RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU

JJ, IMiF UTP

22

IMiF UTP

DEFINICJA.

Równanie postaci

y⁰ = f (x , y ), (∗)

gdzie f jest funkcją ciągłą w pewnym obszarze D ⊂ R², a y⁰ oznacza pochodną y względem x , nazywamy równaniem różniczkowym pierwszego rzędu.

Rozwiązaniem (całką) równania (∗) nazywamy każdą funkcję y zmiennej x różniczkowalną w pewnym przedziale I taką, że (x , y (x )) ∈ D dla każdego x ∈ I oraz

y⁰(x ) = f [x , y (x )]

dla każdego x ∈ I .

TWIERDZENIE (Peano).

Jeżeli funkcja f (x , y ) jest ciągła w obszarze D, to dla dowolnego punktu (x₀, y₀) ∈ D istnieje (przynajmniej jedno) rozwiązanie równania (∗) spełniające warunek początkowy y (x0) = y0. UWAGA.

Jeżeli ponadto funkcja f_y⁰(x , y ) jest ciągła, to rozwiązanie takie jest dokładnie jedno.

IMiF UTP

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

= x .

Rozwiązania to: y =¹₂x²+ C, gdzie C ∈ R. Uzasadnienie: wtedy L =y⁰ = ¹₂x²+ C
⁰ =x = P.

x

y y = ¹₂x²

y = ¹₂x²− 1 y = ¹₂x²+ 1

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

= x z warunkiem początkowym y (−1) = 2.

Z jednoparametrowej rodziny rozwiązań y = ¹₂x²+ C wybieramy to, które spełnia warunek początkowyy = 2dla x = −1.

Rozwiązaniem jest : y = 1 2x²+ 3

2.

x y

IMiF UTP

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

= x z warunkiem początkowym y (−1) = 2.

Z jednoparametrowej rodziny rozwiązań y = ¹₂x²+ C wybieramy to, które spełnia warunek początkowyy = 2dla x = −1.

y = 1 2x²+ C 2= 1

2(−1)²+ C C = 3

2 Rozwiązaniem jest : y = 1

2x²+ 3 2.

x y

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

= x z warunkiem początkowym y (−1) = 2.

Rozwiązaniem jest : y = 1 2x²+ 3

2.

x y

IMiF UTP

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

= x z warunkiem początkowym y (−1) = 2.

Rozwiązaniem jest : y = 1 2x²+ 3

2.

x y

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

= x z warunkiem początkowym y (−1) = 2.

Rozwiązaniem jest : y = 1 2x²+ 3

2.

x y

IMiF UTP

TYP 1: równanie o zmiennych rozdzielonych.

Jest to równanie postaci:

g (y )y⁰ = f (x ), (1)

gdzie funkcje f oraz g są ciągłe w pewnych przedziałach.

METODA ROZWIĄZANIA. Rozwiązania uzyskujemy z równania równoważnego

Z

g (y )dy = Z

f (x )dx . (1⁰)

TYP 1: równanie o zmiennych rozdzielonych.

Jest to równanie postaci:

g (y )y⁰ = f (x ), (1)

gdzie funkcje f oraz g są ciągłe w pewnych przedziałach.

METODA ROZWIĄZANIA. Rozwiązania uzyskujemy z równania równoważnego

Z

g (y )dy = Z

f (x )dx . (1⁰)

IMiF UTP

g (y )y

= f (x ) (1)

g (y )dy =

f (x )dx (1

)

UZASADNIENIE. Niech F (x ) =^R f (x )dx oraz G (y ) =^R g (y )dy .

Zatem F⁰(x ) = f (x ) oraz G⁰(y ) = g (y ). Załóżmy, że funkcja y = y (x ) jest rozwiązaniem równania (1⁰). Oznacza to, że

G [y (x )] = F (x ).

Różniczkując to równanie obustronnie (obliczając pochodną względem x ) i stosując z lewej strony twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej otrzymamy:

G⁰[y (x )]y⁰(x ) = F⁰(x ), czyli

g [y (x )]y⁰(x ) = f (x ).

Funkcja y = y (x ) jest więc rozwiązaniem równania (1). Podobnie, każde rozwiązanie równania (1) jest też rozwiązaniem (1⁰).

g (y )y

= f (x ) (1)

g (y )dy =

f (x )dx (1

)

UZASADNIENIE. Niech F (x ) =^R f (x )dx oraz

G (y ) =^R g (y )dy . Zatem F⁰(x ) = f (x ) oraz G⁰(y ) = g (y ).

Załóżmy, że funkcja y = y (x ) jest rozwiązaniem równania (1⁰). Oznacza to, że

G [y (x )] = F (x ).

Różniczkując to równanie obustronnie (obliczając pochodną względem x ) i stosując z lewej strony twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej otrzymamy:

G⁰[y (x )]y⁰(x ) = F⁰(x ), czyli

g [y (x )]y⁰(x ) = f (x ).

Funkcja y = y (x ) jest więc rozwiązaniem równania (1). Podobnie, każde rozwiązanie równania (1) jest też rozwiązaniem (1⁰).

IMiF UTP

g (y )y

= f (x ) (1)

g (y )dy =

f (x )dx (1

)

UZASADNIENIE. Niech F (x ) =^R f (x )dx oraz

G (y ) =^R g (y )dy . Zatem F⁰(x ) = f (x ) oraz G⁰(y ) = g (y ).

Załóżmy, że funkcja y = y (x ) jest rozwiązaniem równania (1⁰).

Oznacza to, że

G [y (x )] = F (x ).

Różniczkując to równanie obustronnie (obliczając pochodną względem x ) i stosując z lewej strony twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej otrzymamy:

G⁰[y (x )]y⁰(x ) = F⁰(x ), czyli

g [y (x )]y⁰(x ) = f (x ).

Funkcja y = y (x ) jest więc rozwiązaniem równania (1). Podobnie, każde rozwiązanie równania (1) jest też rozwiązaniem (1⁰).

g (y )y

= f (x ) (1)

g (y )dy =

f (x )dx (1

)

UZASADNIENIE. Niech F (x ) =^R f (x )dx oraz

G (y ) =^R g (y )dy . Zatem F⁰(x ) = f (x ) oraz G⁰(y ) = g (y ).

Załóżmy, że funkcja y = y (x ) jest rozwiązaniem równania (1⁰).

Oznacza to, że

G [y (x )] = F (x ).

Różniczkując to równanie obustronnie (obliczając pochodną względem x ) i stosując z lewej strony twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej otrzymamy:

G⁰[y (x )]y⁰(x ) = F⁰(x ), czyli

g [y (x )]y⁰(x ) = f (x ).

Funkcja y = y (x ) jest więc rozwiązaniem równania (1). Podobnie, każde rozwiązanie równania (1) jest też rozwiązaniem (1⁰).

IMiF UTP

TYP 1: równanie o zmiennych rozdzielonych.

ZAPIS.

Zwykle „przejście” z równania (1) do równania równoważnego (1⁰) zapisuje się następująco:

g (y )y⁰= f (x )

g (y )dy

dx = f (x )

g (y )dy = f (x )dx Z

g (y )dy = Z

f (x )dx

TYP 1: równanie o zmiennych rozdzielonych.

ZAPIS.

Zwykle „przejście” z równania (1) do równania równoważnego (1⁰) zapisuje się następująco:

g (y )y⁰= f (x )

g (y )dy

dx = f (x ) g (y )dy = f (x )dx

Z

g (y )dy = Z

f (x )dx

IMiF UTP

TYP 1: równanie o zmiennych rozdzielonych.

ZAPIS.

Zwykle „przejście” z równania (1) do równania równoważnego (1⁰) zapisuje się następująco:

g (y )y⁰= f (x )

g (y )dy

dx = f (x ) g (y )dy = f (x )dx Z

g (y )dy = Z

f (x )dx

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

= e

x

.

y⁰= e^−yx² e^yy⁰ = x² e^ydy

dx = x² e^ydy = x²dx Z

e^ydy = Z

x²dx e^y = 1

3x³+ C y = ln 1

3x³+ C

IMiF UTP

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

= e

x

.

y⁰= e^−yx² e^yy⁰ = x² e^ydy

dx = x²

e^ydy = x²dx Z

e^ydy = Z

x²dx e^y = 1

3x³+ C y = ln 1

3x³+ C

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

= e

x

.

y⁰= e^−yx² e^yy⁰ = x² e^ydy

dx = x² e^ydy = x²dx

Z

e^ydy = Z

x²dx e^y = 1

3x³+ C y = ln 1

3x³+ C

IMiF UTP

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

= e

x

.

y⁰= e^−yx² e^yy⁰ = x² e^ydy

dx = x² e^ydy = x²dx Z

e^ydy = Z

x²dx

e^y = 1 3x³+ C y = ln 1

3x³+ C

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

= e

x

.

y⁰= e^−yx² e^yy⁰ = x² e^ydy

dx = x² e^ydy = x²dx Z

e^ydy = Z

x²dx e^y = 1

3x³+ C y = ln 1

3x³+ C

IMiF UTP

PRZYKŁAD.

Rozwiąż równanie y

= (cos x + 2x + 1)

1 − y

.

y⁰ = (cos x + 2x + 1) q

1 − y² dy

dx = (cos x + 2x + 1) q

1 − y² dy

p1 − y² = (cos x + 2x + 1)dx

Z dy

p1 − y² = Z

(cos x + 2x + 1)dx

arc sin y = sin x + x²+ x + C Zakładaliśmy, że ^p1 − y² 6= 0.

PRZYKŁAD.

Rozwiąż równanie y

= (cos x + 2x + 1)

1 − y

.

Zakładaliśmy, że ^p1 − y² 6= 0.

Sprawdzamy, czy nie ”zgubiliśmy” rozwiązań.

p1 − y² = 0 dla y = 1 oraz y = −1.

Obie te funkcje są rozwiązaniami równania

y⁰ = (cos x + 2x + 1)^p1 − y² (sprawdzamy to podstawiając; obie strony są równe zero).

Wszystkie rozwiązania są opisane tak:

y = sin(sin x + x²+ x + C ), C ∈ R oraz y = 1, y = −1.

IMiF UTP

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie

y⁰(sin y +cos y +1)

5x⁴+e^x

= 1 z warunkiem początkowym y (0) = π.

y⁰(sin y + cos y + 1) 5x⁴+ e^x = 1 (sin y + cos y + 1)dy = (5x⁴+ e^x)dx Z

(sin y + cos y + 1)dy = Z

(5x⁴+ e^x)dx

− cos y + sin y + y = x⁵+ e^x+ C

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie

y⁰(sin y +cos y +1)

5x⁴+e^x

= 1 z warunkiem początkowym y (0) = π.

− cos y + sin y + y = x⁵+ e^x+C Uwzględniamy warunek początkowy,y = π dla x = 0. Po podstawieniu otrzymamy

− cos π + sin π + π = 0⁵+ e⁰+ C , skąd C = π.

Rozwiązanie jest opisane wzorem

− cos y + sin y + y = x⁵+ e^x+ π

IMiF UTP

TYP 2: równanie postaci

y⁰ = f y x

, (2)

gdzie funkcja f jest ciągła w pewnym przedziale.

METODA ROZWIĄZANIA. Podstawiamy

z = y x

otrzymując równanie o zmiennych rozdzielonych.

TYP 2: równanie postaci

y⁰ = f y x

, (2)

gdzie funkcja f jest ciągła w pewnym przedziale.

METODA ROZWIĄZANIA.

Podstawiamy

z = y x

otrzymując równanie o zmiennych rozdzielonych.

IMiF UTP

UZASADNIENIE. Podstawiamy z = ^y_x, zatem y = zx .

Zróżniczkujmy ostatnie równanie. Oczywiście, y = y (x ) oraz z = z(x ) są funkcjami zmiennej x (a nie stałymi), więc otrzymamy, zgodnie ze wzorem na pochodną iloczynu,

y⁰ = z⁰x + zx⁰ = z⁰x + z.

Po podstawieniu do y⁰ = f ^y_x
uzyskamy z⁰x + z = f (z), czyli z⁰x = f (z) − z, a więc

1

f (z) − zz⁰ = 1 x,

dla f (z) 6= z. Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.

UZASADNIENIE. Podstawiamy z = ^y_x, zatem y = zx .

Zróżniczkujmy ostatnie równanie. Oczywiście, y = y (x ) oraz z = z(x ) są funkcjami zmiennej x (a nie stałymi), więc otrzymamy, zgodnie ze wzorem na pochodną iloczynu,

y⁰ = z⁰x + zx⁰ = z⁰x + z.

Po podstawieniu do y⁰ = f ^y_x
uzyskamy z⁰x + z = f (z), czyli z⁰x = f (z) − z, a więc

1

f (z) − zz⁰ = 1 x,

dla f (z) 6= z. Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.

IMiF UTP

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

=

+

cos

.

Podstawiamy z = ^y_x. Wtedy y⁰= z⁰x + z oraz z⁰x + z = z + (cos z)⁻¹

dz

dxx = 1 cos z cos zdz = 1

xdx Z

cos zdz = Z 1

xdx sin z = ln |x | + C

sin^y x

= ln |x | + C

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

=

+

cos

.

Podstawiamy z = ^y_x. Wtedy y⁰= z⁰x + z oraz z⁰x + z = z + (cos z)⁻¹

dz

dxx = 1 cos z

cos zdz = 1 xdx

Z

cos zdz = Z 1

xdx sin z = ln |x | + C

sin^y x

= ln |x | + C

IMiF UTP

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

=

+

cos

.

Podstawiamy z = ^y_x. Wtedy y⁰= z⁰x + z oraz z⁰x + z = z + (cos z)⁻¹

dz

dxx = 1 cos z cos zdz = 1

xdx Z

cos zdz = Z 1

xdx

sin z = ln |x | + C

sin^y x

= ln |x | + C

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

=

+

cos

.

Podstawiamy z = ^y_x. Wtedy y⁰= z⁰x + z oraz z⁰x + z = z + (cos z)⁻¹

dz

dxx = 1 cos z cos zdz = 1

xdx Z

cos zdz = Z 1

xdx sin z = ln |x | + C

sin^y x

= ln |x | + C

IMiF UTP

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

=

+

cos

.

Podstawiamy z = ^y_x. Wtedy y⁰= z⁰x + z oraz z⁰x + z = z + (cos z)⁻¹

dz

dxx = 1 cos z cos zdz = 1

xdx Z

cos zdz = Z 1

xdx sin z = ln |x | + C

sin^y x

= ln |x | + C

TYP 3: równanie postaci

y⁰ = f (ax + by + c), (3)

gdzie funkcja f jest ciągła w pewnym przedziale, natomiast a, b, c to stałe.

METODA ROZWIĄZANIA.

Podstawiamy u = ax + by + c otrzymując równanie o zmiennych rozdzielonych.

UZASADNIENIE. Podstawiamy u = ax + by + c, zatem u⁰ = a + by⁰

(tutaj y oraz u to funkcje zmiennej x ). Wstawiając y⁰ z (3) otrzymamy

u⁰ = a + bf (u). Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.

IMiF UTP

TYP 3: równanie postaci

y⁰ = f (ax + by + c), (3)

gdzie funkcja f jest ciągła w pewnym przedziale, natomiast a, b, c to stałe.

METODA ROZWIĄZANIA.

Podstawiamy u = ax + by + c otrzymując równanie o zmiennych rozdzielonych.

UZASADNIENIE. Podstawiamy u = ax + by + c, zatem u⁰ = a + by⁰

(tutaj y oraz u to funkcje zmiennej x ). Wstawiając y⁰ z (3) otrzymamy

u⁰ = a + bf (u). Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.

TYP 3: równanie postaci

y⁰ = f (ax + by + c), (3)

gdzie funkcja f jest ciągła w pewnym przedziale, natomiast a, b, c to stałe.

METODA ROZWIĄZANIA.

Podstawiamy u = ax + by + c otrzymując równanie o zmiennych rozdzielonych.

UZASADNIENIE. Podstawiamy u = ax + by + c, zatem u⁰ = a + by⁰

(tutaj y oraz u to funkcje zmiennej x ). Wstawiając y⁰ z (3) otrzymamy

u⁰ = a + bf (u).

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.

IMiF UTP

Rozwiąż równanie y

= 2 + (y − 2x + 3)

.

Podstawiamy u = y − 2x + 3, czyli y = u + 2x − 3. Stąd:

y⁰ = u⁰+ 2. Po podstawieniu:

u⁰+ 2 = 2 + u⁻³ du

dx = u⁻³ u³du = dx Z

u³du = Z

1dx 1

4u⁴ = x + C 1

4(y − 2x + 3)⁴= x + C

Rozwiąż równanie y

= 2 + (y − 2x + 3)

.

Podstawiamy u = y − 2x + 3, czyli y = u + 2x − 3. Stąd:

y⁰ = u⁰+ 2. Po podstawieniu:

u⁰+ 2 = 2 + u⁻³ du

dx = u⁻³ u³du = dx Z

u³du = Z

1dx 1

4u⁴ = x + C 1

4(y − 2x + 3)⁴= x + C

IMiF UTP

TYP 4: równanie liniowe.

Jest to równanie postaci:

y⁰+ p(x )y = g (x ), (4)

gdzie funkcje p oraz g są ciągłe w pewnym przedziale I .

METODA ROZWIĄZANIA. Rozwiązanie uzyskujemy ze wzoru y = e⁻

Rp(x )dx·^ Z

g (x ) · e

Rp(x )dxdx + C^ (4⁰)

(całki tu występujące liczymy bez stałych).

TYP 4: równanie liniowe.

Jest to równanie postaci:

y⁰+ p(x )y = g (x ), (4)

gdzie funkcje p oraz g są ciągłe w pewnym przedziale I . METODA ROZWIĄZANIA. Rozwiązanie uzyskujemy ze wzoru

y = e⁻

Rp(x )dx·^ Z

g (x ) · e

Rp(x )dxdx + C^ (4⁰)

(całki tu występujące liczymy bez stałych).

IMiF UTP

UZASADNIENIE.

Niech P(x ) =^R p(x )dx (oczywiście, P⁰(x ) = p(x )). Sprawdzimy (podstawiając) jaka musi być funkcja C (x ), by

y = C (x )e^−P(x) (4⁰⁰)

był rozwiązaniem równania y⁰+ p(x )y = g (x ).

Otrzymamy

C (x )e^−P(x)0+ p(x )C (x )e^−P(x)= g (x )

C⁰(x )e^−P(x)+ C (x )e^−P(x)[−p(x )] + p(x )C (x )e^−P(x)= g (x ) C⁰(x )e^−P(x)= g (x )

C⁰(x ) = g (x )e^{P(x )} C (x ) =

Z

g (x )e^{P(x )}dx + C Podstawiając do (4⁰⁰) uzyskamy rozwiązanie

y = [^R g (x )e^{P(x )}dx + C ]e^−P(x), a więc rozwiązanie opisane wzorem (4⁰).

UZASADNIENIE.

Niech P(x ) =^R p(x )dx (oczywiście, P⁰(x ) = p(x )). Sprawdzimy (podstawiając) jaka musi być funkcja C (x ), by

y = C (x )e^−P(x) (4⁰⁰)

był rozwiązaniem równania y⁰+ p(x )y = g (x ). Otrzymamy

C (x )e^−P(x)0+ p(x )C (x )e^−P(x)= g (x )

C⁰(x )e^−P(x)+ C (x )e^−P(x)[−p(x )] + p(x )C (x )e^−P(x)= g (x ) C⁰(x )e^−P(x) = g (x )

C⁰(x ) = g (x )e^{P(x )} C (x ) =

Z

g (x )e^{P(x )}dx + C Podstawiając do (4⁰⁰) uzyskamy rozwiązanie

y = [^R g (x )e^{P(x )}dx + C ]e^−P(x), a więc rozwiązanie opisane wzorem (4⁰).

IMiF UTP

Równanie liniowe.

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y⁰+3x²y =2xe^−x3.

W tym zadaniu: p(x ) =3x², g (x ) = 2xe^−x3. Zatem Z

p(x )dx = Z

3x²dx = x³ Z

g (x ) · e^{Rp(x )dx}dx = Z

2xe^−x3e^x3dx = Z

2x dx = x². Rozwiązaniem jest funkcja

y = e^−x3(x²+ C ).

Równanie liniowe.

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y⁰+3x²y =2xe^−x3. W tym zadaniu: p(x ) =3x², g (x ) =2xe^−x3. Zatem

Z

p(x )dx = Z

3x²dx = x³ Z

g (x ) · e

Rp(x )dxdx = Z

2xe^−x3e^x3dx = Z

2x dx = x². Rozwiązaniem jest funkcja

y = e^−x3(x²+ C ).

IMiF UTP

TYP 5: równanie Bernoulli’ego.

Jest to równanie postaci:

y⁰+ p(x )y = g (x )yⁿ, (5) gdzie funkcje p oraz g są ciągłe w pewnym przedziale I oraz n jest liczbą rzeczywistą. Zakładamy także, że n 6= 0 oraz n 6= 1 (w przeciwnym razie mamy równanie liniowe).

METODA ROZWIĄZANIA.

Podstawiamy z = y¹⁻ⁿ otrzymując równanie liniowe.

TYP 5: równanie Bernoulli’ego.

Jest to równanie postaci:

y⁰+ p(x )y = g (x )yⁿ, (5) gdzie funkcje p oraz g są ciągłe w pewnym przedziale I oraz n jest liczbą rzeczywistą. Zakładamy także, że n 6= 0 oraz n 6= 1 (w przeciwnym razie mamy równanie liniowe).

METODA ROZWIĄZANIA.

Podstawiamy z = y¹⁻ⁿ otrzymując równanie liniowe.

IMiF UTP

TYP 5: równanie Bernoulli’ego.

UZASADNIENIE.

Podstawiamy z = y¹⁻ⁿ (y oraz z to funkcje zmiennej x ). Zatem z⁰ = (1 − n)y⁻ⁿy⁰, czyli y⁰ = ^z_1−n^0yn. Ponadto z warunku z = yy⁻ⁿ otrzymamy y = zyⁿ.

Podstawiając do (5) otrzymamy z⁰yⁿ

1 − n+ p(x )zyⁿ= g (x )yⁿ, czyli

z⁰+ (1 − n)p(x )z = (1 − n)g (x ). Jest to równanie liniowe.

TYP 5: równanie Bernoulli’ego.

UZASADNIENIE.

Podstawiamy z = y¹⁻ⁿ (y oraz z to funkcje zmiennej x ). Zatem z⁰ = (1 − n)y⁻ⁿy⁰, czyli y⁰ = ^z_1−n^0yn. Ponadto z warunku z = yy⁻ⁿ otrzymamy y = zyⁿ. Podstawiając do (5) otrzymamy

z⁰yⁿ

1 − n+ p(x )zyⁿ= g (x )yⁿ, czyli

z⁰+ (1 − n)p(x )z = (1 − n)g (x ).

Jest to równanie liniowe.

IMiF UTP

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

+ 6x

y = 4xe

√ y .

W tym zadaniu: n = ¹₂. Podstawiamy z = y¹⁻¹² = y¹², czyli y = z².

Oznacza to, że y⁰ = 2zz⁰. Podstawiając otrzymamy równanie:

2zz⁰+ 6x²z² = 4xe^−x3z.

Dzieląc obustronnie przez 2z („gubimy” tu rozwiązanie z = 0, czyli y = 0) otrzymamy

z⁰+ 3x²z = 2xe^−x3.

Z poprzedniego zadania wiemy, że rozwiązaniem tego równania jest z = e^−x3(x²+ C ).

Rozwiązaniem „naszego” równania jest więc

y =^e^−x3(x²+ C )^2 oraz y = 0.

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

+ 6x

y = 4xe

√ y .

W tym zadaniu: n = ¹₂. Podstawiamy z = y¹⁻¹² = y¹², czyli y = z².Oznacza to, że y⁰= 2zz⁰. Podstawiając otrzymamy równanie:

2zz⁰+ 6x²z² = 4xe^−x3z.

Dzieląc obustronnie przez 2z („gubimy” tu rozwiązanie z = 0, czyli y = 0) otrzymamy

z⁰+ 3x²z = 2xe^−x3.

Z poprzedniego zadania wiemy, że rozwiązaniem tego równania jest z = e^−x3(x²+ C ).

Rozwiązaniem „naszego” równania jest więc

y =^e^−x3(x²+ C )^2 oraz y = 0.

IMiF UTP

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y

+ 6x

y = 4xe

√ y .

W tym zadaniu: n = ¹₂. Podstawiamy z = y¹⁻¹² = y¹², czyli y = z².Oznacza to, że y⁰= 2zz⁰. Podstawiając otrzymamy równanie:

2zz⁰+ 6x²z² = 4xe^−x3z.

Dzieląc obustronnie przez 2z („gubimy” tu rozwiązanie z = 0, czyli y = 0) otrzymamy

z⁰+ 3x²z = 2xe^−x3.

Z poprzedniego zadania wiemy, że rozwiązaniem tego równania jest z = e^−x3(x²+ C ).

Rozwiązaniem „naszego” równania jest więc

y =^e^−x3(x²+ C )^2 oraz y = 0.

TYP 6: równanie zupełne.

Jest to równanie postaci:

P(x , y ) + Q(x , y )y⁰ = 0, (6) gdzie funkcje P, Q, P_x⁰, P_y⁰, Q_x⁰, Q_y⁰ są ciągłe w pewnym obszarze jednospójnym D ∈ R² oraz

P_y⁰(x , y ) = Q_x⁰(x , y ) (6⁰) dla każego (x , y ) ∈ D.

IMiF UTP

TYP 6: równanie zupełne.

METODA ROZWIĄZANIA.

Jak wiadomo z wykładu o całkach krzywoliniowych

zorientowanych, warunek P_y⁰(x , y ) = Q_x⁰(x , y ) gwarantuje istnienie takiej funkcji F (x , y ), że F_x⁰(x , y ) = P(x , y ) oraz F_y⁰(x , y ) = Q(x , y ) (zwykle funkcję F (x , y ) oznaczaliśmy U(x , y )).

Rozwiązania równania (6) są opisane wzorem

F (x , y ) = C (6⁰⁰)

(lub F (x , y ) = 0, jeżeli stałą uwzględnialiśmy w F (x , y )).

Funkcję F (x , y ) możemy także wyliczyć ze wzoru: F (x , y ) =

Z x x0

P(t, y )dt + Z y

y0

Q(x₀, t)dt, (6^∗) gdzie (x0, y0) ∈ D.

TYP 6: równanie zupełne.

METODA ROZWIĄZANIA.

Jak wiadomo z wykładu o całkach krzywoliniowych

zorientowanych, warunek P_y⁰(x , y ) = Q_x⁰(x , y ) gwarantuje istnienie takiej funkcji F (x , y ), że F_x⁰(x , y ) = P(x , y ) oraz F_y⁰(x , y ) = Q(x , y ) (zwykle funkcję F (x , y ) oznaczaliśmy U(x , y )).

Rozwiązania równania (6) są opisane wzorem

F (x , y ) = C (6⁰⁰)

(lub F (x , y ) = 0, jeżeli stałą uwzględnialiśmy w F (x , y )).

Funkcję F (x , y ) możemy także wyliczyć ze wzoru:

F (x , y ) = Z x

x0

P(t, y )dt + Z y

y0

Q(x₀, t)dt, (6^∗) gdzie (x0, y0) ∈ D.

IMiF UTP

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y + 1 + (x − 2)y

= 0.

Sprawdzamy, czy równanie to jest zupełne: Q(x , y ) = x − 2, P(x , y ) = y + 1, Q_x⁰(x , y ) = 1, P_y⁰(x , y ) = 1, a więc jest.

Podstawiając do wzoru (6^∗) wartości: x₀= 0, y₀ = 0 otrzymamy: F (x , y ) =

Z x 0

(y +1)dt+ Z y

0

(0−2)dt =^yt+t^x₀+^−2t^y₀ = xy +x −2y . Rozwiązanie jest zatem opisane wzorem

xy + x − 2y = C .

Równanie to jest także równaniem o zmiennych rozdzielonych oraz równaniem liniowym (mogliśmy stosować inne metody).

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y + 1 + (x − 2)y

= 0.

Sprawdzamy, czy równanie to jest zupełne: Q(x , y ) = x − 2, P(x , y ) = y + 1, Q_x⁰(x , y ) = 1, P_y⁰(x , y ) = 1, a więc jest.

Podstawiając do wzoru (6^∗) wartości: x₀= 0, y₀ = 0 otrzymamy: F (x , y ) =

Z x 0

(y +1)dt+ Z y

0

(0−2)dt =^yt+t^x₀+^−2t^y₀ = xy +x −2y . Rozwiązanie jest zatem opisane wzorem

xy + x − 2y = C .

Równanie to jest także równaniem o zmiennych rozdzielonych oraz równaniem liniowym (mogliśmy stosować inne metody).

IMiF UTP

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y + 1 + (x − 2)y

= 0.

Sprawdzamy, czy równanie to jest zupełne: Q(x , y ) = x − 2, P(x , y ) = y + 1, Q_x⁰(x , y ) = 1, P_y⁰(x , y ) = 1, a więc jest.

Podstawiając do wzoru (6^∗) wartości: x₀= 0, y₀ = 0 otrzymamy:

F (x , y ) = Z x

0

(y +1)dt+

Z y 0

(0−2)dt =^yt+t^x₀+^−2t^y₀ = xy +x −2y . Rozwiązanie jest zatem opisane wzorem

xy + x − 2y = C .

Równanie to jest także równaniem o zmiennych rozdzielonych oraz równaniem liniowym (mogliśmy stosować inne metody).

PRZYKŁAD. Rozwiąż równanie y + 1 + (x − 2)y

= 0.

Sprawdzamy, czy równanie to jest zupełne: Q(x , y ) = x − 2, P(x , y ) = y + 1, Q_x⁰(x , y ) = 1, P_y⁰(x , y ) = 1, a więc jest.

Podstawiając do wzoru (6^∗) wartości: x₀= 0, y₀ = 0 otrzymamy:

F (x , y ) = Z x

0

(y +1)dt+

Z y 0

(0−2)dt =^yt+t^x₀+^−2t^y₀ = xy +x −2y . Rozwiązanie jest zatem opisane wzorem

xy + x − 2y = C .

Równanie to jest także równaniem o zmiennych rozdzielonych oraz równaniem liniowym (mogliśmy stosować inne metody).

IMiF UTP