Wykazać, że wartość bezwzgledna liczby rzeczywistej ma nast, epuj, ace własności:, (a) |x

Analiza Matematyczna 1

WPPT, matematyka stosowana, 2012/13 Lista 0 - wstępna (powtórkowa)

1. Wykazać, że wartość bezwzgledna liczby rzeczywistej ma nast_, epuj_, ace własności:_, (a) |x| = | − x|;

(b) −|x|6 x 6 |x|;

(c) |x|6 y ⇔ −y 6 x 6 y, gdy y > 0;

(d) |x + y|6 |x| + |y|;

(e) |xy| = |x| |y|;

(f)    x y   = |x|

|y|, gdy y 6= 0;

(g) ||x| − |y||6 |x − y|;

(h) |x|−|y|6 |x−y| 6 |x|+|y|;

(i) |xⁿ− yⁿ| 6 n Mⁿ⁻¹|x − y|, M = max{|x|, |y|},

dla dowolnych x, y ∈ R.

2. Rozwiazać równania i nierówności_, (a) |2|x + 1| + 1| = 3;

(b) 2|x + 6| − |x| + |x − 6| = 18;

(c) |x²− 25| 6 24;

(d) |3x| + 26 |x − 6|.

3. Wyznaczyć liczbe rzeczywistych pierwiastków równania x·|x| = x+c w zależności od parametru_, rzeczywistego c.

4. Określić liczbe rozwi_, azań rzeczywistych równania_,

(m − 1)x⁴− (2m − 1)x²+ m − 1 4 = 0

w zależności od wartości parametru rzeczywistego m.Pokazać, że w przypadku, gdy równanie ma cztery rozwiazania, to s_, a one postaci_,

x_1,2 = ± s

2√ m + 1 2√

m + 2, x_3,4 = ± s

2√ m − 1 2√

m − 2. 5. Rozstrzygnać, która z liczb jest wi_, eksza_,

(a) 2^log3243 czy 4^2+log2(3/2); (b) log₂5 czy log₃16; (c) log 5 · log 20 + (log 2)² czy p

6 − 2√ 5.

6. Rozwiazać równania i nierówności_, (a) log x + log(x + 3) = 1;

(b) 3^x2−2x = 1 3;

(c) log_xy = log_yx i x + y = 3;

(d) log_x(1 + x) < 1;

(e) | log_x(x + 1)| + | log_x(x + 1 2)| > 1;

(f) log_x(5x − 1) 6 logx(7x − 2).

7. Rozwiazać równania i nierówności_, (a) log_{sin x}cos x + log_{cos x}sin x = 2;

(b) | tg x + ctg x| = 4

√3;

(c) | sin x| > | cos x|;

(d) cos 2x + cos x − 1 cos 2x > 2.

8. Wykazać, że liczby√ 2,√³

2,√ 3,√

3 −√ 2,√³

2 −√

2, log₂3, log₁₀17 sa liczbami niewymiernymi._, 9. Jakimi liczbami (wymiernymi, czy niewymiernymi) sa poniższe liczby_,

p3 −√ 8 −√

2, p 3 −√

8 + 1, p

4 + 2√ 3 +p

4 − 2√ 3, p3

20 − 14√ 2 +p³

20 + 14√

2, p³

20 − 14√ 2 −p³

20 + 14√ 2 ?