• Ruch w polu siły centralnej

Grawitacja

Fizyka I (Mechanika)

Wykład XI:

• Prawo powszechnego ci ˛ a˙zenia

• Ruch w polu siły centralnej

• Prawa Kepplera

• Pole odpychaj ˛ ace

• Do´swiadczenie Rutherforda

Prawo powszechnego ci ˛ a˙zenia

Prawo powszechnego ci ˛ a˙zenia Newtona (1687):

r

m F F M

F = G m M r ² Opisuje zarówno spadanie jabłka z drzewa jak i ruchy Ksi ˛e˙zyca i planet.

Grawitacja jest opisywana przez jeden parametr, stał ˛ a Newtona: G ≈ 6.67 · 10 ^{−11 Nm} _kg

W warunkach laboratoryjnych

potwierdzona przez do´swiadczenie

Cavendisha (1798), w którym zmierzył

oddziaływanie kul ołowianych masach

m = 0.73 kg i M = 158 kg .

Prawo powszechnego ci ˛ a˙zenia

Prawo powszechnego ci ˛ a˙zenia sformułowane zostało dla mas punktowych.

Ale stosuje si ˛e tak˙ze dla ddziaływa ´n ciał sferycznie symetrycznych

F = G m M r ²

r

m F F M

Siła ci ˛ a˙zenia dla ciała przy powierzchni Ziemi:

F = G m M _Z

R ² _Z ≡ g · m

⇒ g = G M _Z

R ² _Z

Ruch satelity

R

V F R

Satelita na orbicie kołowej o promieniu R.

Siła grawitacji

F = G m M _Z R ²

jest sił ˛ a do´srodkow ˛ a, konieczn ˛ a do utrzy- mania satelity na orbicie:

G m M _Z

R ² = m V ² R

⇒ V =

s G M _Z R

Pierwsza pr ˛edko´s´c kosmiczna (R = R _Z ):

V ₁ = 7.91 km/s

pr ˛edko´s´c pozioma konieczna do “oderwa-

nia” od Ziemi (zaniedbuj ˛ ac jej ruch wirowy)

Ruch satelity

R

V F R_Z

Okres obiegu dookoła Ziemi:

T = 2πR V

Podstawiaj ˛ ac wyra˙zenie na pr ˛edko´s´c:

T = 2πR

s R

G M _Z = 2πR ^3/2

√ G M _Z Im wy˙zsza orbita tym dłu˙zszy okres obiegu...

Odwracaj ˛ ac t ˛ a zale˙zno´s´c:

R =

s G M _Z T ²

4π ² =

s

g R ² _Z T ² 4π ² Dla okresu obiegu równego okresowi obrotu Ziemi (23 ^h 56 ^m 4.09 ^s ):

R = 42 164 km

Prawo powszechnego ci ˛ a˙zenia

Siła grawitacji (jak ka˙zda siła centralna) jest zachowawcza:

W _AB =

Z B

A

F (~ ~ r) · d~r =

r

Z r

−F (r) · dr = −∆E ^p

⇒ ∆E _p =

r

Z r

G M m

r ² · dr =



− G M m r

 _r

r

Energia potencjalna masy m w polu grawitacyjnym masy M : E _p (r) = − G M m

r + C

okre´slona z dokladno´sci ˛ a do stałej.

Zwyczajowo przyjmuje si ˛e C = 0, co jest równowa˙zne ustaleniu

E _p (∞) = 0

Siła centralna

Rozwa˙zmy przypadek ogólny ruchu punktu materialnego o masie m w polu centralnej siły zachowawczej F = F (r) ·~i ~ ^r

⇒ zasada zachowania energii: E = ^mv ₂

+ E _p (r) = const

⇒ zasada zachowania momentu p ˛edu: L = m~ ~ r × ~v = const Zachowanie momentu p ˛edu ⇒ ruch płaski (w płaszczy´znie ~ r i ~v )

⇒ ~v = ~i _r · dr

dt +~i _θ · r dθ

dt ⇒ v ² =

 dr dt

 2

+ r ² ω ²

L = m r ² ω ⇒ v ² =

 dr dt

 2

+

 L mr

 2

Wstawiaj ˛ ac do wyra˙zenia na energi ˛e kinetyczn ˛ a E = E _k + E _p = m

2

 dr dt

 2

+ L ²

2 m r ² + E _p (r) = m 2

 dr dt

 2

+ E _p ^eff (r)

⇒ równanie ró˙zniczkowe dla składowej radialnej ⇒ problem jednowymiarowy

Siła centralna

Energia efektywna

“Efektywna” energia potencjalna w polu siły centralnej:

E _p ^eff (r) = L ²

2 m r ² + E _p (r)

energia

od±rodkowa

Je´sli L 6= 0 to zasada zachowania momentu p ˛edu

“przeciwstawia si ˛e” zbli˙zeniu ciała do ´zródła siły (r = 0).

bariera centryfugalna

“energia od´srodkowa” ⇔ siła od´srodkowa

F _o = − d dr

L ² 2 m r ²

!

= L ²

m r ³ = m r ω ² = m r

 dθ dt

 2

Siła centralna

Ruch radialny

Jednowymiarowe zagadnienie ruchu radialnego:

dr

dt =

s 2 m

 E − E _p ^eff (r) ^

t =

Z r

r

dr ^′

r 2 m

 E − E p ^eff (r ^′ ) ^

E _p ^eff (r) = L ²

2 m r ² + E _p (r)

Ruch mo˙ze si ˛e odbywa´c tylko w obszarze E − E p ^eff (r) ≥ 0

⇒ dla L 6= 0 istnieje ograniczenie na odległo´s´c najmiejszego zbli˙zenia: r ≥ r min teoretycznie mo˙zna wymy´sle´c sił ˛e centraln ˛ a silniejsz ˛ a od siły od´srodkowej

⇒ je´sli E < E _p ^eff (∞) to ciało nie mo˙ze dowolnie oddali´c si ˛e od centrum siły: r ≤ r max

⇒ ruch w ograniczonym obszarze

Siła centralna

Ruch k ˛ atowy

Zachowany moment p ˛edu: L = m r ² ω

⇒ ω = dθ

dt = L m r ²

θ − θ _◦ =

Z t

0

L

m r ² dt ^′

Mo˙zemy wyprowadzi´c równanie na tor ciała porównuj ˛ ac zale˙zno´sci od czasu:

dt = dr

r 2 m

 E − E p ^eff (r) ^

= m r ² L dθ

⇒ θ − θ _◦ =

Z L dr

m r ²

r 2 m

 E − E p ^eff (r) ^

równanie toru we współrz ˛ednych biegunowych

Siła centralna

Ruch k ˛ atowy

∆Θ

Zmiana k ˛ ata biegunowego przy przej´sciu ciała od r _min do r _max

∆θ =

r

Z r

L dr m r ²

r 2 m

 E − E p ^eff (r) ^

Tor b ˛edzie krzyw ˛ a zamkni ˛et ˛ a, je´sli ∆θ = 2π ^m _n

m, n - liczby całkowite Warunek ten spełniony jest tylko dla dwóch pól:

(niezale˙znie od warunków pocz ˛ atkowych)

• E _p (r) ∼ ¹ _r - siła grawitacyjna, siła kulombowska (∆θ = π )

• E _p (r) ∼ r ² - siły spr ˛e˙zysto´sci (∆θ = ^π ₂ )

Ruch w polu grawitacyjnym

energia efektywna

r E (r)

graw.

ods.

eff

Ε Ε

Ε

Pole grawitacyjne

Ogólne wyra˙zenie na energi ˛e potencjaln ˛ a:

E _p (r) = − k r

k > 0 ⇒ siła przyci ˛ agaj ˛ aca wybieramy E _p (∞) = 0

Charakter ruch zale˙zy od energii całkowitej:

• E ₁ > 0 - tor otwarty

• E ₂ < 0 - tor zamkni ˛ety

• E ₃ = E _min - ruch po okr ˛egu

Ruch w polu grawitacyjnym

Model

Dwuwymiarowy ruch ciała po zakrzywionej powierzchni.

Profil wysoko´sci odpowiada energii potencjalnej pola: h(x, y) ∼ E ^p (r)

Ruch w polu grawitacyjnym

Równanie toru

Rozwi ˛ azujemy:

θ − θ _◦ =

Z L dr

m r ²

r 2 m

 E − E p ^eff (r) ^

=

Z ^dr

r

s

2m L



E + ^k _r − _2mr ^L



= −

Z d ^{ 1} _r ^

r

2mE

L

+ ^2mk

L

 ₁ r

 − ^{ 1} _r ^{ 2}

= −

Z d ^{ 1} _r − ¹ _p ^

r ε

p

− ^{ 1} _r − ¹ _p ^{ 2} Gdzie wprowadzili´smy parametry: p = _mk ^L

oraz ε =

r

1 + ^2EL

mk

Otrzymali´smy całk ˛e postaci:

−

Z dx

q

1 − x ²

= arccos(x) =⇒ r = p

1 + ε · cos(θ − θ _◦ )

Ruch w polu grawitacyjnym

Równanie toru

Otrzymali´smy równanie krzywej sto˙zkowej (we współrz ˛ednych biegunowych)

r(θ) = p

1 + ε · cos(θ − θ ◦ ) ε - mimo´sród orbity

ε =

r

1 + ^2EL

mk

p = _mk ^L

• ε = 0 - ruch po okr ˛egu o promieniu p

• ε < 1 - ruch po elipsie E < 0

• ε = 1 - ruch po paraboli E = 0

• ε > 1 - ruch po hiperboli E > 0

Osie elipsy:

• 2a = ^2p

1−ε

= ^k

- zale˙zy tylko od energii 2|E|

• 2b = √ ^2p

1−ε

= √ ^L

2m|E|

- zale˙zy tak˙ze od momentu p ˛edu

Ruch w polu grawitacyjnym

Ruch po okr ˛egu

E (r)_p

r

Ε₃

r

x y

Przypadek szczególny: ε = 0 E = E _min = − m k ²

2 L ² minimalna energia całkowita

przy ustalonym L

Inny przypadek szczególny:

Dla L = 0 mamy ruch po odcinku

o długo´sci 2a = _2|E| ^k ;b = 0

Ruch w polu grawitacyjnym

Ruch po elipsie

E (r)_p

r Ε2

min rmax

r

x y

Warunek: E _min < E < 0

Ruch ograniczony do: r _min < r < r _max E _p ^eff (r _min ) = E _p ^eff (r _max ) = E

Zródło siły znajduje si ˛e w jednym z ognisk elipsy. ´ Długa póło´s zale˙zy wył ˛ acznie od energii;

“spłaszczenie” zale˙zy od momentu p ˛edu

Ruch w polu grawitacyjnym

Prawa Keplera

I. Ka˙zda planeta kr ˛ a˙zy po elipsie ze Sło ´ncem w jednym z jej ognisk

II. Promie ´n wodz ˛ acy ka˙zdej planety zakre´sla równe pola w równych czasach III. Kwadrat okresu obiegu ka˙zdej planety wokół Sło ´nca

jest proporcjonalny do sze´scianu półosi wielkiej elipsy

Okres obiegu mo˙zemy wyznaczy´c z pr ˛edko´sci polowej

⁼

^, 2a =

, 2b = √

2m|E|

T = S

 dS dt

 = π a b

2m L

= πk

s m 2|E| ³

Podnosz ˛ ac do kwadratu

T ² = π ² k ² m

2|E| ³ = 4π ² m

k · a ³

Ruch w polu grawitacyjnym

Ruch po paraboli

E (r)_p

r

r

x y

Ε₁

Przypadek szczególny: E = 0 Ruch jest niesko ´nczony,

ciało nie jest zwi ˛ azane przez centrum siły.

Jednak oddalaj ˛ ac sie do niesko ´nczono´sci ciało b ˛edzie porusza´c si ˛e coraz wolniej.

Asymptotycznie zatrzyma si ˛e.

Ruch w polu grawitacyjnym

Ruch po hiperboli

E (r)_p

r

r

x y

Ε 1

Dla E > 0

Ruch jest niesko ´nczony.

Asymptpotycznie pr ˛edko´s´c ciała d ˛ a˙zy do

v _∞ =

s 2E

m > 0

orbity komet nieperiodycznych

Im mniejsze L

tym mniejsza odległo´s´c zbli˙zenia r _min

Ruch w polu grawitacyjnym

Rodzaje orbit

Kształt orbity zale˙zy od energii całkowitej E i momentu p ˛edu ciała L ε =

r

1 + ^2EL

mk

Orbity o tej samej warto´sci L, lecz o ró˙znych warto´sciach E E = 0

E < 0 E > 0

Ruch satelity

Jak powinien si ˛e zachowa´c kosmonauta w rakiecie na orbicie kołowej, je´sli chce zbli˙zy´c si ˛e do powierzchni Ziemi?

A B

F

V

Odpalenie silników w kierunku Ziemi daje efekt przeciwny do zamierzonego!

L = const, E ro´snie

⇒ Srednia odległo´s´c od Ziemi ro´snie! ´

r E (r)_p

graw.

ods.

eff

A B

Ruch satelity

Lepszym sposobem na przej´scie na ni˙zsz ˛ a orbit ˛e jest wł ˛ aczenie silników hamuj ˛ acych

A B

C

V

F

L maleje, E maleje

⇒ Srednia odległo´s´c od Ziemi maleje ´

r E (r)_p

graw.

B A

C

Powtórne hamowanie po połowie obiegu umo˙zliwia przej´scie na ni˙zsz ˛ a orbit ˛e kołow ˛ a.

Ruch w polu sił

Potencjał odpychaj ˛ acy

E _p (r) = + k

r k > 0

Ruch w polu sił

Potencjał odpychaj ˛ ac

E (r)_p

ods.

eff

graw.

r

rmin

Ε

x y

Uzyskane rozwi ˛ azanie pozostaje

słuszne, z dokładno´sci ˛ a do zmiany znaku k ⇒ zmiana znaku p

r(θ) = p

ε · cos(θ − θ _◦ ) − 1

Jak porzednio ε =

r

1 + ^2EL

mk

Teraz jednak zawsze E > 0

Im wi ˛eksze ε, tym wi ˛ekszy k ˛ at

rozwarcia hiperboli

Do´swiadczenie Rutherforda

Model Thomson

Po odkryciu elektronu (1897),

J.J.Thomson zaproponował model atomu w postaci “ciastka

z rodzynkami”.

E

α

Cała obj ˛eto´s´c atomu była jednorodnie naładowana dodatnio (“ciastko”),

a wewn ˛ atrz “pływały” elektrony (“rodzynki”).

Poniewa˙z ładunek był rozło˙zony równomiernie w du˙zej obj ˛eto´sci, nie powinien silnie zakłóca´c ruchu przechodz ˛ acy cz ˛ astek α.

Oczekujemy jedynie niewielkich odchyle ´n toru...

Wpływ elektronów mo˙zna zaniedba´c ze

wzgl ˛edu na mał ˛ a mas ˛e.

Do´swiadczenie Rutherforda

W modelu Thomsona mo˙zna było

oszacowa´c maksymalny k ˛ at rozproszenia cz ˛ astki α i był on mały θ ^max ≪ π .

Odpowiada to sytuacji rozproszenia

“pocisku” na du˙zo l˙zejszej “tarczy”.

Masa przypadaj ˛ aca na jednostk ˛e

“rozmytego” ładunku atomu wynosiła ok. ¹ ₈ masy cz ˛ astki α.

Do´swiadczenie Rutherforda

Rozpraszanie cz ˛ astek α na cienkiej złotej folii

Obserwowano błyski wywoływane przez

padaj ˛ ace cz ˛ astki na ekranie scyntylacyjnym

Do´swiadczenie Rutherforda

Pokaz

Θ

α Au zrodlo

detektor

Przed wsuni ˛eciem tarczy cz ˛ astki α obserwujemy tylko dla Θ ≈ 0 .

Wi ˛ azka cz ˛ astek ze ´zródła jest dobrze skolimowana.

Oddziaływanie z tarcz ˛ a zmniejsza strumie ´n cz ˛ astek lec ˛ acych “do przodu” ( Θ ≈ 0 )

Rozproszone cz ˛ astki α obserwu-

jemy w szerokim zakresie k ˛ atów

rozproszenia, tak˙ze dla θ ≥ ^π ₂

Do´swiadczenie Rutherforda

Wyniki pomiarów

Przeprowadzonych przez H.Geigera i E.Marsdena (1911):

Oczekiwane Uzyskane

Do´swiadczenie Rutherforda

Wyniki pomiarów

Przeprowadzonych przez H.Geigera i E.Marsdena:

50 100 150

Zliczenia

102

103

104

Zaobserwowano rozproszenia cz ˛ astek α pod bardzo du˙zymi k ˛ atami, θ ≫ θ _{T h} ^max , czego nie mo˙zna było wyja´sni´c w modelu Thomsona

“To było tak jakby´scie wystrzelili

pi ˛etnastocalowy pocisk w kierunku kawałka bibułki, a on odbił si ˛e i was uderzył.”

E. Rutherford

Do´swiadczenie Rutherforda

Model Rutherforda

Rutherford zaproponował j ˛ adrowy model atomu.

Cały dodatni ładunek atomu (10

m) skupiony jest w praktycznie punktowym (10

m) j ˛ adrze

α

R E

Przechodz ˛ aca cz ˛ astka zawsze czuje cały

ładunek dodatni ⇒ k ˛ aty rozproszenia s ˛ a

du˙zo wi ˛eksze.

Do´swiadczenie Rutherforda

Model Rutherforda

Poniewa˙z cz ˛ astka α rozprasza si ˛e na j ˛ adrze jako cało´sci, a masa j ˛ adra M _Au ≫ M ^α

⇒ brak ogranicze ´n na k ˛ at rozproszenia cz ˛ astki α

mo˙zliwe nawet (cho´c mało prawdopodobne) rozproszenie o θ > π/2.

Rozkład k ˛ atowy

Obserwowany rozkład k ˛ atowy rozproszonych cz ˛ astek α proporcjonalna do tzw. rózniczkowego przekroju czynnego

N (θ) ∼ dσ

dΩ = Z ² α ² 4E ² sin ^{4 θ} ₂ Wzór Rutherforda

Sko ´nczone prawdopodobie ´nstwo rozproszenia θ = π !

°] Θ [

0 50 100 150

Ωdσd

Oddziaływanie dwóch ciał

Ruch wzgl ˛edny

Dotychczasowe rozwa˙zania prowadzili´smy przyjmuj ˛ ac, ˙ze centrum siły jest nieruchome. Odpowiada to zało˙zeniu, ˙ze

M _Slonca ≫ M Ziemi

M _Ziemi ≫ M Satelity

Układ izolowany + III zasada dynamiki ⇒ m ₁ ~a ₁ = − m 2 ~a ₂

Srodek masy

v

v

F ₁₂ F ₂₁

Wzgl ˛edne poło˙zenie (np. ciała 2 wzgl ˛edem 1):

~ r ₁₂ = ~r ₂ − ~r 1

Wzgl ˛edna pr ˛edko´s´c:

~v ₁₂ = ~v ₂ − ~v 1 = d~ r ₁₂ dt Przyspieszenie wzgl ˛edne:

~a ₁₂ = d~v ₁₂

dt = ~a ₂ − ~a 1 = ~a ₂ + m ₂

m ~a ₂

Oddziaływanie dwóch ciał

Masa zredukowana

Przyspieszenie w ruchu wzgl ˛ednym:

~a ₁₂ = m ₁ + m ₂

m ₁ ~a ₂ = m ₁ + m ₂

m ₁ · F ~ ₁₂ m ₂ Mo˙zemy sprowadzi´c równania ruchu do postaci:

µ ~a ₁₂ = µ d ² ~ r ₁₂

dt ² = ~ F ₁₂ ^ ~ r ₁₂ ^

gdzie µ = m ₁ m ₂

m ₁ + m ₂ - masa zredukowana ( 1

µ = 1

m ₁ + 1 m ₂ )

Problem wzgl ˛ednego ruchu dwóch oddziałuj ˛ acych ciał mo˙zemy sprowadzi´c do problemu ruchu jednego ciała o masie µ w polu siły F ~ ₁₂ (~ r ₁₂ )

Scisłe w przypadku klasycznym (nierelatywistycznym) dla układu izolowanego. ´

Prawa Kepplera pozostaj ˛ a słuszne tak˙ze gdy nie zaniedbujemy masy planety/satelity!

Oddziaływanie dwóch ciał

Przykład

Układ Ziemia-Ksi ˛e˙zyc

m _K : m _Z ≈ 1 : 81

µ ≈ 0.988 m K

Ziemia i Ksi ˛e˙zyc kr ˛ a˙z ˛ a wokół wspólnego ´srodka masy, który znajduje si ˛e ok. 4700 km od ´srodka Ziemi.

Cz ˛esto´s´c obiegu jest

s m _K

µ raza wi ˛eksza ni˙z gdyby Ziemia była “nieruchoma” (0.6%) przy danych masach i odległo´sci Ziemia-Ksi ˛e˙zyc : µ ω ² r ₁₂ = F (r ₁₂ )

Ruch Ziemi dookoła Sło ´nca: m _Z : m _S ≈ 1 : 335 000

Projekt Fizyka wobec wyzwa ´ n XXI w.

współfinansowany ze ´srodków Unii Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego