Dwa semantyczne ujęcia logiki drugiego rzędu z identycznością

Janusz Wesserling

Dwa semantyczne ujęcia logiki

drugiego rzędu z identycznością

Studia Philosophiae Christianae 39/1, 75-103

S tu d ia P h ilo so p h iae C h ristian ae U K SW

39(2003)1

JA N U S Z W E S S E R L IN G W ydział Prawa U K SW

DWA SEMANTYCZNE UJĘCIA LOGIKI DRUGIEGO RZĘDU Z IDENTYCZNOŚCIĄ

W stęp. 1. C harakterystyka syntaktyczna klasycznej logiki II rzędu z identyczno­ ścią ( Ę ) . 2. Sem antyczne ujęcia logiki L2 3. S prow adzenie logiki L2 z sem antyką ogólną do logiki pierwszego rzędu. 4. K ategoryczność niektórych teorii n a d b u d o ­ w anych nad logiką L2. 5. Tw ierdzenie o zw artości dla logiki L2. Z akończenie.

W S T Ę P

Pow stanie różnorodnych systemów form alnych jest powodem dużego uspraw nienia przeprow adzanych rozum owań na gruncie nauki a w tym również filozofii. Form alizacja teorii i rozum ow ań napotyka jed n ak na rozm aite trudności. Wyniki prac K. G ödla z 1930r. wskazują na problem y związane z dowodliwością zdań prawdziwych niektórych teorii nadbudowanych nad logiką pierw­ szego rzędu oraz systemów logicznych będących jej rozszerzeniem , a także na nieistnienie m odeli dla pewnych teorii niesprzecznych. D o systemów posiadających powyższe własności zalicza się również przedstaw iana w niniejszym artykule logika drugiego rzędu. Z n ajo­ m ość możliwości i ograniczeń tej logiki m ożna uznać za niezbędną do właściwego jej wykorzystywania jako narzędzia w zastosowaniu do teorii filozoficznych. Bogactwo semantycznych założeń logiki drugiego rzędu, umożliwiających m ówienie na jej gruncie o w łasno­ ściach przysługujących własnościom bytów oraz rozważanie pojęć ekstensjonalnych pozwalają w sposób precyzyjny mówić np. o po- wszechnikach, kategoriach, przyczynowości itd.

W artykule przedstaw iam y dwa ujęcia semantyczne dla logiki drugiego rzędu. A naliza podstaw obydwu ujęć semantycznych, a także warstwa dowodowa dotycząca niektórych własności m etalo- gicznych zdaje się uwyraźniać między innymi zależności między ilo­

ścią i budow ą m odeli logiki drugiego rzędu, a wyrażalnością na jej gruncie pewnych pojęć, których nie m ożna wyrazić w języku pierwszego rzędu.

W wielu publikowanych pracach dotyczących rozważanej logiki zakłada się, że w jej m odelach dysponujemy wraz z uniwersum in­ dywiduów (U0) również rodzinam i wszystkich podzbiorów uniwer- sów typu U0n (gdzie n jest dowolną liczbą naturalną). W ram ach ni­ niejszej pracy będzie się także brać pod uwagę szerszą klasę m ode­ li. Część pierwsza dotyczy wspólnej dla obydwu podejść, podstawy syntaktycznej. W części drugiej, ograniczając pojęcie struktury dru­ giego rzędu, wprowadzimy terminy: struktura ogólna i struktura głów­ na, w oparciu o k tóre budować będziemy semantyki, odpowiednio: ogólną oraz główną. W ram ach części trzeciej przedstawim y pewne sprow adzenie języka drugiego rzędu do języka pierwszego rzędu. Twierdzenia p odane w części trzeciej umożliwią wykazanie niekate- goryczności pewnych teorii drugiego rzędu na gruncie semantyki ogólnej (4) oraz posiadanie własności zwartości przez logikę d ru ­ giego rzędu na gruncie tegoż ujęcia sem antycznego (5). O dniesie­ my również te własności oraz własności z nimi związane do logiki drugiego rzędu z sem antyką główną.

1. CHARAKTERYSTYKA SYNTAKTYCZNA

K LA SY C ZN EJ L O G IK I II R ZĘ D U Z ID E N T Y C Z N O ŚC IĄ (L,)

N a alfabet braneg o pod uwagę języka predykatów pierwszego rzędu A lf (Jj) składają się: symbole logiczne ( ~ , л, v, <-»);. s ta ­ le indywiduowe (a, b, c, av a2, a3....); zm ienne indywiduowe (x, y, z, Xj, x2, x3...); stale predykatow e (P, Q, R, P p P 2, P 3..); kwantyfika- tory wiążące zm ienne indywiduowe: ogólny (V) i szczegółowy (3); nawiasy.

A lfabet języka drugiego rzędu Alf (J2) otrzymujemy, dodając do alfabetu języka pierwszego rzędu zm ienne predykatywne (X, Y, Z, X,, X 2, X 3...), a także nowe kwantyfikatory wiążące te zmienne: ogólny (V) i szczegółowy (3)'.

1 Na zbiory symboli pozalogicznych wchodzących w skład alfabetów Alf (J,) i Alf (J2) na­ kładamy standardowe warunki. Zakładamy, że stałych pozalogicznych jakiegokolwiek typu jest przeliczalnie wiele. Dopuszczamy przy tym, aby stałych nazwowych była skończona ilość, włączając w to przypadek, gdy w ogóle nie ma ich w języku. Zbiór stałych predykato- wych również może mieć skończoną ilość elementów, jednak w przypadku języka pierwsze­ go rzędu musi być niepusty. Zmiennych natomiast jest nieskończenie przeliczalnie wiele.

Z e względu na to, że w artykule będziemy mówić o systemach form alnych z identycznością, zakładamy, że w alfabetach języków znajduje się również stała predykatow a Ponadto, w k o n k ret­ nych przykładach możemy używać standardow o stosowanej symbo­ liki na gruncie m atem atyki np. dla predykatu większości ( > ) , czy mniejszości (< ) .

Z sy m bolam i predykatowym i związane jest pojęcie argum ento- wości2. Jedn ak w sytuacjach, w których nie będzie to prow adziło do nieporozum ień, będziem y niekiedy pom ijać inform ację dotyczącą tego, ilu argum entow y jest dany symbol predykatywny.

Pojęcia, służące określeniu języka pierwszego rzędu (J,) oraz języ­ ka drugiego rzędu (J2) oraz pojęcia z nimi związane, będziemy rozu­ mieć w standardowy sposób. Należą do nich '.formula poprawnie zbu­ dowana (formuła sensowna, form uła), form uła atomowa, term, zm ien­ na związana przez kwantyfikator, zasięg kwantyfikatora, zmienna zwią­ zana w danej formule φ oraz zmienna wolna w (f. Należy pam iętać jednak, że dane pojęcie dotyczące języka J 2 jest rozszerzeniem odpo­ wiadającego mu pojęcia zdefiniowanego dla języka J,.

W aksjomatycznym ujęciu rachunku predykatów pierwszego rzę­ du z identycznością4 (L,) w jego inwariantnej wersji schem atam i ak­ sjom atów są schem aty aksjom atów klasycznego rachunku zdań, ak­ sjomaty identyczności5 oraz:

(RP1) Vx; φ φ [х/t], gdzie t jest dowolnym term em , (RP2) φ —> BXj φ,

(RP3) VXj (φ —> ψ) -> (φ —> Vxj ψ), gdzie Xj nie jest zm ienną wol­ ną w φ,

2 Funkcje argumentowości A rg jl (dla języka pierwszego rzędu) oraz ArgJ2 (dla ję ­ zyka drugiego rzędu) przyporządkowują każdemu symbolowi predykatywnemu liczbę naturalną oznaczającą ilość jego argumentów.

3 Zob. L. Borkowski, Wprowadzenie do logiki i teorii mnogości, Lublin 1991, 83-88 oraz 136-139; H. B. E nderton, A second order logic, w: A mathematical introduction to logic, New York 1972, 268-289.

4 Zamiast mówić o rachunku predykatów i-tego rzędu z identycznością (i= l,2 ) bę­ dziemy zamiennie mówić o logice i-tego rzędu z identycznością. Często też będziemy omijać w nazewnictwie fakt, że w danym systemie formalnym dysponujemy predykatem identyczności z ustalonym znaczeniem.

5 Aksjomaty te mają następującą postać: (I 1) aksjomat zwrotności: Vx; (x( = xj; (I 2) aksjomat symetryczności: Vx; Vxj [(Xj = Xj) -> (xj = xj]; (I 3) aksjomat przechod- niości: Vx; VXj Vx, [(xf = Xj) л (Xj = x,) -> (Xj = xL)]; (1 4) aksjomat ekstensjonalności dla identyczności indywiduów: (xs = Xj) -> (φ(χ;) <p(Xj)), gdzie φ jest dowolną form ułą ję ­ zyka pierwszego rzędu.

(RP4) VX| (φ -> ψ) —> (Эх, φ -> ψ), gdzie Xj nie jest zm ienną wol­ ną w ψ.

Z biór reguł pierwotnych tworzą6:

(1) reguła odrywania dla implikacji (r0): φ, φ —> ψ 1- φ; (2) reguła generalizacji (r ), o schemacie: φ |- Vx; φ.

Schematy aksjom atów klasycznego rachunku zdań oraz R P 1 -RP4 są również schem atam i aksjom atów logiki drugiego rzędu (L2). Oczywiście, każdem u z powyższych schem atów odpow iadają poza form ułam i logiki L, również i inne. Są to form uły popraw nie zbudow ane zawierające zm ienne predykatywne.

Aby wyznaczyć L2 wprowadzamy nowe aksjomaty. M ożna powie­ dzieć, że aksjom aty (R P5) - (RP8) są rozszerzeniam i odpow iednio aksjom atów (RP1) - (R P4) na zm ienne innego typu niż indywidu- owe. Są to:

(RP5) VX| φ —» φ [Х/х], gdzie τ jest zm ienną lub stałą predyka- tywną oraz Arg (Xj) = A rg (x),

(RP6) φ —» 3X, φ,

(RP7) VX| (φ —> ψ) —> (φ —> VX( ψ), gdzie X ( nie jest zm ienną wolną w φ.

(RP8) УХ, (φ ψ) —> (3X| φ -> ψ), gdzie X-t nie jest zm ienną wolną w ψ.

D rugą grupę aksjom atów stanowią zasadniczo nowe wyrażenia: (RP9) ЭХ Vxj... Vxn [X (Xj, x2... xn) o φ (χ1... xn)j, gdzie φ jest d o ­ wolną form ułą języka drugiego rzędu, o jedynych zmiennych wol­ nych X j . - . X , , .

(RP10) Vxj Vx2... Vxn [(X; (Xj, x2... xn) о X. (xt, x2... x j ) -» X, = gdzie Xj oraz X | są n-argumentowymi zmiennymi predykatowymi, n - dowolną liczbą naturalną7.

W yrażenie (R P9) jest schem atem , którem u odpow iada nieskoń­ czona ilość zdań języka drugiego rzędu. Z dania te nazywane są po­ stu latam i definicyjnymi. W yrażenia otrzym ane ze schem atu RP10 zwane są aksjom atam i ekstensjonalności. D ysponując tym sche­ m atem , nie musimy wprowadzać (II) - (14) aby określić identycz­ ność między indywiduami. M ożna ją bowiem wprowadzić do syste­ mu za pom ocą następującej definicji:

x = у <-» VX (Хх Xy).

6 Znak: [— jest używany na oznaczenie konsekwencji syn taktycznej. 7 Zob. L. Borkowski, dz. cyt., 136.

Możliwość definicyjnego ustalenia znaczenia identyczności indy­ widuów świadczy o większych ekspresyjnych możliwościach syste­ mu L2 w stosunku do L r

Zbiór reguł pierwotnych dla rachunku predykatów drugiego rzędu również powiększa się w stosunku do zbioru reguł przedstawionego wcześniej. Dodana zostaje tylko jedna reguła - reguła generalizacji (r ’) dla zmiennych predykatywnych. M a ona zatem następującą postać:

(r/jipC X D l-V X.ip^).

Z aksjomatycznym ujęciem logiki związane są ważne pojęcia syn- taktyczne, takie jak: teza, dowód, dowodliwość, inferencja, konse­ kwencja syntaktyczna itd. Terminów tych używać będziemy, nadając im standardow e znaczenie8.

D efinicja 1

Z b ió r form uł Φ jest teorią nadbudow aną nad logiką Lj (i=1,2) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jego konsekwencji syntaktycznych, C nM równy jest zbiorowi Φ.

2. SEM A N TY CZN E U JĘ C IA L O G IK I L2

H. B. E nderton podaje dwa rodzaje struktur relacyjnych, do któ­ rych m ożna odnieść rachunek predykatów drugiego rzędu9. Pogo­ rzelski nazywa m odele zdań w pierwszym z ujęć modelami główny­ m i10. Analogiczne, odpowiednie struktury nazywać będziemy stru k ­ tu ram i głównymi, interpretacje - interpretacjam i głównymi, a całą semantykę - sem antyką główną. Z kolei, m odele zdań w drugim uję­ ciu nazywane są przez H. B. E ndertona modelami ogólnymi. Stąd, podobnie jak w poprzednim przypadku, będziemy mówić o stru k tu ­ rach lub interpretacjach ogólnych, a także o semantyce ogólnej11.

Chcąc wprowadzić pojęcia struktury głównej oraz struktury ogól­ nej dla logiki L2, określimy najpierw szerszą klasę struktur relacyj­ nych niż te, które odpow iadają powyższym pojęciom.

8 Zob. M. Porębska, W. Suchoń, Klasyczny węższy rachunek predykatów, w: Elemen­ tarne wprowadzenie w logikę formalną, Warszawa 1991,189-231.

9 Zob. H. B. Enderton, art, cyt., 268-289.

10 Nazwa ta bierze się prawdopodobnie z tego, że mówiąc o modelach dla zdań logi­ ki drugiego rzędu, mamy za zwyczaj na myśli właśnie modele pierwszego rodzaju.

“ Zob. G. S. Boolos w artykule O logice drugiego rzędu nazywa semantykę główną, semantyką standardow ą lub, wymiennie, pełną. Chcąc jednak utrzymać jednolitość na­ zewnictwa będziemy się trzymać nazwy „semantyka główna”.

Rozważmy struktury relacyjne o postaci:

S2 = < U0, {Un: Un=P(U0n oraz n e N}, {u„ u,... u k}, { = , R v R 2,..., R,} > , przy czym: к, 1 e ( N u {0}); U0 jest dowolnym niepu- stym zbiorem ; u,, u2... uksą wyróżnionymi elem entam i uniwersum U0; R „ R 2,.., R, są relacjam i, przy czym, jeśli relacja R ; jest n - argu­ m entow a, to należy ona do uniwersum Un12.

O dniesienie języka drugiego rzędu do tak określonej struktury relacyjnej pow odują funkcja interpretująca oraz wartościowanie.

D efinicja 2

In te rp re ta c ją języka drugiego rzędu jest uporządkow ana para M 2 = < S2, In tJ 2> , gdzie In tJ 2 jest funkcją spełniającą następujące warunki:

(a) I n tJ 2 przyporządkowuje każdej stałej indywiduowej, elem ent uniwersum U0, znajdujący się w zbiorze indywiduów wyróżnionych. W tedy gdy stałej: a;, odpow iada elem ent ui; wówczas będziemy symbolicznie pisać: I n tJ 2 (a;) = u i; gdzie i e {1, 2,..., k}.

(b) In tJ 2 przyporządkowuje każdej n-argumentowej stałej predy- katowej, n-argum entową wyróżnioną relację, a predykatowi iden­ tyczności - relację identyczności. Oznaczając przez R; relację przypo­ rządkowaną stałej: P;, przez funkcję In tJ 2, zapiszemy to symbolicz­ nie: In tJ 2 (Pi) = R„ gdzie ArgJ2 (P,) = A rgJ2 ( R j oraz i e {1, 2,..., 1}.

Definicja 3

Funkcja V jest wartościowaniem (funkcją w artościow ania) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki:

(1) każdej zmiennej nazwowej, xi5 przyporządkowuje pewien ele­ m en t uniwersum U0, a n-argum entow ej zm iennej predykatowej X ;, n - argum entow ą relację RiZe zbioru Un. Symboliczny zapis: v (xj u oraz v (Xj) = Rj

(2) każdej stałej nazwowej lub predykatowej przyporządkowuje w artość funkcji In tJ 2, czyli v (a,) = I n tJ 2 (aj) oraz v (P;) = In tJ 2 (P;) .

Pojęcie spełniania zdefiniujemy natom iast następująco: Definicja 4

Niech dana będzie interpretacja M 2 języka J 2 oraz wartościowanie v. Wówczas:

(1) form uła atom owa o postaci: Pj (t„ t2,..., tn) lub X; (t„ t2,..., tn) jest spełniona przez wartościowanie v, wtedy i tylko wtedy, gdy

(у(Ь), v (t2),..., v (tn)) g R j; gdzie R ; jest relacją przyporządkow aną

stałej lub zmiennej predykatowej, występującej w danej form ule, przez funkcję v. Zapisujem y wtedy symbolicznie: rP; (t,, t2 ίπ)Ί e Sat (v, M 2), względnie rXj (tp t2,.., t J 1 e Sat (v , M2);

(2a) form uła: φ -» ψ, jest spełniona przez wartościowanie v w te­ dy i tylko wtedy, gdy φ nie jest spełniona przez v lub ψ jest spełnio­ na przez v.

M ożna to inaczej zapisać następująco:

[Γ φ -» ψ 1 g Sat (v, M 2)] н [ ф й Sat (v, M 2) lub ψ g Sat (v, M 2)]; (2b) f φ v ψ 1 e Sat (v, M2)] н [ ф е Sat (v, M 2) lub ψ e Sat (v, M2)]; (2c) [r φ л ψ 1 e Sat (v, M 2)] е [ ф е Sat (v, M 2) i ψ e Sat (v, M jj ; (2d) [Γ φ ψ 1 e Sat (v, M 2)] π [ φ ε Sat (v, M 2) wtedy i tylko

wtedy, gdy ψ g Sat (v, M 2)];

(За) form uła: Зх, φ, (lub 3Xj φ, gdzie A rgJ2 (Xj) = n), jest speł­ niona przez wartościowanie v wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w ar­ tościowanie w różniące się co najwyżej przypisaniem elem entu uni-

wersum U0 (lub U J dla zmiennej (lub X;) takie, że form uła φ jest spełniona przez wartościowanie w.

Zapisujem y to również inaczej:

r3x; φ 1 e Sat (ν, M2) o φ e Sat (w, M2) dla pewnego w/ X;

lub, w przypadku kwantyfikowanej zmiennej predykatowej:

r3Xj φ ' e Sat (ν, M2) ο φ ε Sat (w, M2) dla pewnego w/ X i

(3b) form uła: Vxk φ (lub: VXj φ, gdzie A rgJ2 (Xj) = n), jest speł­

niona przez wartościowanie v wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego w artościowania w różniącego się co najwyżej przypisaniem elem en­

tu uniwersum U0 (lub U J dla zmiennej: x; (lub X ;), form uła φ jest

spełniona przez wartościowanie w.

Z apisujem y to również jak następuje:

r Vx; φ 1 e Sat (ν, M2) θ φ ε Sat (w, M2) dla każdego \ν/χ<

łub, w drugim przypadku:

rVXj φ 1 g Sat (v, M2) π φ ε Sat (w, M2) dla każdego w/Xj

W prow adzony term in spełniania jest podstaw ą dla pojęć posia­ dających zasadnicze znaczenie dla porównywania treści zdań z rze­ czywistością, o której mówią. Chodzi tu o prawdę przy danej inter­ pretacji, m odel zdania, m odel zbioru zdań itd.

Definicja 5

Form uła φ jest prawdziwa przy danej interpretacji M 2 wtedy i tyl­ ko wtedy, gdy φ jest spełniona przez każde wartościowanie v określo­ ne na zbiorze term ów języka J 2 oraz o zbiorze U0 jako zbiorze w arto­ ści. O interpretacji M2 mówimy wtedy, że jest modelem form uły φ.

Nie trudno zauważyć, że jeśli cpjest zdaniem , to jest ono praw dzi­ we w M 2 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wartościowanie v takie, że: φ e Sat (v, M 2). Z bió r wszystkich zdań prawdziwych w M 2 b ę­ dziemy oznaczać jako: E (M 2).

Podobnie jak m odel zdania, określa się pojęcie modelu zbioru zdań : Definicja 6

D ana interpretacja M 2 jest modelem zbioru zdań Φ wtedy i tylko wtedy, gdy każde zdanie z tego zbioru jest prawdziwe przy in te rp re ­ tacji M 2.

Równoważnie m ożna, wobec podanych definicji, powiedzieć, że dana interpretacja M 2 jest m odelem zbioru zdań Φ wtedy i tylko wtedy, gdy jest m odelem każdego zdania będącego elem entem zbioru Φ.

Zwróćmy uwagę na to, że do tej pory przedstawiliśmy odniesie­ nie sem antyczne nie dla logiki drugiego rzędu L2 (wprowadzonej wcześniej aksjom atycznie), lecz dla jej języka. Nie przy wszystkich bowiem interpretacjach języka J 2 są prawdziwe wszystkie aksjom a­ ty logiki drugiego rzędu. N atom iast na to, żeby dana interpretacja M 2 była m odelem logiki L2 muszą być spełnione dwa warunki:

(1) wszystkie aksjomaty tej logiki są formułami prawdziwymi w M2, (2) reguły dedukcji nie wyprowadzają poza zbiór zdań praw dzi­ wych w M 2, czyli po zastosowaniu dowolnej reguły dow odzenia do dowolnego zdania prawdziwego w M 2 otrzym ane zdanie również należy do zbioru zdań prawdziwych w M 2.

N ietrudno, co praw da, wykazać, że wszystkie podstaw ienia m eta­ językowych form uł występujących jako aksjom aty logiki pierwszego rzędu są prawdziwe przy każdej interpretacji języka J 2. Podobnie jest również z aksjom atem ekstensjonalności oraz aksjom atam i (R P5) - (RP8), k tóre wyrażają własności kwantyfikatorów określo­ nych na zmiennych predykatywnych. Reguła odrywania oraz reguły generalizacji nie wyprowadzają poza zbiór zdań prawdziwych przy danej interpretacji. Z atem obydwa podane w arunki byłyby spełnio­ ne dla rachunku predykatów drugiego rzędu z identycznością, gdy­

by każda in terpretacja języka drugiego rzędu byia m odelem dla wszystkich postulatów definicyjnych (RP9). I tego właśnie nie m oż­ na powiedzieć o dowolnej interpretacji języka J 2. Rozważmy nastę­ pujące postulaty definicyjne:

(1) 3X Vx [X (x) g a (x = x)j;

( 2 ) 3 X V x [ X ( x ) g a ~ ( x = x ) ] ;

(3) 3X [X (x) o ~ φ (x)];

(4) 3X Vx [X (χ) GA (φ (x) ν ψ (x))j;

(5) 3X Vx [X (χ) o (φ (χ) л ψ (x))].

Z e względu na to, że każdy elem ent uniwersum indywiduowego jest identyczny sam ze sobą należy wnioskować, że prawdziwość zdań (1) oraz (2) przy danej interpretacji wyznacza istnienie zbioru pełnego U0 oraz zbioru pustego, w uniwersum Uj odpowiadającej jej struktury relacyjnej. Podobnie, na mocy prawdziwości (3) - (5), wraz ze zbioram i wyznaczonymi przez formuły: φ, ψ do uniwersum U, m uszą należeć ich dopełnienia do zbioru pełnego U0, a także teorio-m nogościowe sumy i iloczyny zbiorów wyznaczonych przez φ oraz ψ.

O znacza to, że postulaty definicyjne wyznaczają ciało zbiorów, a także, że uniwersum relacji jednoargum entow ych (zbiorów) musi zawierać w sobie to ciało13. Podobnie, prawdziwość (przy in terp re­ tacji M 2) zdań: (6) 3X Vx Vy[X (χ, y) GA VY (Y (χ, у) л ~ Y (x, y))]; (7) ЭХ Vx Vy[X (χ, y) GA VY (Y (x, y) v ~ Y (x, y))]; (8) 3X [X (x, y) g a φ ( x , y)]; (9) 3X Vx Vy [X (x, y) GA (φ (x, y) ν ψ (x, у))]; (10) 3X Vx Vy [X (x, y) g a (φ (χ, у) л ψ (χ, у))]

stanowi ο tym, że uniwersum relacji dwuargumentowych również musi zawierać ciało zbiorów wyznaczone przez postulaty definicyj­ ne. Jak nie tru dno zauważyć, taki sam w arunek trzeba nałożyć na dowolne uniwersum Un.

Z astanów m y się tera z nad następującym zagadnieniem : czy prawdziwość wszystkich postulatów definicyjnych przy danej in­ terp retacji jest rów now ażna tem u, aby każdy m odel tej logiki miał jednoznacznie wyznaczone uniw ersa Un przez zbiór indywiduów?

13 Zob. J. Słupecki, K. Hałkowska, K. Piróg-Rzepecka, Logika i teoria mnogości, Warszawa 1978.

Czyli, czy jest zawsze tak, że Un jest zbiorem potęgow ym iloczynu kartezjańskiego U 0n dla n e N? O kazuje się, że odpow iedź na to pytanie jest na ogół negatyw na. Dotyczy to naw et takich przypad­ ków, gdy aksjom aty logiki drugiego rzęd u wyznaczają bardzo sze­ roką klasę rodzin zbiorów lub, m ów iąc ogólnie, rodzin relacji o dowolnej ilości argum entów . Załóżm y, że w języku logiki d ru ­ giego rzędu dysponujem y nazwam i (a-, gdzie i, j e N) dla wszyst­ kich indywiduów pew nego jej m odelu. Wówczas tezam i są zdania o postaci:

ΞΧ Vx [X (x) o (x = aü v x = ai2 ν .,.ν x = a,k)j, gdzie к e N. Z d a n ia te zapew niają istnienie, w U p wszystkich skończonych podzbiorów uniw ersum indywiduowego tego m odelu, klasa zbio­ rów definiow alnych w m odelu (wyznaczonych przez postulaty d e ­ finicyjne) jest więc bardzo szeroka. Gdyby ów m odel m iał skoń­ czone uniw ersum indywiduowe, wówczas każda rodzina p o d zb io­ rów U 0n m iałaby skończoną moc. To z kolei oznacza, że wówczas wszystkie elem enty P (U0n) byłyby definiow alne w m odelu. Je d n ak w przypadku, gdy U0 jest przeliczalne nieskończone, nie zachodzi rów ność m iędzy żadnym ze zbiorów Un oraz P (U0n). Rów ność każdej z takich p ar rodzin zbiorów stanow i co praw da w arunek wystarczający, ale nie jest on w arunkiem koniecznym bycia m o d e­ lem p o stulatów definicyjnych, a co za tym idzie - logiki drugiego rzędu.

A nalizując pojęcie modelu logiki L2, doszliśmy więc do tego, że

najm niejszym ograniczeniem , jakie możemy nałożyć na struktury ogólne jest w arunek prawdziwości postulatów definicyjnych. W ten sposób otrzymujemy pojęcie interpretacji ogólnej oraz struktury ogólnej:

Definicja 7

In te rp re ta c ją ogólną logiki drugiego rzędu, M 0, nazwiemy taką interpretację M 2 języka drugiego rzędu, przy której prawdziwe są wszystkie postulaty definicyjne, czyli zdania postaci:

3X Vxj... Vxn [X; (xp x2... xn) o φ (χ1... xn)].

Strukturę relacyjną odpow iadającą intepretacji ogólnej nazwie­ my wówczas stru k tu rą ogólną i oznaczać będziemy symbolem S0. M ożemy zatem również napisać: M 0 = (S0, I n tJ 2)

N a podstaw ie dotychczasowej analizy wiemy, że klasę in te rp re ta ­ cji dla języka J 2 m ożna ograniczyć jeszcze bardziej niż tylko do

in-terpretacji ogólnych, otrzym ując również interpretacje logiki d ru ­ giego rzędu. Interp retacje należące do tej nowej klasy nazwiemy in terp retacjam i głównymi, a struktury relacyjne im odpow iadające - stru k tu ra m i głównymi. Klasa interpretacji ogólnych jest nadzbio- rem klasy interpretacji głównych.

D efinicja 8

S tru k tu rą główną nazwiemy taką strukturę S2, w której wszystkie uniwersa Un, dla n e N ,s ą zbiorami potęgowymi o postaci P (U0n).

O znaczając strukturę główną jak o SG, otrzymujemy wówczas d e ­ finicję interpretacji głównej:

D efinicja 9:

In te rp re ta c ją główną logiki drugiego rzędu jest uporządkow ana para: M G = (SG, I n tJ 2), w której SG jest strukturą główną, a I n tJ 2 jest funkcją interpretującą język drugiego rzędu, J 2.

W prowadziliśmy w ten sposób podwaliny dwóch różnych sem an­ tyk dla logiki drugiego rzędu. Pierwszą z nich nazwiemy sem antyką ogólną, drugą zaś - sem antyką główną. W dalszej części pracy p o ­ każemy, że zachodzą zasadnicze różnice pom iędzy logiką L2 z se­ m antyką ogólną, a logiką L2 wyznaczoną przez sem antykę główną. W tym rozdziale ograniczymy się jed n ak do w prow adzenia ap a ra ­ tury pojęciowej przydatnej w dalszej części.

Oczywiście pojęcia spełniania, form uły prawdziwej przy danej in­ terpretacji i inne w prow adzone wcześniej w odniesieniu do języka, zachowują swe znaczenie. M ożemy jed n ak teraz wprowadzić nowe pojęcia, związane bezpośrednio z daną logiką, a tylko pośrednio z jej językiem. Możemy, na przykład, mówić o logicznej prawdziwo­ ści formuły, a w szczególności - zdania. Zbiory wszystkich form uł posiadających cechę logicznej prawdziwości są różne w zależności od tego, czy bierzem y pod uwagę interpretacje ogólne, czy główne. D latego też należy odróżnić logiczną prawdziwość na gruncie inter­ pretacji ogólnych od logicznej prawdziwości na gruncie interpretacji głównych.

D efinicja 10

D ana form uła jest logicznie prawdziwa na gruncie in terpretacji ogólnych wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawdziwa przy każdej in te r­ pretacji ogólnej M 0.

Definicja 11

D ana form uła jest logicznie prawdziwa na gruncie interpretacji głównych wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawdziwa przy każdej in ter­

pretacji głównej M G.

Podobnie m a się rzecz również z innymi term inam i dotyczącymi nie jednej struktury czy interpretacji, lecz pewnych ich klas. Należy zatem wprowadzić po dwie definicje dla pojęć semantycznej konse­ kwencji zbioru form uł (zdań) oraz sem antycznego wynikania danej form uły (zdania) ze zbioru zdań itd., w zależności od rodzaju in ter­ pretacji, który bierzem y pod uwagę. I tak mamy:

Definicja 12

Form uła (zdanie) φ wynika semantycznie ze zbioru zdań Φ na gruncie interpretacji ogólnych wtedy i tylko wtedy, gdy każdy m o­

del M 0 zbioru Φ jest również m odelem zdania φ.

W ymiennie będziem y wówczas mówić, że φ jest konsekwencją semantyczną zbioru Φ na gruncie interpretacji ogólnych, i zapisy­

wać symbolicznie: Φ |=0 φ.

Zbiór wszystkich form uł o podanej w definicji 12 własności na­ zwiemy zbiorem konsekwencji semantycznych zbioru Φ na gruncie interpretacji ogólnych.

Definicja 13

Form uła (zdanie) φ wynika semantycznie ze zbioru zdań Φ na gruncie interpretacji głównych wtedy i tylko wtedy, gdy każdy m o­

del M G zbioru Φ jest również m odelem zdania φ.

Mówimy również wtedy, że φ jest konsekwencją semantyczną zbioru Φ na gruncie interpretacji głównych, i zapisujemy: Φ [=G φ.

Z bió r wszystkich form uł o podanej w definicji 13 własności nazy­ wamy zbiorem konsekwencji semantycznych zbioru Φ na gruncie interpretacji głównych.

3. S PR O W A D Z E N IE L O G IK I L2 Z SEM ANTYKĄ O G Ó LN Ą D O L O G IK I P IE R W S Z E G O R ZĘ D U

E n d e rto n p o d aje pew ne przek ształcen ie logiki drugiego rzędu w teo rię o p a rtą na logice predykatów pierw szego rz ę d u 14. N aszki­

cujem y to przekształcenie. D any jest język pierw szego rzędu, który zaw iera:

• zm ienne i stałe indywiduowe występujące w języku drugiego rzędu,

• kwantyfikatory ogólne i szczegółowe dla zmiennych indywidu- owych,

• w miejsce stałych pozalogicznych Pj w języku pierwszego rzędu mamy stałe indywiduowe: fy;

• i + 1 - argum entow e stałe predykatywne

• dla każdego rodzaju zmiennych, w języku pierwszego rzędu niech istnieje nowa, jednoargum entow a stała predykatywna Q t: dla zm iennych indywiduowych - Q 0, dla jednoargum entow ych zm ien­ nych predykatow ych- Q ,, dla dw uargum entowych zmiennych pre- dykatowych - Q 2 itd.

Wówczas m ożna przyporządkować form ułom poprawnym języka drugiego rzędu, form uły popraw ne języka pierwszego rzędu oraz m odelom ogólnym teorii T2 m odele pewnej teorii nadbudowanej

nad logiką pierwszego rzędu w ten sposób, aby istniała wzajem na odpow iedniość zdań prawdziwych w m odelach.

O znaczm y funkcję przyporządkow ującą form uły jako: f. F unk­

cję tę określam y tak, żeby form ułom atom owym języka odpow ia­ dały form uły o możliwie jak najm niej zm ienionej postaci. Pewne różnice dotyczą b raku stałych P i; o raz zm iennych X ;, w rozpatry­ wanym języku pierw szego rzędu. W m iejsce stałych P; wstawiamy symbole: b i; zaś w m iejsce zm iennej pisanej dużą literą X ( w sta­ wiamy zm ien n ą indywiduową, ale taką, k tó ra w form ule wyjścio­ wej nie występowała.

Aby m óc wyróżniać odpowiedniki form uł atomowych języka drugiego rzędu, w prowadza się stałe predykatywne Ej. M amy na przykład:

f (P t (Xj, x2)) = ε2 (bp Xj, x2) oraz

f (χ ι (χ ι) ) = (x, Xj).

Form uły złożone zachowują stałe logiczne. D la przykładu, jeżeli

φ oraz ψ są form ułam i poprawnymi, to: f (~φ) = ~ f (φ), nato ­ miast: f (φ л ψ) = f (φ) л f (ψ). Zasadnicza różnica występuje tylko w form ułach z kwantyfikacją zmiennych. Jako, że stałe Q ; chcemy rozum ieć jako odpowiedniki określenia rodzaju zmiennych, muszą one występować w form ułach z kwantyfikatoram i. Jeśli zm ienna Xj jest dw uargum entow a, mamy:

f (VXj φ) = Vx (Q 2 ( x ) > f (φ));

f (3Xj φ) = 3x (Q 2 ( χ ) λ f (φ)), przy czym w formule: f (φ) występu­

je x wszędzie i tylko w tych miejscach, w których w φ była zmienna X·.

Oczywiście dla dowolnych stałych rodzaju O, postępujem y p o ­ dobnie.

Podane przekształcenie posiada własności wyrażone w n astęp u ­ jących twierdzeniach:

Twierdzenie 1

Dla każdego modelu M0 teorii T2 istnieje model M, teorii pierw­ szego rzędu, wyznaczonej przez obrazy aksjomatów względem funkcji f. W modelu tym dowolne zdanie f (φ) jest prawdziwe, wte­

dy i tylko wtedy gdy odpowiadające mu zdanie φ jest prawdziwe w modelu M0. W modelu tym zawsze prawdziwe są zdania o istnie­ niu dla każdej stałej Q; elementu posiadającego tę własność.

Twierdzenie 2

istnienie modelu ogólnego teorii T2 wynika z istnienia modelu M, teorii wyznaczonej przez obrazy aksjomatów względem funkcji f, o ile prawdziwe są w nim obrazy (względem funkcji f) wszystkich postulatów definicyjnych.

Powyższe cechy przekształcenia f są bardzo przydatne do b ad a­

nia niektórych własności form alnych teorii drugiego rzędu z se­ m antyką ogólną. Pozwalają one, co zobaczymy w następnych roz­ działach, przerzucić ciężar badania istnienia m odeli na teorie pierwszego rzędu. W łasności tych teorii były gruntow nie przeanali­ zowane i zostały bardzo dobrze poznane w ram ach badań m etalo- gicznych oraz matematycznych.

4. K A TEG O R Y C ZN O ŚĆ N IE K T Ó R Y C H T E O R II NADBUDOW ANYCH NAD L O G IK Ą L 2

Pojęcie kategoryczności danej teorii, jak wszystkie, które om a­ wiane będą w niniejszym paragrafie, związane jest z jej m odelam i. Bez względu na to nad jaką logiką teoria jest nadbudow ana, m ożna kategoryczność określić, odwołując się do izomorficzności pewnych struk tur relacyjnych, następująco:

Definicja 14

D an a teo ria jest kategoryczna, gdy wszystkie jej m odele są izo­

R achunek predykatów pierwszego rzędu był wnikliwie badany i sform ułow ano w związku z tym wiele twierdzeń opisujących wła­ sności tej logiki. Wiemy, na przykład, że każda niesprzeczna teoria pierwszego rzędu ma m odel oraz że zbiór wszystkich zdań praw dzi­ wych przy danej interpretacji pierwszego rzędu jest niesprzeczny i sem antycznie zupełny. Z n an a jest również własność niekatego- ryczności teorii pierwszego rzędu (o przeliczalnym zbiorze aksjo­ m atów) posiadających m odel nieskończony (czyli o nieskończonej liczbie indywiduów w uniwersum ). Wynika to z następującego twierdzenia:

Twierdzenie 3

Jeśli dana teoria, oparta na logice pierwszego rzędu z identycz­ nością, ma model nieskończony, to ma też modele o uniwersach do­ wolnie wysokiej mocy.

W iedząc zatem , że w arunkiem koniecznym izomorficzności m o­ deli jest równoliczność ich uniwersów wnioskujemy od razu, że za­ wsze w takiej sytuacji istnieją m odele nieizomorficzne. Z atem żad­ na teo ria podanego typu nie jest kategoryczna.

Logika pierwszego rzędu posiada też własność wyrażoną w tw ierdzeniu 4:

Twierdzenie 4 (Lów enheim a - Skolema dla L, z identycznością): Jeśli dana teoria oparta na logice pierwszego rzędu z identycz­ nością ma model, to ma też model przeliczalny.

D la logiki drugiego rzędu z sem antyką ogólną form ułuje się od­ pow iednik tw ierdzenia Lów enheim a - Skolema:

Twierdzenie 5

Jeśli dana teoria drugiego rzędu T2 ma model ogólny, to ma też przeliczalny model ogólny.

D ow ód

W dowodzie tw ierdzenia 5 sform ułowanym przez E n d e rto n a wy­ korzystuje się w spom niane wcześniej przekształcenie logiki drugie­ go rzędu:

Załóżm y że dana teoria T2 m a m odel ogólny. Wówczas m ożna go przekształcić w m odel odpowiadającej jej teorii pierwszego rzędu z identycznością T r Ponieważ teoria l j ma model, to na podstawie twierdzenia 4, T, ma przeliczalny model. Jako, że teoria T, posiada jako aksjomaty odpowiedniki aksjomatów logiki drugiego rzędu, ten

przeliczalny m odel m ożna przekształcić w m odel ogólny teorii T2. Pozostaje jedynie wykazać, że uniwersum indywiduowe tego m odelu jest zbiorem przeliczalnym. Należy odnotować, że zbiór ten składa się z tych elem entów, którym przysługuje własność Qj. Stanowią one jednak podzbiór przeliczalnego zbioru będącego uniwersum m odelu teorii Tj, zatem tworzą zbiór przeliczalny. Wykazaliśmy więc, że otrzymany m odel ogólny jest m odelem przeliczalnym teorii T2.

Twierdzenie 5 m ożna wykorzystać do wykazania niekategoryczn- ości na gruncie sem antyki ogólnej pewnych teorii drugiego rzędu. Niech bowiem dana teoria m a m odel ogólny nieprzeliczalny. Z n a ­ czy to między innymi tyle, że m a ona jakiś m odel ogólny. Na p o d ­ stawie tw ierdzenia Löw enheim a-Skolem a m a więc ona również przeliczalny m odel ogólny. Z atem istnieją m odele ogólne tej teorii, które m ają różne m oce, a więc nie są izom orficzne. Z definicji teo ­ rii kategorycznych wiemy natom iast, że teoria posiadająca m odel nieprzeliczalny, nie jest kategoryczna. Nie m ożna jed n ak na po d ­ stawie tego sam ego tw ierdzenia stwierdzić nie-kategoryczności teo ­ rii, o których wiemy jedynie, że m ają ogólny m odel nieskończony przeliczalny. M ożna co praw da odwołać się do odpowiedniej teorii pierwszego rzędu. Wówczas ze względu na istnienie jej m odelu nie­ skończonego wiemy na podstaw ie twierdzenia 3 o tym, że ma ona m odele dowolnej nieskończonej mocy. D la każdego z nich istnieje m odel wyjściowej teorii drugiego rzędu, jed n ak o mocy tego m ode­ lu wiemy tylko tyle, że jest ona nie większa od mocy m odelu teorii pierwszego rzędu. M oże się zatem zdarzyć tak, że wszystkie m odele teorii drugiego rzędu będ ą miały wszystkie uniwersa przeliczalne, i wówczas nie m ożem y jeszcze powiedzieć, że wyjściowa teoria m a m odele nie-izom orficzne. Nie znaczy to, co praw da, że muszą one być izom orficzne tylko, że nie możemy, na tej podstaw ie co p o ­ przednio, wykazać braku przekształcenia będącego izom orfizm em.

Przykładem nie-kategorycznej teorii drugiego rzędu posiadają­ cej nieizom orficzne przeliczalne m odele ogólne jest nieelem entar- na Peanowska arytm etyka liczb naturalnych z aksjom atem indukcji wyrażonym w języku drugiego rzędu. Teoria ta nadbudow ana jest nad logiką T2 z identycznością, a jej aksjom atam i specyficznymi są następujące zdania:

( N l ) V x ~ ( 0 = S (x )),

(N2) Vx Yy (S (x) = S (y) -» x = y),

M odelem teorii Peano jest oczywiście interpretacja, w której uni­ wersum indywiduów jest zbiorem liczb naturalnych N, symbolowi „0” przyporządkowujemy liczbę zero, a symbolowi „S”- relację R = {(k, k + 1 ): k e N u {0}}, czyli relację następnika liczb naturalnych. Zakładam y również, że wszystkie uniwersa poza idywiduowym są takie, aby interpretacja była interpretacją ogólną, a przy tym żeby nie była główną. Aby dowieść, że taka interpretacja istnieje, wystar­ czy za uniwersa Un przyjąć najmniejsze rodziny relacji n-argum ent- owych istniejących na mocy postulatów definicyjnych. Jak już wcze­ śniej mówiliśmy, uniwersa takie są zbioram i przeliczalnymi, ponie­ waż form uł wyznaczających relacje jest przeliczalnie wiele.

B ardzo łatwo jest w takiej sytuacji znaleźć m odel, który nie jest izomorficzny z wyżej określonym. Aby go otrzym ać wystarczy p rze­ kształcić m odel już podany w m odel główny, czyli poszerzyć uni­ wersa relacyjne do zbiorów potęgowych postaci P (N") (gdzie n e N). Obydwa m odele są nie-izom orficzne, ponieważ ich izomorficz- ność pociągałaby równoliczność odpow iednich uniwersów. W iado­ mo jednak, że w tej sytuacji uniwersa relacyjne drugiego m odelu są nieprzeliczalne jako rodziny wszystkich podzbiorów zbiorów Nn. O dpow iadające im uniwersa m odelu pierwszego są natom iast zbio­ ram i przeliczalnymi. Wiemy zatem , że nieelem entarna Peanowska arytm etyka liczb naturalnych nie jest teo rią kategoryczną, jeśli bie­ rzemy pod uwagę sem antykę ogólną.

Zastanów m y się teraz nad m odelam i głównymi tej teorii. W iele podręczników podaje dowód twierdzenia, że wszystkie in te rp re ta ­ cje główne, przy których prawdziwe są aksjom aty (N1) - (N3), są izom orficzne z m odelem podanym przez nas jako drugi. Polega on na tym, że wskazuje się funkcję przekształcającą elem enty jednej struktury relacyjnej w drugą w taki sposób, aby zachowywała ona odpow iednie elem enty wyróżnione. N astępnie dowodzi się, że funkcja ta jest izom orfizm em obydwu struktur (interpretacji). Oznaczmy opisany już m odel jako M G = (SG, I n tJ 2), a dowolny inny jako M ’G= (S’G, In t’J 2). W strukturze SG uniwersum indywiduowym jest zbiór liczb naturalnych N, zaś elem entam i wyróżnionymi - licz­ ba 0 oraz relacja R. W S’G niech to b ędą odpowiednio: uniwersum U0, dowolny elem ent tego zbioru - u0, a także relacja dw uargum en- towa R ’ zaw arta w U02. Przekształcenie f struk tu r określa się na uni­ wersum liczb naturalnych. Co prawda, pow inno być ono określone również na wszystkich uniwersach typu P (Nn), m ożna się jed nak

ograniczyć do rozpatryw ania funkcji na tym jednym zbiorze ze względu na łatwość i oczywistość rozszerzenia jej na pozostałe uni- wersa. Przekształcenie f m a zatem następującą postać: f (0) = u0, f (R (k)) = R ’ (f (k)) dla dowolnej liczby naturalnej k. W ten sposób funkcja ta przekształca liczbę 1 w następnik elem entu u0, liczbę 2 w następnik następnika u0 itd. Aby pokazać, że jest ono izom orfi­ zm em p otrzeba i wystarczy wykazać trzy cechy: hom om orfizm , róż- nowartościowość oraz w ypełnienie całego zbioru U0 przez obrazy elem entów uniwersum N względem funkcji f. To, że f jest hom o- m orfizm em , wynika ze sposobu jej zdefiniowania. N atom iast wyka­ zanie pozostałych dwóch cech jest nietrywialne i podstawową rolę odgrywa tu aksjom at indukcji (N3) oraz fakt, że dysponujem y w m odelu M ’G = (S’G, In t’J 2) rodziną wszystkich podzbiorów U0.

Chcąc np. udowodnić, że f m a trzecią z wymienionych cech (czy­ li że jest na U0), konstruujem y zbiór V: V = {u: 3k (u = f (k ))}. Jest to podzbiór uniwersum U0, zatem jest elem entem rodziny P (U0). M ożna więc zastosować do niego aksjom at indukcji (N3). Prawdzi­ wy jest dla V poprzednik implikacji występującej w aksjom acie (N3), poniew aż 0 jest elem entem V oraz wraz z przynależnością do zbioru V jakiegoś elem entu, należy też do niego następnik tego ele­ m entu. Prawdziwy jest zatem następnik tej implikacji, a to znaczy, że każdy elem ent U0 jest elem entem zbioru V.

Analogicznie udow adnia się różnowartościowość przekształce­ nia funkcji f. W tym przypadku bierzem y pod uwagę inny podzbiór uniwersum indywiduowego, podzbiór złożony ze wszystkich indywi­ duów, na którym funkcja f jest różnowartościowa.

Podany przykład teo rii P ean o uwidacznia, jak bardzo w ażne jest założenie, aby zakresem zm ienności zm iennych predykatyw- nych były rodziny wszystkich podzbiorów , czy relacji określonych na uniw ersum indywiduowym. Z ałożenie to w istotny sposób zm ienia om aw ianą w łasność teo rii nadbudow anych nad logiką drugiego rzędu. W idzimy też, że m ożna w ten sposób na gruncie logiki drugiego rzędu definiow ać zbiory przeliczalne nieskończo­ ne. D aje to naw et większą możliwość, poniew aż w powyższy sp o ­ sób określiliśm y zbiór liczb naturalnych (oczywiście z d o k ład n o ­ ścią do izom orfizm u). Z b ió r liczb wymiernych nie m oże być u n i­ w ersum indywiduów m odelu aksjom atów (N1) - (N3), poniew aż nie jest wówczas prawdziwy aksjom at indukcji. B iorąc natom iast p o d uwagę sem antykę ogólną, na gruncie powyższej teorii nie

m ożna odróżnić zbioru liczb naturalnych od np. zbioru liczb wy­ m iernych bez ujem nych liczb całkowitych. Podobnie, co d e m o n ­ struje tw ierdzenie L öw enheim a-Skolem a, nie m a teorii drugiego rzędu, k tó ra poprzez in terp retacje ogólne wyznaczałaby tylko te zbiory indywiduów, k tó re m ają m oc nieprzeliczalną. Jest to m ożli­ we nato m iast w przypadku sem antyki głównej. I tak jak p o p rze d ­ nio definiuje się w ten sposób zbiory k onkretnego typu. Z a przy­ kład m oże posłużyć teo ria, której aksjom aty specyficzne wyzna­ czają twory algebraiczne izom orficzne z ciałem liczb rzeczywi­ stych. Tworzymy ją, dodając do aksjom atów logiki drugiego rzędu z identycznością zdania określające ciała algebraiczne (ciała) oraz jed n o zdanie sform ułow ane w języku drugiego rzędu - zwa­ ne aksjom atem ciągłości. N a gru p ę aksjom atów definiujących cia­ ło składają się takie zdania, k tó re określają znaczenie działań d o ­ daw ania ( + ) i m nożenia (·) oraz określają własności liczb 0 oraz 1 jak o elem entów neutralnych w zględem , odpow iednio, działania dodaw ania oraz m nożenia. Tak więc dla dodaw ania i m nożenia m am y aksjom aty stw ierdzające cechy przem ienności, łączności, rozdzielności m nożenia w zględem dodaw ania i istnienia, dla d o ­ w olnego elem en tu uniw ersum indywiduów, elem entu do niego przeciw nego oraz odw rotnego (gdy jest on różny od 0). O ele­ m entach oznaczanych jak o „0” oraz „1” wiemy jeszcze, że w wyni­ ku dodaw ania 0 do dowolnej liczby otrzym ujem y tę liczbę, i że tak sam o jest z m nożeniem dowolnej liczby przez 1. W łasności te, jak powiedzieliśm y, definiują ciało algebraiczne. Je d n ak struktury r e ­ lacyjne wyznaczone w te n sposób m ogą się bardzo różnić. W ystar­ czy pow iedzieć, że ich uniw ersa indywiduowe m ogą być zbioram i skończonym i, nieskończonym i przeliczalnym i, a także nieprzeli­ czalnie nieskończonym i. M ożem y jed n a k dołożyć do opisanych aksjom atów pew ne zdanie drugiego rzędu, zaw ężając znacznie klasę m odeli głównych otrzym anej teorii. Z d an ie to nosi nazwę aksjom atu ciągłości. W iedząc, że znaczenie predykatu większości, „ > ”, w powyższym system ie m ożna w prow adzić za pom ocą defi­ nicji, zapiszem y aksjom at ciągłości w sposób następujący15:

(AC) VX [(3x X (x)) л By Vx X (x) —> (x > y)) -> 3y Vz (z> y 3x (X (x) л z >x)j.

O kazuje się, że każdy m odel główny takiej teorii jest izom orficz­ ny z interpretacją, której struktura główna m a postać:

SG = < R, {P (Rn): n e N}, {0,1}, { + , · , > } > .

Oczywiste powinno być, w jaki sposób w tej strukturze określamy funkcję interpretującą, na wszelki wypadek podam y jednak, że: IntJ2 (0) = 0, IntJ2 (1) = 1, IntJ2 (+ ) = +, IntJ2 (■) = ·, IntJ2 (> ) = >

A nalizą p rob lem u kategoryczności m iędzy innym i powyższej teorii zajm ow ali się m atem atycy w ram ach b a d a ń podpadających pod takie działy m atem atyki, jak algebra oraz analiza m atem a ­ tyczna. Szerokie om ów ienie kategoryczności przedstaw ionego zbioru zdań m ożna znaleźć w pozycji W. K leinera, a także G. M. F ich ten ch o lza16. My ograniczym y się tutaj do p a ru inform acji. W dow odzie, aczkolw iek trudniejszym od poprzedniego , wyko­ rzystuje się ten sam schem at. W prow adzam y pew ną funkcję na zbiorze liczb rzeczywistych tak, aby była hom om orfizm em , tzn. aby zachowywała indyw idua w yróżnione oraz w yróżnione relacje i działania. N astęp n ie pokazuje się, że jest o na różnow artościow a oraz „n a” uniw ersum indywiduowe w drugim , dowolnym m odelu danej teorii. W w ykazaniu tego wagę podstaw ow ą m a, pod o bn ie ja k w arytm etyce liczb naturalnych, aksjom at sform ułow any w ję ­ zyku drugiego rzęd u (tutaj: aksjom at ciągłości) oraz fakt, że w stru k tu ra c h algebraicznych dysponujem y każdym podzbiorem uniw ersum indywiduów.

5. T W IE R D Z E N IE O ZW A RTO ŚCI DLA L O G IK I L2

D la logiki pierw szego rzęd u form ułuje się następ u jące tw ier­ dzenie:

Twierdzenie 6 (o zwartości dla logiki pierwszego rzędu):

Jeśli każdy skończony podzbiór zbioru aksjomatów danej teorii pierwszego rzędu Tt ma model, to model ma również teoria Tr

D la logiki drugiego rzędu m ożna sform ułow ać odpowiednik tw ierdzenia o zwartości dla L,:

Twierdzenie 7 (o zwartości dla logiki drugiego rzędu):

Jeśli każdy skończony podzbiór aksjomatów teorii drugiego rzę­ du T2 ma model ogólny, to teoria T2 również ma model ogólny.

16 Zob. W. Kleiner, Analiza matematyczna, t. 1, Warszawa 1986, 69-70; G. Fichten­ holz, Rachunek różniczkowy i całkowy, 1 .1, Warszawa 1985,16-32.

Dowód

Załóżm y, że mamy d an ą teorię T2 spełniającą założenia powyż­

szego tw ierdzenia o zwartości. W iemy zatem , że każdy skończony podzbiór jej aksjom atów m a m odel ogólny. D la każdego m odelu ogólnego teorii drugiego rzędu istnieje m odel odpowiadającej jej teorii pierwszego rzędu, otrzym anej za pom ocą przekształcenia f.

W nioskujem y zatem , że teo ria pierwszego rzędu T, otrzym ana p o ­

przez przekształcenie f aksjomatów teorii T2, spełnia założenia

tw ierdzenia o zwartości, sform ułow anego dla logiki pierwszego rzę­ du. Skoro zatem wiemy, że każdy skończony podzbiór aksjom atów teorii Tj m a m odel, to wiemy również, że ona sam a też m a model. N a mocy tw ierdzenia 2, istnieje więc m odel ogólny teorii drugiego rzędu, będącej przeciw obrazem zbioru zdań T, przy przekształce­

niu f. Jako, że tym przeciw obrazem jest T2, zatem teoria ta m a m o­

del ogólny.

Twierdzenie to dotyczy semantyki ogólnej, nie obowiązuje n a to ­ miast, gdy weźmiemy pod uwagę sem antykę główną dla logiki L2.

M ożna bowiem podać przykłady teorii drugiego rzędu o nieskoń­ czonej liczbie aksjom atów specyficznych, których każdy skończony podzbiór m a m odel główny, podczas gdy wyjściowa teoria nie p o ­ siada m odelu głównego. Jed en z tego typu przykładów stanowi teo ­ ria o nieskończonej liczbie aksjom atów (Bn) oraz dodatkow o aksjo­ m acie (B), gdzie: (Bn) ЭХ! 3x2... Ebę, [-(x , = x2) a~ ( Xi = x3) λ.,.λ ~ ( X[ = x > ~ (x 2 = x3) Λ ...Λ ~(x2 = χπ) λ . , . λ - t a , = xn)], gdzie n e N oraz (B) ~ { 3 X Vxj Vx2 Vx3 [(X (x1; x2) v X (x2, xt)) л (X (x1; x2) -> ~ X (x2, Xj)) л[Х (Xl, x2) л X (x2, x3) -> X (x1; x3))] л ~ X (x„ x3) л (Зх4 X (xt, x4)]}.

W każdym zdaniu typu (Bn) stwierdza się istnienie w uniwersum indywiduowym co najm niej n różnych elem entów. M odele teorii w której znajduje się nieskończenie wiele takich zdań muszą zatem być m odelam i nieskończonymi (tj. o nieskończonym uniwersum in­ dywiduowym). W zdaniu (B) natom iast mowa jest o nieistnieniu w uniwersum relacji dwuargum entowych relacji porządku liniowe­ go określonego na nieskończenie wielu indywiduach.

Zauw ażm y, że w m odelu głównym o nieskończonym uniw er­ sum indywiduów m am y rów nież relację liniow ego p orządk u określo n ą na nieskończonej liczbie indywiduów. D ysponujem y

bow iem wszystkimi dw uargum entow ym i relacjam i zaw artym i w U02. M odele główne teo rii o ak sjom atach specyficznych (Bn) (n e N ), są zatem rów nież m odelam i negacji zdania (B). Ż a d e n m odel główny logiki drugiego rzęd u nie jest więc m odelem p o d a ­ nej teorii. N ato m iast każda teo ria, której aksjom aty specyficzne tw orzą skończony p o d zb ió r zd ań składających się na T2, posiad a m odel. W ram ach u zasad n ien ia zauważmy, że są cztery możliwe p ostaci teorii:

(1) N ie m a w niej żadnych aksjom atów specyficznych.

(2) Dodatkowym i aksjom atam i są tylko zdania typu (Bn) i jest ich skończona ilość.

(3) Jedynym aksjom atem specyficznym jest zdanie (B).

(4) W śród aksjom atów specyficznych znajdują się zdania typu (Bn) (skończona ilość) i zdanie (B).

Ad 1) Teoria taka jest po prostu logiką drugiego rzędu. Z atem ma m odele główne.

Ad 2) W takim przypadku, wśród tych aksjom atów istnieje zda­ nie o największym indeksie n0. M a ono oczywiście m odele główne, wystarczy bowiem, żeby odpow iadające interpretacjom struktury główne miały w uniwersum co najm niej n0 różnych elem entów. In­ terp retacje takie są wówczas również m odelam i głównymi pozosta­ łych zdań tego typu znajdujących się w teorii.

Ad 3) Aby dana in terpretacja główna była m odelem form uły (B) wystarczy, aby uniwersum odpowiadającej jej struktury m iało moc skończoną. N a żadnym bowiem zbiorze skończonym nie m ożna określić relacji dotyczącej nieskończonej ilości różnych elem entów. Z atem (B) jest wówczas prawdziwe.

Ad 4) Przypadek ten m ożna uznać za połączenie przypadków (2) oraz (3). Teoria o której mowa m a bowiem postać T2 = {B, Bnl, Bn2... Bnk}. Wówczas zbiór zdań: {Bnl, Bn2,..., Bnk} należy do drugie­ go z rozważanych przypadków. Z atem m a on m odele główne. W śród nich znajdują się i takie, których indywiduowe uniwersa m a­ ją m oc skończoną, jak i te o nieskończonej mocy zbioru. M odele skończone tej teorii są również m odelam i głównymi zdania (B) na mocy przypadku trzeciego.

Okazuje się zatem , że powyższa teoria nie m a m odelu głównego, ale każdy z jej skończonych podzbiorów m a tego typu m odele. Oznacza to, że na gruncie semantyki głównej nie obowiązuje tw ier­ dzenie o zwartości.

W artość powyższego tw ierdzenia wydaje się mieć źródło w cha­ rakterze pomocniczym względem dwóch innych problemów:

• istnienia m odelu niesprzecznej teorii nadbudowanej nad d a­ nym systemem;

• definiowalności zbiorów i relacji wewnątrz struktury relacyjnej. Pierwsze z tych zagadnień m ożna powiązać z ogólnymi założe­ niam i i poglądam i na tem at tego, co nas otacza. Otóż, mówiąc ob ­ razowo, zakłada się, że rzeczywistość nas otaczająca jest nie- sprzeczna. N a rzeczywistość, o której mówią systemy form alne przedstaw iane w pracy, składają się pewne typy struktur relacyj­ nych. D odając do aksjom atów danej logiki dodatkow e zdania, ograniczam y tym samym rzeczywistość do takich interpretacji, w ja ­ kich prawdziwe są dodatkow e wyróżnione zdania. N a podstaw ie tw ierdzeń wiemy, że zbiór zdań prawdziwych w danym m odelu jest niesprzeczny17. Ponieważ zbiór jej twierdzeń zawiera się w nie- sprzecznym zbiorze zdań prawdziwych w tym m odelu, zatem wiemy również, że teoria posiadająca m odel jest niesprzeczna. U jm ując to inaczej, jeśli danej wypowiedzi odpow iada pewna rzeczywistość, to wypowiedź ta nie zawiera sprzeczności. Czy zawsze zachodzi je d ­ nak relacja w przeciwnym kierunku? Czy jest zawsze tak, iż każda niesprzeczna wypowiedź dotyczy pewnej rzeczywistości? P rzeno ­ sząc ten problem na język potoczny i to co m ożna w nim wyrazić, odpowiedź na powyższe pytanie jest różna w zależności od tego, co uważamy za rzeczywiste. M ożemy bowiem wyrazić własne odczu­ cia, pewne swoje wyobrażenia, poglądy na jakiś tem at itd. A le czy należą one do rzeczywistości?

Przejdźmy jedn ak do języków formalnych. Podstawowe systemy takie, jak klasyczny rachunek zdań oraz rachunek predykatów pierwszego rzędu m ają tę własność, że każda niesprzeczna teoria nadbudow ana nad nimi posiada m odel. To samo m ożna powiedzieć o teoriach drugiego rzędu rozpatryw anych na gruncie semantyki

17 Niesprzeczność zbioru zdań prawdziwych w modelu danej logiki zagwarantowana jest przez definicje spełniania i prawdziwości. Czyli być może w sposób sztuczny, ale jed­ nak odpowiadający intuicji lub chęci, aby w ogóle rzeczywistość była niesprzeczna. Poza tym, gdyby przy danej interpretacji prawdziwe było jakieś zdanie oraz jego negacja, wówczas (ze względu na prawdziwość dowolnego podstawienia schematu) prawdziwe byłoby przy niej dowolne zdanie danego języka. Nie mielibyśmy więc odróżnienia mię­ dzy prawdą, a fałszem, bo wszystkie zdania byłyby prawdziwe. Przypadek taki, dając pod względem prawdziwości cały zestaw informacji, nie dawałby, z drugiej strony, żadnej.

ogólnej. W yjaśnienia wymaga ostatni z wymienionych systemów, ja ­ ko że leży on w centrum naszego zainteresow ania. Przeprowadzim y je, posługując się znowu przedstawionym w niniejszej pracy spro­ w adzeniem logiki drugiego rzędu do logiki pierwszego rzędu. Z a ­ łóżmy więc, że dana teo ria T2 jest niesprzeczna, czyli dla żadnej for­ m uły φ (w szczególności - zdania) nie jest tak, że: T2 1- (φ л ~ φ ) 18. Wówczas dzięki przekształceniu f języka drugiego rzędu J 2 w język J j przekształcam y również teo rię T2 w pew ną niesprzeczną teorię Tj. N a mocy tw ierdzenia G odła o pełności dla rachunku predyka­ tów pierwszego rzędu sform ułow anego i udow odnionego przez te­ go m atem atyka, wiadom e jest, że każda niesprzeczna teoria pierw­ szego rzędu m a m odel. Z atem Tj ma m odel M j. W takim razie, na mocy tw ierdzenia 1 i tw ierdzenia 2, istnieje interpretacja M 2 o tych samych zdaniach prawdziwych, z dokładnością do przekształcenia f, co w danej interpretacji pierwszego rzędu. Jest ona oczywiście m odelem teorii T2. Pokazaliśmy zatem , że nie sprzeczna teoria T2 m a m odel. Z atem jako końcowy wniosek otrzymujemy:

Twierdzenie 8

Jeśli d an a teo ria drugiego rzędu T2je s t niesprzeczna, to T2 ma model ogólny.

Powyższej własności nie m a jed nak logika rozpatryw ana na grun­ cie semantyki głównej. Wykażemy to, rozpatrując ponow nie przy­ kład podany w niniejszym paragrafie. Pokazaliśmy, że teoria okre­ ślona przez zbiór aksjomatów: {B} u {Βπ: n e N} nie m a m odelu głównego. Wiemy również, że posiada ona m odel ogólny. Istnienie m odelu ogólnego dla powyższego zbioru zdań jest zagw arantow ane na mocy tw ierdzenia o zwartości dla sem antyki ogólnej. Skoro za­ tem teoria m a m odel ogólny, to zbiór jej tw ierdzeń zawarty jest w zbiorze zdań prawdziwych w tym m odelu. Z biór zdań praw dzi­ wych w m odelu jest z kolei niesprzeczny, zatem dowolny jego p o d­ zbiór również. Wynika stąd zatem , że zbiór: {B} u (B n: n e N} jest niesprzeczny, ale nie m a m odelu głównego. U ogólniając wniosek, m ożna powiedzieć, że niesprzeczność teorii drugiego rzędu nie p o ­ ciąga istnienia dla niej m odelu głównego, aczkolwiek m odel ogólny dla takiej teorii istnieje.

18 Własność niesprzeczności (syntaktycznej) podana w powyższy sposób jest równo­ ważna zwykłemu rozumieniu tego pojęcia, tzn. że dla żadnej formuły nie jest tak, aby ona oraz jej negacja były dowodliwe na gruncie danego systemu.

Dotychczas podane argum enty m ożna uznać za jedn ostro nn ą chęć przekonania o bliskości L2 z sem antyką ogólną z logiką pierw ­ szego rzędu. Mógłby o tym świadczyć już sam fakt sprow adzenia ję ­ zyka drugiego rzędu do języka pierwszego rzędu wraz z zachow a­ niem pewnych zależności między odpowiednim i m odelam i. Jedn ak nie znaczy to, że m ożna utożsam iać obydwa systemy. Istnieją bo ­ wiem pewne różnice pom iędzy L2 z sem antyką ogólną, a logiką pierwszego rzędu. Jedn ą z nich, bardzo interesującą podaje G. Bo- olos19. Co praw da, au to r form ułuje swój argum ent w ram ach roz­ różnienia L2 z sem antyką główną od rachunku predykatów pierw ­ szego rzędu, jed n ak m ożna go przedstawić również w związku z se­ m antyką ogólną logiki drugiego rzędu. Otóż, teorię mnogości m oż­ na przedstaw ić jako pew ną teorię pierwszego rzędu, nie m ożna jej jed n ak uznać za teorię drugiego rzędu. Stwierdzenie to, jak się zda­ je, należy rozum ieć tak, że teo ria mnogości traktow ana jako teoria

nadbudow ana nad L, m a m odel, a jako teoria drugiego rzędu - nie. N a gruncie semantyki, ogólnej m ożna to ująć nieco inaczej. M iano­ wicie: m ożna w sposób niesprzeczny nadbudow ać teorię mnogości nad logiką pierwszego rzędu, ale nie nad logiką drugiego rzędu. Aksjom atyka Z erm elo - Fraenkla jest potw ierdzeniem możliwości traktow ania teorii m nogości jako jednej z niesprzecznych teorii pierwszego rzędu. Jeśli natom iast chcielibyśmy uznać jakąkolwiek aksjom atykę teorii mnogości sform ułow aną w języku drugiego rzę­ du za nadbudow ę nad logiką L2, to musielibyśmy się również pogo­ dzić z tym, że byłaby to teo ria sprzeczna. W iadom o bowiem, że na gruncie teorii mnogości, prawdziwe jest zdanie stwierdzające nie­ istnienie zbioru wszystkich zbiorów. Gdyby m ożna było traktow ać teorię mnogości jako teo rię drugiego rzędu, wówczas zbiory, zda­ niem Boolosa, musiałyby należeć do uniwersów U0 m odeli tej teo ­ rii. Istnienie zbioru pełnego jest natom iast zagw arantow ane p o ­ przez postulaty definicyjne. N ie m a zatem znaczenia, któ rą z rozpa­ trywanych sem antyk obierzem y, i tak dochodzim y do sprzeczności, chcąc mówić na gruncie L2 o teorii mnogości. O znacza to, że teoria mnogości traktow ana jako teo ria drugiego rzędu nie m iałaby m o­ delu ogólnego. W iemy natom iast, że nieistnienie m odelu ogólnego danej teorii drugiego rzędu implikuje jej sprzeczność.

19 Zob. G. S. Boolos, O logice drugiego rzędu, w: Filozofia logiki, tłum. z ang. C. Cie- śliński, A. Sierszulska, Warszawa 1997.

Teoria mnogości nie jest zresztą jedyną teorią, która traktow ana jako teoria pierwszego rzędu jest niesprzeczna, a jako teoria d ru ­ giego rzędu jest teo rią sprzeczną na gruncie semantyki ogólnej. Wystarczy, aby któraś z jej tez była sprzeczna z jakim ś postulatem definicyjnym. W niosek ten nie koliduje jed n ak z przedstawionym przez E n d e rto n a sprow adzeniem logiki drugiego rzędu, ponieważ przekształcenie przez nas p odane odwzorowywało L2 w pew ną teo ­ rię nadbudow aną nad L v a nie w sam ą logikę.

W spominaliśmy, że na gruncie sem antyki głównej również nie m ożna mówić o teorii mnogości. N ie musi jed n ak chodzić tutaj 0 to, że jako teoria drugiego rzędu jest ona sprzeczna, a jako teoria pierwszego rzędu - niesprzeczna. N a gruncie semantyki głównej nie ma my takiego związku między teoriam i nie posiadającymi m o­ delu, a teoriam i sprzecznymi, jak było to poprzednio. Przyczynami takiej różnicy są, według Boolosa, inne założenia logik drugiego 1 pierwszego rzędu. Otóż, w logice pierwszego rzędu m ożna mówić o obiektach, nie zakładając istnienia zbioru złożonego z nich wszystkich, podczas gdy nie m a takiej możliwości w odniesieniu do logiki drugiego rzędu.

Innym z zagadnień, do których m ożna odnieść twierdzenie o zwartości dla logiki drugiego rzędu z sem antyką ogólną, jest p ro ­ blem definiowalności pewnych relacji wew nątrz danej struktury re ­ lacyjnej. Przypomnijmy, że pojęcie interpretacji ogólnej dla logiki drugiego rzędu wprowadziliśmy, ograniczając zakres pojęcia in te r­ pretacji drugiego rzędu do takich, w jakich prawdziwe są wszystkie postulaty definicyjne, czyli zdania postaci:

3X Vx,... Vxn [X (xp x 2... xn) (p(X j... xn)j, gdzie jest dowolną for­ m ułą ze zm iennymi wolnymi: x15 x2,..., xn i bez wolnych wystąpień in­ nych zmiennych.

Powiemy wówczas, że dana relacja n-argum entow a jest definio­ walna wew nątrz danej struktury relacyjnej drugiego rzędu, gdy jej istnienie zagw arantow ane jest przez pew ien postulat definicyjny. W przeciwnym przypadku będziem y mówić, że relacja ta nie jest definiow alna wewnątrz struktury relacyjnej (lub, gdy w iadom o o ja ­ kim rodzaju definiowalności mowa, że nie jest definiowalna). Z a ­ uważyliśmy wcześniej, że w strukturze o nieskończonej mocy uni- w ersum indywiduowego, nie wszystkie relacje o jakiejkolwiek u sta­ lonej liczbie argum entów są definiowalne. Wynika to z faktu przeli- czalności postulatów definicyjnych i nieprzeliczalności zbiorów p o ­

tęgowych P (U0n), gdzie n e N. N atom iast, chcąc uzasadnić niedefi- niowalność poprzez postulaty definicyjne konkretnego typu relacji, odwoływaliśmy się do intuicji związanej z wiedzą m atem atyczną. Uznaliśmy bowiem za pewnik intuicyjnie oczywisty, że relacji linio­ wego porządku określonej na nieskończonej liczbie elem entów nie jesteśm y w stanie zdefiniować za pom ocą predykatu identyczności. Dzięki tw ierdzeniu o zwartości dla sem antyki ogólnej możemy p o ­ dać inne, bardziej form alne, uzasadnienie niedefiniowalności wyżej wymienionej relacji. O tóż, gdyby była ona definiowalna, to w każ­ dym m odelu ogólnym logiki drugiego rzędu z identycznością m ieli­ byśmy zagwarantowane jej istnienie. Z atem , przy dowolnej in te r­ pretacji ogólnej byłoby prawdziwe zdanie:

ЭХ Vx, Vx2 Vx3 [(X (Xj, x2) V X (x2, x j ) л (X (xt, x2) ->

~ X (x2, x,)) ( л [X (xj, x2) л X (x2, x3) -» X (x1; x3))] л ~ X (x1; х ^ л (Зх4 X (x„ x4)].

W każdym m odelu zbioru {Bn: n e N} powyższe zdanie również byłoby prawdziwe. Ponieważ jest to negacja formuły (B), a zbiór zdań prawdziwych przy danej interpretacji ogólnej jest niesprzeczny, więc żaden m odel zbioru {Bn: n e N} nie byłby m odelem ogólnym teorii {B} u {Bn: n e N}. Teoria ta nie miałaby więc m odelu ogólne­ go. Jednak na podstawie twierdzenia o zwartości wiemy, że m odel te­ go typu istnieje. Oznacza to, że założenie definiowalności relacji li­ niowego porządku o nieskończonej ilości elementów, w m odelach teorii określonej w przykładzie jest założeniem błędnym.

Oczywiście, m ożna w podobny sposób wykazywać niedefiniowal- ność pewnych zbiorów czy relacji w m odelach innych teorii, jedn ak nie m ogą być one dowolne. M uszą posiadać chociażby nieskończo­ ną ilość aksjom atów specyficznych.

Podsum ujm y inform acje tego rozdziału. Wiemy, że logika d ru ­ giego rzędu m a własność zwartości na gruncie semantyki ogólnej oraz że każda niesprzeczna teo ria drugiego rzędu m a m odel ogól­ ny. Z niesprzeczności teorii nie wynika jed n ak istnienie jej m odelu głównego. Nie jest też zwarta logika drugiego rzędu na gruncie se­ m antyki głównej. Cecha istnienia m odelu danej teorii jakiegokol­ wiek systemu form alnego wydaje się mieć w artość sam ą w sobie. Dzięki niej niesprzeczność teorii równoważna jest ze znalezieniem dla niej m odelu. W ten w łaśnie sposób m ożem y przenieść problem syntaktycznej niesprzeczności lub sprzeczności na semantykę. K on­ struow anie dowodu sprzeczności syntaktycznej teorii m ożna zastą­

pić udow odnieniem nieistnienia jej modeli, podobnie jak nie- sprzeczność syntaktyczną teorii uzasadnimy, znajdując jej model. Jeśli jed n ak w danym systemie nie zachodzi ta równoważność, wówczas wiemy tylko, że ze znalezienia m odelu wynika niesprzecz- ność syntaktyczna danej teorii. Z agadnienie zwartości danego sys­ tem u form alnego wydaje się m ieć charakter pomocniczy względem innych własności. Fakt, że logika drugiego rzędu z sem antyką ogól­ ną jest zwarta, pozwala w niektórych przypadkach konkretnych teorii wykazać, chociażby ich niesprzeczność. Pozwala również w sposób form alny uzasadnić niedefiniowalność pewnych relacji na gruncie danej teorii.

Przekształcenie to odsłania pew ne zależności nie tylko między form ułam i języków, na których opierają się te teorie, ale również zależności między zdaniam i prawdziwymi w ich m odelach ogól­ nych. Zależności te powodują, że możemy poniekąd uznać, iż w ten sposób logika drugiego rzędu z sem antyką ogólną sprow adzona zo­ staje do teorii pierwszego rzędu. Mówiąc ściślej, badanie niektó­ rych (choć nie wszystkich) własności logiki L2 m ożna zastąpić bad a­ niem własności pewnej teorii opartej na L,.

Z A K O Ń C Z E N IE

Logika drugiego rzędu uważana jest za system pośredni pom ię­ dzy logiką pierwszego rzędu, a teorią mnogości. W pewnym sensie m ożna logikę drugiego rzędu z sem antyką ogólną uważać za teorię pierwszego rzędu. D zieje się tak za sprawą istnienia przekładu ję ­ zyka drugiego rzędu na język pierwszego rzędu, niezm ienniczego ze względu na istnienie m odelu teorii niesprzecznej nadbudow anej nad danym systemem oraz ze względu na zachowanie prawdziwości zdania z dokładnością do przekształcenia będącego przekładem . Niezmienniczość ta jest możliwa jed nak wówczas, gdy logikę d ru ­ giego rzędu będziemy rozpatryw ali na gruncie sem antyki ogólnej. O logice drugiego rzędu z sem antyką główną nie m ożna tego orzec. Różnica ta im plikuje różnice p o d względem pewnych innych w ła­ sności formalnych. W niniejszej pracy om ówione były zagadnienia: zwartości oraz kategoryczności pewnych teorii nadbudow anych nad logiką drugiego rzędu.

Przedstawione porów nanie pozwala przede wszystkim określić siłę logiki drugiego rzędu z sem antyką ogólną jako zbliżoną do lo­ giki pierwszego rzędu, natom iast wyrażalność logiki drugiego rzędu