Stany nieustalone - metoda operatorowa II

Podstawy Elektrotechniki - Stany nieustalone

II. Metoda Operatorowa

Zadanie o.14 Wyznaczyć uc(t), jeżeli: C L R = . 1. t≥0

Zastępczy schemat operatorowy po przełączeniu w pozycję t = 0

Równania ze schematu :

( ) ( )

( )

( )

Uc

( )

s I

( )

s Uc

( )sC

s sC s I s Uc R s I s U = ⇒ = + = 1

( )

( )

( )

( )(

)

( )

_{( )}

s Uc sRC s U sRC s Uc s Uc s sRCUc s U = + + = + = 1 1

( )

      + =       + = RC s s RC U RC s RC s U s Uc 1 1 * 1

( )

_       − =         − = _{RC RCe}−RCt _{U e}−RCt RC U t Uc 1 1 1 2. t ≥τ

Zastępczy schemat operatorowy po przełączeniu w pozycję t = τ

Równania ze schematu:

( )

₍

₎

LC L R s s L Uc LC L R s s L Uc LC s sRC s sC Uc sC sL R s Uc s I 1 1 * 1 1 1 2 * 2 * 2 * * + + =       _{+ +} = + + = + + = Obliczamy ∆ :

( ) ( )

₍

₎₍

₎

₍

₎₍

₎

₍

₎₍

₎

2 1 * 2 1 * 2 1 * 2 , 1 2 2 1 * 1 * 1 * 3 2 1 2 3 3 3 4 s s s s s LC Uc s s s s sLC Uc sC s s s s L Uc sC s I s Uc LC j L R s LC j LC j LC LC L R − − = − − = − − = = ± − = = ∆ = − = −       = ∆

Korzystając z zależności na pierwiastki sprzężone:

( )

( )

( )

( )

(

90

)

sin 1 Re Re 2 1 2 1 1 2 1 − =       =       ′ =       ′ + ′ + t e j e s F e s F e s F e t t j t s t s t s β β β α β α

Obliczamy napięcie Uc(t):

(

)

( )

₍

₍

₎

₎

            − − − + − = − −

β

β

α

τ

β

τ

α τ 90 sin 1 * * t e Uc Uc t Ucc t Odpowiedź:

( )

(

)

( )

₍

₍

₎

₎

            − − − + − = − ⇒ ≥         − = ⇒ ≥ − −

β

β

α

τ

β

τ

τ

α τ 90 sin 1 1 0 * * 1 t e Uc Uc t Ucc t e U t Uc t t t RC Zadanie o.15 E(t)=Emsin

ω

t E=E_mejωt E(s)=

ω

j s E_m − 1. Dla:

τ

>t>0

sC I U_c = 1 I= 1 ) ( 1 ) ( + = + RCs sC s E sC R s E Uc=

ω

j s RC s RC E RCs s E m − + = + 1 1 1 1 ) (         + − + = m j t −RCt e jRC RC e jRC RC RC E c

(t)

u

1 1 1

ω

ω

ω ( )         − + = ω−ϕ − − ϕ ω j t RC t j j m c e e RC E t U 1 2 ) ( 1 ) ( gdzie: φ=arctgRCω c U (t)= 2 ) ( 1 RC

ω

Em +

(

)

        + − _e−Rct t 1 sin sin

ω

ϕ

ϕ

2. Dla t>τ , oraz U =0 Uc(τ)

Zadanie o.16 Wyznaczyć i(t)=? t Um t u( )= ⋅sin

ω

ω

j s Um s U − = 1 ) ( Zadanie o.17 Wyznaczyć i(t)=?

( )

t E t e = sin

ω

Zadanie o.18 L1 _L2 R e(t) t=0 t=t1 i=?

e(t)=Em sin ωt 1. t ≥0             + + ⋅ + ⋅ = − + ⋅ = + − ⋅ = + = + = − ⋅ = + = − t C R Z Z t j Z Z Z Z Z Z Z Z Z e C R j C R e C R j j R Em t I j s C R s R s Em sC R j s sC Em I sC R sC s E sC R s E I j s Em s E R R R 1 2 1 1 1 1 ) ( ) )( 1 ( ) 1 )( ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) (

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω         + ⋅ + + ⋅ ⋅ = −RCt Z t j Z Z Z Z e C R j e C R j Cj R R Em t I 1 1 1 1 ) ( ω ω ω ω         ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ = −RCt jA Z t j jA Z j Z Z Z e e R C e e R C e C R R Em t I 1 2 2 90 ) ( 1 1 ) ( 1 ) ( ω ω ω ω         ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − − − + RCt A Z A t j Z Z Z Z e R C e R C C R R Em t I 1 2 ) 90 ( 2 ) ( 1 1 ) ( 1 ) ( ω ω ω ω Z CR ar A= ctg

ω

        − + − + ⋅ ⋅ + = = − ) sin( ) 90 sin( ) ( 1 ) ( )} ( Im{ ) ( 1 2 R C t A e A R C R Em t i t I t i t C R Z Z Z Z ω ω ω

sC s I s U_C( )= ( )⋅ 1             − + ⋅ = − + ⋅ = − t C R Z t j Z Z C Z Z C Z e R j e C R j C R Em t U j s C R s C R Em s U 1 1 1 1 ) ( ) )( 1 ( 1 ) (

ω

ω

ω

ω         + − + = −RCt Z t j Z C Z e C R j e C R j Em t U 1 1 1 1 1 ) ( ω ω ω         + − + = − −R Ct−jA Z A t j Z C Z e C R e C R Em t U 1 2 ) ( 2 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( ω ω ω )} ( Im{ ) (t U t uC = C         − − − + = sin( ) − sin( ) ) ( 1 ) ( 1 2 t A e A C R Em t u t C R Z C Z ω ω 2. t> t1 1 t t tx = − ) (₁ 0 U t U = _C ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 0 1 1 0 sC R s U j sC R s E sC R s U j s E s I + ⋅ + = + − =

) 1 ( ) )( 1 ( ) ( 1 1 0 1 1 C R s R U j j s C R s s C R E s I + − − + ⋅ = ω x x x _RCt _RCt t j x e R U j e C R j C R e C R j j C R E t I 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( − − −             − + + ⋅ =

ω

ω

ω

ω x x x _RCt _RCt t j x e R U j e C R j C R e C R j j E t I 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 ) ( − − −             + + + = ω ω ω ω x x x _{B RC}t jB _RCt t j x e R U j e C R C R e C R E t I 1 1 1 1 0 1 2 1 1 ) 90 ( 2 1 1 ( ) 1 ) ( 1 ) ( − − − − + ₋             + + + = ω ω ω ω C R ar B= ctg

ω

₁ )} ( Im{ ) (tx I tx I =         − + − + + = − ) sin( 1 ) 90 sin( ) ( 1 ) ( 1 1 1 2 1 B e C R B t C R E t i x t C R x ω ω ω Zadanie o.19 Wyznaczyć uc(t)=? 1. t≥0

RS U SC R V _=     2 ₊ ) ( ) 2 ( 1 2 1 2 U s RC S S RC U RSC S U R RSC RS U V = _c + = + = + =         − =             − + = −RCt −RCt C e U e RC RC RC U t u 2 2 1 2 2 1 2 1 ) ( 2.

t ≥

t

₁ ) ( 1 0 U t U = C Zadanie o.20

Wyznaczyć prąd płynący przez cewkę L e(t)=Umsinωt 1. t≥0       − − − + = sin( ) − sin( ) ) ( ) ( 1 2 2 1 ϕ ϕ ω ω t L R m e t L R U t i Po czasie t1 zamknięto W2       − − − + = sin( ) − sin( ) ) ( ) ( 1 1 1 2 2 1 1 * _{ω ϕ ϕ} ω t L R m e t L R U t I

Prąd płynący przez cewkę L wynosi:

       ≥ − − − + + + = < ≤       − − − + = − − 1 1 * * 2 2 1 2 2 1 2 * 1 2 2 1 ) 1 ( ) ( ) sin( ) ( ) ( ) ( 0 ) sin( ) sin( ) ( ) ( * 1 t t e a t I A t LR LR a LR a LR R U t i t t e t L R U t i at m t L R m ω ω ω ϕ ϕ ω ω Przy czym: 1 * t t t = − a LR a LR LR LR ar A 2 1 2 1 ctg + + =

ω

ω

) ( 1 2 2 1 R R L R R a + =

Zadanie o. 21 Rozwiązanie:      > ⋅ + − ≤ ≤ ⋅ = ₋ + − 1 2 1 2 1 _ 0 _ ) ( 2 2 1 t t dla e R R R U t t dla e U t U t L R t L R R L Zadanie o.22

W obwodzie podanym na rys w chwili t=0 otwarto wyłącznik w1, a w chwili t=t1 otwarto wyłącznik w2. Obliczyć napięcie na cewce. Dla t<0 w obwodzie panował stan ustalony.

Gdzie: 2R L T : gdzie 2T t₁ = = Zadanie o.23

Korzystając z całki Duhamela wyznaczyć S2(t).

( )

at e U t S₁ = ₀ −

( )

(1 ) 1 t RC i t e k = − −

Stosujemy poniższy wzór:

( )

t S

( ) ( )

t ki S

( )

τ ki

(

t τ

)

dτ S t − ′ + = * 0

_∫

* 0 1 1 2 Obliczamy:

( )

( )

(

)

( τ)

τ

− − − = − ′ = ′ = t RC t RC e RC t i k e RC t i k ki 1 1 1 1 0 0

( )

( ) ( )       − − =       + − − = =         −       ₋ =         − − = = − = = = = = + = − − − −       ₋ −       ₋ −       ₋ −      _{− +} − − − − − − − − − −

∫

∫

∫

∫

at t RC t RC at t a RC t RC t a RC t RC t a RC t RC t RC a t RC RC t RC t a t RC t a t t RC a at e e RCa U e e RCa U e e a RC RC U e e a RC e RC U e a RC e RC U d e e RC U d e e e RC U d e RC e RC U d e RC e U e U t S 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1 1 1 1 1 1 * 1 1 * 1 * 1 * 0 * τ τ τ τ τ τ τ τ

τ

τ

τ

τ

Zadanie o.24

Tє<0,4>

Odpowied_ź układu na skok jednostkowy: U_R

=

_e Rct

1 − 1 U =4-t i k (t)=_e Rct 1 − t i t e k ( )= − ) ( 1 t U =4-t 4 ) 0 ( 1 = U 1 ) ( ' 1 t =− U

korzystamy z następującej zależności:

∫

− = + =U k t U t

τ

k

τ

d

τ

t UR( ) (0) i() ( ) i( ) ' 1 1 1 5 1 4 ] [ 4 1 4 ) ( 0 − = − + = − + = − + = − − − − − − −

∫

t t t t t t t R t e e d e e e e e U τ

τ

τ Zadanie o.25

Korzystając z całki Duhamela znaleźć UL(t) jeżeli jest podane U2(t).

U2(t) dla t∈< 0 , 2 > 5 U1(t) t 2 2 U2(t) t 1H 1ΩΩΩΩ U(t) UL=?

Zadanie o.26

Korzystając z całki Duhamela wyznaczyć Uc(t), jeżeli U(t)=U0e-at

Odpowiedź układu na skok jednostkowy:

t RC c t e u 1 1 ) ( = − − Korzystając z zależności

τ

τ

τ

U t d U U t U U t w w wy ( ) (0) ( ) '( ) 0 1 1 + − =

∫

otrzymujemy: 0 ) 0 ( 1w = U t RC w e RC t U 1 1 1 ) ( ' = − ) ( 1 1 1 ) ( ' −

τ

= − −τ t RC w e RC t U

τ

τ

τ τ τ τ d e e R e U d e RC e U U RCt RC t a t RC a t wy 1 1 0 0 ) ( 1 0 0 1 1 − − ₋ − −

∫

∫

= = τ

τ

) 1 ( 1 0 0 ) 1 ( 1 0 1 1 * a RC t RC t t a RC t RC wy e a RC e RC U d e e RC U U − = − − − = =

_∫

        − − =         − − − = o −RCt RC−at o −at −RCt wy e e RCa U e RCa RC e RC U U 1 ) 1 ( 1 1 1 1

Zadanie o.27

Korzystając z całki Duhamela wyznaczyć S2(t), jeżeli S1(t)=Be-bt, Ki(t)=Ae-at; a≠b

1(t) Ki(t) S1(t) S2(t)

∫

− + = t i i t S k t d k S t S 0 ' 1 1 2( ) (0) ( ) (

τ

) (

τ

)

τ

∫

− − − − _{+ −} = t t a b at d Ae Bbe BAe t S 0 ) ( 2( ) (

τ

τ τ

∫

− − − ₋ = t a at b at d e e e ABb BAe t S 0 2( )

τ

τ τ

∫

− − − ₋ = t b a at at d e ABbe ABe t S 0 ) ( 2( )

τ

τ t b a at at e b a ABbe ABe t S 0 ) ( 2 1 ) ( − − − τ − − =

(

1

)

1 ) ( ( ) 2 = − ₋ − − − −at at a bt e b a ABbe ABe t S       − + − − =       − + − − = − − − − −at −at at−bt −at at t b a at at e b a b e e b a b e AB b a be e b a be e AB t S2( ) ( )       − + − − = −at −bt −at e b a b e b a b e AB t S2( ) Zadanie o.28 K(S) U1(t)=1(t) Ki(s)=1/s(s+10) K(s) K(s)

(

)

t i i t i i e t K K e t K s s s K 10 10 ) ( ' 0 ) 0 ( 1 1 . 0 ) ( ) 10 ( 1 ) ( − − = = − = ≅ + = Całka Duhamela: t t t t t t t t t t X t i i e e e e e e e e e d e e d e e t U t S d K t S K t S t S 10 5 5 5 0 5 5 5 0 5 0 5 ) 5 10 ( 5 0 ) ( 5 10 2 0 1 1 2 ) 1 ( ) ( | 5 5 1 5 5 5 ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) 0 ( ) ( ) ( − − − − ⋅ − − − − − + − − − − − − = − = = − − = ⋅ ⋅ = = ⋅ = = ⋅ − + ⋅ =

∫

∫

∫

τ τ τ τ τ τ _{τ τ} τ τ τ K(S) U2(t)=5e-5t Ux(t)