Temat: Proporcjonalność odwrotna.
Pamiętacie lekcję z proporcjonalności prostej? Mówiliśmy, że dwie wielkości są wprost
proporcjonalne, jeśli zmieniają się w tym samym stosunku – obie tyle samo razy rosną lub maleją.
Np.: x- liczba placków, y- liczba jajek do jego przygotowania.
Na jeden placek potrzebujemy 4 jajka, a na 3 trzy placki? 12 jajek. (placków będzie 3 razy więcej, to i jajek będzie 3 razy więcej. Zadania tego typu rozwiązywaliśmy na proporcje.
A teraz coś innego.
(od tego momentu wpisujecie wszystko do zeszytu; tekst pochylony to komentarz, nie musicie go wpisywać)
-dwójka dzieci koloruje duża stronę kolorowanki. Jeśli dzieci byłoby więcej, to mniej czasu zajęłoby im kolorowanie
- ekipa 8 robotników buduje dom. Gdyby zwiększono ilość pracujących osób w ekipie, to mniej czasu byłoby potrzeba na wybudowanie tego domu
W powyższych przykładach jedna z danych rośnie, a druga – odwrotnie- czyli maleje. Wielkości te są odwrotnie proporcjonalne.
Dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, jeżeli wraz ze wzrostem jednej z nich pewną ilość razy, druga maleje tyle samo razy.
Iloczyn odpowiadających sobie wartości dwóch wielkości odwrotnie proporcjonalnych jest stały.
Definicja:
Proporcjonalnością odwrotną nazywamy zależność między dwiema zmiennymi x, y określoną wzorem x ∙ y =a , gdzie a jest liczbą różną od zera.
O zmiennych x, y mówimy, że są odwrotnie proporcjonalne. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.
Jak rozwiązywać zadania w których mamy zmienne odwrotnie proporcjonalne? Pokażemy dwa sposoby – decydujecie sami która z metod bardziej przypadnie Wam do gustu.
Przykład 1.
Piętnastu robotników buduje dom w ciągu 14 dni. Ilu potrzeba robotników, aby pracując z taką samą wydajnością , dom wybudowano w ciągu 6 dni?
Wiemy, że zadanie opisuje wielkości odwrotnie proporcjonalne – jeśli mniej czasu mamy na budowę, to więcej robotników nam potrzeba
Sposób I : Robimy tabelę
ilość robotników (x) 15 x
czas budowy (y) 14 6
Korzystamy z definicji proporcjonalności odwrotnej. Iloczyn w kolumnach ma być stały.
15∙14=x∙6 210=6x 6x=210 /:6
x=35 tylu robotników nam potrzeba
Sposób II :
Tworzymy zapis (identyczny robiliśmy przy zadaniach z wielkościami wprost proporcjonalnymi)
Strzałki rysujemy od mniejszej do większej liczby (z lewej strony jest strzałka w dół, bo potrzeba więcej niż 15 robotników żeby dom wybudować szybciej). Po co te strzałki? Po pierwsze – dzięki nim widać, że w zadaniu mamy wielkości odwrotnie proporcjonalne – bo strzałki są odwrotnie. (strzałki w tę samą stronę oznaczałyby że wielkości omawiane w zadaniu są wprost proporcjonalne). Zgodnie z kierunkiem strzałek robimy dwa ułamki:
15 x = 6
14 mnożymy na skos 6∙x = 15∙14
6x=210 /:6 x=35.
Odp.: Na wybudowanie domu w ciągu sześciu dni potrzeba 15 robotników.
Zadanie 1/280 (techn. ) Podręcznik Zadanie 1/252 (LO)
a)
12 x =0,3
0,5 0,3∙x=12∙0,5 0,3x=6 /:0,3
x=20 - tyle słoików potrzeba b)
x 12= 0,5
0,75 0,75x=12∙0,5 0,75x=6 /:0,75
x=8 - tyle potrzeba słoików
Proporcjonalnością odwrotną nazywamy zależność między dwiema zmiennymi x, y określoną wzorem x ∙ y =a , gdzie a jest różne od zera. Jak wygląda wykres proporcjonalności odwrotnej?
Przykład 2
Wyznaczmy wszystkie pary liczb rzeczywistych (x,y), których iloczyn jest równy -3.
Zapiszemy:
x∙y= -3 jeśli chcemy narysować wykres to zawsze wyprowadzamy niewiadomą y y= −3
x mamy wzór pewnej funkcji. Tworzymy do niej tabelę (podajemy dowolne „x” ) do tabeli za „x” nie możemy podstawić zera, bo „x” mamy w mianowniku funkcji danej wzorem y=
−3
x , a mianownik nie może być zerem, bo nie możemy dzielić przez zero
x -3 -1 −1
2
1 2
1 3
y= −3 x
1 3 6 -6 -3 -1
Z rysunku widać, że jest nieskończenie wiele par (x, y) spełniających równanie x∙y= -3 . Możemy je opisać następująco: (x, −3
x ), gdzie xϵR-{0}
Jeśli a≠0, to wykresem funkcji y= a
x , gdzie xϵR-{0}, jest hiperbola. Składa się ona z dwóch części, z których każda nazywa się gałęzią hiperboli.
Otwórzcie podręcznik na stronie 278 –Technikum , 250 – Liceum. Pod informacją z beżowym tłem są dwa wykresy. Zobaczcie jakie wzory mają funkcje przy wykresach. Różnią się one tym, że w jednym jest liczba 1 a w drugim liczba -1. A czym różnią się wykresy tych funkcji? Gałęzie hiperboli są położone w innych ćwiartkach układu współrzędnych.
Przepiszcie tabelkę z następnej strony. Pod lewą kolumną narysujcie wykres taki jak lewy wykres któremu się przyglądaliśmy z poprzedniej strony, a pod prawą stroną tabelki – wykres prawy, któremu się przyglądaliśmy. Wykresy macie przerysować tylko zachowując jego kształt i to w których
ćwiartkach układu współrzędnych one są.
Praca domowa:
Technikum Liceum 6.40a (zbiór ) 6.36a (zbiór) 6.42 a, b 6.38 a, b
zad 3,4,5/280 podręcznik zad 3,4,5/253podręcznik
***Uwaga! W zadaniu 5 z podręcznika czas zamieńcie albo na minuty lub na godziny. Np.: 1 godz 20 min zapiszcie jako 80min albo jako 120
60 godziny (po skróceniu 11
3 ) – na minuty będzie łatwiej.
