ZESZY TY N A U K O W E PO L IT E C H N IK I ŚLĄSK IEJ 1994
Seria: M EC H A N IK A z. 115 Nr kol. 1230
Karol M ILLER
Zakład Teorii M aszyn i Robotów Politechnika W arszawska
PO R Ó W N A N IE E FE K T Y W N O ŚC I NUM ERY CZN EJ M ODELI D YNAM IKI ROBOTA DELTA-4
Streszczenie. P rezentow ana praca przedstaw ia robot D elta-4 oraz zaw iera om ów ienie w ybranych problem ów modelowania jego geom etrii i dynam iki.
P rzedstaw ione m odele dynam iki zostały w yprowadzone bez powszechnie czy
nionych przez innych badaczy założeń upraszczających. O bliczenie m om entów napędow ych w silnikach za pom ocą prezentowanych modeli przebiega praw ie całkowicie analitycznie. Zamieszczono porów nanie ilości operacji m a te m a ty cznych przy zastosow aniu różnych modeli. Czas obliczeń dla prezentow anych pełnych i dotychczas stosowanych uproszczonych modeli je st porównywalny.
N U M E R IC A L E F F IC IE N C Y COM PARISON O F DYNAM IC M ODELS O F DELTA-4 R O B O T
Sum m ary. T he presented p aper introduces robot D elta-4 and contains di
scussion of the selected problem s appearing in m odelling of its geom etry and dynam ics. P resented dynam ic models have been derived w ithout frequently m ade sim plification. T h e calculation of m otor torques for th e designed tr a je ctory is effected alm ost entirely analytical. T he com parison of th e operation count for different m odels is presented. T he com p u tatio n tim e for presented full and old sim plified models are similar.
C P A B H H E H H E H H C J IH E H H O f t E i> $ E K T H B H O C T H M O H E JIEM H H H A M H K H P O B O T A H E JIT A -4
Pe3K)Me: P a ö o T a npencTaBflfleT p o ö o T a ü e r i T a - 4 u roópanH Łie n p o - 6 / i e M a M one Ji npoB aH na e r o reo M eT p n u h amiaMHKH. no K a3anbi Morrenn nnnaMHKH BbiBeneHbi 6e3 Macro nenaHbiM y n p o m a i o m n x npenn oJio we Hu il.
O n p e n e jie n n e m o m c h t o b b n B n r a T e n n x n p o x o rw T npaKTvmecKH n o j m o c r b i o anajiHTHMecKMM ny reM . II perrcTOBneno c p a B im e n u e KommecTBa M M C J ie u n b m
o n e p a u n h nptr ncnoJi30BaHMH po3flHMHbix Monejieh.
2 5 2 K. Miller
1. W S T Ę P
R obot D elta-4 (ry s .l), skonstruow any w Instytucie M ikrotechniki Politechniki w Lo
zannie, był w ielokrotnie opisywany [1,2 ,8,9], toteż poprzestaniem y n a k ró tk im przypo
m nieniu.
R obot D elta-4 składa się z trzech równoległych łańcuchów kinem atycznych łączących bazę (9) z p latfo rm ą ruchom ą (3) (ry s.l). K ażdy z łańcuchów je st napędzany przez silnik bezpośredniego n apędu (direct drive) (7), zam ontow any na p latform ie bazy (9).
Ruch p latform y (3) je s t w ynikiem przemieszczeń ram ion (1) połączonych z przestrzen nymi równoleglobokami tw orzącym i przedram iona (2).
S tru k tu ra geom etryczna ro b o ta D elta-4 um ożliw ia przem ieszczanie platform y rucho
mej (3) w przestrzeni roboczej opisanej trzem a w spółrzędnym i (x,y,z), odpow iadającym i trzem stopniom swobody robota. P latfo rm a ruchom a pozostaje stale rów noległa do płasz
czyzny odniesienia II. Nie je st możliwy także jej obrót względem osi prostopadłej do płaszczyzny platform y. T a szczególna własność stru k tu ry geom etrycznej ro b o ta Delta-4 jest uzyskana dzięki zastosow aniu przestrzennych równolegloboków (2).
Niezależny obrót chw ytaka (5) napędzany przez silnik (6), który nie w pływ a n a pozo
stałe cechy kinem atyki i dynam iki ro b o ta, jest jego czw artym stopniem swobody.
K onfiguracja ro b o ta, k tó rą zajm iem y się dokładniej w prezentow anej pracy, składa się z n astępujących elem entów:
• trzech identycznych obrotowych p ar kinem atycznych (7) piątej klasy pom iędzy bazą a ram ionam i, tw orzących między płaszczyznam i łańcuchów kinem atycznych kąty 120 stopni. O sie obrotu tych par leżą w jednej płaszczyźnie i są styczne do wspólnego okręgu,
• jednakow ych ram ion ( 1),
• trzech jednakow ych par prętów równoległych tw orzących p rzedram iona (2 ), Rys. 1. Schem at ro b o ta D elta-4
Fig. 1. General lay-out of Delta-4 robot
Rys. 2. P aram etry geom etryczne robota Delta-4
Fig. 2. Dimensional param eters of robot Delta-4
Porów nanie efektywności numerycznej modeli dynam iki ro b o ta Delta-4 253
• platform y ruchom ej (3), będącej tró jk ątem rów nobocznym połączonym w środkach swoich boków z przedram ionam i.
Oczywiście inne konfiguracje są dopuszczalne. Nie jest konieczne, żeby trzy rów nolegle łańcuchy kinem atyczne były identyczne. D la uproszczenia w dalszych rozw ażaniach bę
dziem y trak to w ać płaszczyznę II (rys. 1) jako poziom ą, a płaszczyzny ruchu ram ion ( 1) jako pionowe. Wielkości opisujące w ym iary Ra, Rb, La, Lb, oraz k ąty a,-, 0 ; , 7, są zdefiniowane na rys. 2.
2. M O D EL G E O M E T R II ROBOTA DELTA-4
W piśm iennictw ie m ożna znaleźć różne modele geom etrii ro b o ta D elta-4. W n a szych rozw ażaniach będziem y stosować m odel zaproponow any przez prof. R. C lávela [1], Odległość m iędzy p u n k tem B platform y roboczej a końcem ram ienia C je s t rów na długości przedram ienia Lb (rys.2). M ożna to zapisać w formie następujących rów nań:
rhi = [(R + L a cos(a¡)) cos(0¡) — x ]2 + [(R + L a co s(a,)) sin(ff¿) — y ]2 +
+ [(¿ „ s in (a ¡)) - z ]2 — L \ = 0; ( 1)
gdzie: i = l ,2,3; R = R a — Rh. Powyższe rów nania będą służyć jako rów nania więzów holonom icznych w m odelow aniu dynam iki ro b o ta Delta-4.
3. M O D ELE D YN AM IKI ROBOTA DELTA-4 3 .1 . U p r o s z c z o n y m o d e l N e w t o n a - E u le r a
W edług a u to ra ogólne m etody modelowania dynam iki robotów równoległych znane z li
te ra tu ry [4,5,6,7,10] nie n a d a ją się do zastosow ania w obliczeniach m om entów napędow ych d la zadanej tra je k to rii ruchu w czasie rzeczyw istym w przypadku m anipulatorów o sko
m plikow anym łańcuchu kinem atycznym , do których należy robot D elta-4. Tak więc m o
delowanie jego dynam iki w ym aga indyw idualnego podejścia.
O becnie stosow any do sterow ania D eltą model [2] je st o p arty na następ u jący m założeniu upraszczającym : przedram iona (2) m ają zerowe m om enty bezw ładności. Jeśli ta k , to siły przenoszone n a platform ę (3) przez przedram iona (2) d ziałają w ich kierunkach. Ułożenie rów nań równowagi sil dla platform y nie spraw ia trudności (trzy niew iadom e w artości sil w trzech rów naniach równowagi - kierunki sil są znane). Dalsze w ypisanie rów nań N ewtona- E ulera d la przedram ion i ram ion prowadzi do w yznaczenia m om entów napędzających w silnikach (7).
3 .2 . M o d e l o p a r t y n a m e t o d z ie L a g r a n g e ’a
R obot D elta-4 m a trzy stopnie swobody. W ydaje się więc, że należy odpow iednio w y
brać trzy w spółrzędne uogólnione, np. a,-, i = 1,2,3, a następnie w yprowadzić trzy rów nania L agrange’a drugiego ro d zaju dla tych współrzędnych. Takie rów nania byłyby w zoram i do obliczania nieznanych m om entów napędzających. Jednakże z powodu złożoności m odelu geom etrycznego w ypisanie funkcji L agrange’a, a w szczególności jej pochodnych, używ ając tylko trzech w spółrzędnych uogólnionych, jest niezwykle skom plikowane i trudne.
254 K. Millet
Znacznie lepszym podejściem je st odpowiedni wybór sześciu w spółrzędnych uogólnionych (bo m am y trzy stopnie swobody i trzy rów. więzów (1)), któ re umożliwiłyby zbudow anie funkcji L agrange’a. Jednocześnie ich liczba byłaby m niejsza niż liczba p a r kinem atycznych piątej klasy robota.
W ybierzm y {r/j} = { x , ? / , z , a i , a 2, o 3}, j = l , . . . , 6 . (2) Stosujem y rów nania L agrange’a z możnikami (elem entarną dyskusję m ożna znaleźć w [7]) w postaci:
s O - O w
¡=1
gdzie: j = l ,..,6 - liczba w spółrzędnych uogólnionych; ¡=1,2,3 - liczba więzów (rów. ( 1));
L = T -V - funkcja L agrange’a; T - energia kinetyczna; V - energia potencjalna;
A ,} = A; - m nożniki Lagrange’a; Qj - uogólnione siły zew nętrzne. Ja w n ą postać powyższych wzorów m ożna znaleźć w [8].
O trzym aliśm y 6 rów nań ruchu dla 3 nieznanych m nożników A;, i = 1 ,"2,3 i 3 niezna
nych m om entów napędzających Qj, j= 4 ,5 ,6 . Ich rozw iązanie je st elem entarnie proste.
Szczegóły m ożna znaleźć w [9].
3 .3 . M o d e l o p a r t y n a m e to d z ie H a m il to n a
M etoda m odelow ania polegająca na bezpośrednim zastosow aniu Zasady H am iltona została szczegółowo opisana w pracy [8]. W wyniku jej zastosow ania w przypadku ro b o ta Delta-4 o trzy m u je się układ równań różnicowych:
- E A^ ) - + - p - = °- w
( T r r ) ,.A i+ p;„A t = 0, (5)
dr/,
gdzie p; je st uogólnionym pędem w kier.” i” , ” n ” określa chwilę czasową, a ” m ” je st ilością przedziałów czasowych.
D la rozw iązyw ania problem u odw rotnego dynam iki m ożna przyjąć, że w artości następujących wyrażeń są znane:
dL_ d L dhj
dip' % • ~ *'•
Możliwe je s t więc rozw iązanie układu (4,5) ze względu na szukane m om enty Q j, j =4,5,6 w każdej chwili czasowej n. Sposób rozw iązyw ania m ożna znaleźć w [8].
Porów nanie efektywności numerycznej m odeli dynam iki ro b o ta D elta-4 255
4. P O R Ó W N A N IE ILO ŚCI O P E R A C JI DLA RÓŻNYCH M O D ELI D YNAM IKI P orów nanie ilości operacji przy zastosowaniu trzech opisanych m odeli przedstaw iono w poniższej tabeli:
T abela 1 Ilość operacji d la zastosow ania modeli dynam iki robota Delta-4
M etoda Liczba operacji
+i- *
/ / sin i cos
NE 55 77 1 6
LWOS 79 126 3 ■ 6
HWOS 67 96 6 6
NE - uproszczony m odel N ew tona-E ulera (p u n k t 3.3.1.) LWOS - pełny m odel L agrange’a (punkt 3.3.2.)
HW OS - pełny m odel Llarniltona (punkt 3.3.3.)
5. W N IO SK I
M odel o p arty na m etodzie H am iltona w ydaje się mieć wiele zalet w porów naniu z pozostałym i. Je s t on około 1,3 razy szybszy niż m odel o p arty na m etodzie L agrange’a i tylko ok. 1,25 wolniejszy niż uproszczony m odel N ew tona-Eulera. W opinii a u to ra n a jisto tn iejszą zale tą m odelu H am iltona je st to, że jako dane wejściowe do obliczenia m om entów napędzających potrzebuje on tylko położeń i prędkości (nie przyśpieszeń).
Pozw ala to zaoszczędzić czas w obliczeniach kinem atyki.
P rezentow ana praca zaw iera część pracy doktorskiej, k tó rą au to r wykonuje pod kieru
nkiem Prof. A d am a Moreckiego z Politechniki Warszawskiej i Prof. R aym onda Clávela z Politechniki w Lozannie. A utor w yraża Im swoje najszczersze podziękow ania za wszech
stro n n ą pom oc, tw órcze rad y i inspiracje.
L IT ER A TU R A
[1] R. Clavel: Concepcion d ’un robot parallèle a 4 degres de lib erte, T hese No 922 (1991) E P F L , Lausanne.
[2] A. C odourey, R. Clavel , C.W . B urckhardt: Control algorithm an d controller for the D irect D rive D elta R obot, in Proc. of IFAC Sym posium on robot control, p p .169- 177, V ienna 1991.
[3] Griffiths: T h e T heory of Classical D ynam ics, C am bridge U niversity Press 19S5.
[4] Kleifinger, Khalil: D ynam ic M odeling of Closed Loop R obots, in Proc. of 16th ISIR, B russels 1986.
256 K. Miller
[5] T. K okkinis , Y. N akam ura , D.Uecker : D ynam ic C onsideration and M otion C ontrol E xp erim en ts for a P arallel D irect-D rive R obot A rm , in Proc. of IC A R 1991.
[6] Lin S hir-K uan: D ynam ics of M anipulators w ith Closed Chains. 1990 IE E E Trans, on R obotics and A u to m atio n , vol. 6, no. 4, pp. 496-501
[7] J. Y. S. Luh, Zheng Y-F: C om putation of in p u t generalized forces for robots w ith closed kinem atic chain m echanism . IEEE J. of R obotics and A uto m atio n , vol. RA-1 no.2, J u n e 1985, p p .95-103.
[8] M iller K.: T h e Proposal of a New Model of Delta-4 P arallel D irect D rive R obot, in Proc. of ’93 International Conference of Advanced R obotics, Nov. 1-2 1993, Tokyo, in p rin t.
[9] M iller K.: Modelowanie dynam iki robota Delta-4 metodą. L agrange’a. M at. K rajo wej K onferencji R obotyki, Wroclaw 22-25 wrzesień 93. (w druku).
[10] Y. N akam ura, M. G hodoussi : D ynam ics C om putation of Closed-Link R obot M e
chanism s w ith N o nredundant and R edundant A ctuators. IE E E T rans, on R obotics and A u to m atio n , vol.5, Ju n e 1989, pp. 294-303.
Recenzent: D r bab. inż. A ndrzej Buchacz W płynęło do Redakcji w grudniu 1993 r.
A b s t r a c t
D irect drive parallel robot D elta-4 (F ig .l), designed a t Swiss Federal In s titu te of Te
chnology in Lausanne, is m ade of three parallel kinem atic chains linked a t the travelling p late (3). M otions of th e travelling plate are achieved by the com bination of movem ents of arm s (1), tra n sm itte d to the p late by th e system of parallel rods (2). T h e stru c tu re of th e ro b o t enables only 3-dimensional translation of the travelling p la te - no ro ta tio n is possible. T h e m echanism s m aintains parallelism .
T he concept of parallel robot requires a greater effort on the controller level because of m echanical coupling and in ertia variation effects, which are directly reflected on each m otor axis. T h e g reatest difficulty lies in developing num erically sim ple dynam ic m odel.
In th e p ap er, sim plified N ew ton-Euler based and ’’full” Lagrange based and H am ilton based dy n am ic models are briefly introduced. T he breakdow n and th e com parison of the o peration count for different m odel application is presented in Table 1.
T h e H am ilton based m odel appears to have m any advantages in com parison w ith rem aining ones. It is faster th an Lagrange based ’’full” m odel and only a b it slower th a n sim plified one. M oreover th e application of it to calculate m otor torques for given tra je c to ry of th e travelling p late requires only positions and velocities as in p u t d a ta . No accelerations are necessary.
