Rozkad normalny

Rozkład normalny, N(

m,

σ

).

Gęstość

R

x

e

x

f

m x

∈

=

− − 2 2 2 ) (

2

1

)

(

σ

π

σ

,

m

∈

R

,

σ

∈

( ,

0

+ ∞

)

funkcja gęstości ma punkty przegięcia dla

σ

±

=

m

x

W tablicy dla x ∈ [0; 5) podano wartości dystrybuanty Φ rozkładu N(0, 1)

Φ

Φ

Φ

Φ

(-x) = 1 -

Φ

Φ

Φ

Φ

(x)

X - N(m, σ) ⇒ Y = (X - m)/σ - N(0, 1) (standaryzacja) Funkcja charakterystyczna 2 2 2

)

(

t imt

e

t

σ

ϕ

=

− Parametry EX = m; D2X = σ2 0 = a k=3, k’ = 0 x0,5 = m d = m 2 2 1

(

1

)

− −

+

−

⋅

=

k k k

m

m

k

m

m

σ





0

gdy

k

−

nieparzyst

e

Prawo trzech sigm Jeśli X ma rozkład N(m,

σ

) to

683

,

0

)

(

m

−

σ

<

X

<

m

+

σ

=

P

_,

955

,

0

)

2

2

(

m

−

σ

<

X

<

m

+

σ

=

P

_,

997

,

0

)

3

3

(

m

−

σ

<

X

<

m

+

σ

=

P

Ostatnia równość świadczy o tym, że chociaż rozkład normalny ma gęstość różną od zera na całej prostej to praktycznie niemal wszystkie realizacje skupiają się w przedziale

)

3

,

3

(

m

−

σ

m

+

σ

własność tą nazywamy prawem trzech sigm.

m – 3

σ

m + 3

σ

m

Interpretacja graficzna parametrów rozkładu N(m, σσσσ)

Generowanie liczb losowych o rozkładzie N(0, 1): Sposób 1.

ui – liczby losowe o rozkładzie równomiernym w (0, 1).

n – ustalone (dostatecznie duże), zwykle n = 12. Wtedy





n

Sposób 2.

ui – liczby losowe o rozkładzie równomiernym w (0, 1).

Wtedy

(

2

1

)

sin

ln

2

₊

−

=

_{i i} i

u

u

x

π

lub

(

2

1

)

cos

ln

2

₊

−

=

i i i

u

u

x

π

mają rozkład N(0, 1) i są niezależne.

Sposób 3.

ui – liczby losowe o rozkładzie równomiernym w (-1, 1), takie, że 21 1 2+ ≤ + i i u u . Wtedy

(

)

2 1 2 2 1 2

ln

2

+ +

+

+

−

=

i i i i i i

u

u

u

u

u

x

lub i i i i

u

u

x

x

₊₁

=

+1 mają rozkład N(0, 1) i są niezależne.

Generowanie liczb losowych o rozkładzie N(m, σσσσ):

xi – liczby losowe o rozkładzie N(0, 1).

Wtedy yi = m +

σ

xi ma rozkład N(m, σ).

Przybliżenia dla wartości dystrybuanty

Φ

Φ

Φ

Φ

rozkładu N(0, 1), x ≥ 0.

Sposób 1.

(

3

)

3

2

2

1

2

2

2

1

1

)

(

x

e

a

t

a

t

a

t

x

+

+

−

≈

Φ

−

π

(dokładność: 10-5)

x

t

33267

,

0

1

1

+

=

a

1

= 0,4361836;

a

2

= -0,1201676; a

3

= 0,9372980;

Sposób 2.

(

5

)

5 4 4 3 3 2 2 1 2 2

2

1

1

)

(

x

e

b

t

b

t

b

t

b

t

b

t

x

+

+

+

+

−

≈

Φ

−

π

(dokładność: 7,5·10-8)

x

t

2316419

,

0

1

1

+

=

b

1

= 0,319381530;

b

2

= -0,356563782;

b

₃

= 1,781477937;

b

₄

= -1,821255978; b

₅

= 1,330274429;

Sposób 3. (bez funkcji wykładniczej lecz z mniejszą dokładnością)

(

₄

)

4

4

3

3

2

2

1

1

5

,

0

1

)

(

≈

−

+

+

+

+

−

Φ

x

c

x

c

x

c

x

c

x

(dokładność: 2,5·10-4)

c

1

= 0,196854; c

2

= 0,115194;

c

3

= 0,000344; c

4

= 0,019527;

Sposób 4. (bez funkcji wykładniczej lecz z dobrą dokładnością)

16

6

1

1

5

,

0

1

)

(

−

=













−

−

≈

Φ

∑

i

i

i

x

d

x

(dokładność: 1,5·10-7)

d

1

= 0,0498673470;

d

2

= 0,0211410061;

d

3

= 0,0032776263;

d

4

= 0,0000380036;

d

5

= 0,0000488906;

d

6

= 0,0000053830;

Przybliżenia dla wartości kwantyla rzędu p rozkładu N(0, 1).

Sposób 1.

)

1

ln(

2

04481

,

0

99229

,

0

1

27061

,

0

30753

,

2

)

(

₂

p

t

t

t

t

t

p

u

−

−

=

+

+

+

−

≈

(dokładność: 3·10-3) Sposób 2.

)

1

ln(

2

001308

,

0

189269

,

0

432788

,

1

1

010328

,

0

802853

,

0

515517

,

2

)

(

_{2 3} 2

p

t

t

t

t

t

t

t

p

u

−

−

=

+

+

+

+

+

−

≈

(dokładność: 4,5·10-4) L.Kowalski 28.10.2008