Matematyka stosowana
Modele matematyki
stosowanej
JacekMiękiszmiekisz@mimuw.edu.plhttp://www.mimu.edu.pl/ mie-kisz JanPoleszczuk, ilustracje Uniwersytet Warszawski, 2015Streszczenie. Wpisz krótką informację o tematyce skryptu (kilka zdań, bez wzorów matematycznych)
Wersja internetowa wykładu:
http://mst.mimuw.edu.pl/lecture.php?lecture=mms
(może zawierać dodatkowe materiały)
Niniejsze materiały są dostępne na licencji Creative Commons 3.0 Polska: Uznanie autorstwa — Użycie niekomercyjne — Bez utworów zależnych.
Copyright c I.Nazwisko1, I.Nazwisko2, Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, 2015. Niniejszy plik PDF został utworzony 20 kwietnia 2015.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Skład w systemie LATEX, z wykorzystaniem m.in. pakietów beamer oraz listings. Szablony podręcznika i prezentacji:
Spis treści
1. Stochastyczne modele ekspresji genów . . . 4
1.1. Krótki wstęp biologiczny . . . 4
1.2. Matematyczny model ekspresji genu . . . 5
1.2.1. Opis deterministyczny na poziomie makro . . . 5
1.2.2. Opis stochastyczny na poziomie mikro . . . 5
1.3. Proces Poissona . . . 7
1.4. Proces urodzin i śmierci . . . 8
1.4.1. Błądzenie przypadkowe na kracie jednowymiarowej z czasem ciągłym . . . 8
2. Mechanika statystyczna . . . 10
2.1. Dlaczego żelazo jest magnesem? . . . 10
2.2. Magnes matematyczny - Model Isinga . . . 10
2.2.1. Metoda konturów Peierlsa . . . 12
2.2.2. Jednowymiarowy model Isinga . . . 14
2.3. Klasyczne gazy sieciowe . . . 14
2.4. Kwazikryształy. . . 17
2.5. Nieokresowe mozaiki - krótka historia rekordu świata . . . 17
2.6. Mikroskopowy model kwazikryształu. . . 20
2.6.1. Dodatek 2 . . . 21
3. Wpisz temat wykładu . . . 23
4. Wpisz temat wykładu . . . 24
5. Wpisz temat wykładu . . . 25
6. Wpisz temat wykładu . . . 26
Literatura . . . 27
1. Stochastyczne modele ekspresji genów
1.1. Krótki wstęp biologiczny
Jednym z podstawowych procesów biochemicznych zachodzących wkomórkach żywych or-ganizmów jest produkcja różnych białek. Jest to bardzo skomplikowany wieloetapowy proces. Każda cząsteczka białka składa się z połączonych w liniowy sposób odpowiednichaminokwasów. Opiszemy teraz w niezwykle uproszczony sposób jak dochodzi do połączenia aminokwasów w cząsteczkę białka (por. Rys.1.1). Informacja genetyczna umieszczona jest na nicikwasu DNAo strukturzepodwójnej helisy. Wzdłuż nici DNA rozłożone są komplementarne zasady, odpowied-nio ATCG. Kod genetyczny jest kodem trójkowym, trzy następujące po sobie zasady kodują odpowiedni aminokwas. Zauważmy, że mamy 43możliwości a tylko 23 aminokwasy, a więc mamy pewną nadmiarowość. W procesie transkrypcji tworzona jest cząsteczkamRNA z komplemen-tarnym ciągiem zasad, która zawiera plan na utworzenie białka. W komórkach eukariotycznych musi się ona wydostać z jądra komórkowego do otaczającej go cytoplazmy, gdzie przyłącza się do niej rybosom. W procesie translacji rybosom odczytując genetyczny kod trójkowy porusza się wzdłuż cząsteczki mRNA i przyłącza po kolei odpowiednie cząsteczki aminokwasu tworzące łańcuch białkowy. Wszystkie procesy składające się na produkcję białka nazwane są łącznie ekspresją białka. Uzyskane białko może pełnić bardzo różne funkcje: budulcowe, transportowe,
Rysunek 1.1. Uproszczony schemat ekspresji białka (Źródło: http://pmj.bmj.com/).
regulatorowe. Regulacja białkowa może polegać na wzmacnianiu (aktywacji) lub osłabianiu (represji) produkcji innych białek lub też samego siebie (autoregulacja). Ostatnio odkryto, że podobne funkcje regulacyjne mogą również pełnić cząsteczkiRNA.
1.2. Matematyczny model ekspresji genu 5
1.2. Matematyczny model ekspresji genu
1.2.1. Opis deterministyczny na poziomie makro
Stan komórki jest opisany przez zależne od czasu koncentracje mRNA ρri białka ρp. Ewolucję
czasowa stanu komórki opisujemy równaniami kinetyki chemicznej - układem równań różnicz-kowych zwyczajnych (dρr dt = kr− γrρr, dρp dt = kpρr− γpρp, (1.1)
gdzie kr i kp są odpowiednio intensywnościami tworzenia mRNA (transkrypcja) i białka (translacja), natomiast γr i γp intensywnościami degradacji odpowiednio mRNA i białka. W
stanie stacjonarnym pochodne czasowe są równe zero, z (1) otrzymujemy układ równań alge-braicznych, którego rozwiązanie daje nam stacjonarne wartości koncentracji mRNA i białka:
ρr = kγrr, ρp = kγrrkγpp (1.2)
1.2.2. Opis stochastyczny na poziomie mikro
W wielu komórkach, zwłaszcza prokariotycznych, liczba cząsteczek mRNA i białek może być niewielka i w związku z tym mówienie o koncentracji traci sens. Mamy do czynienia ze skończonym układem czasami nawet kilku cząsteczek danego białka i w związku z tym bardzo duża rolę odgrywają fluktuacje stochastyczne związane z losowymi czasami zajścia odpowiednich reakcji biochemicznych. Na poziomie mikroskopowym stan komórki opisujemy zależną od czasu liczbą cząsteczek mRNA r i białka p. Są to zmienne losowe. Stanem układu formalnie nazywamy zależną od czasu funkcję rozkładu prawdopodobieństwa f (r, p, t) tych zmiennych losowych czyli prawdopodobieństwo, że w komórce będzie r cząsteczek mRNA i p cząsteczek białka. Ewolucja czasowa stanu układu jest więc procesem stochastycznym. W naszej modelowej komórce zacho-dzą cztery typy reakcji biochemicznych (por. Rys1.2): transkrypcja, translacja oraz degradacja mRNA i białka, w wyniku których zmieniają się liczby odpowiednich cząsteczek. Reakcje te
Rysunek 1.2. Schematyczne przedstawienie rozpatrywanych reakcji biochemicznych, które za-chodzą w komórc.
opisywać będziemy przy pomocy procesu urodzin i śmierci (patrz Dodatek 1).
Przyjmujemy następujące prawdopodobieństwa zajścia reakcji w odcinku czasowym (t, t+h): — transkrypcji, czyli przejście r → r + 1 - krh + o(h)
6 1. Stochastyczne modele ekspresji genów
— degradacji mRNA, czyli przejście r → r − 1 - γrrh + o(h)
— degradacji białka, czyli przejście p → p − 1 - γpph + o(h) prawdopodobieństwo zajścia więcej niż jednej reakcji - o(h)
Naszym celem jest znalezienie wyrażenia na wariancje, var(p), liczby cząsteczek białka w stanie stacjonarnym.
Ćwiczenie 1.1. Skonstruuj nieskończony układ równań różniczkowych zwyczajnych dla f (r, p, t).
Wskazówka. Zastosuj procedurę z Dodatku! Rozwiązanie.
df (r, p, t)
dt = krf (r − 1, p, t) + γr(r + 1)f (r + 1, p, t) + kprf (r, p − 1, t)+ + γp(p + 1)f (r, p + 1, t) − (kr+ γrr + kpr + γpp)f (r, p, t)
Definiujemy funkcję tworzącą dla prawdopodobieństw f (r, p, t), r , p 0,
F (z, w, t) =
∞
X
z,w=0
f (r, p, t)zrwp
Ćwiczenie 1.2. Skonstruuj równanie różniczkowe cząstkowe dla F (z, w, t) wraz z warunkami
brzegowymi i początkowymi.
Wskazówka. Zastosuj procedurę z Dodatku 2. Rozwiązanie. ∂F (z, w, t) ∂t =kr(1 − z)F (z, w, t) + γr(1 − z) ∂F (z, w, t) ∂z + + kpz(w − 1)∂F (z, w, t) ∂z + γp(1 − w) ∂F (z, w, t) ∂w Oznaczmy przez < x > wartość oczekiwaną x. Mamy wtedy,
∂F (z, w, t) ∂z z=w=1 =< r > , ∂F (z, w, t) ∂w z=w=1 =< p > , ∂2F (z, w, t) ∂2z z=w=1 =< r(r − 1) > , ∂2F (z, w, t) ∂2w z=w=1=< p(p − 1 > , ∂2F (z, w, t) ∂z∂w z=w=1 =< rp >
Ćwiczenie 1.3. Zróżniczkuj powyższe równania ze względu na t i otrzymaj układ równań
różniczkowych zwyczajnych dla następujących momentów: < r >, < p >, < r2 >, < rp >, < p2 > Rozwiązanie. d<r> dt = kr− γr< r >, d<p> dt = kp< r > −γp < p >, d<r2> dt = kr+ (2kr+ γr) < r > −2γr< r2 >, d<rp> dt = kr< p > +kp< r 2 > −(γ r+ γp < rp >, d<p2> dt = kp < r > +γp< p > −2γp < p2 > +2kp< rp > .
1.3. Proces Poissona 7
Zauważmy, że powyższy układ równań różniczkowych jest zamknięty, w równaniach dla danego momentu nie występują momenty wyższych rzędów - macierz układu równań jest trójkątna. Możemy więc po kolei rozwiązywać równania różniczkowe (porównaj (?)) i dostać wyrażenia na ewolucję czasową momentów. Zauważmy, że dwa pierwsze równania są takie same jak w układzie równań różniczkowych na koncentracje mRNA i białka w modelu deterministycznym (1.1).
Ćwiczenie 1.4. Znajdź wyrażenie na wariancję liczby cząsteczek białka w stanie stacjonarnym.
Rozwiązanie.
var(p) =< p > (1 + kp γr+ γp
)
1.3. Proces Poissona
Proces Poissona to rodzina zmiennych losowych X(t) przyjmujących wartości całkowite (na przykład liczba bakterii, cząstek lub ogólnie liczba zdarzeń) w czasie ciągłym.
Założenia
— Prawdopodobieństwo wystąpienia zmiany (urodzenia się jednej dodatkowej cząsteczki lub ogólnie wystąpienie pewnego zdarzenia) w odcinku czasowym (t, t + h) wynosi λh + o(h) gdzie o(h) jest wielkością mniejszego rzędu niż h, to znaczy lim
h→0o(h)/h = 0;
— Prawdopodobieństwo wystąpienia więcej niż jednej zmiany w odcinku czasowym (t, t + h) wynosi o(h).
Zauważmy, że z powyższych założeń wynikają następujące własności:
— Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń w rozłącznych odcinkach czasowych jest równe iloczynowi odpowiednich prawdopodobieństw (niezależność);
— Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia nie zależy od czasu t (jednorodność).
Oznaczmy przez f (n, t) prawdopodobieństwo, że nasz układ w chwili t jest w stanie n, to znaczy zmienna losowa X(t) przyjmuje wartość n (liczba cząstek w czasie t lub liczba zdarzeń do czasu t wynosi n).
Naszym celem jest znalezienie wzoru na f (n, t).
Ćwiczenie 1.5. Skonstruuj równanie różniczkowe zwyczajne na f (n, t).
Wskazówka. Napisz wyrażenie na prawdopodobieństwo całkowite.
Rozwiązanie. Wartość zmiennej losowej X(t + h) zależy od wartości X(t) i od tego co się zdarzyło w czasie (t, t + h).
Możemy napisać wyrażenie na prawdopodobieństwo całkowite:
(
f (n, t + h) = λhf (n − 1, t) + (1 − λh)f (n, t) + o(h), dla n 1, f (0, t + h) = λhf (n − 1, t) + (1 − λh)f (0, t) + o(h).
Przenosimy f (n, t) na lewą stronę, dzielimy przez h, przechodzimy do granicy h → 0 i otrzy-mujemy nieskończony układ równań różniczkowych zwyczajnych:
(df (n,t) dt = λf (n − 1, t) − λf (n, t), n 1, df (0,t) dt = −λf (0, t) (1.3) z warunkiem początkowym f (0, 0) = 1.
8 1. Stochastyczne modele ekspresji genów
f (0, t) = e−λt. (1.4)
f (0, t) jest prawdopodobieństwem, że czas oczekiwania na następne zdarzenie będzie większy od t, czyli prawdopodobieństwem, że czas oczekiwania na następne zdarzenie będzie mniejszy niż t jest równy 1 − e−λt. Jest to dystrybuanta rozkładu wykładniczego. Oznacza to, że czas między zdarzeniami ma rozkład wykładniczy g(t) = λe−λt.
Rozwiązanie równania dla n = 0, czyli (1.4), wstawiamy do równania (1.3) dla n = 1, rozwiąza-nie wstawiamy do równania dla n = 2. Iterując tą procedurę otrzymujemy wyrażenia dla f (n, t) dla kolejnych n.
Ćwiczenie 1.6. Sprawdzić, że
f (n, t) = e−λt(λt)
n
n! ,
jest rozwiązaniem układu (1.3), to znaczy, że X(t) jest zmienną losową Poissona z parametrem λt czyli z wartością oczekiwaną i wariancją równą λt.
1.4. Proces urodzin i śmierci
Tak jak i w procesie Poissona X(t) jest zmienną losową przyjmującą wartości całkowite. Oprócz urodzin zdarzeń podwyższających stan układu o 1, dopuszczamy możliwość śmierci -zdarzeń obniżających stan układu o 1.
Zakładamy, że
— Prawdopodobieństwo urodzenia się cząsteczki w odcinku czasowym (t, t + h) wynosi λnh + o(h)
— Prawdopodobieństwo śmierci cząsteczki w odcinku czasowym (t, t + h) wynosi µnh + o(h)
Przyjmiemy teraz, że λn = λ i µn = µn. Powtarzając procedurę zastosowaną dla procesu Poissona dostajemy następujący układ równań różniczkowych zwyczajnych:
(df (n,t)
dt = λf (n − 1, t) + µ(n + 1)f (n + 1, t) − (λ + µn)f (n, t), n 1, df (0,t)
dt = µf (1, t) − λf (0, t)
(1.5)
Nie będziemy rozwiązywać tego układu równań różniczkowych. Interesować natomiast nas będzie stan stacjonarny, f (n), który jest rozwiązaniem układu równań algebraicznych uzyska-nych z (1.5) przy przyrównaniu do zera pochoduzyska-nych czasowych. Można wykazać, że f (n) =
lim
t→∞f (n, t), to znaczy f (n) jest globalnie asymptotycznie stabilnym punktem stacjonarnym
układu (1.5).
1.4.1. Błądzenie przypadkowe na kracie jednowymiarowej z czasem ciągłym
Jest to proces urodzin i śmierci, dla którego λn= 1 oraz µn= 1. Rozszerzamy jednocześnie zbiór wartości zmiennej losowej X(t) do zbioru liczb całkowitych.
Układ (1.5) możemy wtedy przepisać jako
df (n, t)
dt = f (n − 1, t) + f (n + 1, t) − 2f (n, t) (1.6)
z warunkiem początkowym f (0, 0) = 1. Rozwiążemy powyższy układ przy pomocy funkcji two-rzących. Definiujemy funkcję tworzącą dla dwustronnego ciągu prawdopodobieństw f (n), −∞ < n < ∞,
1.4. Proces urodzin i śmierci 9 F (z, t) = ∞ X n=−∞ f (n, t)zn
Różniczkując funkcję tworzącą ze względu na z dostajemy momenty rozkładu prawdopodo-bieństwa f . W szczególności mamy:
F (1, t) = 1 , ∂F (z, t) ∂z z=1 = E(X(t)) , ∂ 2F (z, t) ∂2z z=1 = E(X(t)(X(t) − 1)) ,
gdzie E(X(t)) oznacza wartość oczekiwaną X(t). Różniczkując F (z, t) względem czasu dosta-jemy
∂F (z, t)
∂t = (z +
1
z− 2)F (z, t),
warunek początkowy F (z, 0) = 1 wynika bezpośrednio z definicji F i warunku początkowego dla f (n, t).
Rozwiązaniem powyższego równania różniczkowego jest
F (z, t) = e(z+1z−2)t. (1.7)
Ćwiczenie 1.7. Znajdź wartość oczekiwaną oraz wariancję X(t). Ćwiczenie 1.8. Znajdź f (n, t).
2. Mechanika statystyczna
2.1. Dlaczego żelazo jest magnesem?
Jeżeli magnes wykonany z żelaza podgrzejemy powyżej 770 stopni Celsjusza, tak-zwanej temperatury Curie, to straci on zdolności magnetyczne. Wykres namagnesowania jako funkcja temperatury T jest podany na Rys.2.1. Zjawisko te stara się wyjaśnić teoria ciała stałego, dział
Rysunek 2.1. Wyznaczona eksperymentalnie zależność namagnesowania od temperatury.
fizyki zajmujący się własnościami ciał makroskopowych. W bardzo dużym uproszczeniu przyj-mujemy, że namagnesowanie sztabki żelaza jest sumą wektorową małych magnesów związanych z poszczególnymi atomami żelaza. Z jednej strony, siły oddziaływań pomiędzy magnesikami prowadzą do ich ułożenia wzdłuż jednego kierunku. Z drugiej strony, ruchy cieplne atomów zaburzają ten idealny porządek. Wynikiem tej rywalizacji pomiędzy czynnikiem energetycz-nym a czynnikiem losowym rosnącym w miarę wzrostu temperatury ciała są jego własności makroskopowe. Działem fizyki zajmującym się wyprowadzaniem własności makroskopowych ciał z mikroskopowych oddziaływań pomiędzy ich elementarnymi składnikami, atomami lub cząsteczkami, jest fizyka statystyczna.
2.2. Magnes matematyczny - Model Isinga
W modelu Isinga, oddziałujące obiekty - magnesiki - umieszczone są w węzłach kraty Zd , d 1, gdzie Z jest zbiorem liczb całkowitych. Kratę taką możemy uważać za regularny graf, w którym krawędzie łączą najbliższych sąsiadów, to znaczy każdy wierzchołek (węzeł) jest połączony z wierzchołkiem z góry, z dołu, z prawa i z lewa. W każdym węźle i ∈ Zd umieszczamy matematyczną reprezentację magnesiku, σi, zmienną mogącą przyjmować dwie wartości: +1 (magnesik skierowany do góry) i -1 (magnesik skierowany do dołu). Zmienną σi
nazywamy spinem w wierzchołku i. Formalnie, zbiorem konfiguracji nieskończonego układu jest Ω = {+1, −1}Zd, czyli zbiór wszystkich funkcji przypisujących każdemu wierzchołkowi +1 albo −1. Dla danej konfiguracji X ∈ Ω, Xi = σi(X) nazywamy konfiguracją w węźle i ∈ Zd. Niech
2.2. Magnes matematyczny - Model Isinga 11
Λ ⊂ Zd będzie skończonym podzbiorem węzłów naszej kraty. ΩΛ = {+1, −1}Λ jest zbiorem konfiguracji na Λ. Hamiltonian (funkcjonał energii) określa nam energię konfiguracji na Λ.
HΛ: ΩΛ→ R (2.1)
Przyjmujemy, że oddziałują ze sobą spiny, które są najbliższymi sąsiadami.
HΛ= − X <i,j>,i,j∈Λ σiσj− h X i∈Λ σi, (2.2)
gdzie < i, j > jest parą najbliższych sąsiadów a h jest zewnętrznym polem magnetycznym. Hamiltonian w mechanice klasycznej oddziałujących cząstek jest sumą energii kinetycznej poszczególnych cząstek i energii potencjalnej oddziaływań między nimi (patrz wykład Wojtyń-skiego). W powyższym wyrażeniu nie uwzględniamy energii potencjalnej.
Nasz układ spinowy podlega nieustannym ruchom cieplnym i w związku z tym jest układem stochastycznym. Powinniśmy więc określić prawdopodobieństwa przebywania układu w każdym z mikroskopowych stanów czyli elementów zbioru ΩΛ. Ponieważ zbiór zdarzeń elementarnych jest skończony, zakładamy że wszystkie jego podzbiory są mierzalne i wobec tego do zadania miary prawdopodobieństwa wystarczy określić prawdopodobieństwo każdego elementu X ∈ ΩΛ. Miara prawdopodobieństwa na ΩΛjest interpretowana jako stan równowagowy układu fizyczne-go oddziałujących spinów. Mówi ona nam z jakimi prawdopodobieństwami (w stanie równowagi) układ znajduje się w poszczególnych stanach mikroskopowych. Wszelkie makroskopowe wielko-ści fizyczne, takie jak energia (HΛ) czy namagnesowanie układu, są więc zmiennymi losowymi na przestrzeni ΩΛ. Interesować nas będą wartości oczekiwane tych zmiennych losowych. W szczególności definiujemy namagnesowanie układu,
MΛ= X
i∈Λ
σi (2.3)
Wprowadzamy następujący rozkład prawdopodobieństwa,
ρT,hΛ (X) = e
−1
THΛ(X)
Q(T, h, Λ) (2.4)
gdzie T jest temperaturą układu, miarą jego ruchów cieplnych a
Q(T, h, Λ) = X
X∈ΩΛ
e−T1HΛ(X) (2.5)
jest czynnikiem normalizującym prawdopodobieństwo. W fizyce Q nazywane jest sumą staty-styczną natomiast ρT,hΛ wielkim rozkładem kanonicznym. Odłożymy do następnego podrozdziału uzasadnienie wprowadzenia takiego a nie innego rozkładu prawdopodobieństwa.
Niezwykle ważną wielkością w fizyce jest energia swobodna, zwana także potencjałem ter-modynamicznym,
F (T, h, Λ) = −T ln Q(T, h, Λ) (2.6)
Wartości oczekiwane zmiennych losowych możemy dostać różniczkując potencjał. W szcze-gólności łatwo zobaczyć, że
M (T, h, Λ) = ∂F
∂h(T, h, Λ) (2.7)
Ćwiczenie 2.1. Udowodnij powyższą równość. Ćwiczenie 2.2. Udowodnij, że M (T, h = 0, Λ) = 0
12 2. Mechanika statystyczna
2.2.1. Metoda konturów Peierlsa
Będziemy rozważać układy z plusowymi albo minusowymi warunkami brzegowymi w dwu-wymiarowym modelu Isinga, d = 2,
Ω+Λ = {X ∈ Ω; Xi = +1, i ∈ Z2\ Λ} , Ω−Λ = {X ∈ Ω; Xi = −1, i ∈ Z2\ Λ} .
Zbiory konfiguracji Ω+Λ i Ω−Λ możemy utożsamiać z ΩΛ. Wprowadzamy Hamiltonian z plusowymi warunkami brzegowymi i z zewnętrznym polem magnetycznym h = 0,
HΛ+= − X <i,j> σiσj − X i∈∂Λ σi (2.8)
Wtedy odpowiedni wielki kanoniczny rozkład prawdopodobieństwa ma następującą postać,
ρ+λ,T(X) = e −1 TH + Λ(X) Q+(T, Λ) (2.9)
Przyjmijmy dla uproszczenia, że Λ jest kwadratem o boku 2l + 1 i środku w 0 ∈ Z2, Λ = {i ∈ Z2 : i = (n, m), n, m ∈ Z, −l ¬ n, m ¬ l}. Jest intuicyjnie jasne, że prawdopodobieństwo tego, że X0 = +1 w powyższym rozkładzie jest większe od 1/2, plusowe warunki brzegowe łamią symetrię Hamiltonianu - faworyzują spiny skierowane do góry. Wiemy, że bez warunków brzegowych prawdopodobieństwo powyższe wynosi 1/2. Wydawałoby się, że jeżeli będziemy odsuwać warunki brzegowe do nieskończoności, czyli przejdziemy do granicy termodynamicznej Λ → Z2, to znaczy l → ∞, ich wpływ będzie zanikał. Rozważmy graniczną miarę, nazywaną stanem albo miara Gibbsa,
ρ+Λ,T −−−→ ρl→∞ +
T,
gdzie poprzez zbieżność rozumiemy słabą zbieżność z gwiazdką miar na (Ω, F ) z odpowiednio określonym σ-ciałem F , patrz dalej. Zanikający wpływ warunków brzegowych oznaczałby, że ρ+T(X0 = +1) = 1/2 czyli wartość średnia namagnesowania jest równa 0, Eρ+
T
(σi) = 0, i ∈ Λ. Poniżej pokażemy, że dla odpowiednio małych temperatur średnie namagnesowanie jest dowolnie bliskie 1. Udowodnimy następujące fundamentalne twierdzenie
Twierdzenie 2.1. ρ+T(X, X0 = −1) ¬ ε(T ) gdzie ε(T )−−−→ 0T →0
Oznacza to, że choć brzegu już nie ma, pozostał jego ślad. Hamiltonian w granicy termo-dynamicznej dla h = 0 jest niezmienniczy ze względu na odwrócenie spinów, natomiast stany Gibbsa nie są, O(ρ+T) = ρ−T. Spontaniczne złamanie symetrii - Twierdzenie 2.1 - zachodzi w granicy termodynamicznej dla nieskończonego układu. Udowodnimy je korzystając z aparatu dyskretnego rachunku prawdopodobieństwa dla skończonych stanów Gibbsa, z nierówności jed-nostajnych ze względu na wielkość układu (Λ). Teza Twierdzenia 2.1 wynika bezpośrednio z następującego twierdzenia,
Twierdzenie 2.2. ρ+Λ,T(X, X0 = −1) ¬ ε(T ) gdzie ε(T ) −−−→ 0 jednostajnie zeT →0 względu na Λ.
2.2. Magnes matematyczny - Model Isinga 13
Wprowadzimy teraz pojęcie konturu konfiguracji.
Dla każdej pary sąsiadów i, j ∈ Z2, niech < i, j > będzie odcinkiem w R2 o długości 1, prosto-padłym do odcinka łączącego i z j i takim że oba odcinki przecinają się w połowie. Konturem konfiguracji X ∈ Ω nazywamy każdy maksymalny spójny zbiór odcinków oddzielających plusy od minusów (dwa kontury stykające się w jednym punkcie uważamy za rozłączne), patrz Rys.2.2.
Rysunek 2.2. Kontury dla przykładowej konfiguracji.
Formalnie,
K(X) = {< i, j >: σi(X) 6= σj(X)} .
Konturem X jest każdy maksymalny spójny podzbiór K(X). Zbiór wszystkich konturów konfiguracji X oznaczamy przez Γ(X). Niech ΩγΛ = {X ∈ Ω+Λ : γ ∈ Γ(X)}. Wprowadzamy operator wymazywania konturu,
T : ΩγΛ→ Ω+Λ.
Definiujemy T w następujący sposób. Kontur γ dzieli Z2 na dwie części: wewnątrz konturu i na zewnątrz. Aby dostać T (X), zmieniamy w konfiguracji X znaki w wierzchołkach Λ wewnątrz konturu γ, następnie czynimy to samo dla wszystkich konturów bezpośrednio wewnątrz γ i kolejno dla konturów wewnątrz poprzednich konturów, patrz Rys. 2.3. Zauważmy, że operator T jest wzajemnie jednoznaczny.
Dowód Twierdzenia 2 ρ+Λ,T(X, X0 = −1) ¬X γ ρ+λ,T(X, X ∈ ΩγΛ) ¬ ∞ X k=4
(liczba konturów o długości k otaczających 0)ρΛ,T(X, X ∈ ΩγΛ, |γ| = k. (2.10)
gdzie sumowanie jest po konturach otaczających 0 a |γ| jest długością konturu czyli liczbą tworzących go odcinków jednostkowych. Łatwo zauważyć, że liczbę konturów (łamanych) o
14 2. Mechanika statystyczna
Rysunek 2.3. Ilustracja działania operatora wymazywania konturu. Na niebiesko zaznaczony jest kontur γ.
długości k można oszacować z góry przez 3k−1k2. Do oszacowania drugiego czynnika w 2.10 użyjemy operatora wymazywania konturów.
ρΛ,T(X, X ∈ ΩγΛ, |γ| = k = P X∈ΩγΛe−βH + Λ(X) P X∈Ω+Λ e −βHΛ+(X) < (2.11) ¬ P X∈T ΩγΛ)e−βH + Λ(X)e −2β|k| P X∈T (ΩγΛ)e−βH + Λ(X) = e−2β|k| Ostatecznie mamy ρ+Λ,T(X, X0 = −1) ¬ ∞ X k=4 3k−1k2e−2β|k|< (T ), (2.12) gdzie (T ) → 0 jeśli T → 0 i otrzymujemy tezę Twierdzenia 2.
W analogiczny sposób dla minusowych warunków brzegowych otrzymujemy
ρ−λ,T →l→∞ρ−T
i ρ−T(X, X0 = +1) ¬ (T ). Otrzymaliśmy więc dwa stany Gibbsa dla tego samego oddziaływa-nia i takiej samej temperatury. Układ może więc znajdować się w dwóch różnych fazach, które mogą współistnieć tak jak lód i woda w temperaturze 0 stopni Celsjusza. Mówimy, że mamy do czynienia z przejściem fazowym pierwszego rodzaju. Jest to przejście typu nieciągłego - gęstość wody zmienia się w sposób nieciągły przy przejściu z fazy stałej do ciekłej. W modelu ferroma-gnetycznym Isinga namagnesowanie zmienia się w sposób nieciągły przy przejściu zewnętrznego pola magnetycznego przez zero, patrz Rys.2.4. Natomiast przy obniżaniu temperatury, w tem-peraturze Curie mamy do czynienia z przejściem fazowym drugiego rodzaju. Jest to przejście fazowe typu ciągłego - namagnesowanie w sposób ciągły wzrasta od zera przy podwyższaniu temperatury powyżej punktu Curie, patrz Rys.2.1.
2.2.2. Jednowymiarowy model Isinga
2.3. Klasyczne gazy sieciowe
W rozdziale tym uogólnimy klasyczny model Isinga na przypadek więcej niż dwóch moż-liwych stanów, w których może znajdować się każdy wierzchołek sieci, na oddziaływania o
2.3. Klasyczne gazy sieciowe 15
Rysunek 2.4. Zmiana namagnesowania m ze względu na zmieniającą się wartość zewnętrznego pola magnetycznego h.
większym zasięgu i niekoniecznie dwucząstkowe. Nasze modele będziemy interpretować w ję-zyku gazów sieciowych. W modelu gazu sieciowego w każdym wierzchołku sieci Zd znajduje się jedna cząstka o określonym typie. Zakładamy skończona liczbę typów. Zbiorem konfiguracji nieskończonego układu oddziałujących cząstek jest więc
Ω = {1, ..., n}Zd
Przez potencjał Φ oddziaływania cząstek rozumiemy nieskończoną rodzinę funkcji indekso-waną skończonymi podzbiorami Λ ⊂ Zd.
Φ = {ΦΛ}Λ⊂Zd; ΦΛ: ΩΛ→ R .
Definicja 2.1. Φ jest oddziaływaniem o skończonym zasięgu r, jeśli ΦΛ≡ 0 dla diam(Λ) > r.
Definicja 2.2. Φ jest oddziaływaniem translacyjnie niezmienniczym, jeśli ΦΛ+¯a(τ¯aX) =
ΦΛ(X) dla każdego ¯a ∈ Zd, gdzie τ¯ajest operatorem przesunięcia o wektor ¯a czyli (τ¯aX)i = Xi+¯a.
Widzimy więc, że model Isinga zadany jest przez potencjał dwucząstkowy o zasięgu 1.
Definicja 2.3. Hamiltonianem w skończonej objętości Λ jest funkcjonał HΛΦ = P
V ⊂Λ
ΦV.
Definicja 2.4. Konfiguracja Y jest lokalnym zaburzeniem konfiguracji X, ozn. X ∼ Y , jeśli
|{i ∈ Zd: Y
i6= Xi}| < ∞.
Podstawowym pojęciem w mechanice statystycznej oddziałujących cząstek jest stan podsta-wowy. Intuicyjnie są to konfiguracje o najmniejszej energii. Energia nieskończonej konfiguracji zazwyczaj bywa nieskończona. Tak więc intuicyjna definicja nie ma sensu. Zamiast energii roz-ważmy w takim razie gęstość energii
Definicja 2.5. e(X) = lim inf
Λ→Zd
HΦ Λ(X)
16 2. Mechanika statystyczna
Chcielibyśmy zdefiniować konfiguracje stanu podstawowego jako te, które minimalizują gę-stość energii. Uwolniliśmy się od nieskończonych energii ale mamy inny kłopot. Jeśli X byłoby konfiguracja stanu podstawowego w myśl powyższej definicji, to każde jej lokalne zaburzenie też miałoby minimalną gęstość energii, więc też byłoby konfiguracją stanu podstawowego, co jest oczywistym absurdem. Musimy być bardziej subtelni. Wprowadzimy pojęcie Hamiltonianu względnego.
Definicja 2.6. Dla lokalnego wzbudzenia Y ∼ X, Hamiltonianem względnym jest HΦ(Y, X) = P
Λ⊂Zd
(ΦΛ(Y ) − ΦΛ(X)).
Definicja 2.7. X ∈ Ω jest konfiguracją stanu podstawowego potencjału Φ, jeśli dla
do-wolnego lokalnego wzbudzenia, Y ∼ X, HΦ(Y, X) 0.
Powyższa definicja ma charakter lokalny. Konfiguracja stanu podstawowego jest taką konfi-guracją, której nie można lokalnie zaburzyć tak aby zmniejszyć wartość Hamiltonianu względne-go. Zastanowimy się teraz w jakim sensie konfiguracje stanu podstawowego posiadają własność globalnego minimum energii.
Twierdzenie 2.3. Jeśli X jest konfiguracją stanu podstawowego, to X minimalizuje
gęstość energii, to znaczy e(X) ¬ e(Y ) dla każdego Y ⊂ Ω
Ćwiczenie 2.3. Udowodnij powyższe twierdzenie.
Odwrotna implikacja nie jest oczywiście prawdziwa. Twierdzenie odwrotne zachodzi nato-miast jeżeli będziemy rozważać tylko konfiguracje okresowe.
Definicja 2.8. X ∈ Ω jest konfiguracją okresową jeśli istnieją trzy liczby naturalne m1, m2, m3, takie że τeiX = X i = 1, 2, 3, gdzie e1 = (m1, 0, 0), e2 = (0, m2, 0), e3= (0, 0, m3)
Mamy następującą postać twierdzenia odwrotnego.
Twierdzenie 2.4. X ∈ Ω jest okresową konfiguracja stanu podstawowego, jeśli e(X) ¬
e(Y ) dla każdej okresowej konfiguracji Y ∈ Ω.
Ćwiczenie 2.4. Znajdź wszystkie konfiguracje stanu podstawowego dwuwymiarowego
ferro-magnetycznego modelu Isinga.
Twierdzenie 2.5. Dla każdego translacyjnie niezmienniczego potencjału skończenie
zasięgowego, zbiór konfiguracji stanu podstawowego jest niepusty.
Ćwiczenie 2.5. Udowodnij powyższe twierdzenie.
Wskazówka. Skorzystaj z tego, że Ω jest zbiorem zwartym w odpowiedniej topologii, patrz Dodatek X
2.4. Kwazikryształy 17
2.4. Kwazikryształy
Rozpoczniemy od fundamentalnego pytania: czy każdy skończenie zasięgowy translacyjnie niezmienniczy potencjał posiada co najmniej jedną okresową konfigurację stanu podstawowego? Poniżej zamieszczamy krótki szkic rozumowania zamieszczonego w książce P.W. Andersona ... i mającego odpowiadać twierdząco na powyższe pytanie.
Ćwiczenie 2.6. Znajdź błąd w powyższym rozumowaniu.
W tym samym 1984 roku odkryto kwazikryształy, których atomy rozmieszczone są w prze-strzeni w sposób nieokresowy []. Był to pierwszy eksperymentalny kontrprzykład do ogólnie przyjętej hipotezy, że ciało stałe przy odpowiednio niskich temperaturach zawsze powinno wy-stępować w formie krystalicznej czyli przestrzennie okresowej. Typowym przykładem są krysz-tałki soli kamiennej NaCL, w których atomy sodu i chloru tworzą okresową strukturę przedsta-wioną na Rys.2.5.
Rysunek 2.5. Struktura kryształków soli kuchennej (Źródło: http :
//www.geocities.jp/ohba lab ob page/structure6.html).
Ćwiczenie 2.7. Udowodnij, że każdy jednowymiarowy translacyjnie-niezmienniczy skończenie-zasięgowy
potencjał gazu sieciowego posiada co najmniej jedną okresową konfigurację stanu podstawowego.
Wskazówka. Każda jednowymiarowa konfiguracja może być przedstawiona jako nieskończona droga na pewnym grafie
2.5. Nieokresowe mozaiki - krótka historia rekordu świata
W rozdziale tym będziemy rozważać pokrycia płaszczyzny wielobokami nazywanymi przez nas kafelkami lub dachówkami. Wybieramy skończoną liczbę kafelków, nazywamy je prototy-pami. Mamy do dyspozycji nieskończoną liczbę kopii każdego prototypu. Staramy się pokryć nimi nieskończoną płaszczyznę tak aby każdy punkt płaszczyzny został pokryty i żeby kafelki nie miały części wspólnych (z wyjątkiem brzegów).
18 2. Mechanika statystyczna
W 1900 roku David Hilbert zaprezentował 23 fundamentalne problemy matematyczne. Druga cześć 18-tego problemu zawiera w istocie następujące (nadal pozostawione bez odpowiedzi) py-tanie: Czy istnieje wielobok pokrywający nieskończoną płaszczyznę tylko w sposób nieokresowy?
W 1974 roku, na długo przed odkryciem kwazikryształów, Roger Penrose, fizyk matematyczny z Oxfordu, skonstruował (albo odkrył jak kto woli) dwie dachówki, zwane latawcem i grotem, którymi można pokryć płaszczyznę tylko w sposób nieokresowy, Rys.2.6(patrz artykuł w delcie i Scientific American).
Rysunek 2.6. Dachówki skonstruowane przez Rogera Penrose’a, którymi można pokryć płasz-czyzną tylko w sposób nieokresowy.
W dalszej części tego rozdziału będziemy zajmować się dachówkami kwadratowymi z wcięciami i wypustkami na bokach. Wcięcia i wypustki możemy reprezentować odpowiednimi kolorami boków. Dwa sąsiednie kwadraty pasują do siebie gdy wypustki jednego pasują do wcięć drugiego albo alternatywnie kolory odpowiednich boków są takie same. Dachówki takie nazywane są dominami albo dachówkami Wanga. Jeżeli można nimi pokryć płaszczyznę, to ich środki tworzą regularny graf Z2. Nieskończone pokrycie płaszczyzny dachówkami jest nazywane mozaiką albo po prostu pokryciem. Jest oczywiste, że kwadratowe kafelki bez żadnych kolorowań mogą pokryć płaszczyznę i to na wiele okresowych i nieokresowych sposobów; jedno z takich pokryć jest bardzo dobrze znane każdemu kafelkarzowi. Na Rys. 2.7 zaprezentowano dwa kafelki i jedyne pokrycie płaszczyzny.
W 1961 roku Hao Wang postawił hipotezę, że każdy skończony zestaw płytek domina pokry-wający płaszczyznę może pokryć ją także w sposób okresowy. Hipoteza ta miała związek z problem rozstrzygalności - czy istnieje uniwersalny program komputerowy (maszyna Turinga), który w skończonej liczbie kroków dostarczyłby odpowiedzi na pytanie czy dany zestaw domin może pokryć płaszczyznę. Jeżeli powyższa hipoteza byłaby prawdziwa, to próbując stopniowo pokrywać coraz większe obszary płaszczyzny odkrylibyśmy w skończonej liczbie kroków układ domin, który moglibyśmy powtarzać i skonstruować w ten sposób pokrycie okresowe. Pierwszy kontrprzykład pojawił się w 1996 roku i jest autorstwa Roberta Bergera []. Zaprojektował on 20426 kafelków pokrywających płaszczyznę tylko w sposób nieokresowy. W 1971 roku Raphael
2.5. Nieokresowe mozaiki - krótka historia rekordu świata 19
Rysunek 2.7. Dwa typy kafelków, wzorcowy kwadrat z wypustkami i wcięciami, i jedyne okre-sowe pokrycie płaszczyzny.
Robinson obniżył liczbę dachówek o tej własności do 56 []. Na Rys. 2.8 zaprezentowanych jest 6 dachówek Robinsona, pozostałe można z nich otrzymać przy pomocy obrotów i odbić.
Rysunek 2.8. Dachówki skonstruowane przez Raphaela Robinsona.
Na Rys.2.9pokazana jest struktura nieokresowej mozaiki Robinsona.
W 1977 Robert Ammann ustanowił nowy rekord świata minimalnej liczby kafelków pokry-wających płaszczyznę tylko w sposób nieokresowy. Następnym rekordzistą został w 1996 roku Jarrko Kari z 14 kafelkami) []. Obecny rekord 13 kafelków, też z 1996 roku, należy do Karela Culika II [], Rys.2.10.
20 2. Mechanika statystyczna
Rysunek 2.9. Struktura nieokresowej mozaiki Robinsona.
Rysunek 2.10. Kafelki skonstruowane przez Karela Culika II.
2.6. Mikroskopowy model kwazikryształu
Zaprezentujemy teraz translacyjnie niezmienniczy skończenie zasięgowy potencjał gazu sie-ciowego nieposiadający żadnej okresowej konfiguracji stanu podstawowego. Nasza konstrukcja opiera się na nieokresowych mozaikach. Przykładowo użyjemy dachówek Ammanna. Każdą da-chówkę na Rys. X traktujemy jako rodzaj cząstki. Zbiorem konfiguracji gazu sieciowego jest więc {1, ...16}Z2
. Energia oddziaływania dwóch sąsiednich cząstek jest równa 0 jeśli odpowiadające im dachówki pasują do siebie, w przeciwnym przypadku energia jest dodatnia, powiedzmy równa 1. Nieskończone mozaiki odpowiadają więc konfiguracjom stanu podstawowego o gęstości energii
2.6. Mikroskopowy model kwazikryształu 21
0 - wszystkie dachówki pasują do siebie. Brak okresowych mozaik pociąga za sobą nieistnienie okresowych stanów podstawowych w naszym modelu.
Fundamentalnym pytaniem jest czy nieokresowa struktura obecna w konfiguracjach stanu podstawowego, czyli w zerowej temperaturze, przetrwa w dodatniej temperaturze. Innymi słowy czy struktura nieokresowa jest odporna na dowolnie małe cieplne fluktuacje.
Czy istnieje klasyczny model gazu sieciowego z translacyjnie niezmienniczym skończenie zasięgowym potencjałem bez okresowych konfiguracji stanów podstawowych i z nieokresowym stanem Gibbsa?
Rozważmy model gazu sieciowego odpowiadający dachówkom Ammanna. Niech Y będzie jedną z nieokresowych konfiguracji stanu podstawowego, ρYΛ,T stanem Gibbsa w skończonym obszarze Λ z warunkami brzegowymi Y poza Λ a ρYT = limΛ→Z2ρYΛ,T stanem Gibbsa w granicy termodynamicznej.
Czy dla każdego , istnieje temperatura T0, taka że jeśli T < T0, to ρYT(X0 = Y0> 1 − ? Odpowiedź twierdząca na powyższe pytanie pociąga za sobą nieokresowość ρYT. Symula-cje komputerowe przemawiające za taką sytuacją można zmaleźć w []. Jednocześnie należy wspomnieć o hipotezie mówiącej o nieistnieniu nieokresowych stanów Gibbsa w modelach dwu-wymiarowych. Z każdego dwuwymiarowego modelu można stworzyć w łatwy sposób model trójwymiarowy. Do oddziaływań w Z2 dodajemy oddziaływania najbliższych sąsiadów wzdłuż kierunku prostopadłego do Z2 - energia oddziaływania dwóch takich samych cząstek będących najbliższymi sąsiadami jest równa zero, energia każdej pary składającej się z różnych cząstek jest dodatnia, powiedzmy 1. Widzimy, że dwuwymiarowe konfiguracje stanu podstawowego pro-pagują się wzdłuż kierunku prostopadłego do Z2.
Modele gazów sieciowych odpowiadające dachówkom Robinsona badane były w [].
2.6.1. Dodatek 2
Zbiór wszystkich konfiguracji gazu sieciowego z n różnymi typami cząstek,
Ω = {1, ..., n}Zd
jest zbiorem nieprzeliczalnym. Aby rozważać miary na tym zbiorze musimy wprowadzić σ-ciało zbiorów mierzalnych. Na początek zdefiniujemy zbiory otwarte czyli wprowadzimy na Ω to-pologię. Rozpoczniemy od tego, że na skończonym zbiorze {1, ..., n} wprowadzimy topologię dyskretną czyli każdy podzbiór {1, ..., n} jest jednocześnie otwarty i domknięty. Na
Ω = {1, ..., n}Zd
wprowadzamy topologię produktową czyli najmniejsza topologię, w której projekcje pσi : Ω →
{1, ..., n}, σi(X) = Xi, i ∈ Zdsą funkcjami ciągłymi. Zbiór skończony z topologią dyskretną jest
oczywiście zwarty. Z Twierdzenia Tichonowa wynika, że Ω jest zbiorem zwartym w topologii produktowej.
Ćwiczenie 2.8. Scharakteryzuj zbiory otwarte w powyższej topologii produktowej.
Rozwiązanie.
Ćwiczenie 2.9. Scharakteryzuj zbieżność ciągów w Ω
Rozwiązanie.
Okazuje się, że wszystkie nieokresowe mozaiki przedstawione w poprzednim rozdziale, a co za tym idzie nieokresowe konfiguracje stanu podstawowego w odpowiednim modelu gazu siecio-wego, mają następującą własność. Niech X ∈ Ω będzie nieokresowym pokryciem płaszczyzny. Dla każdego i ∈ Z2, τiX jest translacją X o wektor i, to znaczy (τiX)j = Xj−i. Domknięcie
22 2. Mechanika statystyczna
w topologii produktowej zbioru wszystkich translacji {τiX, i ∈ Z2} jest zbiorem wszystkich
pokryć płaszczyzny danymi typami dachówek. Zbiór ten, oznaczmy go przez G, jest nośnikiem jedynej translacyjnie niezmienniczej miary µ. Miarę ta jest słabą granicą ciągu miar skupionych na kolejnych translacjach X, µ = limΛ→Z2 |Λ|1 Pi∈ΛδτiX, gdzie δτiX jest miarą skupioną na τiX. Jedyność miary oznacza, że częstość występowania dowolnego skończonego układu dachówek jest taka sama dla wszystkich pokryć i co więcej częstość ta jest zdefiniowana w sposób jed-nostajny. Niech X ∈ G i W ∈ ΩΛ. Częstość występowania wzoru W w X możemy obliczyć w następujący sposób. Niech Va,k będzie ciągiem kwadratów w Z2 o środku w a i boku o długości k. L(a, k, X) = |i ∈ Z2, τiW (j) = X(j), j ∈ τiΛ, τiΛ ⊂ Va,k| jest liczbą translacji W , które
pokrywają się z lokalną konfiguracją X. Mamy wtedy limk→∞L(a,k,X)4k2 = f (W ). Zbieżność jest jednostajna ze względu na a ∈ Z2, granica f (W ) jest taka sama dla każdej nieokresowej mozaiki X i jest częstością występowania lokalnej konfiguracji W . Jest to jednocześnie prawdopodobień-stwo występowania W w mierze µ, µ(X ∈ G, Xi = Wi, i ∈ Λ).
Chcielibyśmy aby istniała stała C taka aby
|L(a, k, X) − f (W )4k2| < C8k. (2.13)
.
Okazuje się jednak, że we wszystkich przykładach mamy |L(a, k, X) − f (W )4k2| < Cklnk. Czy istnieje skończony zbiór typów dachówek, pokrywający płaszczyznę tylko w sposób nieokresowy z jedyną translacyjnie niezmiennicza miarą µ o nośniku w zbiorze mozaik tak że jest spełniona własność2.13.
3. Wpisz temat wykładu
Tu wpisz treść wykładu
4. Wpisz temat wykładu
Tu wpisz treść wykładu
5. Wpisz temat wykładu
Tu wpisz treść wykładu
6. Wpisz temat wykładu
Tu wpisz treść wykładu
