Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem.
Wykład 9 9. SZEREGI FOURIERA
9.1. Pojęcia wstępne.
9.2. Szeregi trygonometryczne Fouriera.
9.3. Postać zespolona szeregu trygonometrycznego Fouriera.
9.4. Przykłady.
9.1. Pojęcia wstępne
9A1 Definicja (iloczyn skalarny)
Niech ,f g będą funkcjami określonymi w przedziale [ , ]a b . Liczbę
f g ,
b
a
f x g x dx
nazywamy iloczynem skalarnym funkcji f i g w przedziale
a b, .9A2 Definicja (ciągi i szeregi ortogonalne i ortonormalne)
Ciąg funkcyjny
n( ) ,x
x[ , ],a b nazywamy ortogonalnym w przedziale [ , ],a b jeżeli
n, n
0 oraz
n, m
0 dla nm; szereg1
( ), [ , ],
n n n
a x x a b
(1) jest szeregiem ortogonalnym, jeżeli ciąg
n( )x
jest ortogonalny.Szereg (1) jest szeregiem ortonormalnym, jeżeli ciąg
n( )x
jest ciągiem ortonormalnym, tzn.
n, n
1 oraz
n, m
0 dla nm.9A3 Przykład. Niech f będzie funkcją ciągłą na
a b dającej się przedstawić w , postaci sumy ortogonalnego szeregu (1):1
( ) n n( ), [ , ].
n
f x a x x a b
(2) Przypuśćmy, że szereg po prawej stronie równania jest jednostajnie zbieżny w przedziale
a b, , wówczas po pomnożeniu przez funkcję m( )x i całkowaniu wyraz za wyrazem otrzymamy:.1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ), 1, 2,...
b b b
m n n m m n m m m m
a n a a
f x x dx a x x dx a x x dx a m
(3)Stąd
,
, m , 1, 2,...
m
m m
a f m
9A4 Definicja (szereg Fouriera)
Szereg ortogonalny (1) o współczynnikach
,
, n
n
n n
a f
n 1,2,...
dla funkcji f całkowalnej w przedziale
a b nazywamy szeregiem Fouriera funkcji f względem , ciągu
n( )x
w przedziale
a b . ,9A+B5 Definicja (warunki Dirichleta)
Mówimy, że funkcja f spełnia w przedziale
a b warunki Dirichleta (pierwszy, drugi i , trzeci), jeżeli5.1) funkcja f jest przedziałami monotoniczna w przedziale
a b (tzn. jest , ograniczona i istnieje skończona liczba podprzedziałów, na których f jest monotoniczna);5.2) funkcja f jest ciągłą w przedziale
a b , z wyjątkiem co najwyżej skończonej , liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w każdym punkcie x 0 nieciągłości spełniony jest warunek f x
0 12
f x( 0) f x( 0)
;5.3) w końcach przedziału
a b spełnione są równości ,
12
( ) ( )
f a f b f a f b .
9.2. Szeregi trygonometryczne Fouriera na przedziale
9A6 Definicja (szereg trygonometryczny) Szereg funkcyjny postaci
0 1
cos sin
2 n n n
a n x n x
a b
l l
(4) nazywamy szeregiem trygonometrycznym.9A+B7 Fakt
Ciąg trygonometryczny (więc i szereg (4))
n( )x
, gdzie 2n
cosn x x l , 2n 1
sinn xx l
, n 0,1,2,...
jest ortogonalny w przedziale
l l, .Dowód:
0 2
0
, 1 cos sin 0
l l
n n
l l
n x l n x
l dx n l
; analogicznie
0, 2n1
0;
2 2
, cos cos 1 cos cos 0;
2
l l
n m
l l n m
n m x n m x
n x m x
dx dx
l l l l
2 1 2 1
, sin sin 1 cos cos 0;
2
l l
n m
l l n m
n m x n m x
n x m x
dx dx
l l l l
2 2 1
, cos sin 1 sin sin 0;
2
l l
n m
l l
m n x m n x
n x m x
dx dx
l l l l
0, 0
2l
l
dx l
;
2 2
21 cos2
, cos
2
l l
n n
l l
n x
n xdx l dx l
l
;
2 1 2 1
21 cos2
, sin
2
l l
m m
l l
m x
m xdx l dx l
l
.Stąd mamy.
9A8 Definicja (szereg trygonometryczny Fouriera)
Dla dowolnej funkcji f całkowalnej w przedziale
l l, szereg trygonometryczny (4) o współczynnikach1
cos
l n
l
a f x n xdx
l l
, n 1l
sinl
b f x n xdx
l l
, ... (5) nazywamy szeregiem trygonometrycznym Fouriera funkcji f w przedziale
l l, ipiszemy
01
~ cos sin
2
odpowiada
n n
n
a n x n x
f x a b
l l
(6)9B9 Fakt (twierdzenie Dirichleta o rozwijaniu funkcji w szereg Fouriera)
Jeżeli funkcja f spełnia w przedziale [ , ]l l warunki Dirichleta 9A+B5, to jest rozwijalna w tym przedziale w szereg trygonometryczny Fouriera
01
cos sin
2 k k k
a k x k x
f x a b
l l
dla każdego x
l l, ; (7) jeżeli ponadto funkcja f jest okresowa i ma okres 2l , to równość (7) jest prawdziwa dla każdego x z dziedziny tej funkcji.9A+B10 Fakt
Szereg Fouriera jednostajnie zbieżny do funkcji f na przedziale
l l, można całkować (dla różniczkowania szereg z pochodnych ma być zbieżny).9A11 Fakt (szereg Fouriera funkcji parzystej i nieparzystej) Szereg trygonometryczny Fouriera ma postać
1)
01
~ cos
2 n n
a n x
f x a
l
, gdzie
0
2 cos
l n
a f x n xdx
l l
(oraz b n 0)dla funkcji f parzystej w przedziale
l l, ;2)
1
~ nsin
n
f x b n x
l
, gdzie
0
2 sin
l n
b f x n xdx
l l
(oraz a ) n 0dla funkcji f nieparzystej w przedziale
l l, .9A12 Przykłady
12.1. Niech funkcja f będzie całkowalna w przedziale
,
. Wtedy jej szereg trygonometryczny Fouriera ma postać
0
1
~ cos sin
2 k k k
f x a a kx b kx
,gdzie ak 1 f x
coskx dx
, bk 1 f x
sinkx dx
, k 0,1,2,...
12.2. Niech funkcja f będzie całkowalna w przedziale
1,1
. Wtedy jej szereg trygonometryczny Fouriera ma postać
0
1
~ cos sin
2 n k k
f x a a k x b k x
,gdzie a , k b są zdefiniowany w (5) przy k l . 1
9A+B13 Uwaga (szereg sinusów i szereg cosinusów)
Rozważmy funkcję f , która jest określona i spełnia pierwsze dwa warunki Dirichleta w przedziale otwartym (0, )l . Funkcję tę można przedłużyć jako funkcję pomocniczą
*( )
f x określoną w przedziale [ , ]l l wieloma sposobami i otrzymać różne (nieskończenie wiele) rozwinięć funkcji f szeregu Fouriera. Na przykład, żeby otrzymać rozwinięcie funkcji f w szereg sinusów
1 ksin
k
f x b k x
l
, gdzie
0
2 sin
l k
b f x k xdx
l l
, x
0,l , (8)należy przedłużyć tę funkcję w sposób nieparzysty: *
( ) dla (0, ) ( ) ( ) dla ( ,0)
0 dla 0, ,
f x x l
f x f x x l
x l l
. Jeżeli natomiast chcemy otrzymać rozwinięcie funkcji f w szereg cosinusów
01
2 k kcos
a k x
f x a
l
, gdzie
0
2 cos
l k
a f x k xdx
l l
, x
0,l , (9)to należy przedłużyć ją w sposób parzysty: *
( ) dla (0, ) ( ) dla ( ,0) ( ) (0 ) dla 0
( ) dla ,
f x x l
f x x l
f x
f x
f l x l l
.
9B14 Twierdzenie (zbieżność szeregu Fouriera)
Dla każdej funkcji f , całkowalnej w przedziale [ , ]l l jej szereg Fouriera (6), (5) jest zbieżny przeciętnie z kwadratem w przedziale [ , ]l l do funkcji f , tzn.
0 21
lim cos sin 0
2
l n
k k
n l k
a k x k x
f x a b dx
l l
.9B+C15 Twierdzenie (równość Parsevala)
Dla funkcji f całkowalnej w przedziale [ , ]l l spełniona jest równość Parsevala
2
2 2 2
0 1
1 2
l
k k
k l
a a b f x dx
l
, gdzie a , k b są współczynnikami (5) szeregu (6) k Fouriera funkcji f w przedziale [ , ]l l .9B+C15 Twierdzenie (twierdzenie o najlepszej aproksymacji kwadratowej) Spośród wszystkich wielomianów trygonometrycznych najlepszą aproksymację kwadratową funkcji f całkowalnej w przedziale [ , ]l l (więc taką, dla której wartość
0 21
cos sin
2
l n
k k
l k
a k x k x
f x a b dx
l l
jest najmniejsza) stanowi wielomian owspółczynnikach (5) Fouriera tej funkcji.
9.3. Postać zespolona szeregu trygonometrycznego Fouriera
Na podstawie wzoru Eulera ei cosisin , gdzie i mamy: 2 1,
0 01 1
~ cos sin
2 2 2 2
k x k x
i i
k k l k k l
k k
k k
a k x k x a a ib a ib
f x a b e e
l l
ik x k l k
c e
, gdzie 0 0
1
2 2
l
l
c a f x dx
l
, 1
,2 2
l ik x
k k l
k
l
a ib
c f x e dx
l
1
2 2
l ik x
k k l
k
l
a ib
c f x e dx
l
.Wtedy
9A16 Fakt (szereg trygonometryczny Fouriera na [ , ]l l )
Szereg trygonometryczny Fouriera można zapisać w postaci zespolonej:
~ k ik xl kf x c e
, gdzie 1
2
l ik x
l k
l
c f x e dx
l
, k 0, 1, 2,... (10)9A+B17 Uwaga
Jeżeli 2l jest okresem funkcji okresowej f , to współczynniki c w (10) można k przekształcić do postaci 2
0
1 2
l ik x
l
ck f x e dx l
, k 0, 1, 2,... 9A18 Uwaga (szereg trygonometryczny Fouriera na [ , ])Często spotykany w literaturze zespolony szereg Fouriera funkcji f w przedziale
,
ma postać
~ k ikx kf x c e
, gdzie 1
2
ikx
ck f x e dx
, k 0, 1, 2,... (11)9.4. Przykłady
9A+B19 Przykłady
19.1. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera w przedziale
l l, funkcję
sgn
0
0 A x dla x l
f x A
dla x l
.
Rozwiązanie. Funkcja f jest nieparzysta, zatem a n 0 dla n 0,1,2,... Obliczymy współczynniki b : n
0 0
2 2 2
sin sin
l l
n
k x A k x A
b f x dx dx
l l l l k
1 cosk
2A 1
1 k k
. Stąd b k 0 dla k parzystych i 4
k
b A k
dla k2n 1 nieparzystych. Funkcja f spełnia warunki Dirichleta. Mamy zatem:
1
2 1
4 1
2 1sin
n
n x
f x A
n l
dla każdego x
l l,(lub dla x , jeżeli 2l jest okresem funkcji f ).
19.2. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera w przedziale
l l, funkcję
g x dla lx 2 .
Rozwiązanie. Szereg Fouriera zbieżny do funkcji f na przedziale
l l, możnacałkować. Wówczas z poprzedniego 9A+B19.1 przy A 1, l mamy:
1 1
2 2 2
2 1 cos 2 1
4 1 4 1
2 1sin 2 1 2 1
x x x
n n
n t n t
g x f t dt dt
n n n
2 2 2
cos 2 1 4 cos cos3
... ...
1 3 2 1
n x
x x
n
dla x
,
lub dla x jeżeli 2 jest okresem funkcji g :19.3. Rozwinąć w szereg
trygonometryczny Fouriera w przedziale ( , ) funkcję f x( )ex ( x ).
Rozwiązanie. Otrzymamy wzory:
2
2
1 1
cos cos sin
(1 )
1 1
sin sin cos ,
(1 )
x x
n
x x
n
a e nx dx e nx n nx
n
b e nx dx e nx n nx
n
2 2
1 1
2 2
( 1) ( 1) 2sh , 0,1, 2,
(1 ) (1 )
( 1) ( 1) 2 sh , 1, 2,
(1 ) (1 )
n n
n
n n
n
e e
a n
n n
n e e n
b n
n n
(sh sinh). Stąd
2 1
2 1 ( 1)
sinh cos sin
2 (1 )
n x
n
e nx n nx
n
19.4. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera w przedziale
1,1
funkcję ( )f x dla x l . 1 Praca domowa
1. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera
1 dla (0, ) 2 dla (0, )
a) ( ) ; b) ( ) cos dla ( , ); c) ( ) .
dla ( ,0) dla ( ,0)
x x
f x f x x x f x
x x x
2. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcje okresowe (podane geometrycznie):
a)
b)
