ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE - ZT

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE - ZT

Sformułowanie zagadnienia

Przypuśćmy, że z m punktów odprawy 𝐴₁, 𝐴₂, … , 𝐴_𝑚 ma być wysłany w ilościach 𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑚 jednorodny produkt do n punktów przyjęć 𝐵₁, 𝐵₂, … , 𝐵_𝑛. Punkty odbioru przyjmują produkt w ilościach 𝑏₁, 𝑏₂, … , 𝑏_𝑛. Każdy z dostawców może zaopatrywać dowolnego odbiorcę i odwrotnie każdy odbiorca może otrzymywać towar od dowolnego dostawcy.

Oznaczamy przez 𝑐_𝑖𝑗 koszt transportu z punktu odprawy 𝐴_𝑖 do punktu odbioru 𝐵_𝑗. Przyjmujemy, że wielkości 𝑐_𝑖𝑗 są znane.

W oparciu o te dane należy ustalić taki plan przewozów między punktami odprawy i punktami odbioru, który zapewnia minimalny koszt transportu przewożonych towarów.

Tak sformułowane zagadnienie nazywa się zagadnieniem transportowym.

Zakładamy, że ogólna ilość produktu wysyłanego jest równa ogólnej ilości produktu przyjmowanego, czyli

∑

𝑎

= ∑

𝑏

Zagadnienie transportowe spełniające powyższy warunek nazywamy zagadnieniem transportowym zamkniętym lub zbilansowanym (ZZT)

Analiza zagadnienia dla przypadku 𝑚 = 4 i 𝑛 = 3.

Tabela kosztów przewozu

Punkty Punkty odbioru (j)

odprawy 𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃

(i)

𝐴₁ 𝑐₁₁ 𝑐₁₂ 𝑐₁₃

𝐴₂ 𝑐₂₁ 𝑐₂₂ 𝑐₂₃

𝐴₃ 𝑐₃₁ 𝑐₃₂ 𝑐₃₃

𝐴₄ 𝑐₄₁ 𝑐₄₂ 𝑐₄₃

Macierz utworzoną przez współczynniki 𝑐_𝑖𝑗 nazywamy macierzą kosztów przewozu.

Tabela wielkości przewozów

Punkty Punkty odbioru

odprawy 𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ Podaż

𝐴₁ 𝑥₁₁ 𝑥₁₂ 𝑥₁₃ 𝑎₁

𝐴₂ 𝑥₂₁ 𝑥₂₂ 𝑥₂₃ 𝑎₂

𝐴₃ 𝑥₃₁ 𝑥₃₂ 𝑥₃₃ 𝑎₃

𝐴₄ 𝑥₄₁ 𝑥₄₂ 𝑥₄₃ 𝑎₄

Popyt 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃

Wielkości 𝑥𝑖𝑗, 𝑖 = 1,2,3,4, 𝑗 = 1,2,3 są wielkościami nieznanymi i oznaczają ilości przewożonych produktów z punktu wysyłkowego i do punktu odbioru j.

Macierz utworzoną przez współczynniki 𝑥_𝑖𝑗 nazywamy macierzą przepływów.

W tym przypadku model zagadnienia transportowego ma postać:

Funkcja celu:

∑⁴_𝑖=1 ∑³_𝑗=1𝑐_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑗 = min minimalizacja całkowitego kosztu transportu Warunki dostawców:

∑³_𝑗=1𝑥_𝑖𝑗 = 𝑎_𝑖 𝑖 = 1,2,3,4 każdy dostawca (i) ma dostarczyć odbiorcom cały posiadany towar

Warunki odbiorców:

∑⁴_𝑖=1𝑥_𝑖𝑗 = 𝑏_𝑗 𝑗 = 1,2,3 każdy odbiorca (j) ma dostać tyle towaru od Wszystkich dostawców ile potrzebuje Warunki brzegowe:

𝑥_𝑖𝑗 ≥ 0, 𝑖 = 1,2,3,4, 𝑗 = 1,2,3

Modele zagadnień transportowych są szczególnym przypadkiem modeli liniowych i mogą być rozwiązane za pomocą algorytmów dotyczących tych modeli. Jednak w tym przypadku istnieją bardziej efektywne algorytmy.

Metoda obliczeniowa.

Zagadnienie transportowe rozwiązujemy według następującego planu:

a) Wyznaczamy wstępne rozwiązanie bazowe wybraną metodą . w naszym przypadku będzie to metoda północno-zachodniego kąta.

b) Sprawdzamy, korzystając z metody potencjałów, czy otrzymane rozwiązanie jest optymalne

c) Jeżeli rozwiązanie nie jest optymalne, poprawiamy rozwiązanie i powtarzamy procedurę od punktu b)

Powyższą metodę omówimy na następującym przykładzie:

Zagadnienie transportowe

Cztery punkty odprawy 𝐴₁, 𝐴₂, 𝐴₃, 𝐴₄ wysyłają jednorodny produkt w ilościach 𝑎₁ = 10, 𝑎₂ = 15, 𝑎₃ = 8, 𝑎₄ = 8 jednostek. Cztery punkty odbioru 𝐵₁, 𝐵₂, 𝐵₃, 𝐵₄ przyjmują ten produkt w ilościach 𝑏₁ = 14, 𝑏₂ = 12, 𝑏₃ = 9, 𝑏₄ = 6 jednostek. Koszty transportu przedstawia poniższa tabela:

Punkty Punkty odbioru (j)

odprawy 𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ 𝐵₄

(i)

𝐴₁ 2 11 8 17

𝐴₂ 13 14 2 16

𝐴₃ 15 4 9 1

𝐴₄ 10 0 7 13

I.--Sprawdzamy, czy zagadnienie jest zbilansowane Po uwzględnieniu podaży i popytu tabela przyjmie postać:

Punkty Punkty odbioru

odprawy 𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ 𝐵₄ Podaż

𝐴₁ 2 11 8 17 10

𝐴₂ 13 14 2 16 15

𝐴₃ 15 4 9 1 8

𝐴₄ 10 0 7 13 8

Popyt 14 12 9 6 41

Podaż: ∑⁴_𝑖=1𝑎_𝑖 = 10 + 15 + 8 + 8 = 41 Popyt : ∑⁴_𝑗=1𝑏_𝑖 = 14 + 12 + 9 + 6 = 41

Podaż równa się popytowi, zatem zagadnienie jest zbilansowane.

II. Wyznaczanie rozwiązania bazowego metodą północno-zachodniego kąta

Wyznaczając pierwsze rozwiązanie bazowe metodą północno-zachodniego kąta bierzemy pod uwagę tylko popyt i podaż i na razie nie uwzględniamy kosztów przewozu.

W celu wyznaczenia rozwiązania bazowego posłużymy się prostszą tabelą:

Tabelę wypełniamy wierszami, poczynając od pierwszego wiersza, a elementy w wierszu kolejno, poczynając od pierwszego elementu z lewej strony.

1.

Rozpoczynamy od wartości 𝑥₁₁. Punkt odbioru 𝐵₁ potrzebuje 𝑏₁ = 14 jednostek towaru, a punkt odbioru 𝐴₁ dysponuje 𝑎₁ = 10 jednostkami. Przyjmujemy zatem 𝑥₁₁ = 𝑚𝑖𝑛{𝑎₁, 𝑏₁}

𝑚𝑖𝑛{10,14} = 10

Ponieważ, tym samym wykorzystaliśmy w całości cały zasób punktu odbioru 𝐴₁, więc od tego dostawcy nikt już nic nie może otrzymać, więc przyjmujemy dalej 𝑥₁₂ = 𝑥₁₃= 𝑥₁₄= 0.

Natomiast punkt odbioru 𝐵₁ potrzebuje jeszcze 4 jednostek towaru.

𝑎

= 10 − 10 = 0, 𝑏

= 14 − 10 = 4

bi

a_i 14 12 9 6

10 15 8 8

b_i

ai 14 12 9 6

10 10 15

8 8

Aktualnie mamy:

2.

𝑚𝑖𝑛{15,4} = 4

𝑎

= 15 − 4 = 11, 𝑏

= 4 − 4 = 0

3.

𝑚𝑖𝑛{11,12} = 11

𝑎

= 11 − 11 = 0, 𝑏

= 12 − 11 = 1

bi

ai 4 12 9 6

0 10 0 0 0

15 8 8

b_i

a_i 4 12 9 6

0 10 0 0 0

15 4 8

8

bi

ai 0 12 9 6

0 10 0 0 0

11 4

8 0

8 0

b_i

ai 0 12 9 6

0 10 0 0 0

11 4 11

8 0

8 0

Kontynuujemy powyższe postępowanie i ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie:

W celu wyznaczenia kosztów przewozu dla otrzymanego rozwiązania, w powyższej tabeli pominiemy zera i dopiszemy koszty przewozu do zmiennych niezerowych

Dla powyższego rozwiązania koszty przewozu wynoszą:

𝑍₀ = ∑

4

𝑖=1

∑ 𝑐_𝑖𝑗𝑥_𝑖𝑗

4

𝑗=1

= 2 ∗ 10 + 13 ∗ 4 + 14 ∗ 11 + 4 ∗ 1 + 9 ∗ 7 + 7 ∗ 2 + 13 ∗ 6 = 385 b_i

ai 0 1 9 6

0 10 0 0 0

0 4 11 0 0

8 0

8 0

bi

ai 0 0 0 0

0 10 0 0 0

0 4 11 0 0

0 0 1 7 0

0 0 0 2 6

O

D 𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ 𝐵₄

𝐴₁ ² 10 𝐴₂ ¹³

4

14

11

𝐴₃ ⁴

1

9

7

𝐴₄ ⁷

2

13

6

III. Sprawdzanie optymalności i poprawianie rozwiązania początkowego metodą potencjałów

Aby zbadać czy dopuszczalne rozwiązanie bazowe jest rozwiązaniem minimalnym posługujemy się metoda potencjałów. Metoda ta polega na tym , że znajdujemy liczby 𝑢_𝑖 oraz 𝑣_𝑗, zwane potencjałami, takie że jeżeli liczba 𝑥_𝑖𝑗 jest dodatnia i należy do rozwiązania bazowego , to spełnione jest równanie:

𝑐_𝑖𝑗+ 𝑢_𝑖 + 𝑣_𝑖 = 0, czyli 𝑢_𝑖 + 𝑣_𝑖 = −𝑐_𝑖𝑗

gdzie 𝑐_𝑖𝑗 jest współczynnikiem kosztów odpowiadających zmiennej 𝑥_𝑖𝑗.

Po wyznaczeniu potencjałów spełniających powyższe równanie wyznaczamy wartość sumy 𝑢_𝑖 + 𝑣_𝑗 = 𝑐_𝑖𝑗^′ dla pozostałych zmiennych, które nie wchodzą w skład rozwiązania bazowego.

Jeżeli dla wszystkich par (i, j) 𝑐_𝑖𝑗+ 𝑐_𝑖𝑗^′ ≥ 0,

to rozwiązanie jest rozwiązaniem minimalnym.

Jeżeli powyższy warunek nie jest spełniony dla pewnych par (i, j), to nowe rozwiązanie bazowe dające mniejszą wartość funkcji kosztów możemy otrzymać wprowadzając do bazy zmienną odpowiadającą polu o numerach (i, j), dla którego suma 𝑐_𝑖𝑗 + 𝑐_𝑖𝑗^′ jest ujemna. Jeżeli istnieje więcej niż jedna taka zmienna, to wybieramy tę, dla której suma 𝑐_𝑖𝑗 + 𝑐_𝑖𝑗^′ jest

najmniejsza (największa co do bezwzględnej wartości)

Kontynuujemy poprzedni przykład:

Tabela kosztów przewozu

𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ 𝐵₄

𝐴₁ 2 11 8 17

𝐴₂ 13 14 2 16

𝐴₃ 15 4 9 1

𝐴₄ 10 0 7 13

Pierwsze rozwiązanie bazowe 𝑋₀:

𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ 𝐵₄

𝐴₁ 10

𝐴₂ 4 11

𝐴₃ 1 7

𝐴₄ 2 6

Koszty transportu 𝑍_𝑜= 385

I ETAP

Aby sprawdzić, czy rozwiązanie jest optymalne wyznaczamy potencjały 𝑢_𝑖 oraz 𝑣_𝑗, spełniające warunek

𝑢_𝑖 + 𝑣_𝑖 = −𝑐_𝑖𝑗

dla wartości 𝑥_𝑖𝑗 należących do rozwiązania bazowego.

W komórkach tabeli dla tych zmiennych umieszczamy wartości −𝑐_𝑖𝑗. Przyjmujemy, że 𝑢₁ = 0.

𝑣_𝑗

𝑢_𝑖 -2 -3 -8 -14

0 -2

-11 -13 -14

-1 -4 -9

1 -7 -13

► 𝑢₁+ 𝑣₁ = −2, 𝑢₁ = 0, 0 + 𝑣₁ = −2, 𝑣₁ = −2,

► 𝑢₂ + 𝑣₁ = −13, 𝑢₂ − 2 = −13, 𝑢₂ = −11

► 𝑢₂ + 𝑣₂ = −14, − 11 + 𝑣₂ = −14, 𝑣₂ = −3

► 𝑢₃ + 𝑣₂ = −4, 𝑢₃− 3 = −4, 𝑢₃ = −1,

► 𝑢₃ + 𝑣₃ = −9, − 1 + 𝑣₃ = −9, 𝑣₃ = −8,

► 𝑢₄ + 𝑣₃ = −7, 𝑢₄− 8 = −7, 𝑢₄ = 1,

► 𝑢₄ + 𝑣₄ = −13, 1 + 𝑣₄ = −13, 𝑣₄ = −14,

Na podstawie obliczonych potencjałów, wyznaczamy sumę 𝑐_𝑖𝑗^′ = 𝑢_𝑖 + 𝑣_𝑗 dla pozostałych zmiennych, które nie wchodzą w skład rozwiązania bazowego

𝑣_𝑗

𝑢_𝑖 -2 -3 -8 -14

0 -2 -3 -8 -14

-11 -13 -14 -19 -25

-1 -3 -4 -9 -15

1 -1 -2 -7 -13

Następnie wyznaczamy wartości 𝑐_𝑖𝑗 + 𝑐_𝑖𝑗^′

𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ 𝐵₄

𝐴₁ 0 8 0 3

𝐴₂ 0 0 -17 -9

𝐴₃ 12 0 0 -14

𝐴₄ 9 -2 0 0

W tabeli znajdują się wartości 𝑐_𝑖𝑗 + 𝑐_𝑖𝑗^′ ≤ 0, zatem rozwiązanie to nie jest optymalne.

𝑚𝑖𝑛{𝑐_𝑖𝑗+ 𝑐_𝑖𝑗^′} = −17 dla (i, j) = (2,3).

do bazy wprowadzamy zmienną

𝑥

Wprowadzając jakąś wartość w komórce (2,3) musimy jednocześnie odjąć tę samą wartość w wierszu 2 i kolumnie 3 od wartości należących do poprzedniego rozwiązania. Postępowanie to kontynuujemy do momentu , w którym suma elementów w wierszach i kolumnach będzie taka sama jak na początku.

𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ 𝐵₄

𝐴₁ 10

𝐴₂ 4 11 Θ₁

𝐴₃ 1 7

𝐴₄ 2 6

𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ 𝐵₄

𝐴₁ 10

𝐴₂

4 11-Θ₁ Θ₁

𝐴₃ 1+Θ₁ 7-Θ₁

𝐴₄

2 6

Wartość Θ₁ i wszystkie wartości w rozwiązaniu muszą być dodatnie. Zatem największą wartość jaką możemy przyjąć za Θ₁ jest 7.

Nowe rozwiązanie 𝑋₁: zmienna 𝑥₃₃ została usunięta z rozwiązania:

Koszt transportu dla tego poprawionego rozwiązania 𝑋₁ wynosi:

𝑍₁ = 𝑍₀+ 𝑚𝑖𝑛{𝑐_𝑖𝑗 + 𝑐_𝑖𝑗^′ } ∗ Θ₁ = 385 − 17 ∗ 7 = 266

𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ 𝐵₄

𝐴₁ 10

𝐴₂ 4 4 7

𝐴₃ 8

𝐴₄ 2 6

II ETAP

Badamy czy rozwiązanie 𝑿_𝟏 jest optymalne.

Potencjały i wartości 𝑐_𝑖𝑗^′ = 𝑢_𝑖 + 𝑣_𝑗

𝑣_𝑗 -2 -3 9 3 𝑢_𝑖

0 -2 -3 9 3

-11 -13 -14 -2 -8

-1 -3 -4 8 2

-16 -18 -19 -7 -13

Następnie wyznaczamy wartości 𝑐_𝑖𝑗 + 𝑐_𝑖𝑗^′

𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ 𝐵₄

𝐴₁ 0 8 17 20

𝐴₂ 0 0 0 8

𝐴₃ 12 0 17 3

𝐴₄ -8 -19 0 0

W tabeli znajdują się wartości 𝑐_𝑖𝑗 + 𝑐_𝑖𝑗^′ ≤ 0, zatem rozwiązanie to nie jest optymalne.

𝑚𝑖𝑛{𝑐_𝑖𝑗+ 𝑐_𝑖𝑗^′} = −19 dla (i, j) = (4,2).

do bazy wprowadzamy zmienną

𝑥

𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ 𝐵₄

𝐴₁ 10

𝐴₂ 4 4-Θ₂ 7+Θ₂

𝐴₃ 8

𝐴₄ Θ₂ 2-Θ₂ 6

Przyjmujemy Θ₂ = 2 Nowe rozwiązanie 𝑋₂:

Koszt transportu dla tego poprawionego rozwiązania 𝑋₂ wynosi:

𝑍₂ = 𝑍₁+ 𝑚𝑖𝑛{𝑐_𝑖𝑗 + 𝑐_𝑖𝑗^′ } ∗ Θ₁ = 266 −19*2 = 228

𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ 𝐵₄

𝐴₁ 10

𝐴₂ 4 2 9

𝐴₃ 8

𝐴₄ 2 6

III ETAP

Dalej badamy w powyższy sposób, czy rozwiązanie 𝑿_𝟐 jest optymalne.

Potencjały i wartości 𝑐_𝑖𝑗^′ = 𝑢_𝑖 + 𝑣_𝑗

𝑣_𝑗 -2 -3 9 -16 𝑢_𝑖

0 -2 -3 9 -16

-11 -13 -14 -2 -27

-1 -3 -4 8 -17

3 1 0 12 -13

Następnie wyznaczamy wartości 𝑐_𝑖𝑗 + 𝑐_𝑖𝑗^′

𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ 𝐵₄

𝐴₁ 0 8 17 1

𝐴₂ 0 0 0 -11

𝐴₃ 12 0 17 -16

𝐴₄ 11 0 19 0

W tabeli znajdują się wartości 𝑐_𝑖𝑗 + 𝑐_𝑖𝑗^′ ≤ 0, zatem rozwiązanie to nie jest optymalne.

𝑚𝑖𝑛{𝑐_𝑖𝑗+ 𝑐_𝑖𝑗^′} = −16 dla (i, j) = (2,3).

do bazy wprowadzamy zmienną

𝑥

Przyjmujemy Θ₃ = 6

𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ 𝐵₄

𝐴₁ 10

𝐴₂ 4 2 9

𝐴₃ 8-Θ₃ Θ₃

𝐴₄ 2₊Θ₃ 6-Θ₃

Nowe rozwiązanie 𝑋₃:

Koszt transportu dla tego poprawionego rozwiązania 𝑋₃ wynosi:

𝑍₃ = 𝑍₂+ 𝑚𝑖𝑛{𝑐_𝑖𝑗+ 𝑐_𝑖𝑗^′} ∗ Θ₁ = 228 −16*6 = 132

𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ 𝐵₄

𝐴₁ 10

𝐴₂ 4 2 9

𝐴₃ 2 6

𝐴₄ 8

IV ETAP

Badamy, czy rozwiązanie 𝑿_𝟑 jest optymalne.

Potencjały i wartości 𝑐_𝑖𝑗^′ = 𝑢_𝑖 + 𝑣_𝑗

𝑣_𝑗

𝑢_𝑖 -2 -3 9 0

0 -2 -3 9 0

-11 -13 -14 -2 -11

-1 -3 -4 8 -1

3 1 0 12 3

Następnie wyznaczamy wartości 𝑐_𝑖𝑗 + 𝑐_𝑖𝑗^′

𝐵₁ 𝐵₂ 𝐵₃ 𝐵₄

𝐴₁ 0 8 17 17

𝐴₂ 0 0 0 5

𝐴₃ 12 0 17 0

𝐴₄ 11 0 19 16

Wszystkie wartości 𝑐_𝑖𝑗+ 𝑐_𝑖𝑗^′ ≥ 0, zatem rozwiązanie 𝑿_𝟑 jest optymalne.

Odpowiedź.

Najmniejsze koszty przewozu równe 132 uzyskamy, jeżeli - dostawca 𝐴₁ dostarczy 10 jednostek towaru odbiorcy 𝐵₁

- dostawca 𝐴₂ dostarczy 4 jednostki towaru odbiorcy 𝐵₁, 2 jednostki towaru odbiorcy 𝐵₂, i 9 jednostek towaru odbiorcy 𝐵₃,

- dostawca 𝐴₃ dostarczy 2 jednostki towaru odbiorcy 𝐵₂ i 6 jednostek towaru odbiorcy 𝐵₄, - dostawca 𝐴₃ dostarczy 8 jednostek towaru odbiorcy 𝐵₂