ROBOTY MOBILNE

ROBOTYKA

Krzysztof Tchoñ

Robert Muszyñski Alicja Mazur Ignacy Dulêba Robert Hossa

MANIPULATORY I

ROBOTY MOBILNE

Modele

planowanie ruchu sterowanie

P Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ

Warszawa 2000

tyki tyki tyki obejmuj obejmuj obejmuj acy acy acy kinematyk _{,,, ,,, ,,,} kinematyk kinematyk e, e, e, dynamik _{,,, ,,, ,,,} dynamik dynamik e, e, e, planowanie _{,,, ,,, ,,,} planowanie planowanie ruchu

ruchu ruchu iii sterowanie sterowanie sterowanie manipulatorow manipulatorow manipulatorow iii robotow robotow robotow mobil- mobil- mobil- nych.

nych. nych. Szczegolne Szczegolne Szczegolne miejsce miejsce miejsce zajmuj zajmuj zajmuj a a a w _{,,, ,,, ,,,} w w ksi ksi ksi a_zce a_zce a_zce zagadnie- _{,,, ,,, ,,,} zagadnie- zagadnie- nia nia nia modelowania modelowania modelowania kinematyki kinematyki kinematyki iii dynamiki dynamiki dynamiki robotow, robotow, robotow, oso- oso- oso- bliwosci

bliwosci bliwosci kinematyki, kinematyki, kinematyki, algorytmy algorytmy algorytmy regularnej regularnej regularnej iii osobliwej osobliwej osobliwej kinematyki

kinematyki kinematyki odwrotnej, odwrotnej, odwrotnej, algorytmy algorytmy algorytmy sterowania sterowania sterowania manipu- manipu- manipu- latorow

latorow latorow sztywnych sztywnych sztywnych iii elastycznych elastycznych elastycznych oraz oraz oraz robotow robotow robotow mobil- mobil- mobil- nych

nych nych przy przy przy ograniczonej ograniczonej ograniczonej znajomosci znajomosci znajomosci modelu modelu modelu dynamiki, dynamiki, dynamiki, aaa tak_ze tak_ze tak_ze algorytmy algorytmy algorytmy planowania planowania planowania ruchu ruchu ruchu robotow robotow robotow mobil- mobil- mobil- nych nych nych wykorzystuj wykorzystuj wykorzystuj ace ace ace metody _{,,, ,,, ,,,} metody metody geometrycznej geometrycznej geometrycznej teorii teorii teorii ste- ste- ste- rowania.

rowania. rowania. W W W zakresie zakresie zakresie tych tych tych zagadnien zagadnien zagadnien wyniki wyniki wyniki w lasne w lasne w lasne autorow

autorow autorow zosta ly zosta ly zosta ly przedstawione przedstawione przedstawione w w w kontekscie kontekscie kontekscie wynikow wynikow wynikow udokumentowanych

udokumentowanych udokumentowanych w w w literaturze literaturze literaturze przedmiotu. przedmiotu. przedmiotu.

Ksi Ksi Ksi a_zka a_zka a_zka stanowi _{,,, ,,, ,,,} stanowi stanowi swiadectwo swiadectwo swiadectwo dorobku dorobku dorobku szko ly szko ly szko ly uprawia- uprawia- uprawia- nia nia nia robotyki, robotyki, robotyki, jaka jaka jaka powsta la powsta la powsta la w w w Zak ladzie Zak ladzie Zak ladzie Podstaw Podstaw Podstaw Cy- Cy- Cy- bernetyki

bernetyki bernetyki iii Robotyki Robotyki Robotyki Instytutu Instytutu Instytutu Cybernetyki Cybernetyki Cybernetyki Techni- Techni- Techni- cznej

cznej cznej Politechniki Politechniki Politechniki Wroc lawskiej. Wroc lawskiej. Wroc lawskiej. Do Do Do jej jej jej adresatow adresatow adresatow na- na- na- le_z a _,,,

le_z le_z a a studenci _{,,, ,,,} studenci studenci kierunku kierunku kierunku Automatyka Automatyka Automatyka iii Robotyka Robotyka Robotyka poli- poli- poli- technik,

technik, technik, konstruktorzy konstruktorzy konstruktorzy robotow robotow robotow iii projektanci projektanci projektanci syste- syste- syste- mow mow mow automatyki automatyki automatyki iii robotyki, robotyki, robotyki, in_zynierowie in_zynierowie in_zynierowie zajmuj zajmuj zajmuj acy acy acy _{,,, ,,, ,,,} si e _,,,

si si e e automatyzacj _{,,, ,,,} automatyzacj automatyzacj a a a iii robotyzacj _{,,, ,,, ,,,} robotyzacj robotyzacj a, a, a, aaa tak_ze _{,,, ,,, ,,,} tak_ze tak_ze pracownicy pracownicy pracownicy naukowi

naukowi naukowi iii doktoranci doktoranci doktoranci zzz dyscyplin dyscyplin dyscyplin Automatyka Automatyka Automatyka iii Robo- Robo- Robo- tyka,

tyka, tyka, Informatyka, Informatyka, Informatyka, Matematyka Matematyka Matematyka Stosowana. Stosowana. Stosowana.

roboty mobilne i

Modele, planowanie ruchu, sterowanie

Ksi a_zka zostaje udost _,,, epniona w wersji pdf za zgod _,,, a _,,, Ocyny Wydawniczej PLJ i mo_ze byc kopiowana wy l acznie _,,,

w ca losci, razem ze stron a tytu low _,,, a i tym przypisem. _,,,

Kompilacja: 23 wrzesnia 2021

TEORIA TEORIA

TEORIA III ZASTOSOWANIA ZASTOSOWANIA ZASTOSOWANIA

ROBOTYKA ROBOTYKA ROBOTYKA

Edytor serii: Leonard Bolc

Alicja Mazur Ignacy Dul eba _,,, Robert Hossa Robert Muszynski

Manipulatory Manipulatory Manipulatory roboty roboty roboty mobilne iii mobilne mobilne

Modele, planowanie ruchu, sterowanie

Akademicka Ocyna Wydawnicza PLJ

Warszawa 2000

Robert Muszynski, Krzysztof Tchon Robert Muszynski, Krzysztof Tchon Robert Muszynski, Krzysztof Tchon Wroc law 2000

Wroc law 2000 Wroc law 2000

© © © Copyright by Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ Copyright by Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ Copyright by Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ Warszawa 2000

Warszawa 2000 Warszawa 2000

Autorzy Autorzy Autorzy

Ignacy Dul eba, Robert Hossa, Alicja Mazur, _,,, Robert Muszynski, Krzysztof Tchon,

Zak lad Podstaw Cybernetyki i Robotyki,

Instytut Cybernetyki Technicznej, Politechnika Wroc lawska

Recenzent Recenzent Recenzent

Prof. dr hab. in_z. Krzysztof Koz lowski, Politechnika Poznanska

Redaktor Redaktor Redaktor Anna Bittner

Komputerowy sk lad tekstu Komputerowy sk lad tekstu Komputerowy sk lad tekstu Robert Muszynski

Dobor koloru ok ladki Dobor koloru ok ladki Dobor koloru ok ladki Ula Tchon

Projekt graficzny serii Projekt graficzny serii Projekt graficzny serii

Akademicka Ocyna Wydawnicza PLJ

ISBN 83-7101-427-9

ISBN 83-7101-427-9 ISBN 83-7101-427-9

Spis oznacze´ n 9

1 Wprowadzenie 15

Literatura . . . 20

I Kinematyka manipulator´ ow i robot´ ow mobilnych 23 2 Modele kinematyki uk lad´ ow robotycznych 25 2.1 Ruch cia la sztywnego . . . 25

2.2 Kinematyka uk ladu robotycznego . . . 36

2.3 Kinematyka manipulatora . . . 40

2.3.1 Reprezentacja Denavita-Hartenberga . . . 41

2.3.2 Reprezentacja wyk ladnicza . . . 51

2.3.3 Kinematyka we wspo lrz ednych _,,, . . . 55

2.3.4 Jakobiany . . . 61

2.3.5 Konguracje osobliwe . . . 79

2.4 Kinematyka robota mobilnego . . . 83

2.5 Komentarze i uwagi bibliograczne . . . 88

Literatura . . . 90

3 Algorytmy kinematyki odwrotnej manipulatora 95 3.1 Regularne odwrotne zadanie kinematyki . . . 97

3.1.1 Bezposrednie podejscie algebraiczne . . . 98

3.1.2 Podejscie geometryczne . . . 101

3.1.3 Metody jakobianowe . . . 103

3.1.4 Metoda mno_znikow Lagrange'a . . . 125

3.1.5 Elipsoida manipulowalnosci . . . 128

3.2 Osobliwe odwrotne zadanie kinematyki . . . 131

3.2.1 Unikanie osobliwosci . . . 131

3

3.2.2 Metoda postaci normalnych . . . 140

3.2.3 Metoda jakobianu do l aczonego _,,, . . . 163

3.2.4 Metoda przestrzeni zerowej . . . 166

3.2.5 Metoda jakobianu odpornego . . . 168

3.3 Komentarze i uwagi bibliograczne . . . 174

Literatura . . . 176

4 Kinematyka odwrotna robot´ ow mobilnych 181 4.1 Metoda Newtona . . . 181

4.2 Elipsoida mobilnosci . . . 186

4.3 Komentarze i uwagi bibliograczne . . . 186

Literatura . . . 188

II Algorytmy sterowania manipulator´ ow 191 5 Algorytmy sterowania manipulator´ ow sztywnych w prze- strzeni zadaniowej 193 5.1 Dynamika uk ladu robotycznego . . . 194

5.2 Dynamika manipulatora sztywnego . . . 196

5.3 Sterowanie w przestrzeni zadaniowej manipulatora . . . 202

5.3.1 Linearyzacja i odsprz eganie wejsciowo-wyjsciowe _,,, . . . 203

5.3.2 Transformacja do zadania sterowania w przestrzeni przegubowej . . . 206

5.4 Komentarze i uwagi bibliograczne . . . 206

Literatura . . . 207

6 Algorytmy sterowania manipulator´ ow sztywnych w prze- strzeni przegubowej 209 6.1 Algorytmy wymagaj ace pe lnej znajomosci modelu _,,, . . . 213

6.1.1 Algorytmy typu obliczanego momentu . . . 213

6.1.2 Algorytmy typu dysypatywnego . . . 216

6.2 Algorytmy sterowania przy parametrycznej nieznajomosci modelu . . . 222

6.2.1 Algorytmy adaptacyjne typu obliczanego momentu . . 224

6.2.2 Algorytmy adaptacyjne typu dysypatywnego . . . 228

6.3 Algorytmy sterowania przy strukturalnej nieznajomosci mo- delu . . . 231

6.3.1 Algorytm sterowania slizgowego . . . 232

6.3.2 Algorytm Qu-Dorseya | regulator PD o sta lym wzmo-

cnieniu . . . 235

6.3.3 Algorytm lambda-sledzenia | regulator PD o dyna- micznym wzmocnieniu . . . 236

6.4 Komentarze i uwagi bibliograczne . . . 239

Literatura . . . 241

7 Algorytmy sterowania manipulator´ ow o elastycznych prze- gubach 245 7.1 Dynamika manipulatora o elastycznych przegubach . . . 246

7.2 Algorytmy sterowania . . . 251

7.2.1 Algorytm linearyzacji statycznej . . . 251

7.2.2 Algorytm ca lkowania wstecznego . . . 254

7.2.3 Algorytm Ortegi-Lorii . . . 259

7.3 Komentarze i uwagi bibliograczne . . . 261

Literatura . . . 262

III Algorytmy planowania ruchu i sterowania robot´ ow mobilnych 263 8 Zadanie planowania ruchu 265 8.1 Poj ecia podstawowe _,,, . . . 265

8.2 Technika nawiasu Liego . . . 273

8.3 Komentarze i uwagi bibliograczne . . . 280

Literatura . . . 281

9 Metody planowania ruchu og´ olnego przeznaczenia 285 9.1 Metoda oparta na Zasadzie Maksimum Pontriagina . . . 286

9.2 Metoda Newtona . . . 287

9.3 Metoda usredniania . . . 292

9.4 Metoda Lie-algebraiczna . . . 297

9.4.1 Uogolniona formu la Campbella-Bakera-Hausdora- -Dynkina . . . 299

9.4.2 Algorytm metody Lie-algebraicznej . . . 305

9.4.3 Znaczenie uogolnionej formu ly Campbella-Bakera- -Hausdora-Dynkina . . . 307

9.5 Komentarze i uwagi bibliograczne . . . 309

Literatura . . . 312

10 Specjalizowane metody planowania ruchu 317 10.1 Optymalne planowanie ruchu jednoko lowego robota mo-

bilnego . . . 317

10.1.1 Rodziny ekstremal dla zadania Reedsa-Sheppa . . . . 318

10.1.2 Synteza trajektorii optymalnej . . . 325

10.1.3 Planowanie ruchu jednoko lowego robota mobilnego poruszaj acego si _,,, e do przodu _,,, . . . 329

10.1.4 Podsumowanie . . . 330

10.2 Metoda sterowan sinusoidalnych . . . 331

10.3 Metoda bazuj aca na twierdzeniu Stokesa _,,, . . . 336

10.4 Metoda osi agania podcelow _,,, . . . 341

10.5 Komentarze i uwagi bibliograczne . . . 347

Literatura . . . 349

11 Modele i algorytmy sterowania ko lowych robot´ ow mobil- nych 351 11.1 Dynamika uk ladu robotycznego z ograniczeniami . . . 352

11.2 Modele ko lowych robotow mobilnych . . . 353

11.2.1 Ograniczenia fazowe . . . 354

11.2.2 Modele kinematyki prostych ko lowych robotow mo- bilnych . . . 358

11.2.3 Modele kinematyki z lo_zonych ko lowych robotow mo- bilnych . . . 366

11.2.4 Modele dynamiki . . . 367

11.3 Algorytmy sterowania ko lowych robotow mobilnych . . . 369

11.3.1 Algorytm Corona-Pometa . . . 370

11.3.2 Algorytm linearyzacji dynamicznej . . . 373

11.3.3 Algorytm Walsha-Tilbury'ego-Sastry'ego-Murraya- -Laumonda . . . 377

11.3.4 Sterowanie we wspo lrz ednych linearyzuj _,,, acych _,,, . . . 379

11.3.5 Sterowanie adaptacyjne we wspo lrz ednych linearyzu- _,,, j acych _,,, . . . 386

11.3.6 Uniwersalny adaptacyjny λ-sledz acy algorytm stero- _,,, wania . . . 389

11.4 Komentarze i uwagi bibliograczne . . . 392

Literatura . . . 394

Dodatki 399

A Podstawowe poj ecia matematyczne _,,, 401

A.1 Algebra liniowa . . . 401

A.2 Funkcje i odwzorowania . . . 403

A.3 Uk lady dynamiczne, pola wektorowe, nawiasy Liego . . . 404

A.4 Uk lady sterowania . . . 406

A.5 Zasada Maksimum Pontriagina . . . 408

A.6 Rownania Eulera-Lagrange'a . . . 409

Literatura . . . 409

B Wybrane twierdzenia o stabilno´ sci 411 B.1 Uk lady autonomiczne . . . 411

B.2 Uk lady nieautonomiczne . . . 412

B.2.1 II Metoda Lapunowa . . . 412

B.2.2 Lemat Barbalata . . . 413

B.2.3 Twierdzenie La Salle'a-Yoshizawy . . . 413

B.2.4 Lemat Wena-Bayarda . . . 413

Literatura . . . 414

C Wybrane dowody stabilno´ sci algorytm´ ow sterowania 417 C.1 Algorytm Sadegha-Horowitza . . . 417

C.2 Adaptacyjny algorytm Slotine'a-Li . . . 419

Literatura . . . 421

Indeks 423

Oznaczenia zosta ly podporz adkowane nast

epuj

acej zasadzie ogolnej: symbole niewyt lu-

szczone (typu x) odnosz a si

e do wielkosci skalarnych, wyt luszczone (jak xxx, XXX, X) oznaczaj

a

wektory, macierze lub zbiory. Symbole postaci X oznaczaj a wyro_znione klasy obiektow

matematycznych, a symbole typu X odnosz a si

e do poj

ec o znaczeniu specjalnym w kon-

tekscie robotyki. Liczby w nawiasach podaj a numer strony, na ktorej dane oznaczenie

zosta lo wprowadzone lub u_zyte po raz pierwszy.

' | rownosc przybli_zona (298)

= ∼ | rownowa_znosc (29)

≡ | rownosc to_zsamosciowa (146)

k k | norma euklidesowa wektora (25)

k k | norma macierzy (402)

[ ] | macierz skosnie symetryczna (31)

[X X X, Y Y Y] | nawias Liego (38)

A A A

| transpozycja macierzy (28)

A A A

| odwrotnosc macierzy (29)

A A A

| pseudoodwrotnosc macierzy (402)

A A A > 0 | macierz dodatnio okreslona (205)

fff|

| obci ecie odwzorowania w dziedzinie

(146)

x x x

| transpozycja wektora (25)

x x x · yyy | iloczyn skalarny (25)

x x x

y y y | iloczyn skalarny (25)

hxxx,yyyi | iloczyn skalarny (25)

x x x × yyy | iloczyn wektorowy (25)

U U U × VVV | iloczyn kartezjanski zbiorow (41)

φ φ φ ◦ ψ ψ ψ | z lo_zenie odwzorowan (55)

A A A | macierz ograniczen fazowych w postaci Pfaa (36)

A A A

| transformacja uk ladu i w uk lad j (43)

ad

Y Y Y | iterowany nawias Liego (406)

adjA A A | macierz do l aczona

(401)

atan2 | funkcja atan2 (99)

B | klasa funkcji ograniczonych (403)

B B B

(0 0 0) | kula domkni eta

(236)

9

bbb | wektor binormalny (26)

C C C | macierz si l Coriolisa manipulatora (195)

C

| klasa funkcji g ladkich rz edu k

(403)

C

| klasa funkcji g ladkich (403)

C

| klasa funkcji analitycznych (403)

c

| symbole Christoela I rodzaju (195)

codim | kowymiar (80)

corank | korz ad

(79)

D | ro_zniczka G^ateaux (84)

D D D | wektor si l grawitacji manipulatora (195)

Dkkk

| jakobian analityczny robota mobilnego (86)

( Dkkk

)

| pseudoodwrotnosc jakobianu analitycznego robota mobilnego (183)

d | ro_zniczka (406)

det | wyznacznik macierzy (25)

diag | macierz diagonalna (214)

dim | wymiar (30)

div | dywergencja (136)

∆ | wyro_znik konguracji osobliwej (134)

δ

| stopien mobilnosci robota mobilnego (361)

δ

| stopien sterowalnosci robota mobilnego (361)

E

| elipsoida manipulowalnosci (128)

E

| elipsoida mobilnosci (186)

e e e | b l ad sledzenia

(205)

e e e

| i-ty wektor bazowy przestrzeni liniowej (401)

exp | odwzorowanie wyk ladnicze (35)

exp | strumien pola wektorowego (278)

Φ Φ Φ | macierz fundamentalna liniowego uk ladu dynamicznego (86)

φ φ φ

| strumien uk ladu dynamicznego (404)

G | dystrybucja (37)

G G G | pola stowarzyszone z ograniczeniami fazowymi w postaci Pfaa (37)

Γ | indeks konguracji osobliwej (138)

H | baza Ph. Halla (277)

H | hamiltonian (406)

I | przedzia l czasu (95)

III | macierz momentow bezw ladnosci silnikow (249)

I

| moment bezw ladnosci wirnika i-tego silnika (199)

I

| macierz jednostkowa rozmiaru n × n (29)

id id id

| odwzorowanie identycznosciowe na R (403)

inf | inmum (212)

J | wskaznik jakosci sterowania (408)

JJJ

| jakobian analityczny manipulatora (61)

JJJ

| rozszerzony jakobian analityczny manipulatora (120)

JJJ

| odwrotnosc przybli_zona jakobianu analitycznego manipulatora (168)

JJJ

| pseudoodwrotnosc jakobianu analitycznego manipulatora (112)

JJJ

| jakobian geometryczny w ciele (64)

JJJ

| jakobian manipulatora (68)

JJJ

| jakobian geometryczny w przestrzeni (64)

JJJ

| rozszerzony jakobian geometryczny w przestrzeni (125)

JJJ

| pseudoodwrotnosc jakobianu geometrycznego w przestrzeni (125)

JJJ

| macierz inercji i-tego ramienia manipulatora (197)

JJJ

| macierz inercji wirnika i-tego silnika (247)

K | klasa funkcji dodatnich, scisle rosn acych

(412)

K | energia kinetyczna (194)

K K K | kinematyka manipulatora (39)

K K K|

| obci ecie kinematyki w dziedzinie

(55)

k k k | kinematyka manipulatora we wspo lrz ednych

(55)

k k k

| postac normalna kinematyki (141)

k k k

| kinematyka robota mobilnego (84)

Ker | przestrzen zerowa (37)

κ | stopien uwarunkowania (130)

L | lagran_zian (194)

L

[0, T ] | przestrzen funkcji ca lkowalnych z kwadratem (403)

L

| klasa funkcji ca lkowalnych z k-t a pot

eg

a

(403)

L

| klasa funkcji ograniczonych prawie wsz edzie

(403)

λ

| najwi eksza wartosc w lasna macierzy

(402)

λ

| najmniejsza wartosc w lasna macierzy (402)

M | rozmaitosc g ladka (30)

M M M | macierz manipulowalnosci (128)

M M M

| macierz mobilnosci (186)

m m m | manipulowalnosc (129)

m

| mobilnosc (186)

max | maksimum (286)

mod | modulo (149)

N | funkcja Nussbauma (212)

nnn | wektor normalny (26)

o

| ma la funkcja rz edu n

(153)

Ω Ω Ω

| pr edkosc k

atowa w uk ladzie cia la

(31)

Ω Ω Ω

| pr edkosc k

atowa w uk ladzie przestrzeni

(31)

ω ω ω

| wektor pr edkosci k

atowej w uk ladzie cia la

(32)

ω ω ω

| wektor pr edkosci k

atowej w uk ladzie przestrzeni

(32)

P P P | macierz struktury kinematycznej robota mobilnego (361)

ψ ψ ψ | zmienna do l aczona

(408)

Q | rozmaitosc konguracyjna (przegubowa) (36)

Q Q Q | macierz inercji manipulatora (195)

R R R | macierz obrotu (28)

R | zbior liczb rzeczywistych (25)

R

| zbior liczb rzeczywistych nieujemnych (378)

R

| przestrzen euklidesowa n-wymiarowa (25)

rank | rz ad

(30)

Rot Rot Rot | elementarny obrot (43)

S | zbior konguracji osobliwych (79)

S

| okr ag jednostkowy

(41)

sss | zmienna slizgu (216)

SE(2) | specjalna grupa euklidesowa w R

(39)

SE(3) | specjalna grupa euklidesowa w R

(29)

se(3) | algebra Liego specjalnej grupy euklidesowej w R

(32)

sgn | signum (232)

SO(3) | specjalna grupa obrotow (28)

span | obiekt rozpi ety

(37)

sup | supremum (212)

σ σ σ | permutacja (299)

T T T | wektor przesuni ecia

(28)

T T T M | wi azka styczna

(30)

T

| torus r-wymiarowy (41)

T

(t) | sympleks r-wymiarowy (299)

ttt | wektor styczny (26)

tr | slad (34)

Trans Trans Trans | elementarne przesuni ecie

(43)

θ θ θ | wektor parametrow modelu dynamiki (223)

θ ^ θ θ | wektor estymat parametrow modelu dynamiki (224)

U U U | zbior otwarty (30)

u u u(·) | sterowanie (84)

V | energia potencjalna (194)

V | funkcja Lapunowa (214)

V V V | zbior otwarty (30)

V V V

| pr edkosc w uk ladzie cia la

(31)

V V V

| pr edkosc w uk ladzie przestrzeni

(31)

v v v

| wektor pr edkosci liniowej w uk ladzie cia la

(32)

v v v

| wektor pr edkosci liniowej w uk ladzie przestrzeni

(32)

W | przestrzen robocza manipulatora (96)

X X X | pole wektorowe ruchu w lasnego (166)

X X X

| pole hamiltonowskie (136)

Y Y Y | macierz regresji (223)

Z | rozmaitosc zadaniowa (41)

Wprowadzenie

Wiele znakow wskazuje na to, _ze nadszed l czas "magii naturalnej i swi etej", ^,,, ktory przepowiada Roger Bacon, zwany doctor mirabilis, franciszkanin, wy- nalazca okularow i konstruktor androidu, a imieniem owej magii jest robo- tyka. Robotyka traktuje o samoczynnych maszynach, ktore nasladuj a funk- _,,, cje manualne i intelektualne cz lowieka. Samoczynne maszyny nazywamy au- tomatami. Aby automat sta l si e przedmiotem zainteresowan robotyki, powi- _,,, nien miec pewien stopien samodzielnosci, czyli zdolnosci do celowego funk- cjonowania w ro_znorodnych, nie w pe lni znanych, srodowiskach. W lasnosc samodzielnosci, a wi ec wzgl _,,, ednej niezale_znosci od otoczenia, cz _,,, esto nazywa _,,, si e autonomi _,,, a lub inteligencj _,,, a. Poniewa_z zapewnienie samodzielnosci auto- _,,, matu wymaga nieustannego czerpania i przetwarzania informacji o srodowis- ku, deniuje si e robotyk _,,, e jako nauk _,,, e o inteligentnym wykorzystaniu percep- _,,, cji do dzia lania. W tym kontekscie, obiekty robotyki nazywane tradycyjnie robotami mo_zna okreslic jako samoczynne i samodzielne maszyny, autono- miczne automaty lub obdarzyc mianem inteligentnych agentow. Jest przeto robotyka nauk a interdyscyplinarn _,,, a, zachwycaj _,,, ac _,,, a i budz _,,, ac _,,, a przera_zenie _,,, ut castrorum acies ordinata, zakorzenion a w takich dyscyplinach jak me- _,,, chanika, elektronika i cybernetyka (w klasycznym, wienerowskim rozumie- niu). Jak byc powinno w ka_zdej scis lej nauce, j ezykiem i narz _,,, edziem robo- _,,, tyki jest matematyka, albowiem w mysl s low Wilhelma z Baskerville:

"Wiedza matematyczna sk lada si e z twierdzen zbudowanych przez ^,,, nasz umys l w ten sposob, by zawsze funkcjonowa ly jako prawda, albo dlatego _ze s a przyrodzone, albo dlatego _ze matematyka by la wynaleziona _,,, wpierw ni_z inne nauki." (U. Eco, Imi e ro_zy) _,,,

Na fundamencie matematycznym opiera si e wielka ro_znorodnosc me- _,,,

15

tod i teorii, heurystyk i hipotez, technik i technologii robotyki. Niniejsza ksi a_zka ogranicza si _,,, e do niewielkiego fragmentu tej ro_znorodnosci, jakim s _,,, a _,,, podstawy robotyki, i dostarcza opisu podstawowych problemow robotyki i sposobow ich rozwi azania (algorytmow) odnosz _,,, acych si _,,, e do modelowania _,,, kinematyki i dynamiki, planowania ruchu oraz sterowania manipulatorow i robotow mobilnych. Z punktu widzenia zastosowan, omawiane w ksi a_zce _,,, metody i algorytmy odnosz a si _,,, e do dwoch klas robotow: robotow prze- _,,, mys lowych oraz robotow us lugowych. Nasze uj ecie problemow robotyki ma _,,, charakter selektywny i koncentruje si e na tych zagadnieniach, do ktorych _,,, sformu lowania lub rozwi azania uda lo nam si _,,, e wniesc pewien wk lad ory- _,,, ginalny. Obszary tematyczne robotyki, ktorym poswi ecilismy szczegoln _,,, a _,,, uwag e s _,,, a zatem nast _,,, epuj _,,, ace: modele kinematyki i dynamiki manipulatorow _,,, i nieholonomicznych robotow mobilnych, modelowanie osobliwosci kinema- tyki i kryteria unikania osobliwosci manipulatorow redundantnych, algo- rytmy kinematyki odwrotnej manipulatorow z osobliwosciami, algorytmy sterowania manipulatorow sztywnych i manipulatorow o elastycznych prze- gubach przy ograniczonej znajomosci modelu dynamiki, algorytmy plano- wania ruchu robotow nieholonomicznych wykorzystuj ace metody geome- _,,, trycznej teorii sterowania, algorytmy sterowania ko lowych robotow mobil- nych. W wymienionych obszarach w lasne wyniki autorow ksi a_zki zosta ly _,,, przedstawione w szerokim kontekscie wynikow udokumentowanych w lite- raturze, daj ac, jak s _,,, adzimy, wyczerpuj _,,, acy i aktualny obraz sytuacji proble- _,,, mowej w dziedzinie podstaw robotyki oraz otwieraj ac nowe perspektywy, _,,, zarowno w zakresie badan teoretycznych, jak i stosowanych ^∗ .

Ksi a_zka opiera si _,,, e na rezultatach badan naukowych, jakie prowadzilismy _,,, w latach 1991{1999, w ramach trzech projektow badawczych nansowanych przez Komitet Badan Naukowych:

• Metody topologiczno-ro_zniczkowe w robotyce,

• Roboty osobliwe i nieholonomiczne: modele i algorytmy sterowania,

• Roboty osobliwe i nieholonomiczne: modele, sterowanie i planowanie trajektorii,

jak rownie_z kilku grantow statutowych KBN. Wyniki szczego lowe zosta ly udokumentowane w rozprawie habilitacyjnej [Dul98], trzech rozprawach

∗

Jakkolwiek podstawowym narz edziem werykacji wynikow teoretycznych s

a w ksi

a_zce

symulacje komputerowe, wypada zaznaczyc, _ze metoda postaci normalnych rozwi azania

osobliwego odwrotnego zadania kinematyki oraz algorytmy sterowania manipulatorow

sztywnych typu λ{sledzenia przesz ly pomyslnie werykacj e eksperymentaln

a.

doktorskich [Hos96, Maz96, Mus96] oraz w kilkudziesi eciu publikacjach. _,,, Oprocz wynikow opublikowanych, nie oparlismy si e pokusie zamieszczenia _,,, w ksi a_zce wynikow zupe lnie nowych, uzyskanych przy pracy nad projek- _,,, tem badawczym KBN pt. Modelowanie, planowanie ruchu i sterowanie ma- nipulatorow mobilnych. S adzimy, _ze prace ktorych podsumowaniem jest _,,, ta ksi a_zka stanowi _,,, a dorobek pewnej szko ly uprawiania robotyki, jaka po- _,,, wsta la w Zak ladzie Podstaw Cybernetyki i Robotyki Instytutu Cyberne- tyki Technicznej Politechniki Wroc lawskiej. Pragniemy j a zadedykowac _,,, naszemu Mistrzowi, zmar lemu w 1991 roku Profesorowi Jerzemu Ja- roniowi , ktorego fascynacja robotyk a ukszta ltowa la nasze zainteresowania _,,, badawcze, i ktorego arystokratycznej kulturze logiczno-matematycznej za- wdzi eczamy podstawy warsztatu naukowego, [Jar78]. Autorzy ksi _,,, a_zki maj _,,, a _,,, zaszczyt zaliczac si e do dzieci i wnukow naukowych Profesora. _,,,

Ksi a_zka sk lada si _,,, e z trzech cz _,,, esci: _,,,

• Kinematyka manipulatorow i robotow mobilnych,

• Algorytmy sterowania manipulatorow,

• Algorytmy planowania ruchu i sterowania robotow mobilnych, i dzieli si e na 11 rozdzia low oraz 3 dodatki zawieraj _,,, ace denicje podstawo- _,,, wych poj ec matematycznych, ze szczegolnym uwzgl _,,, ednieniem dziedziny sta- _,,, bilnosci uk ladow dynamicznych. Wydaje si e nam, _ze wiedza z analizy ma- _,,, tematycznej, algebry i teorii rownan ro_zniczkowych w zakresie wyk ladanym in_zynierom, na przyk lad na kierunku Automatyka i Robotyka politechnik, wsparta podstawowym kursem teorii sterowania i pewn a otwartosci _,,, a ma- _,,, tematyczn a, jest wystarczaj _,,, aca do zrozumienia wi _,,, ekszosci materia lu przed- _,,, stawionego w tej ksi a_zce. W pos lugiwaniu si _,,, e bardziej zaawansowanymi _,,, technikami matematycznymi staralismy si e zachowac pewn _,,, a powsci _,,, agliwosc _,,, (dotyczy to zw laszcza geometrii ro_zniczkowej), aczkolwiek nie podzielamy obawy, _ze pojawienie si e w tekscie robotycznym nawiasu Liego uczyni ten _,,, tekst ca lkowicie niezrozumia lym. Co wi ecej, jestesmy przekonani, _ze j _,,, ezyk _,,, matematyczny u latwia komunikowanie problemow, metod i twierdzen ro- botyki nie tylko robotykom, lecz tak_ze badaczom spoza kr egu profesjonal- _,,, nych robotykow. Jakosciowy post ep w zakresie metod planowania ruchu _,,, i sterowania robotow mobilnych, jaki mia l miejsce w bie_z acej dekadzie, za- _,,, wdzi eczamy sformu lowaniu pewnych zagadnien robotyki w sposob intere- _,,, suj acy dla matematykow. _,,,

Cech a wyro_zniaj _,,, ac _,,, a nasz sposob podejscia jest poszukiwanie rownowa- _,,,

_znosci, transformowanie z lo_zonych modeli i zadan do jak najprostszej po-

staci rownowa_znej, umo_zliwiaj acej ich rozwi _,,, azanie. W perspektywie lo- _,,, zoczno-metodologicznej takie podejscie mo_zna wyprowadzic z pogl adow _,,, W. Ockhama ^† . Zrod la matematyczne metody postaci normalnych znajduj a _,,, si e u H. Poincare'go i E. Cartana; punktem odniesienia dla naszego sposobu _,,, myslenia na temat rownowa_znosci s a prace B. Jakubczyka [Jak90]. W zasa- _,,, dzie unikamy w ksi a_zce przedstawiania dowodow twierdzen odsy laj _,,, ac zain- _,,, teresowanego Czytelnika do zrod lowej literatury. Wyj atkiem s _,,, a dwa stan- _,,, dardowe dowody stabilnosci algorytmow sterowania, ktore zamiescilismy w specjalnym dodatku. Dla wygody Czytelnika wywody formalne zosta ly zilustrowane licznymi przyk ladami obliczeniowymi, a tak_ze symulacjami komputerowymi przeprowadzonymi w srodowiskach MATHEMATICA ^{® ‡} i MATLAB ^® (SIMULINK ^® ) ^§ . Ka_zdy rozdzia l konczymy seri a komentarzy _,,, i uwag bibliogracznych umo_zliwiaj acych Czytelnikowi dotarcie do zrode l _,,, przedstawionych wynikow i naswietlaj acych dodatkowo ich genez _,,, e, znacze- _,,, nie i wzajemne powi azania. Szybkie odnalezienie potrzebnych poj _,,, ec u latwia _,,, indeks zamieszczony na koncu ksi a_zki. _,,,

Ro_zne fragmenty tej ksi a_zki s lu_zy ly jako podstawa do wyk ladow z przed- _,,, miotow Mechanika analityczna, Podstawy robotyki oraz Systemy sterowania robotow, jakie prowadzimy na kierunku Automatyka i Robotyka, na Wy- dziale Elektroniki Politechniki Wroc lawskiej. Reakcje naszych studentow, ktorzy, najprawdopodobniej bez w lasnej winy, byli kszta lceni na kilku ro- boczych wersjach tekstu tej ksi a_zki, staralismy si _,,, e wykorzystac przy opraco- _,,, waniu wersji ostatecznej. Jestesmy wdzi eczni tym studentom, dla ktorych _,,, robotyka nie pozosta la dziedzin a oboj _,,, etn _,,, a. S _,,, a wsrod nich nie tylko tacy, _,,, ktorzy z naszych wyk ladow wyniesli przeswiadczenie, _ze "robotyka to kosz- mar", lecz rownie_z tacy, ktorzy w czasie studiow, niekiedy jeszcze przed napisaniem pracy dyplomowej, uzyskali w lasne wyniki naukowe. Za pomoc przy wykonaniu symulacji komputerowych dzi ekujemy przedstawicielowi tej _,,, drugiej grupy, mgrowi in_z. T. Wroblewskiemu.

Szczegoln a wdzi _,,, ecznosc chcemy wyrazic Redaktorowi Naukowemu Aka- _,,, demickiej Ocyny Wydawniczej, Panu Profesorowi L. Bolcowi, ktory odwa- _zy l si e podj _,,, ac ryzyko zwi _,,, azane z publikacj _,,, a tej ksi _,,, a_zki i zechcia l nam udzielic _,,, fachowych wskazowek edytorskich w trakcie przygotowania jej do druku.

†

Nazwanego venerabilis inceptor, podobnie jak R. Bacon franciszkanina z Oksfordu, autora dyrektywy metodologicznej "Entia non sunt multiplicanda praeter necessita- tem", znanej jako brzytwa Ockhama.

‡

MATHEMATICA

jest znakiem rmowym Wolfram Research, Inc.

§

MATLAB

i SIMULINK

s a znakami rmowymi The MathWorks, Inc.

Na zakonczenie dzi ekujemy Recenzentowi naszej ksi _,,, a_zki, Panu Profe- _,,, sorowi K. Koz lowskiemu, ktorego kompetencje merytoryczne i profesor- ska wnikliwosc w znacznym stopniu wp lyn e ly na ostateczn _,,, a form _,,, e i tresc _,,, ksi a_zki. Zamieszczone w recenzji stwierdzenie, _ze Recenzent dwukrotnie _,,, przeczyta l maszynopis ksi a_zki traktujemy jako dowod, _ze ksi _,,, a_zka nadaje si _,,, e _,,, do czytania. Mamy przy tym swiadomosc, _ze odpowiedzialnosc za b l edy, _,,, ktore pomimo naszych wysi lkow redakcyjnych pozosta ly w ksi a_zce, spo- _,,, czywa wy l acznie na jej autorach. _,,,

Jak ju_z napisalismy, ze wzgl edu na swoj _,,, a specyczn _,,, a genez _,,, e, nasza _,,, ksi a_zka traktuje o podstawach robotyki i ze zrozumia lych wzgl _,,, edow nie po- _,,, krywa ca lego zakresu problemowego wspo lczesnej robotyki. W kilku dzie- dzinach robotyki wykraczaj acych ca lkowicie lub cz _,,, esciowo poza zakres tej _,,, ksi a_zki by ly prowadzone w Polsce w latach 90-tych powa_zne prace bada- _,,, wcze, ktorych wyniki zosta ly opublikowane w formie rozpraw habilitacyj- nych, ksi a_zek lub monograi, mog _,,, acych stanowic tematyczne uzupe lnienie _,,, tej ksi a_zki. Wymienimy niektore z nich. Prac _,,, a zbiorow _,,, a o charakterze prze- _,,, krojowym jest ksi a_zka [MK99] pod redakcj _,,, a A. Moreckiego i J. Knapczy- _,,, ka. Metody projektowania manipulatorow przemys lowych zosta ly przed- stawione w monograi K. Tomaszewskiego [Tom93]. O identykacji mo- deli dynamiki robotow manipulacyjnych traktuje rozprawa habilitacyjna K. Koz lowskiego [Koz92] oraz monograa [Koz98]. Zagadnieniom plano- wania trajektorii manipulatorow zosta la poswi econa monograa M. Galic- _,,, kiego [Gal00]. Problematyka syntezy chwytu, bliska w swym uj eciu kine- _,,, tycznym teorii uk ladow nieholonomicznych, jest obecna w rozprawie ha- bilitacyjnej A. Kasinskiego [Kas98]. Modeli kinematyki, dynamiki i al- gorytmow sterowania robotow mobilnych dotycz a rozprawy habilitacyjne _,,, Z. Hendzla [Hen96] i W. _Zylskiego [ _Zyl96]. Planowaniem trajektorii ko lo- wych robotow mobilnych zaj a l si _,,, e w monograi habilitacyjnej L. Pods _,,, edko- _,,, wski [Pod99]. Wprowadzenie do inteligentnych uk ladow robotycznych sta- nowi rozprawa habilitacyjna W. Jacaka [Jac91] i monograa [Jac99]. Zagad- nien modelowania elastycznych systemow produkcyjnych dotyczy ksi a_zka _,,, Z. Banaszaka [BJ91]. Metodom programowania robotow zosta ly poswi econe _,,, rozprawy habilitacyjne C. Zielinskiego [Zie95b] i T. Kocha [Koc96]. Za- gadnienia syntezy ruchu maszyn krocz acych by ly przedmiotem rozprawy _,,, habilitacyjnej T. Zielinskiej [Zie95a]. Aktywnosci Wydawnictw Naukowo- -Technicznych zawdzi eczamy publikacj _,,, e przek ladow ksi _,,, a_zek [Cra93, _,,, SV97].

Aktualny przegl ad wynikow badan prowadzonych w Polsce w zakresie ro- _,,,

botyki zawieraj a materia ly Krajowych Konferencji Robotyki. _,,,

Literatura

[BJ91] Z. Banaszak i L. S. Jampolski, Komputerowo wspomagane modelowanie elastycznych systemow produkcyjnych. WNT, Warszawa, 1991.

[Cra93] J. J. Craig, Wprowadzenie do robotyki. WNT, Warszawa, 1993.

[Dul98] I. Dul eba, Algorithms of Motion Planning for Nonholonomic Robots.

Ocyna Wydawnicza Politechniki Wroc lawskiej, Wroc law, 1998.

[Gal00] M. Galicki, Wybrane metody planowania optymalnych trajektorii ro- botow manipulacyjnych. WNT, Warszawa, 2000.

[Hen96] Z. Hendzel, Sterowanie ruchem nad a_znym mobilnych robotow ko lo-

wych. Ocyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszow, 1996.

[Hos96] R. Hossa, Modele i algorytmy sterowania ko lowych robotow mobil- nych. Rozprawa doktorska, Instytut Cybernetyki Technicznej, Politech- nika Wroc lawska, 1996.

[Jac91] W. Jacak, Roboty inteligentne. Ocyna Wydawnicza Politechniki Wro- c lawskiej, Wroc law, 1991.

[Jac99] W. Jacak, Intelligent Robotic Systems. Kluwer, New York, 1999.

[Jak90] B. Jakubczyk, Equivalence and invariants of nonlinear control systems.

W: H. J. Sussmann, (red.), Dierential Geometric Control Theory, strony 177{218. M. Dekker, New York, 1990.

[Jar78] J. Jaron, Systemic Prolegomena to Theoretical Cybernetics. Wydaw- nictwo Politechniki Wroc lawskiej, Wroc law, 1978.

[Kas98] A. Kasinski, Metody syntezy chwytu dla autonomicznych systemow manipulacyjnych. Ocyna Wydawnicza Politechniki Poznanskiej, Po- znan, 1998.

[Koc96] T. Koch, Programowanie redundantnych robotow przemys lowych. O- cyna Wydawnicza Politechniki Wroc lawskiej, Wroc law, 1996.

[Koz92] K. Koz lowski, Modele matematyczne dynamiki robotow oraz iden- tykacja parametrow tych modeli. Ocyna Wydawnicza Politechniki Poznanskiej, Poznan, 1992.

[Koz98] K. Koz lowski, Modelling and Identication in Robotics. Springer-Ver- lag, Berlin, 1998.

[Maz96] A. Mazur, Algorytmy sterowania robotow oparte na zasadzie uniwer-

salnego adaptacyjnego uk ladu sterowania. Rozprawa doktorska, Insty-

tut Cybernetyki Technicznej, Politechnika Wroc lawska, 1996.

[MK99] A. Morecki i J. Knapczyk, (red.), Podstawy Robotyki. Teoria i Elementy Manipulatorow. WNT, Warszawa, 1999.

[Mus96] R. Muszynski, Modele i algorytmy sterowania manipulatorow z oso- bliwosciami kinematycznymi. Rozprawa doktorska, Instytut Cyberne- tyki Technicznej, Politechnika Wroc lawska, 1996.

[Pod99] L. Pods edkowski, Dynamiczne planowanie trajektorii robotow mo-

bilnych w zmiennej przestrzeni roboczej. Wydawnictwo Politechniki Lodzkiej, Lodz, 1999.

[SV97] M. Spong i M. Vidyasagar, Dynamika i sterowanie robotow. WNT, Warszawa, 1997.

[Tom93] K. Tomaszewski, Roboty przemys lowe. WNT, Warszawa, 1993.

[Zie95a] T. Zielinska, Wykorzystanie w lasnosci chodu cz lowieka i zwierz at do

syntezy ruchu maszyn krocz acych. Wydawnictwo Instytutu Biocyber-

netyki i In_zynierii Biomedycznej PAN, Warszawa, 1995.

[Zie95b] C. Zielinski, Robot Programming Methods. Ocyna Wydawnicza Poli- techniki Warszawskiej, Warszawa, 1995.

[ _Zyl96] W. _Zylski, Kinematyka i dynamika mobilnych robotow ko lowych. O- cyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszow, 1996.

Do sk ladu ksia_zki wykorzystano system przygotowania dokumentow L_,,, ATEX, opracowany przez L. Lamporta [Lam94], b_,,,edacy nak ladk_,,, a systemu TEX,_,,, [Knu86a,Knu86b]. Matematyczne czcionki o nazwie AMS Euler, ktorych u_zywamy w tej ksia_zce, zosta ly opracowane przez H. Zapfa [KZ86] na zle-_,,, cenie Amerykanskiego Towarzystwa Matematycznego. Czcionki sk ladu tek- stu, zwane Concrete Roman i Concrete Italic, nale_zace do knuthowskiej ro-_,,, dziny czcionek Computer Modern, zosta ly specjalnie przystosowane do kszta ltu czcionki AMS Euler na potrzeby ksia_zki [GKP96]._,,,

Wszystkie symulacje komputerowe zamieszczone w ksia_zce zosta ly przeprowa-_,,, dzone w srodowiskach obliczeniowych MATHEMATICA^®rmy Wolfram Re- search, Inc., [Wol96], oraz MATLAB^®i SIMULINK^®rmy The MathWorks, Inc., [Mat94a,Mat94b].

[GKP96] R. L. Graham, D. E. Knuth i O. Patashnik, Matematyka konkretna.

PWN, Warszawa, 1996.

[Knu86a] D. E. Knuth, The TEXbook, volume A of Computers and Typeset- ting. Addison-Wesley, Reading, 1986.

[Knu86b] D. E. Knuth, TEX: The Program, volume B of Computers and Typesetting. Addison-Wesley, Reading, 1986.

[KZ86] D. E. Knuth i H. Zapf, AMS Euler | A new typeface for mathe- matics. Scholary Publishing, 20:131{157, 1986.

[Lam94] L. Lamport, L^ATEX: A Document Preparation System. Addison- -Wesley, Reading, 1994.

[Mat94a] The MathWorks, Inc., MATLAB User's Guide, 1994.

[Mat94b] The MathWorks, Inc., SIMULINK User's Guide, 1994.

[Wol96] S. Wolfram, The MATHEMATICA^®Book. Cambridge University Press, Cambridge, 1996.

Kinematyka manipulator´ ow

i robot´ ow mobilnych

Modele kinematyki uk lad´ ow robotycznych

2.1 Ruch cia la sztywnego

Wszystkie obiekty robotyki istniej a w czasoprzestrzeni zycznej z lo_zonej _,,, z jednowymiarowego czasu i trojwymiarowej przestrzeni. Czas zyczny jest zbiorem chwil, ktory b edziemy uto_zsamiac ze zbiorem liczb rzeczywistych R. _,,, Przestrzen zyczna sk lada si e z punktow, ktorych po lo_zenie wzgl _,,, edem _,,, zadanego, prawoskr etnego uk ladu wspo lrz _,,, ednych kartezjanskich (zwanego _,,, uk ladem przestrzeni) mo_zna wyrazic przy pomocy trojki liczb rzeczywi- stych. W efekcie, przestrzen zyczn a uto_zsamiamy z przestrzeni _,,, a euklide- _,,, sow a R _,,, ³ wyposa_zon a w operacje mno_zenia skalarnego i mno_zenia wekto- _,,, rowego. Wezmy dwa wektory xxx,yyy ∈ R ³ , xxx = (x 1 , x 2 , x 3 ) ^T , yyy = (y 1 , y 2 , y 3 ) ^T i niech wektory eee 1 , eee 2 , eee 3 stanowi a standardow _,,, a baz _,,, e w R _,,, ³ . Iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy deniujemy nast epuj _,,, aco _,,,

x x x · yyy = xxx ^T y y y = hxxx,yyyi = X 3

i=1

x _i y _i , xxx × yyy = det



 e e e 1 e e e 2 e e e 3

x ₁ x ₂ x ₃ y ₁ y ₂ y ₃



. (2.1)

Miar e d lugosci wektora xxx ∈ R _,,, ³ w przestrzeni euklidesowej wyznacza norma euklidesowa kxxxk = √

x x x · xxx. Ka_zde g ladkie ^∗ przekszta lcenie czasu w przestrzen

c c

c : R −→ R ³ (2.2)

∗

Klasy C

, tzn. posiadaj ace ci

ag le pochodne dowolnego rz

edu.

25

Rysunek 2.1 Trojscian Freneta.

nazywamy ruchem punktu materialnego. Przestrzen R ³ nazywamy prze- strzeni a konguracyjn _,,, a punktu materialnego. Wykres ruchu (2.2) w czaso- _,,, przestrzeni stanowi trajektori e ruchu. Krzyw _,,, a w R _,,, ³ b ed _,,, ac _,,, a obrazem ruchu _,,, nazywamy torem (scie_zk a) ruchu. Pochodn _,,, a _ccc(t) ruchu wzgl _,,, edem czasu _,,, nazywamy pr edkosci _,,, a ruchu. Wektor pr _,,, edkosci jest styczny do toru ruchu. _,,, Pochodn a rz _,,, edu drugiego ccc(t) ruchu wzgl _,,, edem czasu nazywamy przyspie- _,,, szeniem ruchu. Lokalnie geometri e toru ruchu opisuje tzw. trojscian Fre- _,,, neta, przedstawiony na rysunku 2.1. Trojscian Freneta jest rozpi ety przez _,,, wektory jednostkowe (wersory) ttt, nnn, bbb, zdeniowane w nast epuj _,,, acy sposob. _,,, Wektor styczny ttt = _{∥_ccc∥} ^_ccc . Wektor normalny n = _K ^{1 dt} _ds , gdzie ds = k_ccck dt jest elementem d lugosci toru, natomiast

K = dttt

ds = p

k_ccck ² kccck ² − ( _ccc · ccc) ² k_ccck ³

nosi nazw e krzywizny toru i stanowi miar _,,, e odchylenia toru od linii prostej. _,,, Wektor binormalny bbb jest iloczynem wektorowym dwoch poprzednio zde- niowanych wektorow

b b

b = ttt × nnn = 1

K k_ccck ³ ( _ccc × ccc).

Odchylenie toru od krzywej p laskiej okresla parametr zwany skr eceniem _,,,

Rysunek 2.2 Cia lo sztywne w R

.

lub torsj a toru _,,,

T = dbbb

ds = 1

K ²

|(_ccc × ccc) · ... c c c | k_ccck ⁶ .

Wyst epuj _,,, acy w powy_zszej formule iloczyn mieszany wektorow xxx = (x _,,, 1 , x ₂ , x ₃ ) ^T , yyy = (y 1 , y ₂ , y ₃ ) ^T , zzz = (z 1 , z ₂ , z ₃ ) ^T deniuje si e jako _,,,

(x x x × yyy) · zzz = det



 x 1 x 2 x 3

y ₁ y ₂ y ₃ z ₁ z ₂ z ₃



.

Nietrudno si e przekonac, _ze wektor przyspieszenia ccc(t) le_zy w p laszczyznie _,,, stycznej do toru i w ogolnym przypadku posiada dwie sk ladowe: styczn a _,,, i normaln a. _,,,

Rozwa_zmy aniczne przekszta lcenie przestrzeni euklidesowej

D D D : R ³ −→ R ³ , D D D(x x x) = R R Rx x x + T T T , (2.3) gdzie RRR jest macierz a rozmiaru 3 × 3, zas wektor TTT ∈ R _,,, ³ . Niech zwarty (domkni ety i ograniczony) podzbior B ⊂ R _,,, ³ oznacza cia lo sztywne (ry- sunek 2.2). Wybierzmy punkty xxx,yyy,zzz ∈ B i zdeniujmy wektory swo- bodne vvv = yyy − xxx, w w w = zzz − x x x l acz _,,, ace punkt xxx z punktami yyy i zzz. Prze- _,,, kszta lcenie (2.3) mo_zna w naturalny sposob przeniesc na wektory swobodne okreslaj ac _,,,

D D D ? (v v v) = D D D(y y y) − D D D(x x x) = R R Rv v v, D D D ? (w w w) = D D D(zzz) − D D D(x x x) = R R Rw w w. (2.4)

Przekszta lcenie aniczne opisane wzorem (2.3) nazywamy przemieszcze- niem cia la sztywnego w przestrzeni euklidesowej, je_zeli D D D ? zachowuje ilo- czyn skalarny i iloczyn wektorowy ^† , tzn.

D D

D ? (v v v) · D D D ? (w w w) = v v v · w w w oraz D D D ? (v v v × w w w) = D D D ? (v v v) × D D D ? (w w w). (2.5) Na mocy denicji, przemieszczenie cia la sztywnego zachowuje d lugosc wek- torow swobodnych (odleg losc mi edzy punktami) oraz k _,,, at mi _,,, edzy wektorami _,,, swobodnymi

kD D D ? (v v v)k = kvvvk, ∠(D D D ? (v v v), D D D ? (w w w)) = ∠(vvv,w w w).

Bior ac pod uwag _,,, e denicj _,,, e (2.4) i w lasnosci (2.5), nietrudno otrzymac na- _,,, st epuj _,,, ac _,,, a charakterystyk _,,, e przemieszczenia cia la sztywnego w przestrzeni _,,, euklidesowej:

• macierz RRR jest ortogonalna: RRRRRR ^T = R R R ^T R R R = I 3 ,

• R R R(v v v × w w w) = (R R Rv v v) × (RRRw w w) ,

• detRRR = ((RRReee 1 ) × (RRReee 2 )) · (RRReee 3 ) = kRRReee 3 k ² = 1 ^‡ ,

• wektor TTT jest dowolny.

Macierze RRR spe lniaj ace pierwsze trzy warunki nazywaj _,,, a si _,,, e macierzami _,,, obrotu i tworz a specjaln _,,, a grup _,,, e obrotow SO(3). _,,,

Dzi eki wprowadzeniu do przestrzeni euklidesowej tzw. wspo lrz _,,, ednych _,,, jednorodnych pozwalaj acych opisac punkt o wspo lrz _,,, ednych xxx = (x _,,, 1 , x ₂ , x ₃ ) ^T uk ladem czterech liczb (x 1 , x ₂ , x ₃ , 1) ^T , mo_zna przedstawic przekszta lcenie aniczne (2.3) przy pomocy macierzy rozmiaru 4×4 postaci  _{R R R T T T}

0 0 0 1

 . Wowczas

 x x x 1

 7−→

 R R R T T T 0 0 0 1

  x x x 1



=

 R R Rx x x + T T T 1



. (2.6)

Transformacja (2.6) posiada dwojak a interpretacj _,,, e. Po pierwsze, opisuje _,,, ona zmian e wspo lrz _,,, ednych jednorodnych xxx _,,, ^T , 1
T

(przemieszczenie) pew- nego punktu w przestrzeni euklidesowej wzgl edem ustalonego uk ladu prze- _,,, strzeni. Po drugie, je_zeli punkt xxx ^T , 1
T

jest ustalony, transformacja (2.6) charakteryzuje przemieszczenie pewnego uk ladu wspo lrz ednych wzgl _,,, edem _,,,

†

Scisle mowi ac, ze wzoru (2.5) wynika, _ze iloczyn skalarny jest inwariantny (nie-

zmienny), natomiast iloczyn wektorowy jest ekwiwariantny (rownozmienny) wzgl edem

przemieszczenia cia la sztywnego.

‡

Wykorzystujemy tu prawoskr etnosc uk ladu (eee

, e e e

, e e e

).

uk ladu przestrzeni, ktore zachodzi w taki sposob, _ze je_zeli xxx , 1 oznacza wspo lrz edne jednorodne ustalonego punktu w uk ladzie przemieszczonym, _,,, to (RRRxxx + TTT) ^T , 1
T

okresla wspo lrz edne jednorodne tego punktu w uk ladzie _,,, przestrzeni. Korzystaj ac z tej drugiej interpretacji rozwa_zmy przemiesz- _,,, czenie cia la sztywnego w przestrzeni euklidesowej. Poniewa_z podczas prze- mieszczania odleg losc mi edzy punktami cia la sztywnego nie ulega zmia- _,,, nie, jego ruch jest zdeterminowany przez ruch dowolnie wybranego punktu cia la. Wybierzmy taki punkt i umiescmy w nim prawoskr etny, kartezjanski _,,, uk lad wspo lrz ednych zwi _,,, azany z cia lem sztywnym (uk lad cia la). Za lo_zmy, _ze _,,, w chwili pocz atkowej uk lad cia la i uk lad przestrzeni pokrywaj _,,, a si _,,, e. Po prze- _,,, mieszczeniu elementy RRR, TTT przekszta lcenia anicznego (2.3) wyznaczaj a _,,, po lo_zenie (TTT) i orientacj e (RRR) uk ladu cia la wzgl _,,, edem uk ladu przestrzeni. _,,, W konsekwencji, ruch cia la sztywnego w przestrzeni euklidesowej mo_ze byc rozumiany jako g ladkie przekszta lcenie czasu w grup e przesuni _,,, ec R _,,, ³ oraz w specjaln a grup _,,, e obrotow SO(3), _,,,

c c

c : R −→ R ³ × SO(3) ∼ = SE(3),

ktore okresla w ka_zdej chwili po lo_zenie i orientacj e uk ladu cia la wzgl _,,, edem _,,, uk ladu przestrzeni. Wyst epuj _,,, acy w powy_zszym wzorze obiekt SE(3) na- _,,, zywa si e specjaln _,,, a grup _,,, a euklidesow _,,, a i stanowi przestrzen konguracyjn _,,, a _,,, cia la sztywnego. Zauwa_zmy, _ze zale_znosc (2.6) pozwala na reprezentowa- nie elementow specjalnej grupy euklidesowej przy pomocy macierzy  _{R R R T T T}

0 0 0 1

 . T e macierzow _,,, a reprezentacj _,,, e grupy SE(3) b _,,, edziemy odt _,,, ad uto_zsamiac z gru- _,,, p a SE(3). Nietrudno wykazac, _ze SE(3) istotnie jest grup _,,, a z dzia laniem _,,, grupowym b ed _,,, acym mno_zeniem macierzy _,,,

 R R R 1 T T T 1

0 0 0 1

  R R R 2 T T T 2

0 0 0 1



=

 R R R 1 R R R 2 R R R 1 T T T 2 + T T T 1

0 0

0 1



, (2.7)

elementem neutralnym E = I 4 oraz elementem odwrotnym

 R R R T T T 0 0 0 1

 −1

=

 R R R ^T −R R R ^T T T T 0 0 0 1

 .

Jak wynika ze wzoru (2.7), specjalna grupa euklidesowa jest tzw. iloczynem po lprostym dwoch grup: podgrupy przesuni ec R _,,, ³ i podgrupy obrotow SO(3).

Zauwa_zmy, _ze na mocy denicji ka_zdy element SSS =  _{R R R T T T}

0 0 0 1

 ∈ SE(3), formal-

nie nale_z acy do przestrzeni R _,,, ¹² (RRR ∈ R ⁹ , TTT ∈ R ³ ), spe lnia 6 niezale_znych

warunkow ortogonalnosci RRR ^T R R R = I 3 , co pozostawia elementom macierzy SSS

szesc stopni swobody. Z tego powodu powiadamy, _ze specjalna grupa eu- klidesowa ma wymiar 6, dim SE(3) = 6. Grupa SE(3) stanowi przyk lad obiektu matematycznego zwanego g ladk a rozmaitosci _,,, a. W dalszym ci _,,, agu _,,, przez g ladk a rozmaitosc kowymiaru k b _,,, edziemy rozumiec podzbior pewnej _,,, przestrzeni R ⁿ zdeniowany przy pomocy k warunkow (wi ezow, ograniczen) _,,, postaci

M = {xxx ∈ R ⁿ | fff(xxx) = 000} ,

gdzie fff = (f 1 , f 2 , . . . , f k ) ^T , a funkcje f 1 , . . . , f k s a g ladkie (klasy C _,,, ^∞ ) oraz niezale_zne w ka_zdym punkcie xxx ∈ M, to znaczy rz ad macierzy Jacobiego _,,, ograniczen

rank

 ∂fff

∂x x x



(x x x) = k.

Liczb e m = n − k nazywamy wymiarem rozmaitosci M. W ka_zdym punk- _,,, cie xxx ∈ M g ladkiej rozmaitosci jest okreslona tzw. przestrzen styczna,

T

T T _x x x M = Ker

 ∂fff

∂x x x

 (x x x) ,

z lo_zona z wektorow anihilowanych przez macierz Jacobiego ograniczen w tym punkcie. Na mocy denicji rozmaitosci, dimTTT x x x M = dim M = m.

Obiekt powsta ly ze sklejenia przestrzeni stycznych w poszczegolnych punk- tach xxx ∈ M,

T T

T M = [

x x x∈M

(x x x, T T T x x x M), nazywa si e wi _,,, azk _,,, a styczn _,,, a rozmaitosci M. _,,,

Ka_zda g ladka rozmaitosc m-wymiarowa jest lokalnie rownowa_zna prze- strzeni R ^m . Rozumiemy przez to, _ze istniej a wzajemnie jednoznaczne i g lad- _,,, kie przekszta lcenia

φ φ φ _U U U : U U U −→ VVV oraz ψ ψ ψ _V V V : V V V −→ U U U,

okreslone na otwartych podzbiorach U U U ⊂ M, VVV ⊂ R ^m , b ed _,,, ace wzajemnymi _,,, odwrotnosciami ^§ i zwane, odpowiednio, uk ladem wspo lrz ednych oraz para- _,,, metryzacj a rozmaitosci M. Para (U _,,, U U, φ φ φ _{U U U} ) nazywa si e map _,,, a rozmaitosci M. _,,,

§

Tzn. φ φ φ

◦ ψ ψ ψ

= id

, ψ ψ ψ

◦ φ φ φ

= id

.

Najwi ekszy uk lad zgodnych map _,,, , ktorego dziedziny U U U pokrywaj a M na- _,,, zywa si e atlasem rozmaitosci M. Jak ju_z powiedzielismy, specjalna grupa _,,, euklidesowa SE(3) jest g ladk a (scislej: analityczn _,,, a) rozmaitosci _,,, a wymiaru 6 _,,, i jednoczesnie grup a. Grupa posiadaj _,,, aca struktur _,,, e g ladkiej rozmaitosci, _,,, ktorej dzia lanie grupowe jest g ladk a funkcj _,,, a wspo lrz _,,, ednych, nosi nazw _,,, e _,,, grupy Liego.

Podobnie, jak w przypadku ruchu punktu materialnego, wprowadzi- my obecnie poj ecie pr _,,, edkosci ruchu cia la sztywnego. W tym celu dla ru- _,,, chu ccc(t) = h

R R R(t) T T T (t)

0 0

0 1

i obliczamy pochodn a wzgl _,,, edem czasu _ccc(t) = _,,, h

_RRR(t) _TTT(t) 0 0

0 0

i . W naturalny sposob deniuje si e dwa rodzaje pr _,,, edkosci cia la sztywnego: _,,, pr edkosc w uk ladzie przestrzeni _,,,

V V V ^s = _ccc(t)ccc ⁻¹ (t) =

"

Ω Ω Ω s _TTT − Ω Ω Ω s T T T 0 0 0 0

#

(2.8) oraz pr edkosc w uk ladzie cia la _,,,

V V

V ^b = c c c ⁻¹ (t) _ccc(t) =

"

Ω Ω Ω _b R R R ^T _TTT

0 0

0 0

#

. (2.9)

W powy_zszych wyra_zeniach Ω Ω Ω _s = _ R R RR R R ^T deniujemy jako pr edkosc k _,,, atow _,,, a _,,, w uk ladzie przestrzeni, Ω Ω Ω b = R R R ^T _RRR jest pr edkosci _,,, a k _,,, atow _,,, a w uk ladzie _,,, cia la. Z ortogonalnosci macierzy obrotu RRR ^T R R R = R R RR R R ^T = I 3 wynika, _ze ka_zda z macierzy Ω Ω Ω _s , Ω Ω Ω _b jest skosnie symetryczna rozmiaru 3 × 3, a zatem zde- terminowana przez wektory pr edkosci k _,,, atowej w uk ladzie przestrzeni ω _,,, ω ω s

i w uk ladzie cia la ω ω ω _b . Zwi azek mi _,,, edzy macierzowymi a wektorowymi pr _,,, ed- _,,, kosciami k atowymi jest opisany przy pomocy odwzorowania _,,,

[ ] : R ³ −→ macierze skosnie symetryczne rozmiaru 3 × 3, zdeniowanego formu l a _,,,



 ω ₁ ω ₂ ω 3



 = ω ω ω 7−→ [ω ω ω] = Ω Ω Ω =



 0 −ω ₃ ω ₂

ω ₃ 0 −ω ₁

−ω 2 ω 1 0



. (2.10)

Wprowadzone odwzorowanie jest wzajemnie jednoznaczne i okresla wekto- row a reprezentacj _,,, e pr _,,, edkosci w uk ladzie przestrzeni i w uk ladzie cia la _,,,

Ω Ω Ω _s = [ω ω ω _s ] , Ω Ω Ω _b = [ω ω ω _b ]. (2.11)

¶

Dwie mapy (U U U

, φ φ φ

) , (U U U

, φ φ φ

) nazywamy zgodnymi, je_zeli z lo_zenie φ φ φ

◦φ φ φ

1

jest

lokalnym homeomorzmem (zobacz dodatek A.2) przestrzeni R

.

Ponadto, dla ka_zdego wektora vvv ∈ R ³ jest spe lniona zale_znosc Ω Ω

Ωv v v = [ω ω ω]v v v = ω ω ω × vvv.

Reprezentacja (2.11) umo_zliwia zast apienie macierzy pr _,,, edkosci VVV _,,, ^s , VVV ^b wek- torami postaci

v v v ^s =

 v v v s

ω ω ω _s

 , vvv ^b =

 v v v b

ω ω ω _b



, (2.12)

gdzie

v v v s = _ T T T + T T T × ω ω ω s , vvv b = R R R ^T _TTT

oznaczaj a, odpowiednio, pr _,,, edkosc liniow _,,, a w uk ladzie przestrzeni i w u- _,,, k ladzie cia la. Macierze VVV ^s , VVV ^b nale_z a do przestrzeni stycznej do gru- _,,, py SE(3) w elemencie jednostkowym E = I 4 , identykowanej z tzw. al- gebr a Liego se(3) grupy SE(3). Z zale_znosci (2.12) wynika, _ze se(3) mo_zna _,,, uto_zsamic z przestrzeni a R _,,, ⁶ .

Wprowadzonym w sposob formalny poj eciom pr _,,, edkosci cia la sztywnego _,,, w uk ladzie przestrzeni i w uk ladzie cia la mo_zna nadac nast epuj _,,, ac _,,, a interpre- _,,, tacj e. Wyobrazmy sobie, _ze uk lad cia la przemieszcza si _,,, e wzgl _,,, edem uk ladu _,,, przestrzeni wzd lu_z trajektorii ccc(t) = h

R R R(t) T T T (t) 0 0 0 1

i . Wybierzmy w uk ladzie cia la pewien punkt PPP o wspo lrz ednych jednorodnych ppp _,,, ^T , 1
T

. W chwili t wspo lrz edne jednorodne tego punktu wzgl _,,, edem uk ladu przestrzeni wynosz _,,, a _,,,

 rrr(t) 1



=

 R R R(t) T T T (t) 0

0 0 1

  p p p 1



. (2.13)

Pr edkosc ruchu punktu PPP wzgl _,,, edem uk ladu przestrzeni _,,,

 _rrr(t) 0



=

"

_RRR(t) _TTT(t) 0 0

0 0

#  p p p 1



(2.14)

wyra_zona w uk ladzie cia la jest rowna

 R R R(t) T T T (t) 0 0 0 1

 −1 "

_RRR(t) _TTT(t) 0

0

0 0

#  p p p 1



= V V V ^b

 p p p 1



=

 ω ω ω _b × ppp + RRR ^T _T 0



. (2.15)

Z zale_znosci (2.15) wynika, _ze pr edkosc w uk ladzie cia la jest pr _,,, edkosci _,,, a ru- _,,,

chu wzgl edem uk ladu przestrzeni punktu PPP, ktorego wspo lrz _,,, edne w uk ladzie _,,,