Zbieżność szeregów harmonicznego i geometrycznego

(1)

Zbieżność szeregów

harmonicznego i

geometrycznego

Autorzy:

Katarzyna Czyżewska

2019

(2)

Zbieżność szeregów harmonicznego i geometrycznego

Autor: Katarzyna Czyżewska

DEFINICJA

Definicja 1: Szereg harmoniczny rzędu

Szeregiem harmonicznym rzędu nazywamy szereg postaci , gdzie .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: O zbieżności szeregu harmonicznego

O zbieżności szeregu harmonicznego

Szereg harmoniczny rzędu jest zbieżny dla i rozbieżny dla .

DEFINICJA

Definicja 2: Szereg geometryczny

Szeregiem geometrycznym o ilorazie nazywamy szereg postaci , gdzie .

UWAGA

Uwaga 1:

Zauważamy, że szereg geometryczny można zapisać w sposób równoważny jako .

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: O zbieżności szeregu geometrycznego

O zbieżności szeregu geometrycznego

Jeżeli iloraz szeregu geometrycznego spełnia warunek , to szereg geometryczny jest zbieżny do sumy , a dla szereg geometryczny jest rozbieżny.

α > 1

α

∑

∞ n=1 n1α

α ∈ R

α

α > 1

α ⩽ 1

q ∈ R

∑

∞

a

n=1

q

n−1

a ∈ R

a

∑

∞ n=1

q

n−1

∑

∞n=0

a

q

n

q

|q| < 1

∑

∞

a

n=1

q

n−1

S =

a 1−q

|q| ⩾ 1 (a = 0)

/

(3)

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:

Zauważamy, że badany szereg ma postać . Szereg jest szeregiem harmonicznym rzędu , czyli jest szeregiem zbieżnym. Zatem szereg jest szeregiem zbieżnym.

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Zbadaj zbieżność szeregu . Rozwiązanie:

Badany szereg jest naprzemienny o wyrazie .

Zauważamy, że szereg jest szeregiem geometrycznym o ilorazie , czyli jest szeregiem zbieżnym do sumy równej , zatem szereg jest zbieżny do sumy równej .

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 05:05:26

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=e4d0fdd7b1c33aa8c6653be89d021898

Autor: Katarzyna Czyżewska

∑

∞ n=1 n n√ 3 2 n_√ 5

=

∑

∞ n=1 1 2n52−43

∑

∞ n=1 1 2n76

∑

∞ n=1 1 n76 7 6

∑

∞n=1 n n√ 3 2 n_√ 5

∑

∞ n=1 (−1) n+1 4n

=

= −(

an

(−1)₄nn+1 −1₄

)

n

(

∑

∞ n=1 −14

)

n

q = −

14

− ⋅

1

= −

4 1−(− )11 4 1 5

∑

∞n=1 (−1)

=

(−1) ⋅ (

n+1 4n

∑

∞_n=1 −1₄

)

n 1₅