dr in. Wojciech SzynkiewiczӒ dr in. Jacek Baszczyk†
prof. dr hab. Krzysztof MalinowskiӒ†
ӒInstytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej †Naukowa i Akademicka Siec´ Komputerowa NASK
OPTYMALIZACJA W ZASTOSOWANIU DO PLANOWANIA
RUCHU CILE WSPÓPRACUJCYCH ROBOTÓW
W artykule1 omówiono wykorzystanie zaawansowanych technik optymalizacji do
rozwizywania zada planowania cieek ruchu dla cile wspópracujcych robotów. Zadanie planowania cieki jest formuowane jako problem minimalizacji warunkowej funkcjonau, a nastpnie jest sprowadzane do zadania programowania nieliniowego (NLP). Do numerycznego rozwizania zadania NLP wykorzystuje si solwer IPOPT oparty na prymalno-dualnej metodzie punktu wewntrznego dla zada nieliniowych, bdcej obecnie jedn z wiodcych technik optymalizacji nieliniowej dla zada wielkiej skali.
OPTIMIZATION IN MOTION PLANNING FOR TIGHTLY COOPERATING ROBOTS
Application of advanced optimization techniques to solve the path planning problem for tightly cooperating robots is discussed in this paper. The approach to path planning is formulated as a "quasi-dynamic" nonlinear optimization (NLP) problem with equality and inequality constraints in terms of the joint variables. The essence of the method is to find joint paths which satisfy the given constraints and minimize the proposed performance index. For numerical solution of the NLP problem the IPOPT solver is used, which implements a nonlinear primal-dual interior-point method one of the leading techniques for large-scale nonlinear optimization.
1. WPROWADZENIE
Planowanie dziaa, w szczególnoci planowanie ruchu, jest jednym z istotnych problemów w robotyce. Sformuowanie problemu planowania ruchu jako zadania optymalizacyjnego, a nastpnie jego rozwizanie z wykorzystaniem odpowiednich metod numerycznych jest jednym z stosowanych podej [15]. W niniejszej pracy jest rozwaane zagadnienie planowania ruchu i koordynacji dziaa zespou robotów wykonujcych czynnoci manipulacyjne wymagajce cisej wspópracy robotów. Dla cile wspópracujcych robotów, gdy wymagana jest cisa koordynacja dziaa/ruchów robotów, ju znalezienie trajektorii dopuszczalnych jest zoonym problemem [28, 40]. Wspólne przeniesienie przez kilka robotów jednego obiektu jest typowym przykadem takiego zadania.
W zadaniach manipulacji obiekt jest centralnym elementem systemu robotycznego, którego ruch i wywierane na siy s przedmiotem analizy przy planowaniu manipulacji. Po uchwyceniu obiektu przez palce/chwytaki tworzy si mechanizm wielo-przegubowy zawierajcy jeden lub wicej zamknitych acuchów (ptli) kinematycznych. W obszarze 1
robotyki mona znale wicej przykadów systemów, w których wystpuj ptle kinematyczne. Roboty równolege s same w sobie strukturami zawierajcymi zamknite acuchy [24]. W maszynach kroczcych zamknity acuch tworzy si w chwili kontaktu nóg z podoem [41]. Poza obszarem robotyki zamknite acuchy s przedmiotem bada m.in. w grafice komputerowej, wirtualnym prototypowaniu, a take chemii i biologii molekularnej [13, 18, 39].
Planowanie ruchu dla zamknitego acucha jest wykonywane w przestrzeni konfiguracyjnej o duym wymiarze i przy skomplikowanych ograniczeniach fizycznych [31, 40, 28]. Wizy wynikajce z warunku zamknicia ptli kinematycznej istotnie ograniczaj moliwoci ruchowe ukadu. W pracach dotyczcych planowania ruchu dla zamknitych acuchów kinematycznych zazwyczaj przyjmuje si, e obiekt, stanowicy jedno z ogniw acucha, jest sztywno uchwycony i konfiguracje chwytów s zadane i stae [17, 20, 28].
Naley podkreli, i zagadnienie planowania ruchu dla mechanizmów z ptlami kinematycznymi jest cigle otwartym problemem badawczym. Opisane w literaturze nieliczne przykady algorytmów zupenych odnosz si zazwyczaj do konkretnych klas systemów i wykorzystuj ich charakterystyczne cechy oraz daj zadowalajce wyniki przy wielu zaoeniach upraszczajcych. Trinkle i Milgram zaproponowali algorytm zupeny dla paskich acuchów z kilkoma przegubami typu obrotowego [31]. Jednake w tym algorytmie nie uwzgldnia si istnienia przeszkód i unikania wzajemnych kolizji midzy ogniwami acucha. Przeklestwo wymiarowoci wystpujce w zadaniach planowania ruchu robotów skonio wielu badaczy do rozwijania technik losowych, które cho nie s algorytmami zupenymi, umoliwiaj znalezienie rozwizania w przestrzeniach wielowymiarowych. Szczególnie intensywnie s rozwijane metody planowania cieek ogólnie nazywane metodami probabilistycznych map dróg (ang. Probabilistic Roadmap Methods) [9, 17, 19] oraz algorytmy RRT (ang. Rapidly-exploring Randomized Trees) [21]. W obu podejciach planowanie skada si z dwóch faz. Faza pierwsza polega na utworzeniu nieskierowanego grafu (mapy) dróg w swobodnej przestrzeni konfiguracyjnej. Wzami grafu s losowo wygenerowane konfiguracje, a krawdziami lokalne cieki czce wzy. Nastpnie w drugiej fazie, zwanej faz zapyta, utworzony graf jest przeszukiwany w celu znalezienia cieki czcej zadan konfiguracj pocztkow z konfiguracj docelow [19, 23]. Kluczowymi czynnikami decydujcymi o efektywnoci realizacji konkretnego algorytmu s sposoby generowania punktów (konfiguracji) w przestrzeni swobodnej oraz sprawdzania kolizji. Pocztkowo opracowano algorytmy PRM i RRT tylko dla manipulatorów o otwartych acuchach kinematycznych, wkrótce jednak podjto próby ich adaptacji dla manipulatorów z ptlami kinematycznymi (manipulatorów równolegych [9, 27, 40], kilku manipulatorów przenoszcych wspólnie obiekt [17]). Szczególnie trudnym problemem jest losowe generowanie konfiguracji speniajcych wizy wynikajce z warunku zamknicia ptli.
Do planowania skoordynowanych torów ruchu robotów mona zaproponowa, przedstawione w niniejszym referacie, podejcie polegajce na spenieniu ogranicze i bazujce na kinematyce systemu robotycznego o strukturze ptli kinematycznej. Problem poszukiwania dopuszczalnego toru jest formuowany w postaci zadania wariacyjnego z ustalonymi warunkami kocowymi, polegajcego na poszukiwaniu minimum warunkowego pewnego funkcjonau, przy czym na funkcje ze zbioru na którym okrelony jest funkcjona s naoone warunki zwane wizami. Przy formuowaniu tego zadania istotnym zaoeniem jest osigalno konfiguracji pocztkowej i kocowej (ustalone koce krzywej dopuszczalnej). Do rozwizania tego zadania wykorzystano zmodyfikowan metod Ritza, jedn z tzw. metod bezporednich rachunku wariacyjnego [10, 16]. Podstawow ide metod bezporednich jest
to, e zadanie wariacyjne rozpatruje si jako graniczny przypadek zadania na ekstremum funkcji o skoczonej liczbie zmiennych.
Istotn zalet tego podejcia jest stosowalno zarówno dla ukadów z niedomiarem stopni swobody, a take dla ukadów redundantnych. Podstawowym problemem przy planowaniu ruchu dla systemów z niedomiarem stopni swobody jest znalezienie dopuszczalnego toru ruchu, czcego konfiguracj pocztkow z zadan konfiguracj kocow. W przypadku ukadów redundantnych, tzn. z nadmiarem stopni swobody, mamy do czynienia niejako z problemem odwrotnym do poprzedniego, polegajcym mianowicie na wyborze, sporód wielu moliwych, toru speniajcego ograniczenia i minimalizujcego dany wskanik jakoci. Pewnym ograniczeniem stosowalnoci podejcia wariacyjnego jest dua zoono obliczeniowa, std konieczno stosowania efektywnych algorytmów rozwizywania zada optymalizacji nieliniowej.
Wród metod numerycznych sucych do efektywnego rozwizywania zada optymalizacji nieliniowej duej skali najbardziej rozpowszechnione s obecnie algorytmy sekwencyjnego programowania kwadratowego (SQP) oraz metody punktu wewntrznego dla zada nieliniowych (NLP). Pod wzgldem efektywnoci obliczeniowej i odpornoci metody punktu wewntrznego lepiej ni metody SQP nadaj si do optymalizacji duych zada NLP. W publikacjach z dziedziny optymalizacji nieliniowej mona spotka wiele artykuów porównujcych wydajno numeryczn solwerów opartych na metodach SQP i metodach punktu wewntrznego dla zada nieliniowych przy uyciu metodologii profilów efektywnoci [11]. Warto tu wymieni prace [2, 25] porównujce solwery SNOPT, filterSQP, LOQO i KNITRO, oraz [34, 37], w których porównano solwer IPOPT z solwerami LOQO i KNITRO. Natomiast w [8, 7] porównano efektywno specjalizowanych solwerów SQP korzystajcych ze struktury zadania i solwera IPOPT dla zada optymalizacji dynamicznej, dla których rozwizanie otrzymujemy w wyniku ich transformacji do zada NLP. W niniejszej pracy do rozwizania zadania planowania ruchu cile wspópracujcych robotów bdzie uywany solwer IPOPT2, oparty na prymalno-dualnej metodzie punktu wewntrznego dla zada nieliniowych [37].
2. OPIS KINEMATYCZNY UKADU WSPÓPRACUJCYCH ROBOTÓW
Sformuujmy ogólny opis mechanizmu M skadajcego si z sztywnych czonów Li
poczonych nieelastycznymi przegubam J , zawierajcego zamknityk acuch kinematyczny. Przestrze robocza W mechanizmu M bdzie pewnym podzbiorem
przestrzeni fizycznej, któr mona utosami z przestrzeni euklidesow , czyli 3 W 3. Domknity i ograniczony podzbiór O 3 oznacza obiekt. Obiekt moe by modelowany na wiele sposobów, np. w postaci zbioru wielocianów wypukych, zbiorów semi-algebraicznych, zbiorów trójktów [22]. Uywajc standardowych metod parametryzacji dla
M [40], moemy wyrazi jego konfiguracj jako wektor q=[q1,!,qn]T. Przy czym,
w ogólnym przypadku, poszczególne zmienne konfiguracyjne mog odpowiada zarówno przegubom aktywnym (napdzanym), jak te biernym (nie napdzanym, np. gdy przedmiot manipulacji nie jest pojedynczym ciaem sztywnym, lecz skada si dwóch lub wicej elementów poczonych przegubami). Zbiór wszystkich punktów q tworzy przestrze konfiguracyjn , zatem M(q) oznacza transformacj M do konfiguracji q . Przestrze
2
konfiguracyjna mechanizmu zawierajcego ptle kinematyczne nie jest gadk rozmaitoci, tak jak to ma miejsce w przypadku swobodnego ciaa sztywnego. Wizy ruchu wynikajce z warunku zamknicia ptli powoduj, e przestrze ta ma skomplikowan struktur, która moe by reprezentowana przez obiekt matematyczny zwany rozmaitoci semi-algebraiczn [31]. Rozmaito ta jest definiowana jako zbiór zer wielomianów. Niezalene ograniczenia konfiguracyjne wynikajce ze spenienia warunku zamknicia ptli maj posta wizów holonomicznych i wyznaczaj rozmaito konfiguracyjn
0}}cl ={q|qf(q)={f1(q)=0,!,fm(q)= (1)
atwo pokaza [22], e jeli wizy holonomiczne mona przeksztaci do postaci wielomianowej, wówczas przestrze moe by przedstawiona jako rozmaito semi-cl algebraiczna. Dopuszczalne konfiguracje M(q) musz spenia take warunki bezkolizyjnoci z przeszkodami w przestrzeni roboczej i unikania kolizji midzy poszczególnymi czonami mechanizmu M . Jeli jako Bi W,i=1,!,nb oznaczymy zbiór przeszkód w przestrzeni roboczej, to przestrze bezkolizyjn (woln) mona zdefiniowa jako
, )} = ) ( ) ( ( | { )} = ) ( ( | { = , ] [1, ¸¸¹ · ¨¨© § ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § q q q q q i j PK j i i b n i f M B L L
*
*
(2)gdzie PK oznacza potencjalne pary kolizyjne [ ji, ] ogniw Li(q) i Lj(q) w danej konfiguracji )(q takie, e i[1,nl1] oraz j[i1,nl].
Zbiór konfiguracji speniajcych wszystkie ograniczenia geometryczne mona przedstawi jako
f cl
v
= (3)
W ogólnym przypadku, , moe skada si z rozcznych podzbiorów (skadowych)v o skomplikowanej strukturze.
Rozwaamy zatem mechanizm M skadajcy si z dwóch manipulatorów z uchwyconym sztywno obiektem bdcym ciaem sztywnym (rys. 1). Niech q=[q1T,qT2]T oznacza wektor wspórzdnych konfiguracyjnych tego mechanizmu. Do opisu systemu, z jego wyrónionymi elementami zwizano ukady wspórzdnych kartezjaskich, tak jak pokazano na rys. 1. S to nastpujce ukady wspórzdnych: F – globalny ukad odniesienia dla caego systemu, w
i b F
– ukad bazowy robota Ri, i=1,2, F – ukad zwizany z obiektem oraz o i e
F – ukad zwizany
z chwytakiem robota R .i
Do opisu przejcia pomidzy poszczególnymi ukadami wspórzdnych wykorzystamy macierze przeksztacenia jednorodnego T (3) o wymiarze (4u ), gdzie 4 (3) oznacza specjaln grup euklidesow ruchów ciaa sztywnego [26]. Pozycje ukadów bazowych robotów
i b
F wzgldem globalnego ukadu odniesienia F s okrelone za pomoc macierzy w
1,2 = , i
T i
wb . Macierze Tbiei(qi),i=1,2, reprezentuj kinematyk prost Ki i -tego acucha
i opisuj pozycj ukadu
i e
F jako funkcj zmiennych konfiguracyjnych qi, za macierz
1,2 = , i
T o i
Rys. 1. Struktura geometryczna ukadu cile wspópracujcych robotów
Warunki zamknicia ptli kinematycznej mona, w rozwaanym przypadku, zapisa w postaci równania macierzowego
, = ) ( ) ( 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1e q eo bb b e q eo 0 b T T T T T (4) gdzie 2 1b b
T jest macierze przeksztacenia jednorodnego opisujc pozycj ukadu bazowego 2
b
F wzgldem ukadu bazowego acucha
1
b F .
Rozmaito zadaniow mona utosamia z zwartym podzbiorem grupy (3). Punkt w przestrzeni zadaniowej mona wyrazi za pomoc minimalnej liczby zmiennych wprowadzajc reprezentacje przestrzeni w postaci ukadów wspórzdnych odpowiednio dla grupy przesuni i grupy obrotów 3 [29]. Dla opisu przesuni zazwyczaj stosuje si(3) wspórzdne kartezjaskie, natomiast reprezentacji grupy obrotów istnieje wiele, m.in. kty Eulera, o-kt, kwaterniony, itd., [26].
3. PLANOWANIE TORU RUCHU
Krzywe geometryczne w przestrzeni konfiguracyjnej bdziemy nazywali torami, za krzywe w przestrzeni zadaniowej ciekami.
Okrelmy zatem podstawowe zadanie planowania toru w przestrzeni konfiguracyjnej C ,v
polegajcej na wyznaczeniu krzywej q(), która realizuje odpowiednio gadk ciek (krzyw) w przestrzeni zadaniowej. Dla danej konfiguracji pocztkowej qpCv i kocowej
v f C
q naley znale cigy i dostatecznie gadki tor q(s):[0,1]oCv taki, e q(0)=qp i q(1)=qf. Parametr s moe by interpretowany jako znormalizowana dugo krzywej zakrelanej przez wybrany punkt, np. pocztek ukadu F . Warunkiem koniecznym istnienia o
rozwizania tego zadania, jest przynaleno obu konfiguracji qp i qf do jednej skadowej spójnej przestrzeni C [31]. v
Zadanie poszukiwania torów ruchu w przestrzeni C jest, w ogólnym przypadku, bardzo v
zoonym problemem obliczeniowym. Struktura tej przestrzeni ju dla zamknitych acuchów o kilku stopniach swobody jest bardzo skomplikowana. Chocia, w teorii, istniej ogólne algorytmy zupene planowania torów na rozmaitociach semi-algebraicznych [31], to ze wzgldu na stopie ich zoonoci nie zostay one w peni zaimplementowane dla rzeczywistych systemów robotycznych. Dlatego te w celu znalezienia praktycznego rozwizania wykorzystano jedn z metod rachunku wariacyjnego.
3.1. Sformuowanie zadania planowania toru jako problemu wariacyjnego
W podejciu wariacyjnym mona, w ogólnym przypadku, uwzgldni przy planowaniu ruchu dynamik systemu, jednake takie zadanie sprowadza si w istocie do zadania sterowania optymalnego [15]. Rozwizanie kompletnego zadania sterowania optymalnego w rozwaanym przypadku jest bardzo trudne i czasochonne. W wielu przypadkach wystarcza rozwizanie uproszczonego zadania, w którym uwzgldnia si tylko kinematyk systemu robotycznego [28]. W takim przypadku problem planowania mona sprowadzi do zadania na poszukiwanie dopuszczalnych funkcji (krzywych geometrycznych), które minimalizuj dany funkcjona kosztu. Dalej bdziemy rozpatrywali funkcjonay dajce si przedstawi w ogólnej postaci ds s s F s I[ , ]= 1 ( , ( )) 0 q q
³
(5) przy ograniczeniach^
C2([0,1]): (s, )= (s, ) (0)= p, (1)= f`
, Y q h q 0 g q 0 q q q q q d (6)Funkcjona (5) rozpatrujemy nie na wszystkich krzywych speniajcych warunki graniczne
p
q , qf, ale tylko na tych z nich, które le na pewnej (nmh)-wymiarowej rozmaitoci [16], gdzie m jest liczb ogranicze równociowych. Wizy jednostronne h g(s,q)d0 odpowiadaj ograniczeniom zakresów ruchów przegubów i unikania kolizji midzy obiektem i ramionami manipulatorów oraz przeszkodami. Jak atwo zauway, podane ograniczenia zbioru rozwiza dopuszczalnych w istotny sposób wpywaj na charakter rozwizania optymalnego.
W celu sformuowania zadania planowania dopuszczalnego toru ruchu w postaci zadania wariacyjnego naley okreli konkretn posta funkcjonau (5). Niech pd() bdzie zadan ciek obiektu w przestrzeni zadaniowej czc pozycj pocztkow pp i zadan pozycj kocow pf . Zaómy, e cieka pd() zostaa narzucona arbitralnie bez uwzgldniania czy jest ona dopuszczalna (poza warunkami granicznymi, które musi spenia). Dla systemu przedstawionego na rys. 1 problem planowania mona sprowadzi do zadania minimalizacji funkcjonau )]I[q( postaci: , )) ( )) ( ( ( )) ( )) ( ( ( = )] ( [ 1 0 s s W s s ds I q
³
pi qi pd T pi qi pd (7)gdzie 2pi(),i=1
i= okrelaj aktualn ciek dla ukadu zwizanego z obiektem jako funkcji wspórzdnych konfiguracyjnych jednego z manipulatorów (odpowiednio manipulatora 2i=1
i= ). Wektory pi opisuj pozycj obiektu w ukadzie odniesienia Fwjest dobierana stosowanie do postawionego zadania i okrela, które wspórzdne obiektu bd lepiej ,,naday'' za ciek zadan. Ograniczenia równociowe (4) przy przyjtej parametryzacji mona zapisa jako
,6s[0,1] hk(s,q)= p1k(q1(s))p2k(q2(s))=0, k =1,! (8) Klasyczne rozwizanie zadania wariacyjnego (5)–(6) polega na wprowadzeniu wewntrznych
funkcjonaów kary i rozwizaniu (o ile takie rozwizanie istnieje) ukadu równa Eulera-Poissona opisujcym warunki konieczne istnienia ekstremum takiego funkcjonau [16, 15]. W ogólnym przypadku równania Eulera-Poissona s równaniami róniczkowymi i znajdowanie rozwizania zadania wariacyjnego sprowadza si do zagadnienia istnienia i poszukiwania rozwizania tych równa. Zauwamy jednak, e w naszym przypadku rozwaamy pewn szczególn klas funkcjonaów, dla których funkcja podcakowa nie zaley od pochodnych q'k =w /qk ws (równania Eulera-Poissona nie s tutaj równaniami róniczkowymi). Rozwizanie takiego ukadu równa nie zawiera staych dowolnych i dlatego, w ogólnym przypadku, moe nie spenia warunków granicznych q(0)=qp i q(1)=qf .
Do najbardziej ogólnych, a jednoczenie efektywnych obliczeniowo, metod przyblionego rozwizywania zada wariacyjnych z ograniczeniami zalicza si tzw. metody bezporednie. Podstawow ide metod bezporednich jest to, e zadanie wariacyjne rozpatruje si jako graniczny przypadek zadania na ekstremum funkcji o skoczonej liczbie zmiennych. W niniejszej pracy wykorzystano jedn z takich metod zwan metod Ritza [16].
3.2 Aproksymacja skoczenie-wymiarowa zadania wariacyjnego
Idea proponowanego podejcia polega na poszukiwaniu rozwiza zadania wariacyjnego nie na wszystkich dopuszczalnych3 krzywych q lecz tylko wród N1 pierwszych funkcji z cigu
^ `
f 0 = j j M , dim = dim ), ( = ) ( 0 = j j j N j c q c q ¦
M (9)gdzie cj jest wektorem staych wspóczynników, za funkcje q() le w zbiorze okrelonoci danego funkcjonau. Cig funkcji bazowych Mj nie moe by wybrany w sposób dowolny. Wybór konkretnej bazy jest uwarunkowany wymaganym charakterem rozwizania. Dokadno aproksymacji zaley od wymiaru N podprzestrzeni YN i od postaci funkcji Y
bazowych Mj.
Zakadamy, e funkcje Mj s klasy C i cig jest zupeny w sensie normy przestrzeni 2 Y .N
Niech ' oznacza podzia przedziauN [0,1] 1 na N równych podprzedziaów
N s s
s= j 1 j = 1
' dla sj, j=0,1,!,N1, gdzie s s takimi wartociami, ej
1 = < < < =
0 s0 s1 ! sN . W rozwaanym przypadku jako funkcje bazowe Mj wybrano B-funkcje sklejane, które mona zdefiniowa rekurencyjnie jako [4]:
3
Dopuszczalno oznacza tutaj tylko, e funkcje nale do dziedziny funkcjonau, ale nie musz spenia ogranicze.
Staa B-funkcja sklejana w j -tym podprzedziale jest dana w postaci:
>
@
¯ ® s s s s s bj j j pozostao 0 , 1 = ) ( 1 ,0 (10)B-funkcja sklejana stopnia m w przedziale
>
sj,sjm1@
jest zdefiniowana jako ) ( ) ( = ) ( 1, 1 1 1 1 1 , , b s s s s s s b s s s s s b j m j m j m j m j j m j j m j (11) Oznaczmy jako B przestrze B-funkcji sklejanych skadajcych si z wielomianów 2trzeciego stopnia okrelonych zgodnie z powysz definicj. Istotn cech B-funkcji sklejanych jest moliwo lokalnej modyfikacji krzywej.
Problem poszukiwania dopuszczalnego toru ruchu dla zespou robotów moe by sprowadzony do zadania znalezienia minimum funkcji (N 3)un zmiennych. Bez utraty ogólnoci mona przyj macierz wagow w postaci W =diag(w1,!,w6). Funkcjona (7) mona wyrazi jako funkcj c=
>
cT1,cT2@
T ( ni (N 3),i=1,2i u c ), wspóczynników rozwinicia ) ( q w bazie funkcyjnej
^ `
1 1 = N j j M ds s p s p w i i kd j j i k k k j s j s N j 2 1 2 1 = 1 6 1 = 1 1 0 = )) ( )) ( ( ( min¦
³
¦
¦
M c c (12) Poszukujemy zatem minimum funkcji (12) wzgldem c, przy ograniczeniach^
s s j N`
YN = n (N 3): ( j, )=0 ( j, )d0, =0,!, u c g c h c c (13)Tak otrzymane zadanie programowania nieliniowego moe by rozwizywane numerycznie za pomoc odpowiednich algorytmów optymalizacji nieliniowej z ograniczeniami, w szczególnoci za pomoc solwerów bazujcych na metodzie punktu wewntrznego dla zada nieliniowych.
4. METODY PUNKTU WEWNTRZNEGO DLA ZADA PROGRAMOWANIA NIELINIOWEGO
Metody punktu wewntrznego dla zada programowania nieliniowego (NLP), nazywane te metodami barierowymi, powstay z potrzeby efektywnego rozwizywania duych zada optymalizacji. W szczególnoci dla zada NLP z du liczb ogranicze nierównociowych, metody te stanowi powan alternatyw wobec strategii zbiorów aktywnych. W cigu ostatnich 15 lat doprowadzono do lepszego zrozumienia zbienoci metod punktu wewntrznego oraz rozwinito dla nich efektywne algorytmy obliczeniowe charakteryzujce si podan zbienoci globaln i lokaln.
Termin metoda punktu wewntrznego zosta po raz pierwszy uyty przez Fiacco i McCormicka w 1968 roku w ksice [12], do nazwania dowolnego algorytmu, który suy do wyznaczenia minimum lokalnego zadania NLP za pomoc rozwizania okrelonej sekwencji zada minimalizacji bez ogranicze. Definicja taka ewoluowaa do postaci, w której za metod IP ( ang. Interior-Point ) uwaamy dowolny algorytm rozwizujcy zestaw zada optymalizacji stowarzyszony ze zmniejszaniem wartoci mnonika P, którego celem jest znalezienie lokalnych rozwiza lecych we wntrzu obszaru dopuszczalnego wyznaczonego przez ograniczenia nierównociowe zadania NLP.
Celem zapewniania zbienoci z ,,niedobrych'' punktów pocztkowych, dla metod punktu wewntrznego, zarówno w wersji z uyciem obszaru zaufania, jak i minimalizacj kierunkow, opracowano technik funkcji oceny, bazujc na dokadnej funkcji kary i gwarantujc zbieno do rozwizania [5, 30]. Z drugiej strony, Fletcher i Leyffer [14] zaproponowali ostatnio metody z filtrem, jako alternatyw wobec funkcji oceny, gwarantujc globaln zbieno dla algorytmów programowania nieliniowego. Opieraj si one na pomyle akceptacji punktów generowanych przez algorytm optymalizacji w przypadku, gdy poprawiaj one warto funkcji celu lub poprawiaj warto przekroczenia ogranicze, zamiast kombinacji obu tych miar, zdefiniowanej przez funkcj oceny.
Ostatnio, koncepcj filtra zaadaptowano do metod barierowych. W artykule [32] autorzy rozwaaj metod obszaru zaufania z filtrem, w której akceptuje si kolejne iteracje rozwizania na podstawie normy warunków optymalnoci. Z kolei w pracy [3] zaproponowano szereg heurystyk korzystajcych z koncepcji metod z filtrem, dla których uzyskano popraw efektywnoci w porównaniu do metody z funkcj oceny. Ostatecznie, w artykule [36] przedstawiono analiz zbienoci globalnej dla algorytmu punktu wewntrznego z metod minimalizacji kierunkowej opartej na technice filtra.
Metody punktu wewntrznego dla zada NLP doczekay si implementacji w wielu solwerach optymalizacyjnych, takich jak LOQO [33], KNITRO [6, 38], czy IPOPT [34, 37]. W testach numerycznych solwery te okazay si efektywne i odporne dla wielu duych zada NLP. 4.1. Solwer IPOPT
W rozdziale tym zostanie opisany prymalno-dualny algorytm punktu wewntrznego z metod minimalizacji w kierunku opart na technice filtra, uyty do implementacji solwera IPOPT. Jego twórcy przyjli nastpujce sformuowanie wyjciowego zadania NLP:
^
( )| ( )=0, 0`
min (P) t y y h y J y m y (14)Zaoono, e funkcja celu J : 6my i ograniczenie równociowe h: 6my mh
(m <h my) maj cige drugie pochodne. Zadania z ograniczeniami nierównociowymi typu
0 ) (y t
g mog zosta przeformuowane do powyszej postaci przez wprowadzenie zmiennych pomocniczych, tj. g(y)s=0,st0.
Algorytm barierowy w solwerze IPOPT bazuje na zastpieniu ogranicze kostkowych na zmienne 0yt dodatkowym skadnikiem funkcji celu barier logarytmiczn:
, 0 = ) ( | ) ( ln ) ( = ) ( min ) (P 1 = µ °¿ ° ¾ ½ °¯ ° ®
¦
y h y y J y J j y m j y m y P P (15)gdzie 0P > parametr barierowy, a y oznacza j -ty element wektora y . Poniewa funkcja j
celu dla zadania (P ) staje si dowolnie dua, gdy P y osiga jedno ze swoich ogranicze,j
zatem rozwizanie lokalne y(P) tego zadania znajduje si we wntrzu zbioru wyznaczonego przez ograniczenia y(P)>0. Stopie wpywu bariery jest okrelony przez wielko parametru P, i przy pewnych zaoeniach, gdy Po0, rozwizanie y(P) jest zbiene do rozwizania lokalnego y zadania wyjciowego (P). W rezultacie algorytm poszukiwania rozwizania wyjciowego zadania (P) opiera si na rozwizaniu sekwencji zada barierowych
(P ), dla zmniejszajcych si wartoci parametru P {Pl}o0, gdzie l jest licznikiem kolejnych podproblemów barierowych.
Algorytm punktu wewntrznego solwera IPOPT znajduje rozwizanie prymalno-dualnych warunków stacjonarnoci dla zadania (P ), sformuowanych w postaci nastpujcego ukadu P równa nieliniowych:
0,yJ(y)yh(y)Oz= (16)
0,h( y)= (17)
0,YZPey = (18)
gdzie Y i Z to macierze diagonalne o elementach odpowiednio y i z , e jest wektorem y
jednostkowym o dugoci m ,y O mh to wektor mnoników Lagrange'a dla ogranicze
równociowych, a z my to wektor mnoników Lagrange'a dla ogranicze kostkowych w granicy przy Po0. Zwrómy uwag, e ukad równa (16)–(18) dla P=0 z dodatkowym warunkiem y,zt0 daje warunki optymalnoci KKT dla pierwotnego zadania (P).
Do rozwizania ukadu równa (16)–(18) dla ustalonej wartoci parametru P uywamy iteracyjnej metody Newtona, polegajcej na rozwizaniu liniowego ukadu równa:
, ) ( ) ( ) ( = 0 0 0 ) ( ) ( ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § ¸ ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ ¨ © § » » » ¼ º « « « ¬ ª y k k k k k k y k y z k k y k k k T k y k y k e Z Y y h z y h y J d d d Y Z y h I y h W P O O (19)
gdzie W oznacza dokadny hesjan funkcji Lagrange'a dla zadania wyjciowego (P):k
) ( ) ( = 1 = k i yy i k h m i k yy k J y h y W
¦
O (20)lub te jego aproksymacj; funkcja Lagrange'a ma posta:
. ) ( ) ( := ) , , (y z J y h y z L O TO (21)
Indeks k oznacza tu licznik wewntrznych iteracji dla metody Newtona, wektor (yk,Ok,zk) jest aktualn iteracj rozwizania i mnoników Lagrange'a speniajc warunek yk,zk >0, za )(dky,dkO,dkz to szukane rozwizanie nowy kierunek poszukiwa.
W solwerze IPOPT zamiast rozwizywa bezporednio niesymetryczny ukad równa (19) szuka si równowanego rozwizania najpierw rozwizujc symetryczny ukad równa o mniejszym rozmiarze: , ) ( ) ( = 0 ) ( ) ( ¸¸¹ · ¨¨© § ¸¸¹ · ¨¨© § » ¼ º « ¬ ª 6 k k y k y k T k y k y k k y h y J d y h y h W P O (22)
gdzie 6k:=Yk1Zk. Równania dla ukadu (22) wyprowadza si z równa ukadu (19) przez eliminacj ostatniego wiersza blokowego. Nastpnie wyznacza si kierunek d z równania: kO
k k k
oraz kierunek d z równania:kz . = 1 y k k k y k z k Y e z d d P 6 (24)
Po obliczeniu kierunków poszukiwa z zalenoci (22)–(24), now iteracj wektora zmiennych wyznaczamy nastpujco:
),(yk1,Ok1,zk1):=(yk,Ok,zk)(Dkdky,DkdkO,Dkzdkz (25) gdzie (0,1], z
k
D
D to dugoci kroków, przy czym jak wida dla zmiennych z przewidziano osobn dugo kroku.
Poniewa wiadomo, e w punkcie optymalnym problemu barierowego (P ) zmienne y i zP musz by dodatnie, solwer IPOPT stara si zachowa t waciwo dla wszystkich iteracji w rezultacie stosowana jest nastpujca regua doboru dugoci kroku:
}, ) (1 : (0,1] { max := k ky k k D y Dd W y D t (26) }, ) (1 : (0,1] { max := k kz k z k D z Dd W z D t (27)
dla parametru W(0,1), zwykle bliskiemu 1 (np. W =0.995). Dla zmiennych z dugo kroku wybieramy jako Dkz:=Dkz, za dugo kroku Dk(0,Dk] dla pozostaych zmiennych jest wyznaczana w wyniku zastosowania procedury minimalizacji kierunkowej z powrotami, wykorzystujcej malejcy cig próbnych dugoci kroków, Dk,l =2lDk, l=0,1,2,! uywany jest tu wariant metody z filtrem typu Fletchera i Leyffer'a [14], co zapewnia globaln zbieno algorytmu punktu wewntrznego w kierunku rozwizania (P ). P
Metody minimalizacji z filtrem opieraj si na pomyle optymalizacji dwukryterialnej, w której oprócz minimalizacji funkcji barierowej JP( y), chcemy minimalizowa funkcj przekroczenia ogranicze T(y):=& )h(y&, tak aby zapewni zbieno do punktu dopuszczalnego. Na rysunku 2 przedstawiono rzut przestrzeni na pópaszczyznmy
)) ( ), (
(T y JP y . Kady punkt z pierwotnej przestrzeni zmiennych decyzyjnych, taki jak rozwizanie optymalne y lub aktualna iteracja y , ma swój odpowiednik na tym rysunku, k
np. ))(T(yk),JP(yk . Decyzja o przyjciu punktu testowego yk Dk,ldky jako nastpnej iteracji rozwizania yk1 zaley od tego, czy gwarantuje on wystarczajc popraw wartoci jednej z miar: T lub J , w porównaniu do ich wartoci w punkcie P y . Na przykadzie z rysunku 2, k
punkt testowy ''1'' nie zosta zaakceptowany, gdy pogarsza on wartoci obydwu miar. Take punkt ''2'' powinien zosta odrzucony, gdy nie zmniejsza on wystarczajcym stopniu wartoci miary przekroczenia ogranicze (na rysunku wystarczajce wartoci poprawy wartoci miar wyznaczone s przez linie przerywane, których punkt przecicia ley blisko punktu ))(T(yk),JP(yk ). Punkt testowy ''3'' powinien zosta przyjty.
Do tej stosunkowo prostej procedury wyboru nastpnej iteracji rozwizania w solwerze IPOPT dodano nastpujce zabezpieczenia:
x W przypadku, gdy bieca iteracja rozwizania spenia (prawie) ograniczenia, lecz nie jest w wystarczajcym stopniu ,,optymalna'', opisany powyej warunek odpowiedniego zmniejszenia si jednej z miar dla y , jest zastpowany warunkiem k
x Aby zapobiega tworzeniu si cykli, pary (T,JP) odpowiadajce poprzednim iteracj i tworzce swego rodzaju kopert (w naszym przykadzie s to iteracje
1 l y i 2 l y ) s
dodawane do filtra; punkt testowy jest przyjmowany tylko w przypadku jeli gwarantuje on wystarczajc popraw wartoci jednej z miar w stosunku do wszystkich tych punktów. W naszym przykadzie, punkt testowy ''4'' zostanie odrzucony, gdy nie daj on wystarczajcej poprawy wartoci adnej obydwu z miar T i J w stosunku do punktu P y .l2
x Moe si zdarzy, e nie ma takiej wartoci dugoci kroku Dk ,l, która dawaaby
akceptowalny punkt testowy. Po wykryciu takiej sytuacji, algorytm przecza si na faz przywrócenia dopuszczalnoci, której celem jest wycznie minimalizacja miary niespenienia ogranicze (przy pominiciu minimalizacji pierwotnej funkcji celu), tak dugo dopóki nie zostanie znaleziona nowa dopuszczalna iteracja rozwizania, lub nie mona ju duej redukowa miary niespenienia ogranicze, np. w przypadku, gdy zadanie (P ) jest (lokalnie) sprzeczne.
Rys. 2. Metoda minimalizacji w kierunku z filtrem
Formalny opis i analiz procedury minimalizacji kierunkowej z filtrem zaimplementowanej w solwerze IPOPT mona znale w [36]. Metoda z filtrem w porównaniu do tradycyjnych algorytmów minimalizacji kierunkowej, takich jak metoda pojedynczej funkcji oceny, jest zazwyczaj mniej konserwatywna i pozwalana na wiksze dugoci kroków (na rysunku 2 dla metody dokadnej funkcji kary iteracje musiayby lee pod kropkowan prost). Ponadto zabezpieczenie w postaci fazy przywracania dopuszczalnoci czyni algorytm z filtrem odpornym na bdy, takie jak opisane w [35].
Najbardziej pracochonn obliczeniowo cz solwera IPOPT (oprócz obliczania wartoci funkcji celu i ogranicze oraz ich pochodnych) stanowi rozwizanie ukadu równa liniowych (22) najczciej duego rozmiaru, a dla zada optymalizacji dynamicznej bardzo rzadkiego. Do jego faktoryzacji i rozwizania w solwerze IPOPT uywa si zewntrznych solwerów dla rzadkich ukadów równa liniowych, takich jak MA27, MA57, WSMP, PARDISO i MUMPS.
5. PRZYKAD NUMERYCZNY
W celu weryfikacji przydatnoci proponowanego algorytmu planowania dopuszczalnych cieek rozpatrzymy zadanie polegajce na przeniesieniu sztywnej belki wspólnie przez dwa manipulatory robotów IRp-6, kady o piciu stopniach swobody. Parametry manipulatora IRp-6 w notacji Denavita-Hartenberga oraz zakresy dla poszczególnych wspórzdnych zawiera tabela 1. Kinematyk prost i -tego manipulatora przedstawia równanie (28).
Przegub i Di1 [rad] ai1 [m] d [m] i [Timin,Timax][rad]
1 0 0 0.7 ] 18 17 ; 18 17 [ S S 2 S/2 0 0 ] 18 5 ; 18 13 [ S S 3 0 0.45 0 ] 18 4 ; 180 25 [ S S 4 0 0.67 0 /2][S/2;S 5 S/2 0 0 [S;S] 6 0.1
Tabela 1. Parametry kinematyczne i zakresy ruchu ogniw manipulatora robota IRp-6
, 1 0 0 0 ) ( ) ( = 2 2 3 3 4 6 1 4 5 4 5 4 2 2 3 3 4 6 1 4 1 5 1 5 4 1 5 1 5 4 1 2 2 3 3 4 6 1 4 1 5 1 5 4 1 5 1 5 4 1 » » » » ¼ º « « « « ¬ ª i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i s a s a s d d s s c c c c a c a c d s c s c c s s s s c c s s c a c a c d c c c c s s s c s s c s c K (28)
gdzie )sij =sin(Tij oraz cij =cos(Tij),i=1,2, j=1,!,5. Kty Tij to zmienne wewntrzne opisujce pooenie poszczególnych ogniw dwóch manipulatorów robotów IRp-6. Przyjto, e globalny ukad odniesienia F pokrywa si z ukadem bazowym w
1
b
F , za pozycja
ukadu bazowego drugiego robota jest wyraona macierz
» » » » ¼ º « « « « ¬ ª 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 = 0 2 l Twb ,
gdzie ]l0 =1.8[m . Pozycje ukadu zwizanego z obiektem F wzgldem ukadów zwizanycho
z chwytakami robotów
i e
F s okrelone za pomoc macierzy
, 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 = , 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 = 2 2 1 1 » » » » ¼ º « « « « ¬ ª » » » » ¼ º « « « « ¬ ª l T l Teo e o
gdzie l1 =l2 =0.2[m] odlegoci midzy pocztkiem ukadu F a pocztkami ukadówo odpowiednio 1 e F oraz 2 e
F . cieka zadana pd() dla obiektu (ukad F ) opisana w o
ukadzie F ma posta linii prostej (liniowa zmiana wspórzdnych pooenia i o
orientacji przy wybranej parametryzacji)
1]pd(s)=pd(0)s(pd(1)pd(0)), s[0,
Zakadamy, e zadana pozycja pocztkowa obiektu pd(0)=[0.9, 0, 0.9, 0, 0, 0]T i odpowiadajca jej konfiguracja pocztkowa obu manipulatorów
T p 0.0] 0.0, 0.3815, 1.6193, 0.0, 0.0, /2, 0.2221, 1.4674, [0.0, = S q
jest dopuszczalna. Podobnie pozycja kocowa pd(1)=[0.95, 0.3,1.0, 0.3059, S/2, 0]T oraz odpowiadajca jej konfiguracja kocowa manipulatorów
T f 0.6451] /2, 0.3766, 0.9039, 0.3393, 0.0, 0.0, 0.3903, 0.9087, [0.3059, = S q s dopuszczalne.
Rozpatrywane zadanie optymalizacji nieliniowej dla systemu dwóch wspópracujcych robotów zaimplementowano w jzyku C++ z uyciem mechanizmu klas i ich dziedziczenia, przy czym do obsugi operacji wektorowo-macierzowych uyto biblioteki uBLAS w szczególnoci zaimplementowano klasy do obsugi wektorów i macierzy o staym rozmiarze oraz klas do obsugi macierzy przeksztacenia jednorodnego opart na implementacji dostpnej w systemie MRROC++ [42] (zawiera ona m.in. metody do konwersji macierzy jednorodnych na wspórzdne kartezjaskie XYZ oraz kty Eulera Z-Y-Z lub Z-Y-X). Do rozwizania wynikowego zadania NLP uyto solwera IPOPT korzystajcego z drugich pochodnych funkcji celu i ogranicze, co znaczco wpywa na szybko zbienoci do rozwizania lokalnego. Solwer IPOPT skonfigurowano do uywania solwera macierzowego MUMPS, ponadto zmieniono standardowe ustawienia kilku parametrów solwera majce decydujcy wpyw na szybko zbienoci. Jako punkt startowy dla solwera IPOPT uyto wartoci wspóczynników c otrzymanych w wyniku rozwizania pomocniczego ukadu równa liniowych dla uprzednio wyznaczonej dopuszczalnej cieki pocztkowej. Jej wyznaczenie polega ma iteracyjnym poszukiwaniu kolejnych jej punktów rozwizujc zadanie optymalizacji dla pojedynczego punktu, a nie dla caej cieki. Oczywicie nie ma gwarancji, e otrzymany cig punktów da cig ciek pocztkow, ale jest to zbiór punktów dopuszczalnych. Aby unikn wyznaczania i wprowadzania skomplikowanych wzorów analitycznych na pierwsze i drugie pochodne funkcji, skorzystano z biblioteki automatycznego róniczkowania CppAD4 [1], która w najnowszych wersjach posiada moliwo wspópracy z solwerem IPOPT. W rozwaanym przykadzie obliczeniowym wykorzystano jako funkcje bazowe B-funkcje sklejane trzeciego stopnia. Przedzia [0,;1] zosta podzielony na N =50 równych podprzedziaów o dugoci 's=0.02. Poniewa punkty pocztkowe i kocowe trajektorii robotów s ustalone naley wyznaczy dla nich wartoci wspóczynników ci,1, c ,i,0 c ,i,1 ci,N1, ci,N, ci,N1, które to z kolei naley traktowa podczas optymalizacji jako zmienne ustalone (ang. fixed ).
4
Rys. 4. Trajektorie pooenia i orientacji obiektu we wspórzdnych zewntrznych
Uzyskane wyniki optymalizacji przedstawiono na rys. (3)–(4). Jak wida, obliczone trajektorie ruchu we wspórzdnych wewntrznych obu robotów s ze sob cile skoordynowane i jeli zostan dokadnie zrealizowane to w rezultacie belka bdzie przeniesiona wspólnie przez dwa roboty. Dziki aproksymacji funkcjami sklejanymi z wielomianów trzeciego stopnia obliczone trajektorie dla ogniw s dostatecznie gadkie. Trajektorie dla obiektu pokazane na rys. (4) otrzymano rozwizujc proste zadanie kinematyki dla obliczonych wartoci q1. Na wykresach przedstawiono przebiegi wspórzdnych kartezjaskich XYZ oraz któw Eulera Z-Y-Z (odpowiednio ) , 4 i < ) dla punktu bdcego pocztkiem ukadu F zwizanego z obiektem. Lini kropkowano
przedstawiono trajektori zadan (niekoniecznie realizowaln) obiektu, za lini cig przebiegi obliczone. Dokadno spenienia wizów ruchu, wynikajca ze spenienia ogranicze równociowych w zadaniu optymalizacji nieliniowej, dla rozpatrywanego przypadku jest rzdu1e12, co w zestawieniu z powtarzalnoci pozycjonowania dla robota IRp-6 wynoszc r0.2 mm, czyni obliczone trajektorie ruchu praktycznie stosowalnymi w ukadzie sterowania systemem dwurobotowym.
6. PODSUMOWANIE
W pracy omówiono algorytm obliczania cile dopuszczalnych torów ruchu dla cile wspópracujcych robotów. Proponowane podejcie moe by stosowane dla mechanizmów o dowolnej liczbie stopni swobody i dowolnej liczbie ptli kinematycznych. Nie jest wymagane rozwizywanie odwrotnego zadania kinematyki dla zoonych mechanizmów zawierajcych zamknite acuchy w algorytmie jest wykorzystywane tylko proste zadanie kinematyki manipulatora. Obliczone cieki s dopuszczalne i dostatecznie gadkie. Klasyczne algorytmy programowania nieliniowego umoliwiaj uzyskanie rozwizania sub-optymalnego. Dla wyznaczenia rozwizania optymalnego konieczne jest zastosowanie metod optymalizacji globalnej.
LITERATURA
[1] B. M. Bell, J. V. Burke. Algorithmic Differentiation of Implicit Functions and Optimal Values. In Ch. H. Bischof, H. M. Bücker, P. D. Hovland, U. Naumann, J. Utke, editors, Advances in Automatic Differentiation, str. 67–77. Springer, 2008.
[2] H. Y. Benson, D. F. Shanno, R. J. Vanderbei. A Comparative Study of Large-Scale Nonlinear Optimization Algorithms. Raport instytutowy ORFE-01-04, Operations Research and Financial Engineering, Princeton University, 2002.
[3] H. Y. Benson, D. F. Shanno, R. J. Vanderbei. Interior-Point Methods for Nonconvex Nonlinear Programming: Filter Methods and Merit Functions. Raport instytutowy ORFE-00-06, Operations Research and Financial Engineering, Princeton University, 2001.
[4] C. de Boor. Practical guide to splines. Springer, New York, Heidelberg, 1978.
[5] R. H. Byrd, J. Ch. Gilbert, J. Nocedal. A Trust Region Method Based on Interior Point Techniques for Nonlinear Programming. Mathematical Programming, 89:149– 185, 2000.
[6] R. H. Byrd, M. E. Hribar, J. Nocedal. An Interior Point Algorithm for Large Scale Nonlinear Programming. SIAM Journal on Optimization, 9(4):877–900, 1999.
[7] J. Baszczyk, A. Karbowski, K. Malinowski. Object Library of Algorithms for Dynamic Optimization Problems; Benchmarking SQP and Nonlinear Interior Point Methods. International Journal of Applied Mathematics and Computer Science, 17(4):515–537, 2007.
[8] J. P. Baszczyk. Obiektowa biblioteka algorytmów optymalizacji dynamicznej; badanie efektywnoci metod sekwencyjnego programowania kwadratowego i punktu wewntrznego dla zada nieliniowych. Praca doktorska, Politechnika Warszawska,
Wydzia Elektroniki i Technik Informacyjnych, Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej, Warszawa, 2007. Rozprawa doktorska w dyscyplinie Automatyka i Robotyka.
[9] J. Cortés, T. Siméon, J.-P. Laumond. A Random Loop Generator for Planning the Motions of Closed Kinematic Chains using PRM Methods. IEEE International
Conference on Robotics and Automation ICRA, str. 2141–2146, 2002. IEEE.
[10] J.W. Daniel. Approximate minimisation of functionals. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1971.
[11] E. D. Dolan, J. J. Moré. Benchmarking Optimization Software with Performance Profiles. Mathematical Programming, 91(2):201–213, 2002.
[12] A. V. Fiacco, G. P. McCormick. Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained
Minimization Techniques. John Wiley and Sons, New York/London, 1968.
[13] A. Fiser, R.K. Do, A. Sali. Modeling of loops in protein structure. Protein Science, 9(9):1753–1773, 2000.
[14] R. Fletcher, S. Leyffer. Nonlinear Programming without a Penalty Function.
Mathematical Programming, 91(2):239–269, 2002.
[15] M. Galicki. Wybrane metody planowania optymlanych trajektorii robotów
manipulacyjnych. WNT, 2000.
[16] I. M. Gelfand, S.W. Fomin. Rachunek wariacyjny. PWN, Warszawa, 1979.
[17] L. Han, N. Amato. A kinematics-based probabilistic roadmap method for closed chain systems. Workshop on Algoritmic Foundations of Robotics, str. 233–245, 2000.
[18] M. Kallmann, A. Aubel, T. Abaci, D. Thalmann. Planning collision-free reaching motions for interactive object manipulation and grasping. Eurographics, 22:313–322, 2003.
[19] L. E. Kavraki, P. Svestka, J.-C. Latombe, M. H. Overmars. Probabilistic roadmaps for path planning in high-dimensional configuration spaces. IEEE Transactions on
Robotics and Automation, 12(4):566–580, 1996.
[20] K. Kozowski, P. Dutkiewicz, W. Wróblewski. Modelowanie i sterowanie robotów. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2003.
[21] J. J. Kuffner, S. M. LaValle. RRT-Connect: An efficient approach to single-query path planning. IEEE International Conference on Robotics and Automation, str. 995–1001, 2000.
[22] J.-C. Latombe. Robot motion planning. Kluwer, Boston, MA, 1991.
[23] S. M. LaValle. Planning Algorithms. Cambridge University Press, Cambridge, U.K., 2006.
[24] J.P. Merlet. Parallel Robots. Kluwer, Dordrecht, 2000.
[25] J. L. Morales, J. Nocedal, R. A. Waltz, G. Liu, J.-P. Goux. Assessing the Potential of Interior Methods for Nonlinear Optimization. Raport instytytowy OTC 2001/4, Optimization Technology Center of Northwestern University, 2001.
[26] R. M. Murray, Z. Li, S. S. Sastry. A Mathematical Introduction to Robotic
Manipulation. CRC Press, 1994.
[27] T. Siméon, J. -P. Laumond, J. Cortés, A. Sahbani. Manipulation planning with probabilistic roadmaps. The International Journal of Robotics Research, 23(7-8):729– 746, 2004.
[28] W. Szynkiewicz. Motion Planning for Multi-Robot Systems with Closed Kinematic Chains. 9th IEEE Int. Conf. on Methods and Models in Automation and Robotics, str. 779–786, Midzyzdroje, 2003.
[29] K. Tcho, I. Dulba, A. Mazur, R. Hossa, R. Muszyski. Manipulatory i roboty
mobilne. Modele, planowanie ruchu, sterowanie. Akademicka Oficyna Wydawnicza
[30] A. L. Tits, A. Wächter, S. Bakhtiari, T. J. Urban, C. T. Lawrence. A Primal-Dual Interior-Point Method for Nonlinear Programming with Strong Global and Local Convergence Properties. Raport instytutowy TR 2002-29, Institute for Systems Research, University of Maryland, 2002.
[31] J. C. Trinkle, R. J. Milgram. Complete path planning for closed kinematic chains with spherical joints. International Journal of Robotics Research, 21(9):773–789, 2002. [32] M. Ulbrich, S. Ulbrich, L. N. Vicente. A Globally Convergent Primal-Dual
Interior-Point Filter Method for Nonlinear Programming. Mathematical Programming, 100(2):379–410, 2004.
[33] R. J. Vanderbei, D. F. Shanno. An Interior-Point Algorithm for Non-convex Nonlinear Programming. Raport instytutowy SOR-97-21, Statistics and Operations Research, Princeton University, 1997.
[34] A. Wächter. An Interior Point Algorithm for Large-Scale Nonlinear Optimization with
Applications in Process Engineering. Ph. D. Dissertation, Department of Chemical
Engineering, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, PA, USA, 2002.
[35] A. Wächter, L. T. Biegler. Failure of Global Convergence for a Class of Interior Point Methods for Nonlinear Programming. Mathematical Programming, 88(3): 565–574, 2000.
[36] A. Wächter, L. T. Biegler. Line Search Filter Methods for Nonlinear Programming: Motivation and Global Convergence. SIAM Journal on Optimization, 16(1): 1–31, 2005.
[37] A. Wächter, L. T. Biegler. On the Implementation of a Primal-Dual Interior-Point Filter Line-Search Algorithm for Large-Scale Nonlinear Programming. Mathematical
Programming, 106(1):25–57, 2006.
[38] R. A. Waltz, T. Plantenga. KNITRO 5.0 User's Manual. 2006.
[39] W. Wedemeyer, H. Scheraga. Exact analytical loop closure in proteins using polynomial equations. Journal of Computational Chemistry, 20(8):819–844, 1999.
[40] J. H. Yakey, S. M. LaValle, L. E. Kavraki. Randomized path planning for linkages with closed kineamtic chains. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 17(6):951–958, 2001.
[41] T. Zieliska. Maszyny kroczce. PWN, 2003.
[42] C. Zieliski, W. Szynkiewicz, T. Winiarski, T. Kornuta. MRROC++ Based System Description. Raport instytutowy 06-9, IAIS, Warsaw, 2006.
