1
Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem.
Wykład 3 3. CAŁKA POTRÓJNA
3.1. Całka potrójna po prostopadłościanie.
3.2. Całka potrójna po obszarach normalnych.
3.3. Współrzędne walcowe.
3.4. Współrzędne sferyczne.
3.5. Zastosowania całek potrójnych w geometrii.
3.1. Całka potrójna po prostopadłościanie 3A1 Definicja (podział prostopadłościanu)
Podziałem prostopadłościanu P{( , ) :x y a x b c, y d p, z q} nazywamy zbiór złożony z prostopadłościanów P P1, 2, ,Pn, które całkowicie go wypełniają i mają parami rozłączne wnętrza tzn. P P1 P2 ... Pn, mes
Pk Pj
0 dla k jStosowane oznaczenia:
xk, yk, zk - wymiary prostopadłościanu Pk , gdzie 1 k n;
dk ( xk)2 ( yk)2 ( zk)2 długość przekątnej prostopadłościanu Pk , gdzie 1 k n;
( ) max{dk:1 k n} średnica podziału ;
2
{( ,x y z1 1, 1),( ,x y z2 2, 2), ,( ,x y zn n, n)}, gdzie ( ,x y zk k, k)Pk dla 1 k n zbiór punktów pośrednich podziału .
3A2 Definicja (całka potrójną po prostopadłościanie)
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostopadłościanie P. Całkę potrójną z funkcji f po prostopadłościanie P definiujemy wzorem
( ) 0 1
( , , ) lim ( , , )( )( )( )
n
k k k k k k
P k
f x y z dxdydz f x y z x y z
o ile po prawej stronie granica jest właściwa i nie zależy od sposoby podziału
prostopadłościanu P, ani od sposobu wyboru punktów pośrednich . Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna po prostopadłościanie P.
3A3 Twierdzenia (o liniowości całki)
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na prostopadłościanie P, to:
1) ( ( , , ) ( , , )) ( , , ) ( , , ) ;
P P P
f x y z g x y z dxdydz f x y z dxdydz g x y z dxdydz
2) ( , , ) ( , , )
P P
cf x y z dxdydzc f x y z dxdydz
, gdzie c jest liczbą rzeczywistą.3A+B4 Twierdzenie (o addytywności całki względem obszaru całkowania)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostopadłościanie P, to dla dowolnego podziału tego prostopadłościanu na prostopadłościany P P1, 2, które są rozłączne zachodzi
1 2
( , , ) ( , , ) ( , , ) ,
P P P
f x y z dxdydz f x y z dxdydz f x y z dxdydz
gdzie P P1 P2, mes
P1P2
0 (mes=measure= objętość).3A5 Twierdzenia (o zamianie całki podwójnej na całki iterowane)
Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostopadłościanie [ , ] [ , ] [ , ]a b c d p q , to :
[ , ] [ , ] [ , ]
( , , ) { [ ( , , ) ] } ( , , )
q q
b d b d
a b c d p q a c p a c p
f x y z dxdydz f x y z dz dy dx dx dy f x y z dz
3
3A6 Przykład. Obliczyć podane całki iterowane:
1 1 2 2
2 2 2
1 0 0 0 0 0
) ( ) , ) cos .
z x z
a dx dy x y z dz b dz dx y dy
3A7 Przykład. Obliczyć podane całki potrójne:
3
) (2 3 ) , [ 1,1] [0,1] [2, 4],
) , ( , , ) : 2, 1, 1, 1 .
U
U
a x y z dxdydz U
b x dxdydz U x y z x y z x y z
yz
3.2. Całka potrójna po obszarach normalnych 3A8 Definicja ( obszary normalne względem płaszczyzn układu)
a) Obszar U nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny Oxy, jeżeli można przedstawić go w postaci
{( , , ) : ( , ) ( , ), ( , ) xy},
U x y z d x y z g x y x y D gdzie Dxy jest obszarem regularnym na płaszczyźnie Oxy, a funkcje d i g są ciągłe na Dxy.
b) Obszar U nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny Oxz, jeżeli można przedstawić go w postaci
{( , , ) : ( , ) xz, ( , ) ( , )},
U x y z x z D p x z y q x z gdzie Dxz jest obszarem regularnym na płaszczyźnie Oxz, a funkcje p i q są ciągłe na Dxz.
c) Obszar U nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny Oyz, jeżeli można przedstawić go w postaci
{( , , ) : ( , ) yz, ( , ) ( , )},
U x y z y z D r y z x s y z gdzie Dyz jest obszarem regularnym na płaszczyźnie Oyz, a funkcje r i s są ciągłe na Dyz. 3A+B9 Twierdzenia (całki iterowane po obszarach normalnych)
a) Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze:
4
{( , , ) : ( , ) ( , ), ( , ) }, U x y z d x y z g x y x y D normalnym względem płaszczyzny Oxy, to
( , )
( , )
( , , ) [ ( , , ) ]
g x y
U D d x y
f x y z dxdydz f x y z dz dxdy
przy czym jeśli obszar D{( , ) : ( )x y g x y h x a( ), x b} jest normalnym względem osi Ox, to
( , ) ( ) ( , )
( , ) ( ) ( , )
( , , ) [ ( , , ) ] ( , , ) .
g x y b h x g x y
U D d x y a g x d x y
f x y z dxdydz f x y z dz dxdy dx dy f x y z dz
3A10 Przykład. Obliczyć podaną całkę potrójną:
3
, gdzie ( , , ) : 2 3 4 12, 0, 0, 0 .
U
xydxdydz U x y z x y z x y z
2B11 Fakt (o zamianie zmiennych w całkach potrójnych)
Niech przekształcenie
( , , ) ( , , ) ( , , ) x u v w y u v w z u v w
odwzorowuje różnowartościowo wnętrze
obszaru regularnego na wnętrze obszaru regularnego U , funkcji , , mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego na pewnym obszarze otwartym zawierającym obszar , funkcja f jest ciągła na obszarze U oraz jakobian
( , , ) det
u v w
J J u v w
u v w
u v w
tego przekształcenia jest różny od zera wewnątrz obszaru . Wtedy
( , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) ( , , ) .
U
f x y z dxdydz f u v w u v w u v w J u v w du dv dw
3.3. Współrzędne walcowe
Położenie punku P w przestrzeni można opisać trójką liczb ( , , ), r h gdzie
5
oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu P na płaszczyznę Oxy, a dodatnią częścią osi Ox, 0 2 albo ,
r oznacza odległość rzutu punktu P na płaszczyznę Oxy od początku układu współrzędnych, 0 r ,
hz oznacza odległość punktu P od płaszczyzny Oxy.
3A11 Fakt (zależność między współrzędnymi walcowymi i kartezjańskimi) Współrzędne kartezjańskie (x,y,z) punktu przestrzeni danego we współrzędnych walcowych ( , , ) r h określone są wzorami .
cos sin . x r y r
z h
3A+B12 Fakt (jakobian przekształcenia)
2 2 2 2
cos sin 0
det sin cos 0 cos sin (cos sin )
0 0 1
x x x
r h
y y y r
J r r r r r
r h
z z z
r h
3A13 Twierdzenie (współrzędne walcowe w całce potrójnej) Niech
1) obszar we współrzędnych walcowych będzie obszarem normalnym,
6
2) funkcja f będzie ciągła na obszarze U, który jest obrazem przy przekształceniu walcowym. Wtedy
( , , ) ( cos , sin , ) ( cos , sin , z) .
U
f x y z dxdydz f r r h r drd dh f r r r drd dz
.3A+B14 Przykład. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć podane całki po obszarach ograniczonych wskazanymi powierzchniami:
2 2 2
2 2 2 2
) , : 9 , 0;
) , : 8 , .
U
U
a x dxdydz U z x y z
b zdxdydz U z x y z x y
3.4. Współrzędne sferyczne
Położenie punku P w przestrzeni można opisać trójką liczb ( , , ), r gdzie
miara kąta między rzutem promienia wodzącego punktu P na płaszczyznę Oxy, a dodatnią częścią osi Ox, 0 2 albo ,
miara kąta między promieniem wodzącym punktu P, a płaszczyzną Oxy,
2 2
,
r odległość punktu P od początku układu współrzędnych, 0 r . Trójkę ( , , ), r nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu P przestrzeni.
3A+B15 Fakt (zależność między współrzędnymi sferycznymi i kartezjańskimi)
7
Współrzędne kartezjańskie (x,y,z) punktu przestrzeni danego we współrzędnych sferycznych ( , , ), r określone są wzorami .
cos cos sin cos .
sin x r y r
z r
3B16 Fakt (jakobian przekształcenia)
2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 3
2 3 2
cos cos sin cos cos sin
det sin cos cos cos sin sin
sin 0 cos
cos cos sin cos sin cos cos sin sin cos
cos (cos
x x x
r r r
y y y
J r r
r r
z z z
r
r r r r
r
2 2 2 2 2
2 3 2 2 2 2 2 2
sin ) cos sin (cos sin )
cos cos sin cos (cos sin ) cos
r
r r r r
1A+B17 Twierdzenie (współrzędne sferyczne w całce potrójnej) Niech
1) obszar we współrzędnych sferycznych będzie obszarem normalnym, 2) funkcja f będzie ciągła na obszarze U, który jest obrazem obszaru przy
przekształceniu sferycznym. Wtedy
( , , ) ( cos cos , sin cos , sin ) 2cos
U
f x y z dxdydz f r r r r drd d
.1A+B18 Przykład. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całkę potrójną:
2 2 2 2 2
, obszar jest ograniczony powierszchniami 0, 4 .
U
z x y z dxdydz U z z x y
3.5. Zastosowania całek potrójnych w geometrii 1A19 Fakt (objętość obszaru)
8
Objętość U obszaru U 3 wyraża się wzorem:
U
U
dxdydz. 1A+B20 Przykład. Obliczyć objętość obszaru ograniczonego podanymi powierzchniami:2 2 2 2 2
9, 25.
x y x y z Praca domowa
1. Obliczyć podaną całkę potrójną po wskazanym obszarze:
3
( 2 ) , ( , , ) : 3 6 4 12, 0, 0, 0 .
U
x y z dxdydz U x y z x y z x y z
2. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć podane całki po obszarach ograniczonych wskazanymi powierzchniami
a) 2 2
U
x y dxdydz
U z: x2 y z2, 4,z 1;b) ( 2 2)
U
x y dxdydz
U z: x2 y2,z8. y6xx y2, 0.3. Obliczyć objętości obszarów ograniczonych podanymi powierzchniami a) x2 y2z2 16,z x2y2,
b) zx2 y z2, 5.
