A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FO LIA O ECO N O M ICA 193, 2005
Maciej Malaczewski*
S T A B IL N O Ś Ć W P R O C E S A C H E K O N O M IC Z N Y C H
Streszczenie. Stabilność to zjawisko mające wpływ na modelowanie ekonomiczne. W artykule przedstawiony jest ów problem, podane są jego przyczyny oraz skutki. A rtykuł zawiera też przykład analizy stabilności.
Słowa kluczowe: modelowanie ekonomiczne, stabilność.
1. W ST ĘP. PR O B LEM STABILN OŚCI ROZW IĄ ZAŃ UKŁADÓW RÓWNAŃ RÓŻN ICZK O W Y CH ZW Y C ZA JN Y CH
M odelow anie z w ykorzystaniem rów nań różniczkow ych od niepam iętnych lat w ykorzystyw ane jest do opisu zjawisk pochodzących z przeróżnych dziedzin nauki. K lasycznym przykładem jest oczywiście fizyka, gdzie n a ró w n a n iach różniczkow ych o p a rte są chociażby ró w n a n ia ru c h u ciała. Oczywiście nie jest to jedyny przykład. S zeroko znane są zastosow ania chemiczne, techniczne, a także, co jest raczej odkryciem stosunkow o m łodym , zasto so w an ia w n au k a ch społecznych. Problem z owym m odelow aniem pojaw ia się nie tylko w m om encie k o n stru o w an ia ró w n ań , przy uw ażnym dobo rze zm iennych objaśniających, nie tylko w fazie ich rozw iązyw ania, co często jest niem ożliwe analitycznie, a niejedno kro tnie też i num erycznie, ale też podczas odpow iedniego ich „zaczepienia” w przestrzeni, w ybran iu tej spośród funkcji spełniających nasze rów nania, k tó ra przechodzi przez ściśle określony p u n k t w przestrzeni zw any warunkami początkowymi.
M eteo ro lo g i m atem aty k am erykański E. N . L orenz d o k o n a ł w ro k u 1963 prognozy pogody na najbliższy m iesiąc, w ykorzystując d w a zestawy zm iennych wejściowych, z czego drugi z nich różnił się od pierw szego jedynie m inim alnie. W yniki, k tóre otrzym ano, były ta k odm ienn e, iż w pier wszej chwili n astąp iła w ątpliw ość co d o stanu technicznego m aszyny, za p o m o cą której w y konano obliczenia (L orenz 1963). Późniejsze bad an ia
* M gr, asystent w K atedrze Ekonom etrii Uniwersytetu Łódzkiego. A utor wyraża serdeczną wdzięczność kierownikowi K atedry Ekonom etrii UŁ profesorowi W ładysławowi M ilo za cenną pom oc w trakcie pow staw ania niniejszego artykułu.
dow iodły, iż odpow iedzialny za taki stan rzeczy jest układ czynników będących składnikam i prognozy pogody. T o właśnie w tedy, ze względu na wrażliwość układu na m inim alne zm iany w arun kó w p oczątkow ych, L orenz stw orzył słynne do dziś pow iedzenie o „efekcie m o ty la ” , m ianow icie, że „ru ch skrzydeł m o ty la w T o k io m oże wywołać burzę śnieżną w N ow ym Y o rk u ” . O dniesienie to jest m oże zabaw ne, skala zjaw iska jest jed n ak jak najbardziej zachow ana. D o d n ia dzisiejszego za w m iarę w iarygodne uznaje się jedynie prognozy pogody tw orzone z d n ia n a dzień.
Problem ów nie był jed n ak problem em specyficznym jedynie d la pogody. W cześniejsze b a d a n ia , p o ch od zące jeszcze z k o ń ca X IX w. i p o cz ątk u X X w., a dotyczące stabilności rozwiązań układów równań różniczkowych zwyczajnych podejm ow ane były, przede wszystkim przez L ap u n o w a (1893) i P o in c a ire ’ego (por. S tew art 1994). R ozw ażan ia, k tó re p ro w ad ził ten pierw szy, do prow adziły d o sform ułow ania definicji stabilności rów nania. N ie p rz y ta cza jąc jej, stw ierdzić m ożem y, iż zasad n icza jej treść brzm i w sp osób następujący: rozw iązanie u k ład u ró w n ań różniczkow ych m ożem y nazw ać stabilnym , jeżeli przy m inim alnej zm ianie w arun kó w początkow ych odległość pom iędzy obiem a funkcjam i nie będzie p rzek raczać pew nego, zależnego od w artości zm iany w arunków początkow ych, poziom u.
R ozw iązanie zatem jest stabilne, jeżeli m am y gw arancje, że n asz a d ro b n a „ p o m y łk a ” w określeniu w arunków początkow ych nie w płynie w znaczący sposób n a dalszy przebieg funkcji. Jakie znaczenie m a pow yższa definicja w jej najprostszym rozum ieniu? W yobraźm y sobie idealnie o k rąg łą kulkę, k tó ra znajduje się n a szczycie niewielkiego wzniesienia (M ilo 1995). Załóżm y, że jest o n a w stanie spoczynku. Bez jakiejkolw iek ingerencji z zew nątrz nie zm ieni sw ojego p ołożenia. W yo b raźm y sobie je d n a k , iż jej rzeczyw iste położenie różni się o zaledwie jeden centym etr. K u lk a ta k a , znajdując się pod wpływem natu raln ej siły ciężkości, potoczy się w zdłuż zbocza w dół, aby zakończyć swój ruch w pewnej odległości od zbocza.
W przyjętym przez nas nazewnictwie, k ulka ta stano w i układ niestabilny, m ała zm iana w aru n k ó w początkow ych (położenie k ulki) znacząco wpływa n a jej położenie po pew nym , załóżm y że nieskończonym (choć oczywiście nie potrzebujem y czekać tak długo na sform ułow anie powyższego w niosku) czasie. Niew ielkie przesunięcie spow odow ało d iam etra ln ą zm ianę sytuacji.
Oczywiście nie wyklucza się też ro zw ażania stabilności u k ład u ze względu n a działanie czynników zew nętrznych. Lekkie trącenie kulki leżącej na szczycie także spow odow ać m oże jej szybkie przem ieszczenie się, chw ilowo je d n a k zajm ijm y się jedynie rozw ażaniam i dotyczącym i prob lem u w arunków
początkow ych.
Powyższy przykład uzmysławia czytelnikowi dość dobrze problem dobrego um iejscow ienia w arunków początkow ych w przy p ad k u uk ładu niestabilnego o ra z zw iązane z nim konsekwencje.
2. STA B ILN O ŚĆ RO ZW IĄ ZAŃ A M O D ELO W A N IE EK O N O M IC Z N E
W yobraźm y sobie tera z układ ekonom iczny ch arak tery zu jący się nie stabilnością. Stw órzm y solidny m odel opisujący jeg o ruch. N iech każde rów nanie będzie jak najbliższe rzeczywistości, wszystkie zm ienne istotn e statystycznie i ekonom icznie, niech m odel daje w spaniałe w p ro st wyniki w analizie błędów e x post. Czy m o żn a za p om ocą tak ieg o m odelu udanie p rognozow ać zachow anie się układu?
Z auw ażm y w rażliw ość na w arunki początkow e (por. C hąd zyń sk i 1994; Pelczar i Szarski 1987; Pelczar 1989). Ja k dobrze wiemy, w artości zm iennych ekonom icznych nie p ochodzą z pow tarzalnych, k o n tro lo w an y ch eksperym en tów (por. G old b erg er 1972; C how 1983), jedynie z obserw acji rzeczywistości, z b adań stru k tu ry statystycznej zjaw iska w przeszłości. B adan ia te obarczon e są pew nym błędem (por. Ostasiewicz, R usnak i Siedlecka 1999; Zeliaś 2000; G reń 1987), w ynika o n z kilku obiektyw nych przyczyn:
a) k ażde b ad anie statystyczne obciążone jest błędem w ynikającym z m oż liwości w ylosow ania niereprezentatyw nej próby; z reguły p ró b u je się temu zapobiec za p o m o cą m etod reprezentacyjnych;
b) zm ienne ekonom iczne w wielu publikacjach w ielokrotnie się zaokrągla, z reguły do pełnych tysięcy, m ilionów , m iliardów itp.;
c) zm ienne te z reguły m ają ograniczoną dziedzinę, bądź ty lk o do liczb d o d a tn ic h , b ąd ź d o n a tu ra ln y c h , b ądź z pew ną d o k ła d n o ś c ią , n p. do jednego grosza;
d) w ielokrotnie w ystępow ać m oże niejed norod no ść d any ch , w ynikająca ze zm iany definicji ekonom icznej, ch a rak teru zjaw iska i innych.
C zynniki te pow odują, iż w ielokrotnie ekonom iści i ek ono m etrycy stają przed problem em niskiej jakości danych. T o z kolei spraw ić m oże, iż wrażliwość m odelu na w arunki początkow e stanie się problem em nie do obejścia, albow iem , m ając w pam ięci „efek t m o ty la ” , w y o b razić sobie m ożem y, co się stanie, jeżeli tylko, np. zaokrąglim y ja k ą ś k w otę d o pełnego złotego. T ym bardziej że w przeciętnym , ju ż nie kilku, lecz kilkudziesięcio lub kilkuset rów naniow ym m odelu p o d o b n y ch zaokrągleń m ożem y m ieć co najm niej kilkanaście. T e zaokrąglenia, dokon yw ane w ielokrotnie, d ają coraz większą odległość (w sensie m etrycznym - por. K u ra to w sk i 1965) p u n k tu , k tó ry przyjm ujem y za w arunki p o czątk o w e od p u n k tu w ystępującego w rzeczywistości. „Efekt m otyla” zaczyna działać, niestabilny układ ekonom icz ny generuje odpow iedź na podane d an e wejściowe. Z p o w o d u jego nie stabilności, o dpow iedź ta (znów w sensie m etry czno-topologicznym ) jest odległa od rzeczywistości, od p u n k tu atrakcyjnego naszego uk ładu. K o n sekwencje stają się oczywiste - prognozy są obciążone, na d o d a te k błędem , którego oszacow ać, naw et w przybliżeniu, się nie da. P rognostycy popełniają
om yłki, k tó re m o g ą m ieć k atastro faln e znaczenie dla g o sp od arki. P od e jm o w an ie decyzji w oparciu o taki m odel prow adzić m oże d o tragedii.
Powyższe rozw ażan ia prow adzą do oczywistego w niosku - konieczne jest d o k o n an ie zb a d an ia zbudow anego m odelu pod k ątem stabilności (w tym wrażliwości n a w arunki początkow e), zanim zostanie d o k o n a n e jego ro z wiązanie oraz ekstrapolacja trajektorii podm iotu ekonom icznego w przyszłość.
3. M ETODY BADANIA STA BILN O ŚCI
M atem a ty k a ju ż daw no d o k o n ała odpow iedniego sform alizo w an ia pojęć oraz m etod b ad a n ia stabilności rozw iązań układów ró w n ań różniczkow ych zw yczajnych. S próbujm y prześledzić rozum ow anie m atem aty k ó w , kierując się zdrow ym rozsądkiem oraz intuicją badaczy zjawisk ekonom icznych.
S tab iln o ść rozw iązań, w sensie m ałej odległości funkcji przy m ałej zm ianie w arun ków początkow ych, świadczy o tym , iż m od elow ane zjaw isko nie jest „w ybuchow e” o raz że w nieskończoności m a sk oń czon ą granicę 0'est to oczywiste - w przeciw nym razie odległość pom iędzy poszczególnym i funkcjam i m ogłaby także być nieskończona). Skończoność granicy ekonom icz nie świadczy o tendencji do zw alniania tem p a w zrostu zjaw iska. K o nk retniej, pochodna funkcji dążyć pow inna d o zera - gw arantuje to istnienie skończonej granicy funkcji w nieskończoności.
N a m ocy tw ierdzenia T aylora o linearyzaqi (por. M ilo i Zglińska-Pietrzak 1997) ro zw ażania układu nieliniowego zastąpić m ożem y rozw ażaniem układu liniow ego, a rozw ażania układ u niejednorodnego - układem jed norod ny m . T o pozw ala nam zapisać układ rów nań w postaci m acierzow ej:
N a m ocy odpow iednich tw ierdzeń (por. C hądzyński 1994) rozw iązania takiego układu m ożem y wyrazić poprzez eksponenty w artości własnych m acierzy C, jeżeli ta jest m acierzą o stałych w spółczynnikach. T e natom iast gw a ran tu ją nam istnienie skończonej granicy w nieskończoności jedynie wtedy, gdy ich części rzeczywiste są ujem ne. Stąd w prostej linii dochodzim y do istotnego w naszych analizach tw ierdzenia (por. T u 1994; M ilo i Zglińska- -P ietrzak 1997):
gdzie t należy d o G, a f jest w ektorem funkcji (różniczkow alnych wzglę dem t). P u n k t x = f ( i 0) , będący atra k to rem , jest stabilny, jeżeli wszystkie w artości własne m acierzy A m ają ujem ne części rzeczywiste, a wszystkie jego w artości własne czysto urojone są w artościam i własnym i jedn o k ro tn y m i. Jeżeli choć je d n a w artość w łasna nie spełnia tego w aru n k u , to pu n k t graniczny nie jest a tra k to re m , tylko niestabilnym pun ktem rów now agi. Z aop atrzen i zatem w stosunkow o ubogi, lecz w ystarczający d la nas a p a ra t do b a d a n ia stabilności, spróbujm y zadem onstrow ać przykład analizy.
4. ANALIZA STABILN OŚCI FU N K CJI PR O D U K C JI
O RA Z FU NKCJI J E J CZYNNIKÓW
W procesie m odelo w ania gospodarek narodow y ch ce n traln ą rolę pełni z reguły rów n anie produkcji krajow ej, zw ane też często po p ro stu funkcją produkcji. Jej postaci sp o tk ać m o żn a w literaturze m n ó stw o (por. M ilewski 2001; H all i T a y lo r 1995), rozsąd n e jej m od elo w an ie w y m aga je d n a k uw zględnienia kilku postulatów teorii w zrostu gospodarczego, po stu lató w , k tó re dziś w ydają się bezdyskusyjne. Ich aplikacja nie zawsze należy jed n ak do najłatw iejszych, względnie najistotniejszych w poszczególnych badaniach.
Pierwszą spraw ą w ym agającą uwzględnienia jest oczywiście zestaw zm ien nych objaśniających. T u wymienić należałoby wszystkie czynniki produkcji. D yskusja ich dotycząca toczona była w ielokrotnie i to ju ż od czasu Sm itha (1954) i R icard a (1957). Bezdyskusyjną jest oczywiście konieczność uwzględ nienia w artości środków trw ałych o raz wysokości n ak ład ó w pracy. O ile jed n ak m iernik pierwszej z tych wielkości jest ogólnie znany i raczej nie podlega kom entarzow i, o tyle rozm aite m ierniki drugiego nie o d p ow iadają podstaw ow ym teoriom . M ierzenie nakładów pracy pop rzez liczbę z a tru d nionych o sób lub liczbę przepracow anych roboczogodzin jest, zdaniem a u to ra , niem iarodajne. B rakuje wciąż je d n a k dostatecznie d o b re g o m iernika, w zw iązku z czym m usim y zadow olić się obecnie stosow anym i.
R ozdział pojęcia kapitału (por. M ilo, Bieda, Leszczyk, M iler i W itkow ska 2004) n a poszczególne składow e pow oduje, iż n ależałob y je w szystkie uwzględnić ja k o czynniki produkcji w rów naniu produ kcyjn ym . Z arów no k ap itał ludzki, czyli szeroko rozum iane kw alifikacje pracow ników , ja k też i inny: fizyczny, społeczny, finansow y, m ają spory wpływ n a kształt procesu produkcyjnego. R ozdzielanie ich zm usza badaczy do przyjęcia uznaniow o m ierników każdego z nich.
D o innych czynników pro d u k cji pierw si eko no m iści zaliczali tak że ziemię. N aw iązując d o wielu p rac z dziedziny eko no m etrii stosow anej (por. W elfe i Welfe 1996), uwzględnić jeszcze m usim y m ateriało ch ło n n o ść, czyli
zużycie m ateriało w e n a jed n o stk ę produkcji, a także, np. w spółczynnik tech n iczn o -o rg an izacy jn y , będące sw oistym i m iern ik am i p o stęp u tech n i cznego pod p o stacią chociażby łącznej produ ktyw no ści czynników p ro dukcji.
J a k w idać, lista czynników p ro d u k c ji, k tó re n ależało b y uw zględnić w funkcji produkcji, jest stosunkow o długa. D la naszych p otrzeb skrócim y ją jedynie d o najważniejszych.
O p ró cz d o b o ru zm iennych ja k o czynników p ro d u k c ji, sp ełniać one m uszą pew ne założenia. M usi w ystępow ać m alejąca p ro du kcyjn ość krańcow a względem w szystkich czynników , m u szą one w zajem nie d la siebie być sub sty tu tam i, aczkolw iek niem ożliwe jest w yelim inow anie z procesu p ro d u k cyjnego któregokolw iek z nich.
R ów n an ia, którym i posługiw ać się będziem y, m ają n astęp u jącą postać: Y = ß + ö - A + u - K + ( l - c t ) L ,
К = I - X - K , L = y Y - k K,
Ä = 0 ■ / + t■ A, gdzie:
К - w arto ść środków trw ałych zaangażow anych w proces produkcyjny; Y - w arto ść produkcji;
I - wielkość nak ład ó w inwestycyjnych; A - m iern ik postępu technicznego;
L - w ielkość n ak ład ó w pracy zaangażo w an a w proces produkcyjny; s - k ra ń co w a skłonność d o oszczędzania;
X - w spółczynnik deprecjacji kapitału;
у - p a ra m e tr m ierzący siłę wpływu w artości p rod uk cji n a p rz y ro st siły roboczej;
a - udział w artości środ ków trw ałych w procesie produk cyjn ym ; г - p a ra m e tr „sa m o n a p ęd za n ia” się postępu technicznego.
R ó w n an ie pierw sze stanow i sw oistą funkcję pro d u k cji, uw zględniającą trzy czynniki: zaaw ansow anie technologiczne, w arto ść śro d k ó w trw ałych oraz nakłady pracy. O param etrze a zakładam y, iż jest on liczbą z przedziału (0; 1). N a m ocy teorii podziału C lark a (1899) stanow i on w ym ierny udział kap itału w procesie produkcyjnym . Zauw ażm y, iż nie bierzem y tu pod uw agę klasycznej funkcji produkcji typu C o b b a -D o u g la sa (por. H all i T aylor 1995). Jest to zw iązane z chęcią zm inim alizow ania nieliniow ości w naszym m odelu.
D rugie ró w nanie stanow i klasyczne rów nanie w zrostu w artości środków trwałych. Nie pow inno ono podlegać kom entarzow i. W kolejnych rów naniach zakładam y też stały w zrost zasobów pracy oraz zależny od dw óch czynników p ostęp technologiczny.
R ozp atry w an y przez nas pod względem stabilności m odel dopro w adzim y d o p o staci um ożliw iającej nam skuteczne w nio sk o w an ie. W tym celu w staw m y pierw sze rów nanie do trzeciego, by tym sam ym zredu ko w ać układ d o trzech niew iadom ych:
fC = I - X - K ,
L = y ß + y S A + ( y u — K ) - K + y ( l — a ) ' L , Ä = 0 ■ I + t ■ A.
N astępn ie d o k o n ajm y wyliczenia w spółrzędnych p u n k tu , k tó ry będzie d la naszego u k ła d u tzw. „ p u n k te m sta c jo n a rn y m ” . R ozw iążm y zatem powyższy układ ró w n a ń przy założeniu, że praw e strony ró w n a ń w ynoszą zero. O trzym ujem y:
y ß + y S — ( y o t к ) -L = --- t
y ( 1 - a )
r
Z auw ażm y, że m acierz układu rów nań, po d o k o n an iu od rzu cen ia w yrazu wolnego, k tó re uspraw iedliw ione jest twierdzeniem o linearyzacji, wygląda następująco: ~ k Ĺ — Ä - A 0 0 ( у с с - к ) у - ( 1 - a ) y ô О О т К • L A_
Z w róćm y uwagę, iż wielom ian charakterystyczny będzie m iał w tym p rzy p ad k u w yjątkow o p ro stą postać. Jest to spow od ow ane d u żą liczbą zer w macierzy współczynników układu. W artości własne będą więc rozwiązaniam i ró w n a n ia postaci:
{ - X - d ) - { y { \ -о с ) - d ) - ( ľ - d ) = O,
gdzie d oznacza wartość własną. Prostymi rozwiązaniam i powyższego są zatem: d, = - A,
d2 = y ( l - c t ) , d3 = x.
Nie ulega w ątpliw ości, wobec teorii ekonom ii, iż p aram etry A i a m uszą być d o d atn ie, w przyp ad k u dw óch pozostałych odpow iedź nie jest ju ż jednak ta k a jednoznaczna. M o żna bowiem w yobrazić sobie sytuację, w której w zrost produkcji m a zerowy wpływ n a przyrost za tru d n ien ia, względnie naw et m oże nastąpić jego spadek poprzez substytucyjność czynników p ro d u k cji, słowem zastąpienie pracy rąk ludzkich poprzez o dpow iednie m aszyny i zdobycze technologiczne lub nowości natury organizacyjnej. T a k sam o m oże w ystąpić sytuacja, w której osiągnięty poziom technologiczny ham uje dalszy jego w zrost - tu czynnikiem pow odującym tak i stan m oże stać się szeroko ro zu m ian a polityka.
R ozpatrzm y zatem znaki w artości w łasnych d. Pierw sza z nich jest niew ątpliw ie ujem na, co kończy też nasze nią zainteresow anie. Z n ak i drugiej i trzeciej uzależnione są właśnie od opisanych powyżej p rzyp adk ów . Jeżeli o b a znaki będą ujem ne, wówczas owe w artości własne też będą ujem ne.
T u je d n a k czeka n as niespodzianka. S tabilność tego system u nie musi oznaczać sytuacji pozytywnej ekonom icznie, co m o ż n a łatw o zauważyć. Jeżeli w artość p rodukcji m a negatyw ny wpływ na poziom zatrud nien ia, a postęp techniczny jest sam d la siebie ham ulcem , w ów czas jednoznacznie, choć m atem atycznie nie jest to oczywiste n a pierw szy rzu t o k a, układ dynam iczny, jak im jest w tym przypadku g o sp o d ark a n aro d o w a, dążyć m usi pow oli, stab iln ie d o absolutnej stagnacji g o sp o d arczej, co w obec ciągłego rozw ijania się otaczającego nas św iata, o znacza tak napraw dę zacofanie. Będzie to bowiem kraj, w którym w zrost p rodukcji pow odow ać będzie sp adek za tru d n ien ia. W ynika stąd zjaw isko za stę p o w a n ia pracy przez k a p ita ł różnego rodzaju (nie tylko fizyczny - p or. M ilo, Bieda, Leszczyk, M iler i W itkow ska 2004). Brak je d n a k , a raczej ham ow anie postępu technicznego spow oduje spadek przyrostu pro du kcji, zatem używ a ne b ęd ą n iepostępow e (w ciąż te sam e lub p o d o b n e ) m aszyn y. S padek przyrostu produkcji spow oduje zaham ow anie tem p a rozw oju g o sp o d ar czego, a więc także spow olni proces w ypierania pracy rą k ludzkich z p ro cesu produkcyjnego. T o spow oduje pow stanie stan u stabilności, a raczej rów now agi stabilnej. Nie jest to je d n a k stan, do k tó reg o dążyć pow inny gospodarki.
P om im o iż system będzie wtedy systemem stabilnym , co o znacza dla nas sens w prow adzenia odpow iednich schem atów prognostycznych, których pow odzenie będzie wówczas bliskie pew ności, to p u n k t rów now agi nie jest punktem pozytyw nym w sensie interpretacji ekonom icznej. Jest to potw ier dzenie dw óch tez: po pierwsze in terpretacja ekon om iczna m usi być górą po n ad wyliczeniam i m atem atycznym i oraz, po drugie, iż stab ilno ść nic musi oznaczać stan u pozytyw nego.
W p rzy p ad k u naszego m odelu naw et pożąd an y jest stan niestabilności i, pom im o zw iązanych z tym niedogodności prognostycznych, świadczy on, w tym p rzy p ad k u , o potencjalnym rozw oju gospodarczym . Nie jest to jed n ak sytuacja codzienna. G odzenie się n a niestabilność system u g o sp o d ar czego to d u ża odpow iedzialność ze strony p odm iotó w decyzyjnych, m ając je d n a k ja k o alternatyw ę stagnację gospodarczą, w ybór staje się bardziej oczywisty. Podjęte ryzyko m oże być zrekom pensow ane z naw iązką. K onieczna jest tutaj jed n ak nadzw yczajna ostrożność - niestabilny układ m oże „w yrw ać”
się dosyć łatw o spod kontroli.
5. W NIOSKI
P rzep ro w ad zo n a analiza stabilności rozw iązań u k ład u ró w n ań różnicz kowych zwyczajnych niewątpliwie wzbogaca rozw ażania ekonom iczne. Wnioski o niestabilności układu stanow ią podstaw ę do tra k to w a n ia pro g n o z w artości produkcji o ra z jej czynników opartych n a opisyw anym m odelu lub m odelach d o niego p o d o b n y c h z d u żą ostro żn o ścią. P rzean alizo w an e też zostały m ożliw e w artości p aram etró w ekonom icznych, k tó re m og ą zagw aranto w ać dla naszego układu stabilność, oznaczającą je d n a k w tym szczególnym p rzy p ad k u stagnację gospodarczą, bądź niestabilność, będ ącą tym razem , zaskak u jąco , kluczem d o rozw oju. D o d atk o w e inform acje o procesie eko nom icznym , osiągnięte poprzez rachunki stabilnościow e, w arte są zachodu z nimi zw iązanego. Z atem w zbogacenie każdej analizy rodem z ekonom ii m atem atycznej o te m etody niew ątpliw ie dać m o g ą p od staw y do lepszego p o zn a n ia wciąż jeszcze nie zawsze d obrze znanych m echanizm ów kreujących szeroko rozum iany ruch dynam icznych układów ekonom icznych.
LITERATURA
Chądzyński J. (1994), Wstęp do równań różniczkowych zwyczajnych, W ydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź.
Chow G. C. (1983), Econometric Methods, M cGraw-Hill, New Y ork. Clark J. B. (1899), The Distribution o f Wealth, Macmillan, London.
Goldberger A. S. (1972), Teoria ekonometrii, PWN, Warszawa. G reń J. (1987), Statystyka matematyczna, PW N, Warszawa.
Hall R., Taylor J. B. (1995), Makroekonomia - teoria, funkcjonowanie i polityka, PW N, Warszawa. K uratow ski K. (1965), Wstęp do teorii mnogości i topologii, PW N, W arszawa.
Lapunow A. M . (1893), Ohszczaja zadacza ob ustojcziwostii dwiienije, Charkow , Com. Soc. M at. Lorenz E. (1963), Deterministic Nonperiodic Flow. „Journal o f the A tm ospheric Science”, 20,
130-141.
Milewski R. (2001), Podstawy ekonomii, Wydawnictwo Naukowe PW N, Warszawa.
M ilo W. (1995), Stabilność i wrażliwość m etod ekonometrycznych, W ydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź.
Milo W., Bieda D ., Leszczyk A., Miler A., W itkowska A. (2004), O kapitale fizycznym , „W iadomości Statystyczne” , marzec.
M ilo W., Zglińska-Pietrzak A. (1997), Stabilność, atraktory stabilności i chaosu, opracowanie KBN , n r 1 H02B 01311.
Ostasiewicz S., R usnak Z., Siedlecka U. (1999), Statystyka - elementy teorii i zadania, W ydawnictwo Akademii Ekonomicznej im. O skara Langego, Wrocław.
Pelczar A ., Szarski J. (1987), Wstęp do teorii równań różniczkowych. Część I: Wstęp do teorii
równań zwyczajnych i równań cząstkowych pierwszego rzędu, PW N , W arszawa.
Pelczar A. (1989), Wstęp do teorii równań różniczkowych. Część II, Elementy jakościowej teorii
równań różniczkowych, PW N, Warszawa.
R icardo D . (1957), Zasady ekonomii politycznej i opodatkowania, PW N, W arszawa. Smith A. (1954), Badania nad naturą i przyczynami bogactwa narodów, PW N, Warszawa. Stewart I. (1994), C zy Bóg gra w kości?, Wydawnictwo Naukowe PW N, W arszawa. Tu P.N.V. (1994), Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin.
Welfe W., Welfe A. (1996), Ekonometria stosowana, PWE, Warszawa. Zeliaś A. (2000), M etody statystyczne, PWE, W arszawa.
Maciej Malaczewski
STABILITY O F EC O N O M IC PR O C E SSES Summary
Stability is a phenom enon that has an influence on economic modeling. The paper contains presentation o f th at problem, its causes and effects. T he paper contains also an example o f stability analysis.
