Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem.

1

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem.

Wykład 2 2. CAŁKA PODWÓJNA

2.1. Całka podwójna po prostokącie.

2.2. Całka podwójna po obszarach normalnych.

2.3. Całka podwójna po obszarach regularnych.

2.4. Współrzędne biegunowe.

2.5. Zastosowania całek podwójnych w geometrii.

2.1. Całka podwójna po prostokącie 2A1 Definicja (podział prostokąta)

Podziałem  prostokąta R{( , ) :x y a x b c,  y d} nazywamy zbiór złożony z prostokątów  { ,R R_{1 2}, ,R_n}, które całkowicie go wypełniają i mają parami rozłączne wnętrza tzn. ^{RR1R2 ... Rn, mes}





Stosowane oznaczenia:

  x_k, y_k, - wymiary prostokąta R_k , gdzie 1 k n;

 d_k  ( x_k)² ( y_k)²  długość przekątnej prostokąta R_k , gdzie 1 k n;

 ( ) max{d_k:1 k n}- średnica podziału ;

  {( ,x y₁^ ₁^),( ,x y₂^{ }₂), ,( ,x y^_{n n}^)}, gdzie ( ,x y_k^ _k^)R_k dla 1  k n zbiór punktów pośrednich podziału .

2A2 Definicja (całka podwójna po prostokącie)

2

Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie R. Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie R definiujemy wzorem:

( ) 0 1

( , ) lim ( , )( )( )

n

k k k k

R k

f x y dxdy f x y x y



 

  







o ile po prawej stronie granica jest właściwa i nie zależy od sposoby podziału  prostokąta R, ani od sposobu wyboru punktów pośrednich . Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna po prostokącie R.

2A2 Uwaga. Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie R oznaczamy także symbolem ( , ) .

R

f x y dxdy



2A+B3 Fakt (o całkowaniu funkcji ciągłych)

Funkcja ciągła na prostokącie jest na nim całkowalna.

2A4 Twierdzenia (o liniowości całki)

Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na prostokącie R, to:

1) ( ( , ) ( , )) ( , ) ( , ) ,

R R R

f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy

  

2) ( ( , ) ( , )) ( , ) ( , ) ,

R R R

f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy

  

3) ( ( , )) ( , )

R R

cf x y dxdy c f x y dxdy

 

2A+B5 Twierdzenie (o addytywności całki względem obszaru całkowania)

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostokącie R, to dla dowolnego podziału tego prostokąta na prostokąty R R₁, ₂, które są rozłączne, zachodzi

1 2

( , ) ( , ) ( , ) ,

R R R

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy

  

gdzie RR1R2, mes





2A+B6 Twierdzenia (o zamianie całki podwójnej na całki iterowane) Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostokącie [ , ] [ , ]a b  c d , to :

[ , ] [ , ]

( , ) [ ( , ) ] [ ( , ) ]

b d d b

a b c d a c c a

f x y dxdy f x y dy dx f x y dx dy



 

    

3

przy czym będziemy pisali umownie

( , ) i ( , )

b d d b

a c c a

dx f x y dy dy f x y dx

   

zamiast odpowiednio

[ ( , ) ] i [ ( , ) ] .

b d d b

a c c a

f x y dy dx f x y dx dy

   

2A7 Przykład. Obliczyć podane całki iterowane:

2 3 4 1 l ln

2 2 2

1 0 2 1 0 0

) ( ) , ) ( ) , ) .

x

a dx x y x dy b dy x y x dx c dx ex y^ dy



 

     

2A8 Przykład. Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych prostokątach:

) 2 , [0,1] [ 1,1], ) sin( ) , , 0, .

4 4 4

R R

a xy dxdy R_{  } b x_ y dxdy R_{ }  _{ } _

   

   

 

2A9 Fakt ( całka podwójna z funkcji o rozdzielonych zmiennych)

Jeżeli funkcja f jest funkcją o rozdzielonych zmiennych postaci f(x,y)=g(x)h(y), gdzie funkcje g i f są ciągłe odpowiednio na przedziałach [a,b] i [c,d], to

[ , ] [ , ]

( , ) ( ) ( ) .

b d

a b c d a c

f x y dxdy g x dx h y dy



 

  

2A10 Przykład. Podaną całkę zamienić na sumy lub iloczyny całek pojedynczych:

, [0,1] [0, 2].

x y R

e ^ dxdy R 



2.2. Całka podwójna po obszarach normalnych 2A11 Definicja (obszary normalne względem osi układu)

a) Obszar D nazywamy obszarem normalnym względem osi Ox, jeżeli można przedstawić go w postaci

{( , ) : ( ) ( ), },

D x y g x  y h x a x b gdzie funkcje g i h są ciągłe na [ , ];a b

4

b) Obszar D nazywamy obszarem normalnym względem osi Oy, jeżeli można przedstawić go w postaci

{( , ) : ( ) ( ), },

D x y p y  x q y c y d gdzie funkcje p i q są ciągłe na [ , ].c d

2A+B12 Twierdzenia (całki iterowane po obszarach normalnych) a) Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze:

{( , ) : ( ) ( ), },

D x y g x  y h x a x b normalnym względem osi Ox, to

( )

( )

( , ) [ ( , ) ]

b h x

D a g x

f x y dxdy f x y dy dx

  

b) Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze:

{( , ) : ( ) ( ), },

D x y p y  x q y c y d normalnym względem osi Oy, to

( )

( )

( , ) [ ( , ) ] .

d q y

D c p y

f x y dxdy f x y dx dy

  

2A13 Uwaga

Całki iterowane będziemy też zapisywać odpowiednio w postaci

5

( ) ( )

( ) ( )

( , ) i ( , )

h x q y

b d

a g x c p y

dx f x y dy dy f x y dx

   

Granice całkowania dla całek iterowanych we współrzędnych

kartezjańskich będą stałe tylko dla całek podwójnych po prostokącie.

2A+B14 Przykład. Obliczyć podane całki podwójne:

2 2 2

) ( ) , {( , ) : , 3 },

) , obszar jest ograniczony prostymi 0, , 2 4.

D

D

a x xy dxdy D x y y x y x x

b xydxdy D y y x y x

     

   





2.3. Całka podwójna po obszarach regularnych 2A15 Definicja (całka po obszarze regularnym na płaszczyźnie)

Obszar D nazywamy obszarem regularnym jeśli on jest summą skończonej liczby obszarów normalnych (względem osi Ox lub Oy): DD₁D₂  ... D_n.Wtedy całka po D definiuje się wzorem:

1

( , ) ( , ) ... ( , ) .

D D Dn

f x y dxdy f x y dxdy  f x y dxdy

  

2A16 Uwaga

Całki po obszarach regularnych mają te same własności, co całki po prostokątach (liniowość, addytywność itd.).

2B16 Fakt (o zamianie zmiennych w całce podwójnej)

Niech przekształcenie ^{( , )} ( , )

x u v

y u v





 

  odwzorowuje różnowartościowo wnętrze obszaru regularnego  na wnętrze obszaru regularnego D, funkcji  , mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego na pewnym obszarze otwartym zawierającym obszar ,

funkcja f jest ciągła na obszarze D oraz jakobian ( , ) det u v J J u v

u v

 

 

 

 

   

   

 

 

   

 

tego

przekształcenia jest różny od zera wewnątrz obszaru  . Wtedy ( , ) ( ( , ), ( , )) ( , ) .

D

f x y dxdy f  u v  u v J u v dudv







6

2.4. Współrzędne biegunowe 2A14 Definicja (współrzędne biegunowe)

Położenie punku P na płaszczyźnie można opisać parą liczb ( , ) r , gdzie - kąt między dodatnią częścią osi Ox, i promieniem wodzącym punktu P, 0  2 albo

  ,

   a r – odległość punktu P od początku układu współrzędnych, 0  r . Parę ( , ) r nazywamy współrzędnymi biegunowymi punktu płaszczyzny.

2A15 Fakt (zależność między współrzędnymi biegunowymi i kartezjańskimi) Współrzędne kartezjańskie (x,y) punktu płaszczyzny danego we współrzędnych biegunowych ( , ) r określone są wzorami .

cos sin x r y r





 

 

2A+B15 Fakt (Jakobian przekształcenia)

2 2 2 2

cos sin

det cos sin (cos sin ) .

sin cos

x x

r r

J r r r r

y y r

r

 

    

 



 

 

   

 

      

 

 

  

 

2A16 Twierdzenie (współrzędne biegunowe w całce podwójnej)

Niech funkcja f będzie ciągła na obszarze D, który jest obrazem  przy przekształceniu biegunowym. Wtedy

( , ) ( cos , sin ) ,

D

f x y dxdy f r  r  r drd







2A17 Uwaga

Współrzędne biegunowe stosujemy głównie wtedy, gdy obszar całkowania jest określony następująco: D





2 2

1 1

( )

( )

( , ) ( cos , sin )

r

D r

f x y dxdy d f r r r dr

 

 

  



 

7

w szczególności, gdy obszar jest ograniczony łukami okręgów o środkach w początku układu współrzędnych wtedy (i tylko wtedy) całki iterowane we współrzędnych biegunowych będą mieli stale granice całkowania.

2A18 Przykład. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne:

2 2

( ) 2 2 2

2 2 2

) , {( , ) : 2},

) , {( , ) :1 4, , 0}.

x y D

D

a e dxdy D x y x y

b xydxdy x y x y y x x

     

      





2.5. Zastosowania całek podwójnych w geometrii 2A19 Fakt (pole obszaru) y Pole obszaru D  ² wyraża się we współrzędnych

kartezjańskich wzorem

D

D 



D

D 



Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi:

a) 2, 1;

b) 1, 0, , 2 dla 0, 0;

x y x

xy x y x y x x y

 

     

c) arcsin , 0, ;

2

d) 1 cos , 0, .

2

y x x y

r



  

  

 

    

2A+B21 Fakt (objętość bryły)

Objętość bryły V położonej nad obszarem D  ² i ograniczonej z dołu i z góry odpowiednio wykresami funkcji ciągłych z=f(x,y) i z=g(x,y) wyraża się wzorem

( ( , ) ( , ))

D

V 



D

8

2A+B22 Przykład. Obliczyć objętości brył ograniczonych wskazanymi powierzchniami:

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

a) 1, 0, 0, 0;

b) 4, 1;

c) 3, 2 .

x y z z x y

x y z x y

x y z x y z

     

    

    

2A+B23 Fakt (pole płata)

Pole płata , który jest wykresem funkcji z=f(x,y), gdzie ( , )x y D, wyraża się wzorem

2 2

1 .

D

f f

x y dxdy

 

 

 

 



2A+B24 Przykład. Obliczyć pole części powierzchni z f x y( , ) x²y² ) odciętej podanymi powierzchniami:z1, z2.

2A+B25 Praca domowa.

1. Obliczyć podane całki podwójne:

2 2

2 2 2

a) , gdzie obszar jest ograniczony prostymi , 4, 0;

b) , gdzie obszar jest ograniczony 4, 4, 0, 0.

( krzywymi

)

D

D

xy dxdy D y x y x y

dxdy D x y y x y x

x y

    

     







2. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y6xx², y 0.

3. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami zx²y², z9.

4. Obliczyć pole części powierzchni f x y( , )x² y² odciętej powierzchnią z 0.