Zadanie 1 (2p.). Wykaż, że istnieje funkcja f taka, że dla dowolnego grafu przedziałowego G algorytm kolorujący First-Fit używa co najwyżej f (ω(G)) kolorów na G.

Dyskretna Matematyka dyskretna: Zestaw 11 Semestr letni 2020/2021

Kraków 12 maja 2021

Kolorowanie grafów 2

ω(G) — liczba klikowa grafu G χ(G) — liczba chromatyczna grafu G col(G) — liczba kolorująca grafu G

Zadanie 1 (2p.). Wykaż, że istnieje funkcja f taka, że dla dowolnego grafu przedziałowego G algorytm kolorujący First-Fit używa co najwyżej f (ω(G)) kolorów na G.

Jak bardzo potrafisz ograniczyć aysmptotykę f ? Spróbuj wskazać f (ω) wielomianowe względem ω. (Istnieje dość prosty argument dla f (ω) = O(ω

).)

Zadanie 2 (1p.). Wykaż, że dla każdego k istnieje częściowy porządek P

o szerokości 2 oraz kolejność φ jego elementów, że algorytm first-fit dzielący porządek P

na łańcuchy wzdłuż φ wykorzysta co najmniej k kolorów.

Zadanie 3 (1p.). Wykaż, że dla każdego n istnieje drzewo T

oraz permutacja π wierz- chołków T

taka, że algorytm First-Fit kolorujący wierchołki T

w kolejności π użyje n kolorów.

Zadanie 4 (1p.). Wykaż, że dla każdego drzewa T istnieje stała c

taka, że first-fit wykorzystuje co najwyżej c

kolorów na lasach nie zawierających T jako poddrzewa in- dukowanego.

Zadanie 5 (2p.). Wykaż, że graf G ma orientację krawędzi taką, że każdy wierzchołek ma co najwyżej d krawędzi wychodzących wtedy i tylko wtedy, gdy

max

|E(H)|

|V (H)| ¬ d.

Zadanie 6 (2p.). Dla n > 1, k ­ 2 uogólniony shift graf G

to graf o wierzchołkach V (G

) =

. Dwie k-tki {x

< · · · < x

}, {y

< · · · < y

} są połączone krawędzią w G

jeśli x

= y

, . . . , x

= y

lub y

= x

, . . . , y

= x

. Wykaż, że dla dowolnego ustalonego k, rodzina grafów {G

}

ma nieograniczoną liczbę chromatyczną.

Zadanie 7 (2p.).

(i) Jakiej długości jest najmniejszy cykl w uogólnionym shift grafie G

?

(ii) Jakiej długości jest najmniejszy cykl nieparzysty w uogólnionym shift grafie G

? Zadanie 8 (1p.). Niech D będzie grafem skierowanym. Kolorowanie łukowe D to do- wolne kolorowanie krawędzi D takie, że (a, b) i (b, c) mają różne kolory dla dowolnych (a, b), (b, c) ∈ E(D). Łukowa liczba chromatyczna D, oznaczana A(D) to najmniejsza liczba kolorów jaką można pokolorować łukowo D. Wykaż, że

A(D) ­ log χ(D).

Zadanie 9 (2p.). Wykaż, że jeśli graf G ma n wierzchołków oraz col(G) = d to algorytm First-Fit kolorujący wierzchołki grafu G (wzdłuż dowolnej permutacji wierzchołków G) użyje co najwyżej

ck log n kolorów (c jest stałą, coś koło 4).

Strona 1/1