładności i sztywności jest uwzględnienie macierzy warunków brzegowych [G](2mbe x 2mbe), gdzie mbe – liczba węzłów. Macierz ta określa miejsca, w którym nastąpiło odebranie stopni swobody badanej konstrukcji. Bardzo często stosuje się eliminację tych wierszy i kolumn w macierzy, których składowe przyjmują wartość zero. Ostatecznie główną globalną macierz sztywności i bezwładności uzyskujemy w następujący sposób:. 25.

(26) ROZDZIAŁ 3. MODELOWANIE PODATNYCH KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH. [M gb ] = [G ]T ⋅ [M pb ] ⋅ [G ] [K gb ] = [G ]T ⋅ [K pb ] ⋅ [G ]. (3.14). 3.6 Modelowanie prętowej konstrukcji przestrzennej w środowisku MATLAB Modelowanie konstrukcji przestrzennej zostało rozpoczęte od zdefiniowania czym jest kratownica. W rozumieniu metody elementów skończonych jest to konstrukcja złoŜona z prostych prętów połączonych ze sobą węzłami (przegubami). W celu uproszczenia modelowania załoŜono warunek, Ŝe osie prętów przecinają się w środkach przegubów. Wówczas przy takich załoŜeniach kaŜdy pręt znajduje się w stanie prostego ściskania lub rozciągania. W konkretnych rozwiązaniach konstrukcyjnych kratownic pręty są rozmaicie usytuowane względem wybranego przez nas układu współrzędnych wspólnego dla wszystkich prętów zwanego układem globalnym. Zatem w celu łatwiejszego zrozumienia modelowania metodą elementów skończonych konstrukcji opartej na elementach prętowych naleŜy rozpatrzyć pojedynczy trójwymiarowy element.. 3.6.1 Modelowanie elementu prętowego Pojedynczy element prętowy opisany wielkościami charakterystycznymi takimi jak przekrój poprzeczny elementu - Ap, moduł Younga – Ep, gęstość - ρp ukazany jest na rys.3.2 na którego końcach znajdują się dwa węzły: 1 oraz 2. Oś układu lokalnego ξp, którego początek przyjmujemy w węźle 1 skierowana jest wzdłuŜ osi pręta [2].. Rys.3.2. Element prętowy wzdłuŜnie obciąŜony. Jako współrzędne uogólnione przyjmiemy przemieszczenia węzłów 1 i 2 wzdłuŜ osi ξ układu lokalnego. Wówczas wektor współrzędnych uogólnionych elementu w układzie lokalnym przyjmie postać:. u  q ep =  1  u 2 . (3.15). gdzie: u1 - przemieszczenie węzła 1, u 2 - przemieszczenie węzła 2. Do aproksymacji przemieszczeń wewnątrz elementu najczęściej przyjmuje się liniową funkcję kształtu w postaci wielomianu pierwszego stopnia. [. ]. q( x) = 1, ξ p ⋅ a p = a p1 + ξ p a p 2. (3.16). 26.

(27) ROZDZIAŁ 3. MODELOWANIE PODATNYCH KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH. gdzie: a p  a p =  1  jest wektorem stałych współczynników, w którym poszczególne składowe są stałymi. a p 2  W celu uzaleŜnienia przemieszczeń wewnątrz elementu od przemieszczeń węzłowych naleŜy skorzystać z warunków węzłowych: q ep (0) = u1 oraz q ep (l ) = u 2 . Podstawiając te warunki do zaleŜności (3.16) otrzymamy: u1 = [1,0] ⋅ a p (3.17). [ ]. u 2 = 1, l p ⋅ a p które w następnym etapie naleŜałoby zapisać w postaci macierzowej: 1 0  q ep =   ⋅ ap 1 l p . Z równania (3.18) obliczamy wektor stałych współczynników: a p = A p ⋅ q ep , gdzie:. (3.18). (3.19). −1. 1 0  0 1 l Ap =  =  p (3.20)  , 1 l − 1 1 l p   p   który po podstawieniu do (3.16) daje zaleŜność między przemieszczeniem wewnątrz elementu, a współrzędnymi uogólnionymi w postaci: q(ξ p ) = N e ⋅ q ep gdzie macierz Ne jest macierzą funkcji kształtu elementu prętowego :  ξ p  ξ p  N e = 1, ξ p ⋅ A p = 1 − ,  l p  l p  . [. ]. (3.21). (3.22). W celu wyznaczenia postaci modalnych drgań konstrukcji mechanicznej metodą elementów skończonych niezbędne jest wyznaczenie macierzy bezwładności i macierzy sztywności. Macierz bezwładności w układzie lokalnym wynosi:. Mp = ∫ ρ p ⋅ Ne V. T.  ξp  1 −   ξ lp  p ⋅ N e dV = ρ p ∫  ⋅ 1 − ξ   p  lp V     lp . 2  ξp ξp     + lp 1 − 2 l p  l p   = ρ p Ap ∫  ξp  ξp  0     l 1 − l  p p   . ξp . ξp .  dV l p . (3.23). ξ p . 1 − l p  lp 2 ξp    l   p .    dξ = ρ p A p l p  p 6   . 2 1  1 2   . 27.

(28) ROZDZIAŁ 3. MODELOWANIE PODATNYCH KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH. W elemencie prętowym mamy do czynienia z jednoosiowym stanem napręŜeń. Wówczas macierz uzaleŜniająca odkształcenia od przemieszczeń uogólnionych sprowadza się do postaci:. Bl =. ∂. Ne . ∂ξ p Uwzględniając równanie (3.7) macierz Bl przyjmie formułę: 1 [− 1 1] lp Natomiast macierz sztywności w układzie lokalnym wynosi: Bl =. K p = ∫ Bl V. T. E p − 1 E p Ap ⋅ D p ⋅ B l dV = 2 ∫  [− 1 1]dV = 2 lp V  1  lp. E p A p  1 − 1  1 − 1 d ξ = p     2 ∫0 − 1 1  l p − 1 1 . (3.24). (3.25). lp. (3.26). W rozpatrywanym przypadku macierz współczynników spręŜystości Dp jest jednowymiarowa, a zatem jest ona równa równieŜ modułowi Younga Ep. Omawiane do tej pory własności elementu prętowego dotyczyły głównie lokalnego układu współrzędnych. Oczywistym faktem jest, iŜ pręt moŜe przyjmować dowolne połoŜenie względem globalnego układu współrzędnych. Wówczas połoŜenie pręta opisane jest poprzez kąty α1, α2, α3 odpowiednio z osiami x,y,z, co zostało ukazane na rys. 3.3.. Rys.3.3. Element kratownicy w przestrzennym układzie współrzędnych (x,y,z) [2] Węzły mogą w układzie lokalnym mogą przemieszczać się wzdłuŜ osi ξ. Zatem macierz transformacji [T] opisana poprzez poniŜsze kosinusy kierunkowe przyjmie ostatecznie postać. 0 0 0  cos(α 1 ) cos(α 2 ) cos(α 3 ) T= 0 0 cos(α 1 ) cos(α 2 ) cos(α 3 )  0. (3.27). 28.

(29) ROZDZIAŁ 3. MODELOWANIE PODATNYCH KONSTRUKCJI MECHANICZNYCH. Wektor współrzędnych uogólnionych elementu prętowego w układzie globalnym mają po sześć składowych i wyraŜa się zaleŜnością:  x1  y   1 T 0 0 0   q1   z1  cos(α 1 ) cos(α 2 ) cos(α 3 ) ⋅   = 0 0 cos(α 1 ) cos(α 2 ) cos(α 3 ) q 2   x2   0  y2     z 2 . (3.28). Natomiast macierze bezwładności i sztywności w układzie głównym lokalnym przyjmą postać:. K pp. ρ p A p l p  2λ. λ  , 6  λ 2λ  E p Ap  λ − λ  = TT ⋅ K p ⋅ T = , l p − λ λ . M pp = T T ⋅ M p ⋅ T =. (3.29). przy czym  cos 2 (α 1 ) cos(α 1 ) cos(α 2 ) cos(α 1 ) cos(α 3 )   λ = cos(α 2 ) cos(α 1 ) cos 2 (α 2 ) cos(α 2 ) cos(α 3 ) cos(α 3 ) cos(α 1 ) cos(α 3 ) cos(α 2 ) cos 2 (α 3 )  . (3.30). Globalną pozorną macierz bezwładności i sztywności uzyskuje się w podobny sposób jak dla elementu belkowego z tą róŜnicą, Ŝe w tym przypadku jest to suma algebraiczna poszczególnych elementów prętowych, reprezentowanych przez odpowiednie węzły:. [M ] = [M ] + [M ] + [M ] + .... + [M ] [K ] = [K ] + [K ] + [K ] + .... + [K ] pp. pp. p 1. p 1. p 2. p 2. p 3. p 3. p np. (3.31). p np. gdzie: np- liczba elementów prętowych w konstrukcji. Ostatecznie główną macierz sztywności i bezwładności w odniesieniu do globalnego układu współrzędnych wyznacza się równieŜ ze wzoru (3.14) tylko w odniesieniu do odpowiednich globalnych pozornych macierzy sztywności i bezwładności. [M gp ] = [G p ]T ⋅ [M pp ] ⋅ [G p ] [K gp ] = [G p ]T ⋅ [K pp ] ⋅ [G p ]. (3.32). gdzie: Gp (3mpr x 3mpr) - macierz warunków brzegowych konstrukcji prętowej, mpr – liczba węzłów konstrukcji prętowej. 29.