Siły zachowawcze lub potencjalne

V. 3 Siły zachowawcze. Energia potencjalna

Siły zachowawcze lub potencjalne

Są to takie siły, dla których praca po dowolnej drodze między  (dowolnymi) punktami A i B  nie zależy od drogi (krzywej toru  po którym porusza się ciało) i wyraża się przez zmianę energii  potencjalnej ciała w trakcie ruchu od A do B: E

(A)‐E

(B):

Dla sił zachowawczych dowolna cyrkulacja (całka  krzywoliniowa po drodze zamkniętej) znika:

= v ∫ ^G ⋅ ^G =

B

p p

A

W = ∫ F ds ^G ⋅ ^G = E (A) E (B) −

B

potencjalną

( ) ( )

p

p p

p

E x F r E r E

y E

x

⎛ ∂ ⎞

⎜ ∂ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ∂ ⎟

= −∇ = −⎜ ⎜ ∂ ⎟ ⎟

⎜ ∂ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ∂ ⎟

⎝ ⎠

G G G

Dodatek matematyczny: gradient i pole skalarne

Niech pole skalarne f(x,y,z) jest ciągłe i ma ciągłe pochodne  cząstkowe.

Powierzchnia ekwiskalarna f(x,y,z)=c.

Na powierzchni ekwiskalarnej df=0:

czyli gradient f jest wektorem normalnym do powierzchni  ekwiskalarnej.

f f f ( )

df dx dy dz f dr 0

x y z

∂ ∂ ∂

= + + = ∇ ⋅ =

∂ ∂ ∂

G

Linie sił pola

Dodatek matematyczny: gradient i pole skalarne cd

Pochodna pola f wzdłuż danego  kierunku:

f(x,y,z)=c

∇ f

Linie sił pola

( ) ˆe

kierunek e ˆ dr eds ˆ

f df

f e ˆ s ds

=

∂ ≡ = ∇ ⋅

∂ G

~ds Gradient jest niezmiennikiem

względem obrotów tj

( ) ( )

j

k kj

j

k kj

ˆ ˆ

e R e R

f r f r

′ =

∇ = ′

′ ′

∇ = ∇

G ∇ G

Twierdzenie podstawowe

Jak sprawdzić, czy dane pole sił  może być zachowawcze?

Równość drugich pochodnych  cząstkowych:

( ^E

F E ^p ) ⎛  krzywej zamknietej F ds=0  ⎞

∃ = −∇ ⇔ ∀ ⎜ ⋅ ⎟

⎝ ∫ ⎠

G G G

v

Zbiera się to w zgrabny wzór:

p p

x

2 2

y

E E

E E

F ;  F

x y

F ∂ ∂

∂ ∂

= − = −

∂ ∂

∂ ∂ ( ^p )

F 0

E 0

∇ × =

∇ × −∇ =

G

Przykłady sił zachowawczych

•Stała siła

•Pole sił  centralnych :

( ) ( ) ^ˆ _{r p p} ( )

F r G G = F r e   ;  E G = E r

( )

( )

p r

dE dE r dE r

E r r e ˆ

dr dr r dr

∇ = ∇ = =

G

Prawo zachowania energii mechanicznej

A

B

W polu sił zachowawczych zachodzi:

( ) ( ) ^B _{p p}

k k k

E E B E A W F ds E (A) E ( B)

∆ = − = = ∫ ^G ⋅ ^G = −

Prawo zachowania energii

calkowita k p pól

energia kinetyczna ruchu cząsteczek

E E E

E Q

= + + + +

+