Grawitacja
Fizyka I (Mechanika)
Wykład VII:
• Prawo powszechnego ci ˛ a˙zenia
• Ruch w polu siły centralnej
• Prawa Kepplera
• Pole odpychaj ˛ ace
Prawo powszechnego ci ˛ a˙zenia
Prawo powszechnego ci ˛ a˙zenia Newtona (1687):
r
m F F M
F = G m M r 2 Opisuje zarówno spadanie jabłka z drzewa jak i ruchy Ksi ˛e˙zyca i planet.
Grawitacja jest opisywana przez jeden parametr, stał ˛ a Newtona: G ≈ 6.67 · 10 −11 Nm kg 2 2
W warunkach laboratoryjnych
potwierdzona przez do´swiadczenie
Cavendisha (1798), w którym zmierzył
oddziaływanie kul ołowianych masach
m = 0.73 kg i M = 158 kg .
Prawo powszechnego ci ˛ a˙zenia
Prawo powszechnego ci ˛ a˙zenia sformułowane zostało dla mas punktowych.
Ale stosuje si ˛e tak˙ze dla ddziaływa ´n ciał sferycznie symetrycznych
F = G m M r 2
r
m F F M
Siła ci ˛ a˙zenia dla ciała przy powierzchni Ziemi:
F = G m M Z
R 2 Z ≡ g · m
⇒ g = G M Z
R 2
Ruch satelity
R
V F R Z
Satelita na orbicie kołowej o promieniu R.
Siła grawitacji
F = G m M Z R 2
jest sił ˛ a do´srodkow ˛ a, konieczn ˛ a do utrzy- mania satelity na orbicie:
G m M Z
R 2 = m V 2 R
⇒ V =
s G M Z R
Pierwsza pr ˛edko´s´c kosmiczna (R = R Z ):
V 1 = 7.91 km/s
pr ˛edko´s´c pozioma konieczna do “oderwa-
nia” od Ziemi (zaniedbuj ˛ ac jej ruch wirowy)
Ruch satelity
R
V F R
ZOkres obiegu dookoła Ziemi:
T = 2πR V
Podstawiaj ˛ ac wyra˙zenie na pr ˛edko´s´c:
T = 2πR
s R
G M Z = 2πR 3/2
√ G M Z Im wy˙zsza orbita tym dłu˙zszy okres obiegu...
Odwracaj ˛ ac t ˛ a zale˙zno´s´c:
R = 3
s G M Z T 2
4π 2 = 3
s
g R 2 Z T 2 4π 2 Dla okresu obiegu równego okresowi obrotu Ziemi (23 h 56 m 4.09 s ):
R = 42 164 km
satelita geosta jonarnyPrawo powszechnego ci ˛ a˙zenia
Siła grawitacji (jak ka˙zda siła centralna) jest zachowawcza:
W AB =
Z B
A
F (~ ~ r) · d~r =
r B Z r A
−F (r) · dr = −∆E p
⇒ ∆E p =
r B Z r A
G M m
r 2 · dr =
− G M m r
r B r A
Energia potencjalna masy m w polu grawitacyjnym masy M : E p (r) = − G M m
r + C
okre´slona z dokladno´sci ˛ a do stałej.
Zwyczajowo przyjmuje si ˛e C = 0, co jest równowa˙zne ustaleniu
E p (∞) = 0
Siła centralna
Rozwa˙zmy przypadek ogólny ruchu punktu materialnego o masie m w polu centralnej siły zachowawczej F = F (r) ·~i ~ r
⇒ zasada zachowania energii: E = mv 2 2 + E p (r) = const
⇒ zasada zachowania momentu p ˛edu: L = m~ ~ r × ~v = const Zachowanie momentu p ˛edu ⇒ ruch płaski (w płaszczy´znie ~ r i ~v )
⇒ ~v = ~i r · dr
dt +~i θ · r dθ
dt ⇒ v 2 =
dr dt
2
+ r 2 ω 2
Wstawiaj ˛ ac do wyra˙zenia na energi ˛e kinetyczn ˛ a L = m r 2 ω E = E k + E p = m
2
dr dt
2
+ L 2
2 m r 2 + E p (r) = m 2
dr dt
2
+ E p eff (r)
⇒ równanie ró˙zniczkowe dla składowej radialnej ⇒ problem jednowymiarowy
Siła centralna
Energia efektywna
“Efektywna” energia potencjalna w polu siły centralnej:
E p eff (r) = L 2
2 m r 2 + E p (r)
energia
od±rodkowa
Je´sli L 6= 0 to zasada zachowania momentu p ˛edu
“przeciwstawia si ˛e” zbli˙zeniu ciała do ´zródła siły (r = 0).
bariera centryfugalna
“energia od´srodkowa” ⇔ siła od´srodkowa
F o = − d dr
L 2 2 m r 2
!
= L 2
m r 3 = m r
dθ dt
2
Siła centralna
Ruch radialny
Jednowymiarowe zagadnienie ruchu radialnego:
dr
dt =
s 2 m
E − E p eff (r)
t =
Z r
r ◦
dr ′
r 2 m
E − E p eff (r ′ )
E p eff (r) = L 2
2 m r 2 + E p (r)
Ruch mo˙ze si ˛e odbywa´c tylko w obszarze E − E p eff (r) ≥ 0
⇒ dla L 6= 0 istnieje ograniczenie na odległo´s´c najmiejszego zbli˙zenia: r ≥ r min teoretycznie mo˙zna wymy´sle´c sił ˛e centraln ˛ a silniejsz ˛ a od siły od´srodkowej
⇒ je´sli E < E p eff (∞) to ciało nie mo˙ze dowolnie oddali´c si ˛e od centrum siły: r ≤ r max
⇒ ruch w ograniczonym obszarze
Siła centralna
Ruch k ˛ atowy
Zachowany moment p ˛edu: L = m r 2 ω
⇒ ω = dθ
dt = L m r 2
θ − θ ◦ =
Z t
0
L
m r 2 dt ′
Mo˙zemy wyprowadzi´c równanie na tor ciała porównuj ˛ ac zale˙zno´sci od czasu:
dt = dr
r 2 m
E − E p eff (r)
= m r 2 L dθ
⇒ θ − θ ◦ =
Z L dr
m r 2
r 2 m
E − E p eff (r)
równanie toru we współrz ˛ednych biegunowych
Siła centralna
Ruch k ˛ atowy
Zmiana k ˛ ata biegunowego przy przej´sciu ciała od r min do r max
∆θ =
r max Z r min
L dr m r 2
r 2 m
E − E p eff (r)
Tor b ˛edzie krzyw ˛ a zamkni ˛et ˛ a, je´sli ∆θ = 2π m n
m, n - liczby całkowite Warunek ten spełniony jest tylko dla dwóch pól:
(niezale˙znie od warunków pocz ˛ atkowych)
• E p (r) ∼ 1 r - siła grawitacyjna, siła kulombowska
• E p (r) ∼ r 2 - siły spr ˛e˙zysto´sci
Ruch w polu grawitacyjnym
energia efektywna Pole grawitacyjne
Ogólne wyra˙zenie na energi ˛e potencjaln ˛ a:
E p (r) = − k r
k > 0 ⇒ siła przyci ˛ agaj ˛ aca wybieramy E p (∞) = 0
Charakter ruch zale˙zy od energii całkowitej:
• E 1 > 0 - tor otwarty
• E 2 < 0 - tor zamkni ˛ety
• E 3 = E min - ruch po okr ˛egu
Ruch w polu grawitacyjnym
Model
Ruch w polu grawitacyjnym
Równanie toru
Rozwi ˛ azujemy:
θ − θ ◦ =
Z L dr
m r 2
r 2 m
E − E p eff (r)
=
Z dr
r 2 s
2m L 2
E + k r − 2mr L 2 2
= −
Z d 1 r
r
2mE
L 2 + 2mk
L 2
1 r
− 1 r 2
= −
Z d 1 r − 1 p
r ε 2
p 2 − 1 r − 1 p 2 Gdzie wprowadzili´smy parametry: p = mk L 2 oraz ε =
r
1 + 2EL 2
mk 2
Otrzymali´smy całk ˛e postaci:
−
Z dx
q
1 − x 2
= arccos(x) =⇒ r = p
1 + ε · cos(θ − θ ◦ )
Ruch w polu grawitacyjnym
Równanie toru
Otrzymali´smy równanie krzywej sto˙zkowej (we współrz ˛ednych biegunowych)
r(θ) = p
1 + ε · cos(θ − θ ◦ ) ε - mimo´sród orbity
ε =
r
1 + 2EL 2
mk 2 p = mk L 2
• ε = 0 - ruch po okr ˛egu o promieniu p
• ε < 1 - ruch po elipsie E < 0
• ε = 1 - ruch po paraboli E = 0
• ε > 1 - ruch po hiperboli E > 0
ε = AB r
Osie elipsy:
• 2a = 2p
1−ε 2 = k
- zale˙zy tylko od energii 2|E|
• 2b = √ 2p
1−ε 2 = √ L
2m|E|
- zale˙zy tak˙ze od momentu p ˛edu
Ruch w polu grawitacyjnym
Ruch po okr ˛egu
Przypadek szczególny: ε = 0
E = E min = − m k 2 2 L 2 minimalna energia całkowita
przy ustalonym L
W przypadku L = 0 mamy ruch po odcinku o długo´sci 2a = k
2|E| ; b = 0
Ruch w polu grawitacyjnym
Ruch po elipsie
Warunek: E min < E < 0
Ruch ograniczony do: r min < r < r max E p eff (r min ) = E p eff (r max ) = E
Zródło siły znajduje si ˛e w jednym z ognisk elipsy. ´ Długa póło´s zale˙zy wył ˛ acznie od energii;
“spłaszczenie” zale˙zy od momentu p ˛edu
Ruch w polu grawitacyjnym
Prawa Keplera
I. Ka˙zda planeta kr ˛ a˙zy po elipsie ze Sło ´ncem w jednym z jej ognisk
II. Promie ´n wodz ˛ acy ka˙zdej planety zakre´sla równe pola w równych czasach III. Kwadrat okresu obiegu ka˙zdej planety wokół Sło ´nca
jest proporcjonalny do sze´scianu półosi wielkiej elipsy
Okres obiegu mo˙zemy wyznaczy´c z pr ˛edko´sci polowej dS dt = 2m L , 2a = 2|E| k , 2b = √ L
2m|E|
T = S
dS dt
= π a b
2m L
= πk
s m 2|E| 3
Podnosz ˛ ac do kwadratu
T 2 = π 2 k 2 m
2|E| 3 = 4π 2 m
k · a 3
Ruch w polu grawitacyjnym
Ruch po paraboli
Przypadek szczególny: E = 0 Ruch jest niesko ´nczony,
ciało nie jest zwi ˛ azane przez centrum siły.
Jednak oddalaj ˛ ac sie do niesko ´nczono´sci ciało b ˛edzie porusza´c si ˛e coraz wolniej.
Asymptotycznie zatrzyma si ˛e.
Ruch w polu grawitacyjnym
Ruch po hiperboli
Dla E > 0
Ruch jest niesko ´nczony.
Asymptpotycznie pr ˛edko´s´c ciała d ˛ a˙zy do
v ∞ =
s 2E
m > 0
orbity komet nieperiodycznych
Im mniejsze L
tym mniejsza odległo´s´c zbli˙zenia r min
Ruch w polu grawitacyjnym
Rodzaje orbit
Kształt orbity zale˙zy od energii całkowitej E i momentu p ˛edu ciała L ε =
r
1 + 2EL 2
mk 2
E = 0
E < 0 E > 0
Ruch satelity
Jak powinien si ˛e zachowa´c kosmonauta w rakiecie na orbicie kołowej, je´sli chce zbli˙zy´c si ˛e do powierzchni Ziemi?
A B
F
V
Odpalenie silników w kierunku Ziemi daje efekt przeciwny do zamierzonego!
L = const, E ro´snie
⇒ Srednia odległo´s´c od Ziemi ro´snie! ´
r E (r)
pgraw.
ods.
eff
A
B
Ruch satelity
Lepszym sposobem na przej´scie na ni˙zsz ˛ a orbit ˛e jest wł ˛ aczenie silników hamuj ˛ acych
A B
C
V
F
L maleje, E maleje
⇒ Srednia odległo´s´c od Ziemi maleje ´
r E (r)
pgraw.
B A
C
Powtórne hamowanie po połowie obiegu umo˙zliwia przej´scie na ni˙zsz ˛ a orbit ˛e kołow ˛ a.
Ruch w polu sił
Potencjał odpychaj ˛ acy
E p (r) = + k
r k > 0
Ruch w polu sił
Potencjał odpychaj ˛ ac
Uzyskane rozwi ˛ azanie pozostaje
słuszne, z dokładno´sci ˛ a do zmiany znaku k ⇒ zmiana znaku p
r(θ) = p
ε · cos(θ − θ ◦ ) − 1
Jak porzednio ε =
r
1 + 2EL 2
mk 2
Teraz jednak zawsze E > 0
Im wi ˛eksze ε, tym wi ˛ekszy k ˛ at
rozwarcia hiperboli
Do´swiadczenie Rutherforda
Model Thomson
Po odkryciu elektronu (1897),
J.J.Thomson zaproponował model atomu w postaci “ciastka
z rodzynkami”.
E
α
Cała obj ˛eto´s´c atomu była jednorodnie naładowana dodatnio (“ciastko”),
a wewn ˛ atrz “pływały” elektrony (“rodzynki”).
Poniewa˙z ładunek był rozło˙zony równomiernie w du˙zej obj ˛eto´sci, nie powinien silnie zakłóca´c ruchu przechodz ˛ acy cz ˛ astek α.
Oczekujemy jedynie niewielkich odchyle ´n toru...
Wpływ elektronów mo˙zna zaniedba´c ze
wzgl ˛edu na mał ˛ a mas ˛e.
Do´swiadczenie Rutherforda
W modelu Thomsona mo˙zna było
oszacowa´c maksymalny k ˛ at rozproszenia cz ˛ astki α i był on mały θ max ≪ π .
Odpowiada to sytuacji rozproszenia
“pocisku” na du˙zo l˙zejszej “tarczy”.
Masa przypadaj ˛ aca na jednostk ˛e
“rozmytego” ładunku atomu wynosiła ok. 1 8 masy cz ˛ astki α.
Do´swiadczenie Rutherforda
Rozpraszanie cz ˛ astek α na cienkiej złotej folii
Obserwowano błyski wywoływane przez
padaj ˛ ace cz ˛ astki na ekranie scyntylacyjnym
Do´swiadczenie Rutherforda
Pokaz
Θ
α Au zrodlo
detektor
Przed wsuni ˛eciem tarczy cz ˛ astki α obserwujemy tylko dla Θ ≈ 0 .
Wi ˛ azka cz ˛ astek ze ´zródła jest dobrze skolimowana.
Oddziaływanie z tarcz ˛ a zmniejsza strumie ´n cz ˛ astek lec ˛ acych “do przodu” ( Θ ≈ 0 )
Rozproszone cz ˛ astki α obserwu-
jemy w szerokim zakresie k ˛ atów
rozproszenia, tak˙ze dla θ ≥ π 2
Do´swiadczenie Rutherforda
Wyniki pomiarów
Przeprowadzonych przez H.Geigera i E.Marsdena (1911):
Oczekiwane Uzyskane
Do´swiadczenie Rutherforda
Wyniki pomiarów
Przeprowadzonych przez H.Geigera i E.Marsdena:
k ˛ at rozproszenia θ −→
Zaobserwowano rozproszenia cz ˛ astek α pod bardzo du˙zymi k ˛ atami, θ ≫ θ T h max , czego nie mo˙zna było wyja´sni´c w modelu Thomsona
“To było tak jakby´scie wystrzelili
pi ˛etnastocalowy pocisk w kierunku kawałka bibułki, a on odbił si ˛e i was uderzył.”
E. Rutherford