najmniejsze n takie, że dla każdego grafu G o n wierzchołkach H1 ⊆ G lub H2 ⊆ G

WYBRANE ZAGADNIENIA TEORII GRAFÓW wykład 12

Liczby Ramseya.

Najmniejsze n, dla którego twierdzenie Ramseya zachodzi dla danych k, c, r nazywamy liczbą Ramseya i oznaczamy R(k, c, r).

Uwaga: Liczba grafowa R(r, r) to przy powyższej notacji R(2, 2, r).

Liczby Ramseya dla grafów

R(H₁, H₂) = najmniejsze n takie, że dla każdego grafu G o n wierzchołkach H₁ ⊆ G lub H₂ ⊆ G.

Szczególne przypadki:

1. H₁ = K_s, H₂ = K_t, to R(H₁, H₂) oznaczamy przez R(s, t).

2. H = H₁ = H₂, to R(H, H) oznaczamy przez R(H).

3. H = H1 = H2 = Kh, to R(Kh) oznaczamy przez R(h) (lub R(h, h)).

Uwaga: Oryginalne twierdzenie Ramseya mówi, że R(h) istnieje dla dowolnego h oraz, że R(h) ¬ 2^2h−3. Co wiadomo ?

Tw. Ramseya (1929)

Jeśli s ­ 2 oraz t ­ 2, to R(s, t) ¬^s+t−2_s−1 ^ oraz

R(s, t) ¬ R(s − 1, t) + R(s, t − 1).

Idea dowodu części 1 przy założeniu prawdziwości części 2 : Twierdzenie zachodzi dla s=2 bo R(2, t) =^2+t−2₂₋₁ ^=^₁^t= t

Twierdzenie zachodzi dla t=2 bo R(s, 2) =^s+2−2_s−1 ^=^_s−1^{s }= s.

R(s, t) ¬ R(s − 1, t) + R(s, t − 1) ¬ s + t − 3 s − 2

!

+ s + t − 3 s − 1

!

= s + t − 2 s − 1

!

Tw. Niech s, t będą liczbami naturalnym oraz T będzie drzewem o t wierzchołkach. Wtedy R(T, K_s) = (s − 1)(t − 1) + 1.

Dowód:

Rozłączna suma s − 1 kopii grafu Kt−1 nie zawiera kopii T , a dopełnienie tego grafu, czyli pełny s − 1- dzielny graf Kt − 1, t − 1, . . . , t − 1

| {z }

s−1 razy

= K(s−1)×(t−1), nie zawiera podgrafu pełnego K_s (bo największa

klika ma s − 1 wierzchołków).

Zatem istnieje graf G taki, że |G| = (s − 1)(t − 1) oraz G nie zawiera kopii T a G nie zawiera kopii K_s, czyli

R(T, K_s) > (s − 1)(t − 1).

Niech teraz G będzie dowolnym grafem o (s − 1)(t − 1) + 1 wierzchołkach, którego dopełnienie nie zawiera kopii K_s. Wtedy s > 1 oraz przy pokolorowaniu dobrym wierzchołków grafu G co najwyżej s − 1 wierzchołków ma ten sam kolor. Innymi słowy największy zbiór niezależny w G ma co najwyżej

s − 1 wierzchołów. Zatem

χ(G) ­ d n

s − 1e = t.

Z nierówności Szekeresa-Wilfa (1968):

χ(G) ¬ max

H podgraf induk. w Gδ(H) + 1, czyli istnieje podgraf indukowany H zawarty w G taki, że δ(H) ­ t − 1.

Skoro δ(H) ­ t − 1, to H zawiera drzewo T na mocy poniższego Lematu. Zatem również G zawiera drzewo T .

Lemat Jeśli T jest drzewem o t wierzchołkach a G grafem takim, że δ(G) ­ t − 1, to G zawiera podgraf izomorficzny z T .

Dowód Lematu:

Indukcja po t.

Dla t = 1 oczywiste o ile G niepusty.

Niech t > 1 i załóżmy, że Lemat prawdziwy dla t − 1.

Usuńmy z drzewa T jeden liść i otrzymany graf oznaczmy przez T⁰. Wtedy |T⁰| = t − 1. Zatem δ(G) ­ t − 1 > |T⁰| − 1 , czyli G zawiera T⁰ na mocy założenia indukcyjnego.

Możemy dodać usunięty liść do T⁰ bo każdy wierzchołek w G ma stopień większy lub równy t − 1 = |T⁰|, a ∆(T⁰) ¬ |T⁰| − 1.

Zadanie, które zrobiliśmy na zajęciach:

Udowodnij, że dla każdego c naturalnego zachodzi: 2^c < R(2, c, 3) ¬ 3c!.