Vraagstukken trillingen en golven I, 2e uitgave

Vraagstukken

trillingen en golven

1

door drs.

l.

J.

Smits

2e uitgave

A - cursus

C-4

VRAAGSTUKKEN TRI L L I N GEN en G 0 L VEN I

De vraagstukken zijn gedeeltelijk ontleend aan examen- en tentamen-opgaven van de Afdeling Technische Natuurkunde.

De opgaven zijn bestemd voor N-I studenten.

De samensteller houdt zich aanbevolen voor opmerkingen of suggesties die kunnen leiden tot verbetering van deze uitgave.

Delft, maart 1971.

Laboratorium voor Technische Natuurkunde

L.J. Smits COL 0 F 0 N tekeningen dactylografie samenstelling druk redactie A.S.G. de Knegt Mevr. M. de Wijs-Wensvoort drs. L.J. Smits D.U.M. V.S.S.D. te Delft

5

-I. Op een wisselspanning, waarvan de effectieve waarde 100 volt is, en de frequentie 50 Hz is, wil men een lamp voor 60 volt en IS watt aansluiten, zo, dat deze normaal brandt. Men kan dat doen door een weerstand ofwel een condensator in serie met de lamp te schakelen. Hoe groot moet die weerstand, ofwel de capaciteit van die condensator, zijn?

2. Op een wisselspanningsbron (220 V effectief, 50 Hz) zijn, in seriescha-keling, een smoorspoel, waarvan L

=

O,S henry en R

=

60n, en een ther-mische ampèremeter waarvan de weerstand 40n bedraagt, aangesloten. Welke stroomsterkte wijst de meter aan, en welke spanning staat er op L en R tezamen?

3. Op een wisselspanning van 100 V en 50 Hz worden, in serie, een ampère-I

meter (met een inductievrije weerstand van 10 ohm) en een smoorspoel met weerstand geschakeld. Op de smoorspoel blijkt 84,85 V te staan, terwijl de ampèremeter 2 A aangeeft. Hoe groot is de weerstand van de smoorspoel en hoe groot is het faseverschil tussen stroom en spanning op de smoor-spoel?

4. De einden van een draadklos, waarvan de coëfficiënt van zelfinductie -5

5.10 H bedraagt en die een weerstand van O,04n heeft, zijn verbonden met een wisselstroomleiding, waarvan de spanning in volts V

=

O,S sin 700 t bedraagt.

a. Bereken de maximumwaarde van de stroomsterkte in de klos. b. Hoe groot is het faseverschil tussen spanning en stroomsterkte?

5. Op een wisselspanning VI met cirkelfrequentie w zijn, in serie, een zelfinductie L en een verbruikstoestel aangesloten. De spanning op L blijkt V₂, die op het toestel V

3 te zijn. Welk vermogen neemt het toestel op?

6. Een elektrisch toestel voor het opwekken van mechanische trillingen is aangesloten op een wisselspanning van 50 Hz. Het levert per periode een energie van 80 Ncm. Uit het warm worden van het toestel leidt men af dat in het inwendige ervan een verlies van 20 watt optreedt. De gemiddelde waarde van de spanning is 63,7 volt; de maximum waarde van de stroom is 6 ampère.

a. Bereken het' rendement van het toestel.

de spanning?

E

de stroom

, ,

b. Hoe groot is de fasehoek tussen de stroom en in fase voor of achter t.o.v. de

spanning~

7. Een elektrisch aangedreven hefwerktuig moet 1500 kg in 10 sec over een hoogte. van 5 m heffen.

a. Welk vermogen moet de motor minstens hebben?

~

b.

Als de motor op een wisselspanning van 220 volt effectief aangesloten wórdt, het rendement

~ is en cos

~ =

0,9, welke stroomsterkte moet de bron dan tijdens het heffen leveren?

~

Het distributienet bevat vier groepen van leidingen; één groep heeft een potentiaal

=

0 (de nulleiding), de andere hebben ten opzichte van de nul-leiding een (effectieve) spanning van 220 V, die echter onderling 1200 in fase verschillen. Toon aan dat de spanningsleidingen ten opzichte van elkaar een spanning van 220

13

~ 380 V hebben.

~9.

Een systeem bestaat uit een serieschakeling van een zuivere weerstand van 1600, een condensator met een capaciteit van 1/(44000n) F (= 7,2 ~F) en een spoel waarvan L

=

4,4/n H (= 1,4 H) en R.·

=

600.

l.

Het systeem staat op een wisselspanning van 220 V (eff.) en 50 Hz.

Toon aan dat de spanningen op de zuivere weerstand, op de condensator, op de'. spoel, en op de combinatie condensator + spoel respectievelijk 160, 440, 444 en 60 V zijn.

7

-\

tg .'Èen spoel waarvan L = 0,005 H en waarvan de inwendige weerstand verwaar-loosbaar is, en een condensator met C

=

5 ~F zijn parallel geschakeld. Op dit systeem wordt een wisselspanning geplaatst door middel van een toon-generator (dit is een wisselstroomtoon-generator waarvan de frequentie binnen ruime grenzen kan worden geregeld; de frequentie wordt door middel van een luidspreker tevens hoorbaar gemaakt). Het sinusvormige verloop van de opgewekte stroomsterkte met de tijd wordt afgebeeld op een oscilloscoop. Veranderingen van de ingestelde frequentie kan men dus zowel horen als zien; veranderingen van de stroomamplitude kan men alleen maar zien. Bij een frequentie van 1000 Hz krijgt de stroomamplitude een minimum-waarde, die bovendien zeer klein blijkt te zijn.

Verklaar dat,. in de onderstelling dat de opgewekte effectieve spanning constant is.

b. De spoel en de condensator worden nu in serie geplaatst. Verder blijft de opstelling onveranderd. Bij diezelfde frequentie van 1000 Hz wordt de stroomamplitude juist maximaal. Verklaar dat.

11. Een spoel wordt in serie met een zu~vere weerstand van 40rl aangesloten op een wisselspanning van 300 V en 50· Hz. Op de spoel blijkt dan een spanning van 260 V te staan en op de zuivere weerstand een spanning van 80 V. Bereken R en L van de spoel. (Drie voltmetermethode).

~

2.

Een gloeilamp, gemerkt 100 V, 20 W, wil men met onveranderd vermogen ge-bruiken op een wisselspanningsnet van 200 V, 50 Hz, en wel zódanig dat de resulterende stroo,n in fase met de netspanning blijft. Dat kan met de vol-gende twee schakelingen:

13. Een gloeilamp, gemerkt 200 V, 40 W wil men met onveranderd vermogen ge-bruiken op een wisselspanningsnet van 100

V,

50 Hz, en wel zódanig dat de resulterende stroom in fase met de netspanning blijft. Dat kan met de volgende twee schakelingen:

14.

L

Bereken voor beide gevallen de waarden van L en C.

~----~.~~---~

In de hier afgebeelde brug van Wien zijn de weerstanden R

2 en R3 regelbaar. Leid af dat voor een brugevenwicht nodig en

e e

voldoende is, dat I R₂

=

R3 ~ 2 de frequentie v

=

1/(2nR2~' (Met behulp van deze brug kan men dus een onbekende fre-quentie meten).

15. Sluit men twee passieve tweepolen in ser1e aan op een wisselspanningsnet van 100

V

(eff) dan nemen ze samen een vermogen van 50 W op; sluit ~en ze parallel op dat net aan dan is het totale vermogen 160 W; bovendien is in beide gevallen de netstroom in fase met de spanning. Bereken van elke

tweepool de resistantie en de reactantie.

16. C en L zijn vast; R is variabel. Er is

gegeven dat w

=

1/ hLC •

Laat zien dat de afbeelding van Z in syst het complexe vlak op een halve cirkelboog moet liggen met de oorsprong als middelpunt en met een straal

=

12L/C; de ligging van Z op die halve cirkel hangt dan nog van R af volgens:

17.

L

C

L - - - / l } '" ~---...

9

-Bij nevenstaande schakeling is gegeven dat de totale stroom in fase is met de aangelegde wisselspanning. De effectie-ve waarde van deze spanning is U .

e a. Laat zien dat de effectieve sterkte I

e

van de totale stroom gelijk 1S aan

[

RI R2]

Ue

-I~+~·

Hierbij is Z I derste tak.

impedantie van de bovenste tak. Z2 = impedantie van de

on-b. De frequentie van de wisselspanning is 50.

Iz I

\ rs--

2

18.

Laat zien, dat

~

~ ~05

LC (gebruik daarbij w Ie spanningsleiding

3e spanningsleiding

Een driefasen-wisselstroomgenerator G geeft stroom aan drie systemen. De spanningsleidingen hebben t.o.v. 'de nulleiding elk een effectieve spanning u_eff' terwijl de spanning in de eerste spanningsleiding 1200 in fase vóór is op die in de tweede, en deze weer 1200 vóór is op die in de derde lei-ding. De verdere gegevens kan men in de figuur vinden.

a. Bereken het totale door de generator geleverde vermogen.

b. Leid af dat de stroom door de nulleiding in fase of in tegenfase is met die in de eerste

i

eff ,0 ueff

I

-RI

spanningsleiding; zijn

_ R + wL

131

R2+ w2 L 2 •

effectieve sterkte is gelijk aan

(Advies: Stel de complexe amplitude van de spanning in de eerste leiding U, dan zijn die van de tweede en de derde leiding respectievelijk U exp(-j1

~)

en U exp (+j1

~)).

19. A. Twee harmonische trillingen in dezelfde richting uI

=

Û cos (wt + ~)

en u

2

=

û cos (wt - ~), leveren samengesteld een harmonische trilling met dezelfde amplitude u.

a. Welke VLer waarden tussen 0 en 2n volgen hieruit voor' ~?

b. Teken voor deze 4 gevallen het fasediagram van de samenstelling en geef daarin door een boogje de hoek ~ aan.

B. In nevenstaande schakeling levert de

i I spanningsbron een wisselspanning van 200 V (eff. ) bij een frequentie van 150 In Hz. De drie stroommeters wij-i2

elk 5 A (eff. ) De stroom i

zen aan.

is in fase met de wisselspanning. i

De tweepolen I en 2 zijn passief. c. Welke twee waarden tussen 0 en 2n kan het faseverschil tussen i

l en i

aannemen (= fase i

l - fase i) en welke waarden hebben de daarmee

corres-ponderende faseverschillen tussen i

2 en i?

d. Vervolgens wordt van tweepool no. I gegeven, dat hij bestaat uit een weerstand en een condensator, in serie geschakeld. Bereken de weerstand RI en de capaciteit C.

e. Tenslotte wordt van tweepool no. 2 gegeven, dat hij bestaat uit een weer-stand en een spoel, parallel geschakeld. Bereken de weerweer-stand R

2 en de coëfficiënt van zelfinductie L.

20a. In een brug van Wheatstone zijn Ln de takken opgenomen de vaste ~eerstan­

den RI en R

2, de vaste condensatoren C3 en C4 en de regelbare weerstanden R3 en R4 volgens nevenstaand schema; de brug is aangesloten op een wis-selspanningsbron U.

u

Welke verhouding moet er bestaan tus-sen R3 en R4 wil de brug in evenwicht zijn?

b. Welk verband bestaat er tussen de

J---~

cirkelfrequentie van de spanningsbron 3 en de netwerkelementen van de derde

en vierde tak als de brug in evenwicht is?

- 11

-~ R L

.~~r----~JBereken de modulus en het argument van de ~mpedant~~ van nevenstaande tweepool als gegeven ~s:

C

L -__ ~ ____ ~ R

=

2~, L

=

!H, C !F, w 2 radis.

b. Idem als gegeven is:

R

=

I~, L

=

!H, C

=

!F, w

=

2 radis.

c. Welke betrekking moet er tussen L, C en w bestaan, opdat de modulus van de impedantie van deze tweepool onafhankelijk is van R?

22. Vanuit twee centra, trillend volgens de vergelijkingen Y_I = 3 s~n TIt en

Y2

=

sin TIt (YI en Y2 in cm; t in sec) planten zich longitudinale golven voort langs een schroefveer met een snelheid van 150 cm/s. Stel de ver -gelijkingen op voor de lopende golven, door elk der beide centra naar weerskanten uitgezonden.

23.

Bepaal de bewegingsvergelijking voor een punt op de veer 6 meter van het eerste centrum en 4 meter van het tweede centrum (twee gevallen: centra

2 m van elkaar, en 10 m van elkaar).

;venlsi:

de volgende opstelling:

Is

J

2

. :!i

L

1 1 12

L

=

kwasimonochromatische lichtbron met golflengte À

=

0,6 ).lm SI scherm met spleet. Spleetbreedte b. S2 en S3 zijn spleten ~n een scherm op afstand 1₁ van SI. Spleetbreedte d. De afstand van het midden van S2 tot het mid-den van S3 is gelijk h. De lengterichting van de drie spleten staat lood-recht op het vlak van tekening.

Gegeven: b is zeer smal

1₁ m h 5 nniI d 0,1 mm

1₂ 3 m

24. In een scherm D zijn twee zeer nauwe evenwijdige spleten LI en L

2 aan-gebracht op een afstand h

=

3 mmo Op 2 meter achter D wordt een tweede scherm, S, geplaatst. Scherm D wordt verlicht met een evenwijdige bundel licht bestaande uit monochromatisch licht van bekende golflengte (600 nm) en monochromatisch licht van een wat kleinere, nog onbekende golflengte. Dit menglicht geeft op scherm S aanleiding tot een interferentiepatroon, waar een uitgesproken periodiciteit van 7,6 mm in is waar te nemen.

Bereken de onbekende golflengte.

25. D

---

-I

I

IJ

f' 2 meter 'F' A

Een tralie T bevat 7 evenwijdige zeer smalle spleten. Het hadden er 8 moeten zijn, maar de derde van boven is door de verdeelmachine abusieve-lijk niet getrokken (zie figuur). De roosterconstante is 0,4 mmo Vlak voor de tralie is een spleetdiafragma D geplaatst, dat maximaal 5 spleten vrij laat. De tralie wordt met een evenwijdige bundel monochromatisch

licht loodrecht belicht. De golflengte is 640 nm. Als het diafragma zich bevindt in de positie van de figuur is de intensiteit in het brandpunt F' van lens L (f'

=

2 meter) gelijk aan I • _o

a. Hoe groot is de intensiteit in een punt A gelegen in het brandvlak op een afstand 0,4 mm van F', uitgedrukt in I ?

o

b. Vervolgens wordt' het diafragma over één roosterconstante omhoog geschoven. Hoe verandert daarmee de intensiteit in A?

c. Het proces van het opschuiven wordt nog twee maal herhaald. Bereken ook voor die gevallen de intensiteit.

~-- - - ~---~--26. - ]3

-s

L]

_1~2

*

__ ___ ::.!.2

t

k/2 h/2 L2

*

m

In een gewijzigde opstelling van de proef van Young (zie figuur) wordt de dubbelspleet D

2 belicht door twee zeer nauwe spleten in D]. Deze spleten in D] ontvangen licht van de monochromatische lichtbronnen L], resp. L

2 van de golflengte À. Wordt de spleet bij L] afgedekt dan ont-staat een patroon van interferentielijnen op het scherm S. Hetzelfde geschiedt als de spleet bij L

2 wordt afgedekt. Beschrijf de gedaante en de plaats van deze patronen.

Laat men L] en L

2 tegelijk werken, dan wordt het patroon van L2 in ·het algemeen verstoord door dat van L], behalve bij een bepaald verband tus-sen À en de getekende grootheden; dan heeft het al of niet afdekken van L] of L

2 alleen een intensiteitsverschil ~n het interferentiepatroon op S tengevolge. Hoe luidt dit verband?

27. In een scherm D zijn twee spleten van breedte b aangebracht, gescheiden door een strook, eveneens b breed. Een evenwijdige bundel monochromatisch licht valt loodrecht op dit scherm.

D L

..

À

-

b

-

b

.-

b

..

-

f

Het buigings-interferentiebeeld dat op een ver verwijderd scherm zou ont-staan maakt men dichtbij zichtbaar door het plaatsen van een lens L en een scherm S in het brandvlak van de lens (zie figuur).

....

a. Stel de lichtintensiteit in het brandpunt F is I o wanneer één der

sple-ten afgedekt is. Hoe groot is dan de insple-tensiteit in F als het licht door beide spleten gaat? En hoe groot zou die zijn als men vervolgens nog de

tussenstrook verwijdert? (Dus de totale spleetbreedte is dan 3b). b. Als slechts licht door één spleet (dus met de breedte b) wordt

doorgela-ten ontstaan er op het scherm minima. Als de afstand van het eerste

minimum tot F gelijk is aan d dan zijn de afstanden van de volgende m1n1ma

2d, 3d enz. Toon dat aan. _{1 3}

c. Bereken in de situatie b. de intensiteiten op de afstanden

2d

en

2d

van F (uitgedrukt in I ). _o

d. Er wordt nu weer licht doorgelaten door beide 1 bovendien minima ontstaan op de afstanden 4d,

spleten. Toon aan dat

3 5

4d, ~ enz. van

F.

1 3

er nu

e. Bereken in de situatie d. de intensiteiten op de afstanden

2d

en

2d

28. (uitgedrukt in

--

_..

-

-I ). o D

I

L + F

~~~

A

H

-=-=--+---==- - - cjL--- - - - ~--- ~--- ~--- ~--- - - B

I

..N

I

5,4 m

In een scherm D bevinden zich 4 zeer nauwe, evenwijdige spleten op 'onder-linge afstanden van 2,7 mm, 5,4 rnrn en 2,7 mm. Het scherm D wordt verlicht

met een evenwijdige bundel monochromatisch licht van golflengte 0,48 Ilm. Het licht valt loodrecht in op het scherm. Achter elke spleet treedt

bui-ging op, waardoor op een ver verwijderd scherm de bijdragen van de 4 sple-ten aanleiding geven tot een interferentiepatroon. Dit patroon wordt dichtbij zichtbaar gemaakt in het brandvlak F van de lens L, die een brand-puntsafstand heeft van 5,4 m.

De lichtstralen, die ongebogen de spleten verlaten, komen dus samen in het

---~~ ---~---~-

-- 15

-a. Construeer in een fasediagram uit de deelamplituden der 4 spleten de totale amplitude, die aanleiding geeft tot I

H. Stralen, die onder een

-4

hoek ~

=

2.10 radiaal met AH de spleten verlaten, komen terecht in het bijbrandpunt B en geven daar een intensiteit IB.

b. Construeer in een fasediagram uit de deelamplituden der 4 spleten de to-tale amplitude, die aanleiding geeft tot IB. Druk vervolgens I

B uit in IH. c. Bereken op dezelfde wijze (via de constructie van de totale amplitude) de

lichtintensiteit IN in het punt N, gelegen 1 mrn beneden B.

29. In een scherm D bevinden zich vier evenwijdige zeer nauwe spleten op een onderlinge afstand p van 1 mmo Loodrecht op het scherm valt een evenwij-dige bundel monochromatisch licht, van golfle~gte À

=

0,5 ~m. Door middel van een lens L met brandpuntsafstand f van 2000 mm wordt in het brandvlak S een buigingsbeeld gevormd.

1

+

I

~p

--=--i-

- - - - F

-I

-

f L S

De hoofdas van lens L loopt evenwijdig met de opvallende bundel licht. a. Hoe groot is de afstand van het nulde orde en eerste orde hoofdmaximum? b. Hoe ver moet men van het hoofdbrandpunt F uit naar boven gaan om voor de

eerste, resp. voor de tweede maal een intensiteit nul aan te treffen? c. Hoe groot is de verhouding tussen de intensiteit lp in punt p, dat 3/8 mm

boven F ligt en de intensiteit IF ~n F? (Maak eventueel bij de berekening

gebruik van de waarde voor s~n 670 30'

=

0,924 of

12=

1,414) .

d. Vervolgens worden de beide onderste spleten afgedekt, zodat alleen licht door de beide bovenste spleten valt. Waar ligt in dit geval het nulde en eerste orde maximum?

e. Hoe groot is de verhouding van de intensiteiten van de maxima onder d. vergeleken met die onder a.?

30. In een scherm D bevindt zich een smalle spleet van 0,2 mm breedte.

Loodrecht op het scherm valt een evenwijdige bundel monochromatisch

licht van golflengte À

=

0,6 ~m. Door middel van een ideale lens L met

brandpuntsafstand f van 2,5 m wordt in het brandvlak S een buigings-bee ld gevormd. +

-

p

-

x F

-

_f D S

a. De intensiteit in het hoofdbrandpunt F zij 10. Hoe groot is de

lichtin-tensiteit lp in een punt P op geringe afstand x van F, uitgedrukt in x

en I _o

?

b. Bereken de maximale afstand tussen twee naburige donkere lijnen in het buigingspatroon.

De monochromatische lichtbron wordt vervolgens vervangen door een witte bron van grote intensiteit. In F plaatst men de intreespleet van een

spectroscoop; deze spleet loopt evenwijdig met de buigingsspleet.

Het licht in F wordt door de spectroscoop ontleed in de golflengten (kleuren) die in F voorkomen tussen 0,8 en 0,4 ~m (zichtbaar gebied). c. Toon aan, dat men een continu spectrum waarneemt.

d. De spleet van de spectroscoop wordt verplaatst naar een punt

f

·

op een afstand 5 mm van F. Hoe ziet het spectrum er thans uit?

e. Als vraag d. , echter bij een afstand FP van 10 mmo

f. Hoeveel donkere banden zijn in het spectrum waar te nemen bij een af-stand FP van 17 mm? Bij welke golflengten liggen deze banden?

- 17

-31. In een scherm D bevinden zich drie evenwijdige zeer nauwe spleten op éen

onderlinge afstand p van 0,6 mmo Loodrecht op het scherm valt een

even-wijdige bundel monochromatisch licht van golflengte À

=

0,4 ~m.

Door middel van een lens L met een brandpuntsafstand f

=

1500 mm wordt

in het brandvlak S een buigingsbeeld gevormd. +

---

F

-D L S

v

a. Construeer in een fasediagram uit de deelamplituden der spleten de re-sulterende amplitude in het brandpunt F.

b. In een punt A boven F (zie figuur) ligt een zwak nevenmaximum in het buigingsbeeld, van F gescheiden door één m1n1mum. Construeer in een fase-diagram de resulterende amplitude in het punt A.

c. Hoe groot is de afstand AF?

d. In het scherm S brengt men vervolgens twee zeer nauwe spleten aan, even-wijdig aan de spleten in D, en gaande door de punten A en F. Beschouw de verlichting van deze spleten als coherent (dit zegt uitsluitend iets

over de fase~). Op een ver verwijderd scherm V ontstaat nu een

inter-ferentiepatroon. Hoe verhouden zich de intensiteiten van de maxima tot die der minima op V?

e. De lichtbron wordt nu vervangen door een andere, die even intens licht

van golflengte 0,6 ~m uitzendt. Aan het scherm S met de spleten wordt

niets veranderd. Wat neemt men op het scherm V thans waar? Welke verhou-ding bestaat er tussen de intensiteit(en) op V tot de intensiteiten der maxima en minima, die er waren bij onderdeel d?

32. Een harmonische beweging wordt gegeven door de betrekking

x A cos (wt +

a).

Bereken A "en a, wanneer gegeven is: o? t

°

1S

33. Onder een harmonische rotator verstaat men een stijf lichaam, dat draai-baar is om een vaste as (traagheidsmoment I) en waarop een moment werkt

dat evenredig is met de hoekverdraaiing

a

uit een bepaalde stand (de

evenwichtsstand) en het lichaam naar deze stand terug drijft. (Even

re-digheidsfactor 8). Stel de bewegingsvergelijking op, die

a

uitdrukt in

a,

I en 8. Geef de algemene oplossing hiervan.

Hoe groot is de cirkelfrequentie?

Hoe groot 1S de hoeksnelheid als functie van de tijd t?

34. Bereken de spankracht in de draad van een mathematische slinger (lengte i,

massa m) als functie van de hoek

a

van de draad met de verticaal. De

maximale uitwijking is

a

(deze is niet klein ondersteld).

m

~

Bereken de amplitude en de beginfase van de trilling:

.." x = 3 sin wt + 4 cos wt.

36. Dezelfde vraag voor de trilling:

--37. Dezelfde vraag voor de trilling: x

--N

t

~ cos (wt + ~k) _(ak >

0).

38. De beweging van een harmonisch trillend deeltje wordt beschreven door

de betrekking x

=

A cos (wt + a).

Toon aan dat de kans om het

ge I ijk i s aan

--2!c-'

d,-X'-"--=2--r! .

1T (A - x )

deeltje aan te treffen tussen x en ~,+

39. Beschouw een gedempte harmonische rotator.

dx

Gegevens als in vraagstuk 33, maar nu werkt er nog een remmend moment

·dat evenredig is met de hoeksnelheid. Evenredigheidsfactor is À.

Stel de bewegingsvergelijking op die

ë

uitdrukt in

a

·

,

I, 8 À en

ë.

Geef hiervan de algemene oplossing voor het geval van zwakke demping, sterke demping en kritieke demping.

- 19

-40. Een plasma moge bestaan uit een geroniseerd gas van de volgende samen-stelling: ionen en elektronen in overal gelijke concentratie: n. n

1. e

a.

n

=

_{aantal ionen (elektronen) per volume-eenheid.}

Lading ion: e. Lading elektron: -eo Massa ion: m,. Massa elektron: m . _1.

e

Stel m. » _{m . Een relatieve verplaatsing van elektronen t.O.V. de ionen}

1. e

veroorzaakt een elektrisch veld, dat de elektronen naar de evenwichts-stand terug

+,

+1 I

+,

+'

.'

,

E

+

+'

₁

+,

9

-E nex EO drijft. x

-

,

-I -I -I

-

-I _I

,

-

₁ -I

-We nemen aan dat de ionen op hun plaats blijven

(geoorloofd wegens mi » me)'

Stel dat we een "schijf" plasma ter dikte l!. heb-ben, en dat de elektronen over een afstand x zijn verschoven t.o.v. de iqnen.

Bewijs:

b. De elektronen gaan harmonisch oscilleren met een cirkelfrequentie w =

eV

n •

e m E

e 0

Opmerking: deze frequentie heet de plasma-frequentie en alleen

radio-golven met w > _{we kunnen zich door zo'n plasma voortplanten.}

41. De betrekking x = A e-yt cos (wt + a) (A > _{0) beschrijft een gedempte}

trilling. Bereken A en a _{als gegeven is: op t = 0 is x = x en v}

₌

_{v .}

o 0

Ga na dat de uitkomst voor y ~ _{0 overgaat in die, welke onder 32 g}

evon-den is.

42. "Bij een gedwongen trilling in de stationaire toestand is het gemiddeld

vermogen door de dwingende kracht aan het systeem geleverd precies gelijk

aan het gemiddeld vermogen door de wrijvingskracht gedissipeerd." a. Bewijs deze stelling, uitgaande van een dwingende

die aan het trillende systeem een snelheid û

s geeft, waarbij tg

~

=

rw/(k - mw2). kracht F

=

F wFsin (wt 2 2 {(k-mw) + cos wt

-

~)

2 2}!

r w

b. Vergelijk het zo gevonden gemiddeld mechanisch vermogen

_P

_{met het} gemid-delde vermogen in wisselsttoomschakelingen

_(P

₌

_!

_{û. î cos ~').}

c. Met welke w moet de dwingende kracht variëren om een maximaal vermogen

aan het systeem te leveren en hoe groot is dat vermogen dan in het

mechanische geval?

43. A. Leid een uitdrukking af voor de amplitude van een gedwongen trilling

.

'--~n de stationaire toestand, uitgaande van de bewegingsvergelijking.

!.

Een massa van 0,2 kg. hangt aan een schroefveer waarvan de massa

ver-waarloosd mag worden. De veerconstante (of bindingssterkte) van de veer

is 476 Nim en de mechanische "weerstand" van het systeem (de

dempings-coëfficiënt) bedraagt 0,14 kg/s. Op het systeem wordt een periodieke

dwingende kracht van 2 cos 50t newton uitgeoefend. Bereken de maximale

uitwijking (in cm) uit de evenwichtstand, nadat de stationaire toestand is ingetreden.

C. a. Wat verstaat men onder de kwaliteitsfactor van een trillend systeem?

b. Welke dimensie heeft die factor?

c. Hoe groot is die factor in het onder 43 B beschreven geval?

D. "Vertaal" de opgave onder 43 B. ~n een analoge wisselstroom opgave.

Ver-vang daarbij de numerieke gegevens door lettergrootheden.

De gevraagde berekening behoeft niet uitgevoerd te worden; gevraagd wordt

alleen de redactie van het "vertaalde" vraagstuk.

44a. Op het tijdstip t

=

0 is de lading van de linker plaat van de condens

a-~L

R::J

tor in nevenstaande schakeling q . De o

schakelaar wordt op dat moment gesloten. Schrijf de differentiaalvergelijking op

waaraan q als functie van de tijd

vol-doet na het sluiten van de schakelaar. b. Aan welke onderlinge betrekking moeten L, R en C voldoen, opdat de

ont-lading van de condensator kritiek gedempt is?

c. U mag als bekend aannemen, dat de algemene oplossing van de bewegings-vergelijking voor een kritiek gedempte mechanische trilling de gedaante

u

=

(AI + A

2t) exp (-Àt) heeft. Op welke wijze hangt de lading q van de

linkerplaat van de condensator na het sluiten van de schakelaar af van

de tijd? (Uitgedrukt in q , R, L en t). _o

Op welk tijdstip is de (absolute) waarde van de stroomsterkte maximaal?

- - -

-- 21

-45.

!.

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking voor een vrije harmonische trilling luidt, voor het geval van de zwakke demping:

u

=

A. exp(-rt/2m).cos(wlt + ~).

a. Van welke differentiaalvergelijking is dit een oplossing? b. Hoe luidt de karakteristieke vergelijking voor dit geval?

c. Aan welke conditie moet worden voldaan, wil de trilling zwak gedempt zijn?

!.

Aan een veer, waarvan de massa verwaarloosbaar klein is, hangt een lichaam met een massa van 0,5 kg in rust. Dit lichaam wordt verzwaard met een massa van 0,2 kg en komt dan tot rust in een stand, waarbij de veer 0,04 m verder is uitgerekt. Op het tijdstip t

=

0 wordt de extra massa van 0,2 kg plotseling verwijderd, waardoor het lichaam in trilling komt. De amplitude van deze trilling is na I seconde afgenomen tot het e-de gedeelte van zij~ oorspronkelijke waarde.

a. Bereken de waarde van de coëfficiënt van de dempingsterm uit de differen-tiaalvergelijking voor deze trilling. Vermeld de eenheid.

b. Hoe groot is de beginamplitude? Vermeld de eenheid. c. Bereken de cirkelfrequentie w

l van deze trilling. Vermeld de eenheid. d. Hoe groot is de beginfasehoek?

46. Een massa m kan praktisch wrijvingsloos bewegen over een horizontaal vlak.

r-

_{Aan weerszijden van de massa is een veer bevestigd met veerconstante k}

l resp. k

2. Het vrije einde van veer I is aan de wand bevestigd. Het vrije einde van veer 2 voert een harmonische beweging uit volgens

u

2(t)

=

û2 cos wt. Hetaanloopverschijnsel (de overgangstoestand) is uit-gestorven.

a. Welke krachten werken op m? u 2(t)

~ b. Stel de bewegingsvergelijking op voor m.

c. Bereken uI (t). (De toestand ~s stationair, zie boven).

d. Welke twee waarden kan het faseverschil tussen ul(t) en u

2(t) hebben? Waardoor wordt bepaald welke van de twee waarden optreedt?

ANTWOORDEN 1.160 n; (320001T)-1 F::: 10 IJF. 2. 220 A 10013;5 ::: 220 A 187 ::: 1,18 A; 1,2 h600 + (501T)2'V ::: 200 V.

3. 30

n;

spanning is 450 voor op stroom. (Beide uitkomsten bij benadering).

4. a.

~

::: 9,41 A. b. de spanning 1S op de stroom vóór een hoek

/Iï3

arc tg

i:::

4101 I ' .

(

V~

-

v~

-

V;] 2J

2V 2V3

6. a. 66,7% b. ~

=

arc cos 0,2 ::: 78028'. De stroom kan zowel voor als achter zijn in fase op de spanning.

7. a. 7500 W; b. ca 57 A.

11. R 50

n

;

L

=

~

H ::: 0,38 H. 1T

10-4 20

12. In het eerste geval: C

= ----

F ::: 3,7 IJF en L

= ---

H ::: 3,7 H.

51T13 1T13

In het tweede geval: L = 5/3 H ::: 2,8 H en C = 51

F":::

2,8 IJF.

1T 10 1T

Aanwijzing: beschouw de gloeilamp als een zuivere weerstand R.

Bereken deze. Bedenk, dat de impedantie

Izll

van de bovenste tak 2R

moet zijn. Daaruit volgt C, resp. L.

Bedenk vervolgens, dat d~ complexe impedantie van de gehele schakeling reëel moet zijn: Im Z

=

0 (totale stroom in fase met netspanning).

13. Eerste geval: L

=

-lQ H ::: 1,8 H en C

=

(250001T 13)-1

1T/3

F

Tweede geval: C

=

1

F ::: 5,5 IJF en 10 1T13

L =

513

H '" 1,4 H. 21T

Aanwijzing: beschouw de gloeilamp als zuivere weerstand en bereken deze.' Bereken de complexe impedantie van de gehele schakeling en bedenk dat

23

-deze reëel is. lm Z

=

0 (totale spanning en stroom in fase). Bereken de complexe impedantie van de parallelschakeling Z2 en bedenk, dat Iz21

=

2Z.

15. Van de ene tweepool zijn resistantie en reactantie resp. 100 n en 50 n, van de andere resp. 100

n

en -50

n.

16. Aanwijzing voor het laatste deel: bedenk dat arc tg x 1T 2 - arc tg ; . 1

17. Aanwijzing: Z is reëel, dus ook

i

is reëel. Schrijf

i

op en laat de imaginaire termen weg, omdat ze nul zijn. b. volgt uit het nul zijn van het imaginaire deel van Z.

2 1 2R 2 2}. 18. a. U_eff {- + R2 R + W L 19. a. cp = _ e 1T 21T 41T 51T

3; 3; 3'

3' b. 1T 51T

c. cp

₌

₃

_of

_3'

De hiermee corresponderende faseverschillen tussen i 2 i zijn 5'11 '11

d. RI 20

n·

_,

C I) F :: _{96 llF.} = 18000 e. R₂ 20 ~; L =~I)H:: 15 0,115 H. 20. R3 = R2 C 4 a. R4 RI C₃ b. w=

VR

₃R₄C₃C 4

21. a.

121

2

n·

,

arg

2

arc tg

!

- arc tg 2 b.

121

2

n·

,

arg

2

o.

c. 2w2LC 1.

22. Kies de x-as langs de schroefveer, met de oorsprong in het eerste trillingscentrum. Het andere trillingscentrum moge zich bevinden op·het

positieve deel van de x-as. Het eerste centrum zendt nu een golf met uitwijking

Y~

(x,t) = 3 sin[TI(t -

I~O)]

in de positieve x-richting en

een met uitwijking Y~ (x,t) = 3 sin [TI(t + I~O)] in de negatieve

x-richting uit.

Het tweede trillingscentrum kan zich bevinden in x

1000 cm.

200 cm of in x

In het eerste geval zendt het in de positieve, resp. negatieve x-richting

+ x 2

een golf uit· met uitwijking Y2(x,t) = sin [TI(t - 150) -

3

~ resp. Y₂ (x,t) = sin [TI(t +

I~O)

+

~

TI].

In het tweede geval:

+ x 2

Y2 (x,t) sin [TI(t - 150) +

3

TI] resp. Y2 (x,t) sin [TI(t +

I~O~-

1

TI].

De bewegingsvergelijking voor het punt is: y(t)

17.

sin [TIt - arc tg

(-}13)] .

23. De afstand tussen opeenvolgende maxima (of minima) is 0,36 mmo

24. 570 nm.

Aanwijzing: stel de bekende golflengte À en de onbekende À - 6À. De afstanden tussen de bijbehorende interferentiestrepen zijn resp.

25

-v..

R. (>. - tlÀ)

-h

en h ' als R.

=

de afstand tussen de schermen D en S

=

2m. Een duidelijke periodiciteit in het interferentie patroon wordt nu

waar-R.À R.(À - tlÀ) .

genomen als N.~

=

(N + J) h waarln N een geheel getal is (niet te groot).

25. Door middel van een fasediagram, waarmee men de bijdragen der afzonder-lijke spleten tot de amplitude samenstelt tot een resulterende amplitu-de, en de overweging, dat de intensiteit evenredig is met het kwadraat van de amplitude vindt men:

a. IA 3+2.''2 1 ::: _{0,23 I} 25 0 0 b. IA 4 + 2/2 I :: 0,27 1 25 0 0 2 + /2

-0,14 c. IA ₂₅ I

-

I 0 0 2 I 0,08 I d. IA

_2s

0 0

26. Kies een x-as in S en in het vlak van de figuur. Positieve richting naar boven, 0 in het snijpunt van de stippellijn met S.

vinden we maxima voor x

=

n

~À +

~!

(n

=

0; : J; :

Als LJ afgedekt is

2; ..•.. ) .

Als L

2 afgedekt is vinden we maxima voor x

= n.

~

kR,

- 2m' Verstoring der patronen bij gelijktijdig werken van LJ en L

2 treedt niet op als de maxima samen vallen (geen interferentie, want de lichtbron-nen ZlJn niet coherent).

R.À kR. ,R.À kR. kt Dus n ~ + 2m = n

'h -

2m ==> m k

=

n".

k . mln 27. a. resp. 4 10 en 9 10' b.

---v..

(n'-n) h

n"

_h

v..

(n"

--

---J, 2, ...• ) P " b sin4>1 ----+---~----~~~~---~F f

c.

d.

Het eerste m1n1mum P is zodanig gelegen, dat (zie figuur) b sin ~I

=

À.

Immers: verdeel de spleet in een zeer groot" aantal even brede subspleten •

De optische weglengte van twee subspleten, die op afstand !b van elkaar liggen, tot P verschilt dan juist !À, zodat de bijdragen van deze twee spleten tot de amplitude in P elkaar opheffen. Aangezien de hele spleet

te verdelen is in zulke paren, is de totale amplitude in

P

nul, en dus

ook de intensiteit. Voor een kleinere waarde van ~ is een dergelijke verdeling van de spleet in paren die elkaars bijdrage teniet doen, niet

mogelijk. Vandaar dat P het eerste maximum is.

We nemen nu aan, dat

~I

zeer klein is, dus: d

=

f tg

~I

=

f sin

~I

z

~

À.

Het volgende minimum treedt op voor b si~ ~2

=

2À, immers dan heffen de. bijdragen van twee subspleten die !b van elkaar liggen elkaar op en men

kan de hele spleet weer verdelen in paren van aldus gelegen spleten. Voor de afstand van dat minimum tot F geldt dat deze gelijk is aan f tg _~2

z

f sin _{~2 :::}

2~f =

2d. Enz.

Voor het geval !d is het optische onderste straal van de bundel !À. De intensiteit staat tot die in F

4

wegverschil tussen de bovenste en de

De fase verloopt dan over een hoek ~.

als

[s~na)2

: I met a

=

~,

dus als

2 :

I::: 0,4 : ~ In het geval

"2

3 d ::: 4 I

9ö

o' => I

=

0,4 10

is a

3;,

en de intensiteit dus

(s~na)2.

10

+ Er treden nu tevens minima op

voor het geval 2b sin ~ 3À 5À

2; 2

enz. of: 2b tg

~

=

(2k +

I)~

of: 2

~

=

(2k +

I)~

of: f 2 y

=

2k + I 4 H 2k + I b

b=

4 met k

=

0, I, 2, À

"2;

16 e. Resp. 1,6 10 en

9ö

10'

27

-28.

a. In H is het licht van elk der spleten in gelijke fase. Stelt men de amplitude, welke één spleet in H zou geven a, dan is de amplitude in H dus 4 a:

- - (I ) - - - - ' 3 - - ( 2 ) - - - - ' 3 - - ( 3 ) - - - ; - - ( 4 )

-a a a a

b. Het verschil in optische weglengte tussen straal (2) en straal ( I ) be-sin et> ::: bet> 10-3 ₂ 10-4

=

5,4 -7 1

draagt b

=

2,7 x x x x 10 m

=

0,54 \lm

=

1-I 8 Het licht van (2) arriveert dus in B met een fase, die 2T1 x _{18 rad achter}

is op de fase van het licht van (I), of, wat op hetzelfde neerkomt,

I TI

2T1 x 8 rad

=

4

rad.

Men ziet direct, dat het licht van (3) resp. (4) in B arriveert met een fase

die~,

resp. TI achter is op de fase van het licht van (I). In H is het licht van elk der vier spleten in gelijke fase.

Noemt men de amplitude, welke één spleet in H zou geven a, dan is de amplitude in H dus 4a. Die in B vindt men uit de volgende figuur:

a

De resulterende amplitude is a

1:2.

De intensiteit in B is

c. We berekenen de hoek ~, die AN maakt met AH. Daartoe berekenen we eerst HB. Deze is gelijk aan AH. tg et> ::: AH et> 5,4 x 2 x 10

-4

=

1,08 x 10

-3

-3 -3

BN

=

10 m, dus HN

=

2,08 x 10 m. ~ ::: t g ~ = -HN = --,-' 2 08 ----:;:--;,---x 10-3

AH 5,4

Het optische wegverschil tussen straal (I) en (2) is b sin ~ ::: b~

-3 2,08 x 10- 3

~6

I

=

2,7 x 10 x 4 1,04 x 10 m

=

1,04 \lm 1-6 À.

ffi.

5, I I I

Het bijbehorende faseverschil in B is dus 2T1 x 16 ofwel 2T1 x 6

=

3

TI. ffi.

29.

Evenzo we dat het licht van (3) en (4) in B resp.

TI

en

3TI

4 in fase

a

achter is op dat van (I).

We zien aan de figuur, dat de amplitude, en dus ook de intensiteit, in N nul is.

+

In het hierna volgende wordt met e steeds bedoeld het verschil in optische weglengte voor het licht van opeenvolgende spleten.

a. F is het nulde orde hoofdmaximum. Als A het eerste orde hoofdmaximum is,

~ pt::.x, ~ AX __ fÀ 2 x 0,5 x 10-6 geldt: e = p SLna - p tga = --f- A -~ u 3 m =

= 10- 3 m mmo p

10-b. De amplitude Ln een punt op afstand x boven F wordt gevonden door samen-stelling van de vier even lange wijzers die bij de vier spleten behoren. De hoek tussen elk tweetal opeenvolgende wijzers is even groot. De resul-terende wijzer moet nul zijn. Dit kan op de volgende twee manieren

ge-o

..

•

•

realiseerd worden:

In het eerste geval geven de 1° en de 3° spleet samen duisternis, evenzo de 2° en de 4° .

Men heeft dan dus: -6

1

P

x 1 fÀ 2 x 0,5 x 10 _ 1 10-3 1

e = 4À of:

f

= 4À ==> x = 4p 4 x 10-3 - 4 X m = 4tra\l·

In het tweede geval geven de 1° en 2° spleet samen duisternis en evenzo de 3° en 4°. Men heeft dan: e =

~À

of:

~

1

==> x =

;~

= !mm.

(3/8) x 10-3 c. Voor het punt P geldt:

10-3 x (3/8) x 10- 3 3 2

e

=

p sina : p tga p. 2

x 10-6

16 Het faseverschil tussen het licht

211

T

29 -211 3 -6 3 x e

= ---;:-6

x

16

x 10

=

4

11• 0,5 X 10

We tekenen voor P de vier wijzers, corresponderend met de V1er spleten.

3

De lengte van elke wijzer 1S a.

De som der horizontale componenten is a. De som der vertikale componenten is:

(/2 -

I) a.

De resulterende wijzer a_p heefc dus als lengte: ../a2 + a 2

(/2-

1)2,.

De bij F behorende sOIDW1Jzer is lang: aF 4a.

2 2 2 2 2 2 ~ 2

lp : IF

=

_{ap :} ~

=

{a + a

(/2 -

I) } : 16a

=

{I + ('12 - I) } 16

=

(4 - 2/2) : I 6 ::: I, 2 : I 6 •

d. Op dezelfde plaats als vóór het afdekken, dus resp. in F en op I mm

boven F. (Of onder F).

e. De intensiteiten verhouden zich als de kwadraten der amplitudes.

30.

Deze laatste verhûuden zich als de aantallen spleten die onbedekt zijn, dus als 1 : 2. De intensiteiten verhouden zich d~s als 1 : 4.

D A

,

~\

I , I , I

'0.--T

-a. Over het kwasi-golffront AB treedt een lineair faseverloop op ter grootte

BC AC sin~ ~ AC tgp AC'x

van

a

= 211';r

= 211'

À ~ 211' À 211'~' Volgens de theorie (zie dictaat) geldt voor de verhouding

sin

a/2

~

lp

=

[Sin

a/ 2J2

a/2

I

a / 2 '

o -3 3 Q __ 2 AC'x 2 0,2'10 'x 2 10 x ~ 11'---- ~. n---À'f 0,6'10-6,2,5 7,5 sin2(400 1Ix/3) Dus: lp

=

2 ' I . (400 1Ix/3) 0 tussen de amplituden in p en F:

211,4~Ox

(x in m).

b. De gevraagde afstand is die tussen de eerste donkere lijn boven en de eerste donkere lijn onder F en is gelijk aan 2x

o als Xo de kleinste positieve x is waarvoor geldt:

sin (400 TIx/3) = 0 Dus: 400 TIX /3 = TI ='l

o De gevraagde afstand is 2x o

=

260

m

=

l,S x = 3/400 m. o cm.

c. In F treedt voor alle golflengten het 00 orde hoofdmaximum op, zodat alle golflengten die in het witte licht voorkomen, ook voorkomen in het licht dat door de intreespleet van de spectroscoop valt (dat wil niet zeggen, dat de intensiteitsverdeling over de golflengten in dit laatste licht gelijk is aan die in het oorspronkelijke witte licht: hoe groter de golflengte, hoe breder het 10 orde maximum, hoe meer dus naast de intreespleet valt. In het licht, dat door de intreespleet valt, zijn dus de grote golflengten ondervertegenwoordigd, indien de intreespleet smal is).

d. In P treedt uitdoving op voor die golflengte, die voldoet aan: TI'AC'x TI'AC'x

sin 8/2 = sin À'f = 0 ='l Àf = k'TI (k = I, 2, .... )

AC'x 0,2'10-3'5'10-3 I -6 I

of À ~ k'2,5 = k 0,4'10 m= k·O,4 ~m. _

Voor het zichtbare licht komt uitsluitend k = I in aanmerking (À ~ 0,4 ~m). Dus: À = 0,4 ~m is de golflengte die ter plaatse van de spleet niet ver-tegenwoordigd is: het violet is uitgedoofd.

Het nabijgelegen deel van het spectrum zal dus ook maar zwak vertegen-woordigd zijn.

e. Nu zal uitdoving optreden voor

AC·x 0 2'10-3'10-2 I 6 I

À =

~

= , k'2,5 = k· 0 ,8 x 10- m = k'0,8

~m.

Daarbij kan k = I of 2 zijn. Het uiterste violet en het uiterste rood en dus ook de golflengtegebieden die nabij de grenzen van het zichtbare deel van het spectrum liggen zijn geheel, resp. vrijwel geheel uitge~ doofd. Het gee~groen (ca. 0,6 ~m) is dus sterk overheersend 1n het spec-trum.

f. Uitdoving treedt op voor À = Ákc •• x

f = 0,2'10-3

'17'10-3 = -kl.I,36 x _{10-6m =}

k'2,5

t·I,36

~m.

In het zichtbare gebied: k = 2 en k = 3, dus À = 0,68

~m,

À = 0,45 ~m. Dus twee donkere banden.

31a.

b. c.

- 31

-a a a Resulterende amplitude in F is 3a.

a Resulterende amplitude in A is a.

--

-A F - - - -D L f

v

À

e

=

immers twee opeenvolgende stralen

2'

arriveren in tegenfase in A. _-6 e

=

p sin<p ::: p tg<!> 0,5 x 10-3 m

=

0,5 mmo 0,4 x 10 x 1,5 -3 m 2 x 0,6 x 10

d. De amplitudes in F en A zijn resp. 3a en a. Aannemende dat de spleten door A en F even breed zijn (staat niet in de opgave) zullen de door elke spleet afzonderlijk op V veroorzaakte amplitudes zich ook als 3 : 1 verhouden.

De amplituden der maxima verhouden zich tot die der minima dus als

(3 + I) : (3 - I)

=

4 : 2

=

2 : I.

De intensiteiten verhouden zich dus als 4 : I. e. Bij dezelfde figuur als onder c. geldt nu: e

plaats van 0,4 ~m.

À

3'

als À 0,6 ~m ~n

2

Dan verschillen twee opeenvolgende stralen}TI in fase, en wordt het bij

Û

a ting op. (Mits De amplitude op daarnet als 3

A behorende fasediagram:

Dus de amplitude in A is nul. Door de spleet bij A passeert geen licht. Op V treedt nu een egale verlich-men niet te ver naar boven of naar beneden gaat).

V verhoudt zich tot die der maxima, resp. minima van 4, resp. 3 2, dus de overeenkomstige verhoudingen der intensiteiten zijn resp. 9 16 en 9 : 4.

als x <

O.

o v

(Bedenk dat arc tg ~ krachtens definitie

wx

V

7T - arc tg ~

wx o

van arc tg in het eerste of

vierde kwadraat ligt,Oen dat cosa het teken van x heeft).

o

Als x _o

=

0, dan: a

=

_-2

7T als v > 0 en a

=

~ als v < O.

0 2 0

33. 1ë + Be

=

O. Algemene oplossing:

e 8 cos

(tIB/1

+

cp).

Cirkelfrequentie is

IBII.

e -8

IB/I.

sin (t

IB/1

+

cp).

34. mg (3 cose - 2 cose ). m

3

35. Amplitude is 5; beginfase is -arc tg

4'

Hierbij wordt aangenomen dat

we de uitdrukking voor x herleiden tot een van de vorm x

=

A cos (wt +

cp).

36. Amplitude is !a2 + 2 + 2a)a

2 cos

(CP2 -

cp) ) ; beginfase is

a) a

2 a) sin cp) + a 2 sin CP2 arc tg

cp) + a 2 cos CP2 als a) cos cp) + a 2 cos CP2 > 0 en

a) cos a) sin cp) + a 2 sin cjl2 7T + arc tg cp) CP2 als a) cos cp) + a 2 cos CP2 <

O.

a) cos + a₂ cos Als a) cos cp) + ' a

2 cos CP2

=

0, dan is de beginfase + -} als sin cjl) + a 2 sin cjl2 > 0 7T als sin _{cp) + a 2 sin} CP2 <

O.

a) en

-2

a)

37. Amplitude in

v(~ak

cos CPk)2 + (~ ~ sin cjlk) 2

cjlR,) =

0r--~~2-+-~-~-~-a-co-S-(-cjlk---CP-R.)

=

0

~

+ 2

~ ~ ~a

cos (CPk

-k k>t R. k k~R. R.

~ ~ sin CPk

=

V~ ~

aka cos (CPk - CPn); beginfase is arc tg <' als

k R. R. '- .. ~ cos CPk

~ _{ak sin CPk}

~ ~ cos CPk > 0 en 7T + arc tg ~ ~ cos cjlk als ~ ~ cos CPk < O. 0, dan is de beginfase + -} als ~ ~ sin CPk > 0 en

33

-38. Aanwijzing: stel dat het traject tussen x en x + dx wordt doorlopen dx

in een tijdje dt = v(x)' Gedurende een periode wordt het traject

twee maal doorlopen, dus de kans dat het deeltje op het traject wordt

2 dt aangetroffen 1S ---T-' 39. 18 +

Àe

+

se

=

O. Zwakke demping: À

- TI

t

e

= e·e cos(wlt Sterke demping: À - 2It

e

= e (AI cosh pt+ Kritieke demping: 40a. E

=

~. E o waarin w o

Is/I.

b. De elektronen gaan harmonisch oscilleren met een cirkelfrekwentie

w _e = e t r l . _,,~. e 0

Opmerking: deze frekwentie heet de plasma-frekwentie en alleen radio-golven met w > we kunnen zich door zo'n plasma voortplanten.

2 v + y x 2 v + y x 41. A x + { 0 o} Cl = -arc tg .{ 0 o} als x >

o

en 0 w wx 0 + Y 0 v x tg { 0 o} als O. Cl 11 - arc x < wx 0 0

Als x =

o

dan is Cl = - .2!. als v >

o

en Cl _="2 11 als v < O.

0 2 0 0

42a. Het gemiddelde vermogen door de dwingende kracht geleverd bedraagt:

T I

fT.

w

fT

F-F.us·dt =

2n

o 0 Z-2 w F [ wF sin (wt -

cp) ]

coswt. - 2 2 2 2! dt

{(k-mw )

+r w }

fT

cos wt sin(wt -

~)dt.

o

Nu geldt:

JT

coswt sin(wt -

~)dt

=

T O T

=

cos~

J

coswt sinwt dt -

sin~

J

JT

coswt(sinwt

cos~

- coswt sin

~)dt

o

2 d O . ~ T . TI

cos wt t

=

-

s1n~'2

= -

s1n~'~.

o 0

Het door de dwingende kracht geleverde gemiddelde vermogen 1S dus:

-2 .

wF s1n<jl _(I)

De wrijvingskracht is groot: -rus en het door deze opgenomen gemiddelde vermogen is tegengesteld aan het door deze geleverde gemiddelde vermogen,

d.w.z. gelijk aan:

-

~

I

T (-

r~

)

~

dt T s s o

r

2 2-2 T - ~)dt rw w F , _{sin (wt}

=

2TI ' _{~2 2 2 2} 0 (k - mw + r w 2-2 2-2 rw w F _.2:. rw F

=2";'

(k - mw) 2 2 + r w 2 2 w 2{(k - mw) 2 2 + r 2 2 w }

Dat dit gelijk is aan de eerst berekende uitkomst volgt direkt

tg~ rw sin</> rw (k - mw

2₎ (geg.)

=

~ sin~

= --

en cos~

=

~--~--~

k - mw 2 cos~ A A . 2 S1n ~ + cos 2 ~ rw Dus: sin~

=

2 2 2 2 ~. {(k - mw) + r w }

Substitutie in de eerste uitkomst levert:

-2 2-2

(II)

uit:

met

wF sin</> _ _ _ _

-=r.::w:..,,=F-::-_--:::--::-2 -=r.::w:..,,=F-::-_--:::--::-2 2 2 1 - 2 2 2 2 en dat is juist gelijk aan

2 {(k - mw) + r W}2 2{(k - mw) + r w } de tweede uitkomst q.e.d.

Fcos(wt - <P> ( 1

b. Blijkbaar is u 2 2 2 2 I vo gt

s {(k - mw) + r w }2

uit de gegeven uitdrukking voor u ). Dit is de stationaire oplossing van de mechanische

trillingsver-s

gelijking: mü _s + ru _s + ku _s

=

F coswt. Differentiatie links en rechts naar t geeft:

niü + rü

s s + kil s -wFsinwt of:

2 • d u s m - - - - + dt2 -wFsin wt (I)

- 35

-Het analogon voor het wisselstroomgeval wordt verkregen door de dv: L di + Ri +

~

û cos wt te differentiëren naar t:

dt C

d 2 " d"

L __ 1. + Ri

..2

+ - • i - wû sin wt (2)

dt2 dt C

Blijkbaar 1.S de stationaire oplossing voor i uit die voor u _s af te lei-den door de substitutie m

....

L'

,

r .... R; k ....

~

_C' F

....

û en ~' = _~

_{- Z·}

11 Wat dit laatste betreft:

Uit de gegeven oplossing voor u van (I) volgt, dat u in fase ~ achter

s s

is op

F,

dus dat ~ in fase ~

_-Z

11 _{achter is op Fs ' zodat we} evenzeer s

mogen stellen, dat de stationaire oplossing van (2) in fase ~ achter op u, en dus ~ 11 2 op u.

In P

~'

û î cos~' stelt ~' de achterstand 1.n fase van i op u voor ~

11

~

- Z·

De bovenbeschreven substituties leiden dus tot:

is wû sin(wt - ~) _ wû cos(wt -

p')

-.::;-::;....::..:::..:::-'-'::..;:-_-L_7;-~.,... - en P

{(~

_ w2L)2 + R2w2

}! -

{(~

_

w2L)2 + R2w2

}!

1.

= -

!û

î cos ~'

=

C C • sin~ I · 2 2 2{(- - w L) C k 2 2 ' 2{- - mw) + r } w 2 2 + R w}

Dit is maximaal als de noemer minimaal is, en dat 1.S het geval als

:

mw=O,dusalsw=~

. . . - iwt

43A. De bewegingsverg. (in complexe vorm) luidt: mU + rU + kU = Fe •

De particuliere oplossing, die correspondeert met de stationaire toestand is: Us As eiwt. Substitutie hiervan in de bewegingsvergelijking geeft:

2 A (-mw + irw s A s _k -Dus U _s u s F 2 mw + irw arc tg _.;:.r.::w_-:::: 2• k - mw

De amplitude is dus: F

2 2 + r W

B. Nu is m

= 0,2 kg; k

= 476 N/m, r

0,14 kg/sj F 2N; W 50 rad/s.

De amplitude van de trilling bedraagt dus: 2 2 2

-r===============

= - - - = --

m = 8 cm.

1<476 - 500)2 + 72 J625 25

, , energie opgeslagen in oscillator Ca. De kw a11 te 1 ts f ac tor Q

= 271

x =C:":"::.li=':,-!~'---';.L.!iz...:....,:~=';"::":"'_-~i-~o;.,:..=

energ1e verlies per periode

Deze definitie is slechts zinvol, indien de demping gering is, d.w.z. indien 2: « ·w_o' hetgeen impliceert Q» I.

b.

Q is dimensieloos.

c. x

= A e- rt / 2m cos (WIt

+

S).

...E..

=

0,14

=

0 35

2m 0,4 , . W o =

Ij;

~=

)476 0,2 12380

=

48,8. Aan de voorwaarde

...E..

_2m «w is voldaan.

0

De potentiële energie van de oscillator bedraagt !kx2 en de kinetische: '2

!mx .

rt

N ' _{u 1S x}

_{= -}

_{2m •} r _{x - w)} Ae- 2m s1'n (wIt + S)

Kies nu een tijdstip, waarop x

= 0, dan is de totale energie gelijk aan

de kinetische en deze is gelijk aan!

rt

E(t)

=

!mw~

A2 e-

In

(immers sin(wlt + S)

=

I.) Een trillingstijd later is de energie:

!mw~

A2 exp

rt rTl

[_ r ( tm + TI)

I

rTl Energieverlies:

!mW~A2

e - -;;-( I - e -

ro)

E

(t)

(I -

e -

ro] .

De kwaliteitsfactor is dus:

~

= 271

---~-r~T-I.

_{Als {m « wo' dan is wl}

ook

...E..

2m I - e « m 271 rTl wl =~' dus: m rT I « 471. Wanneer--m rTl rTl

m « I, dan mag men stellen: e m :::

_{- m'}

2

r :::

- 4m2 w • Dus o

zo klein is, dat geldt:

D. 44a. b. c. d. 45a. 37 -rTl rT

In het onder B beschreven geval is --- :. ~

m m

2vr r 4v 4v

= - • - = 0 35 x

-mw 2m W ' 48,8'

Dit is « I, zodat het toepassen is. Doen we dit, dan

2

r

krijgen we:

o 0

van de formule

~

=

2;m hier geoorloofd

r 1

;~

=

w₁

=

j~

48,8 x 0,2 z 0,14 I

~

massa -+ L 4m2 70. 1 veerconstante -+

ë

=vi -

r 2

=Á

= W m 4m2 m 0

v

dempingscoëfficiënt -+ R

periodiek dwingende kracht -+ V.

48,8, dus ~

De redactie van het vraagstuk zou zo kunnen zijn:

48,8 m

r

Een spoel met coëfficiënt van zelfinductie L en weerstand R ~s in serie geschakeld met een condensator, waarvan de capaciteit C is. Over de he-le schakeling wordt een sinusvormige wisselspanning V V

o coswot gezet. Bereken de amplitude van de wisselstroom door de schakeling, nadat de stationaire toestand is ingetreden.

Lq + Rq _+~ 1 O. R2

_C·

4L _Rt ( 1 Rt 2L q

=

qo + - ) e 2L 2L op t

=

_R'

Van de differentiaalvergelijking mü + ru

.

+ bu

o

waarin

2 2 r2 b r2 2

w₁ = _{Wo - 4m2} =

iii -

_{4m2 of}.: b = mW₁ 2

r

+ 4m'

b. De karakteristieke vergelijking vinden we door in de dv. te substitueren: u

=

AeÀt• We vinden dan: (mÀ2 + rÀ + b)u

=

0

~

mÀ2 + rÀ + b

=

O.

c. Men noemt de trilling zwak gedempt als de karakteristieke vergelijking geen reële opl. heeft, dus als r2 < 4 bm.

Ba .• Onder de amplitude van de gedempte trilling verstaat men de factor rt

- 2m

Ae • Als deze na I sec tot het e-de gedeelte afneemt geldt: r(t + I)

Ae 2m e -I

rt

Ae - 2m =:> _e -I _{=:> r}

₌

_2m

₌

_{I kg s} -I De eenheid volgt uit de overweging, dat de exponent van een e-macht dimensieloos moet zijn.

rt

Immers e- 2m

=

I

-!!

+ 2m

Alle termen moeten dezelfde dimensie hebben, dus die van de eerste term en die is dimensieloos.

b. We berekenen eerst de grootheid b, die de krachtconstante van de veer is. Hiervoor geldt: mg

=

bx, als x de uitrekking van de veer is. Bij ver-groting van m met öm neemt x toe met öx. Daarbij geldt:

(m + öm)g

=

b (x + öx).

dan krijgen we: öm·g

=

b·öx ~

Trekken wemg

=

bx hiervan af, b

=

öm'g

=

0,2'10 25 N/ öx 0,08

=

m. wl

=.j'E.._

r 2 =

~

_ 1 = 149= 7 rad/s. m 4m2

yO:S

c. ~ is te berekenen uit:

u(O) = 0,08 en ü(O) = 0 u(O) = A cos~.

rt

r w

l Ae- 2m sin (wIt +

~)

u = - 2m • u = 'ti dus ~(O) - 2m u(O) - wr

l A sin~. We hebben dus:

A cos~

=

0,08 en -0,08 - 7 A sin~

=

0 of: A sin~

I beide betrekkingen op elkaar geeft: tg~

= -

7

=:>

_ 0,08 Deling 7 ~ I _ 'I'

=

-arc tg

7

-van I

- 7

rad. d. De beginamplitude A vinden we door de betrekkingen A cos~

=

0,08 en

A

sin~

= -

0,~8

te kwadrateren en op tP. tellen. Dit geeft:

A2

=

(0,08)2 (I +

4~)'

Dus: A

=

0,08 (I +

4~)!

:; 0,08 (I + 918) ::

=

0,08 x 1,01

=

0,08008m.

46. Stel de positieve richting van kracht en uitwijking is naar rechts. Evenzo voor de kracht FI die links op het lichaam aangrijpt en de kracht F₂ die rechts op het lichaam aangrijpt. Dan:

39 -a. FI

=

_{-klu l} en F₂

=

k₂(u_{2 -} uI)' b. mÜ_I + (kl + k₂)u_I

=

k 2û2 coswt. k 2û_{2 coswt} ~ c. uI

=

m(w 2 _ w2) met Wo

=

m ' o

d. het faseverschil is 0 als w < w en n als w > w .

e. voor w

=

w .

o