Temat: Wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną.
Przypomnijmy
(ćwiczenie 1 lub ćwiczenie 2 jest do przepisania wraz z komentarzem jak powstał wykres |f(x)| ):
Ćwiczenie 1.
Dany jest wykres funkcji f(x).
Na jego podstawie naszkicuj wykres funkcji |f(x)|.
Rozwiązanie:
Jak powstał wykres |f(x)| ??? Mając wykres funkcji f(x) (rysunek czarny), jego część położoną poniżej osi x, odbijamy do góry.
Ćwiczenie 2.
Dany jest wykres funkcji f(x).
Rozwiązanie:
Zad. 2.281/94
Naszkicuj wykres funkcji a) f(x)=|x2+2x-8|
b) f(x)= |x2-3x| do domu c) f(x)= |4-x2|
Rozwiązanie:
a) We wzorze funkcji f(x)=|x2+2x-8| funkcję, która jest wewnątrz symbolu wartości bezwzględnej oznaczmy jako g(x). Czyli:
g(x)= x2+2x-8, a f(x) możemy zapisać jako f(x)= |g(x)|.
Zajmujemy się najpierw funkcją umieszczoną w wartości bezwzględnej, czyli funkcją g(x)= x2+2x-8 i jej wykres narysujemy jako pierwszy. Funkcja g(x) to funkcja
kwadratowa. Żeby narysować jej wykres musimy mieć:
- współrzędne wierzchołka paraboli - miejsca zerowe
- punkt przecięcia z osią OY
Wtedy wykres jest dokładny (a jeśli w poleceniu mamy narysować wykres, to musi on być dokładny)
Liczymy współrzędne wierzchołka W=(p,q) paraboli będącej wykresem funkcji g(x)= x2+2x-8.
Wypiszemy współczynniki: a=1, b=2, c= -8
∆=b
2−4 ∙ a ∙ c=2
2− 4 ∙ 1∙ (−8)=4+32=36 p= −b
2 a = −2 2 ∙1 = −2
2 =−1 q= −∆
4 a = −36 4 ∙1 = −36
4 =−9
Zatem W(-1, -9)Liczymy miejsca zerowe funkcji g(x). Są dwa miejsca zerowe, ponieważ
∆
>0.x
1= − b− √ ∆
2a = − 2− √ 36
2∙ 1 = −2−6 2 = −8
2 =−4 x
2= − b+ √ ∆
2 a = −2+ √ 36
2 ∙1 = −2+6 2 = 4
2 =2
Liczymy współrzędne punktu przecięcia się wykresu z osią OY. (każdy punkt przecięcia się wykresu funkcji z osią OY ma współrzędne (0,y) –czyli za „x”
podkładamy do wzory funkcji zero ) g(x)= x2+2x-8
g(0)= 02+2∙0-8=0+0-8= -8
Punkt przecięcia się wykresu funkcji g(x) z osią OY ma współrzędne (0, -8)
Rysujemy wykres funkcji g(x), a następnie – żeby narysować wykres funkcji f(x) odbijamy dolną część wykresu g(x) do góry:
b) f(x)= |4-x2| Rozwiązanie:
g(x)= 4-x2 , porządkując mamy g(x)= -x2+4 a= -1, b= 0, c= 4
∆=b
2−4 ∙ a ∙ c=0
2−4 ∙ (−1) ∙ 4=0+16=16 p= −b
2 a = −0 2 ∙(−1) = 0
−2 =0 q= −∆
4 a = −16
4 ∙ (−1) = −16
−4 = 4
Zatem W(0, 4)Liczymy miejsca zerowe funkcji g(x). Są dwa miejsca zerowe, ponieważ ∆ >0.
x1=−b−
√
∆2a =−0−
√
162 ∙(−1) =0−4
−2 =0−4
−2 =−4
−2=2
x
2= − b+ √ ∆
2 a = −0− √ 16
2∙(−1) = 0+4
−2 = 4
−2 =−2
Liczymy współrzędne punktu przecięcia się wykresu z osią OY. (każdy punkt przecięcia się wykresu funkcji z osią OY ma współrzędne (0,y) –czyli za „x”
podkładamy do wzory funkcji zero ) g(x)= -x2+4
g(0)= -02+4= -0+4=0+4=4
Punkt przecięcia się wykresu funkcji g(x) z osią OY ma współrzędne (0, 4) Rysujemy wykres funkcji g(x), a następnie – żeby narysować wykres funkcji f(x) odbijamy dolną część wykresu g(x) do góry:
