Postać standardowa problemu PL
1. Wytwórca mebli chce określić , ile stołów, krzeseł, biurek lub szaf bibliotecznych powinien produkować, aby optymalnie wykorzystać dostępne środki. Do produkcji wykorzystuje się dwa typy desek. Wytwórca posiada 1500 m pierwszego typu desek i 1000 m drugiego. Dysponuje kapitałem 860 godzin roboczych na wykonanie całej pracy. Przewidywane zapotrzebowanie plus potwierdzone zamówienia wymagają wykonania co najmniej 40 stołów, 130 krzeseł, 30 biurek i nie więcej niż 10 szaf bibliotecznych. Każdy stół, krzesło, biurko i szafa wymaga odpowiednio 5, 1, 9 i 12 m desek pierwszego typu i 2, 3, 4 i 1 m desek drugiego typu. Na wykonanie stołu potrzebne są 3 godziny pracy, krzesła 2 godziny, biurka 5 godzin i szafy 10 godzin. Przy sprzedaży jednego stołu, krzesła, biurka i szafy wytwórca osiąga zysk odpowiednio 120, 50, 150 i 100 euro. Sformułować zagadnienie PL – maksymalizacji zysku i sprowadzić je do postaci standardowej.
2.
Piekarz na początku dnia posiada pewien zapas mąki, tłuszczu, jaj, cukru, mleka i drożdży. Wypieka on chleb, placek, chałki angielskie i herbatniki. Chce określić, ile każdego produktu powinien wypiec, aby zmaksymalizować zysk. Receptury dane są w tablicy (pomijamy sól i wodę).
Chleb Placek Chałki Herbatniki Dostępne
zapasy
Mąka 12 dag 3 dag 9/2 dag 3/2 dag b1 dag
Tłuszcz 2 łyżki 12 łyżek 3 łyżki 4 łyżki b2 łyżek
Jaja 0 3 1 1 b3
Cukier ¼ dag 3/2 dag 1/8 dag 1 dag b4 dag
Mleko 2 dag ¾ dag 1/8 dag 1 dag b dag5
Drożdże 1 kostka 0 1 kostka 0 b kostek6
Zysk c1 c2 c3 c4
Sformułować zagadnienie PL – maksymalizacji zysku i sprowadzić je do postaci standardowej.
3. Problem diety: Mama chce, aby jej dzieci otrzymywały pewne ilości czynników odżywczych w porannych płatkach. Dzieci mogą mieszankę płatków Krunchies lub Crispies. Ich śniadanie powinno zawierać co najmniej 1 mg witaminy B1, 5 mg witaminy PP i 400 cal. 20 g płatków Krunchies zawiera 0,10 mg witaminy B1, 1 mg witaminy PP i 110 kalorii, a 20 g Crispies zawiera 0,25 mg witaminy B1, 0,25mg witaminy PP i 120 cal. 20g Krunchies kosztuje 0,38 zł a 20g Crispies – 0,42 zł. Sformułować zagadnienie PL –minimalizacji kosztów i sprowadzić je do postaci standardowej.
4. Zakład produkuje dwa wyroby A i B. Dane dotyczące zużycia surowców, ich zasobów oraz zysków jednostkowych zawarto w tabeli. Ułożyć zadanie programowania liniowego, opisujące plan produkcji, gwarantujący maksymalny zysk, gdy wiemy, że można wytworzyć maksymalnie 4000 ton wyrobu A lub 2000 ton wyrobu B.
Środki produkcji A B zasoby [w tonach]
Stal [kg/tonę wyrobu] 2 4 12
Tworzywo sztuczne [kg/tonę wyrobu] 5 2 8 Zysk jednostkowy [zł/kg wyrobu] 2 4 -
5. Zawodowy kulturysta stosuje jako suplementację diety dwa rodzaje odżywek: Olimp 60 i Olimp 80. 1 kg odżywki Olimp 60 kosztuje 40 zł, a Olimp 80 - 55 zł. Wiadomo, że dziennie kulturysta nie powinien zjeść więcej niż 200 g odżywek. Ułożyć zadanie programowania liniowego minimalizujące koszt dziennej diety, którą kulturysta spożywa w postaci odżywek, jeżeli wiadomo, że powinien on z odżywek pozyskać dziennie przynajmniej 50 g białka i 20 g węglowodanów. Zawartość białka i węglowodanów, w gramach na 100 gram odżywki, podaje tabela.
Białko Węglowodany Olimp 60 60 30
Olimp 80 80 10
6.
Pewien bank rozważa możliwość lokalizacji bankomatów w mieście tak, aby ułatwić dostęp do nich swoim klientom. Proponowane lokalizacje oraz odpowiednie dzielnice, które każdy bankomat będzie obsługiwał podaje tabelka.
Proponowana lokalizacja Dzielnice
A 1,5,7
B 1,2,5
C 1,3,5,6
D 2,4
E 1,3,4
F 4,5,6
G 5,6,7
Sformułuj zadanie, które może zostać wykorzystane do znalezienia najmniejszej liczby bankomatów pokrywających swoim zasięgiem wszystkie dzielnice miasta.
7. Na jeden produkt składają się dwa detale typu A i 5 detali typu B. Oba rodzaje wycinane są z takich samych arkuszy blachy, przy czym jest 5 różnych sposobów cięcia (wykrojów?), które różnią się ilością elementów obu typów, jakie z jednego arkusza się otrzyma. Oto tabelka:
Sposób cięcia
Detal I II III IV V
A 4 3 2 1 0
B 0 1 3 4 5
Mamy zamiar zrealizować zamówienie na 90 kompletów minimalizując sumę arkuszy. Proszę sformułować zagadnienie PL.
8. Zakład otrzymał zamówienia na wykonanie 100 kompletów składających się z 3 detali. Detale są wycinane z blachy. Stosowana technika cięcia pozwala na uzyskanie n różnych sposobów rozkroju arkusza blachy. Wiadomo, że stosując j-ty sposób rozkroju (j=1,2,...,n) uzyskuje się z jednego arkusza Sij sztuk i-tego detalu (i=1,2,3) oraz odpad bj (j=1,2,...,n) kg. Sformułuj problem, którego rozwiązanie pozwala na wybór sposobów rozkroju dla 5 arkuszy tak, aby łączna ilość odpadów była jak najmniejsza.
9. Pewna poczta jest czynna w godzinach 8.00-20.00. Utrzymanie sprawnej organizacji pracy wymaga zatrudnienia w godzinach 8.00-10.00 co najmniej 2 osób, w godzinach 10.00-16.00 co najmniej 6 osób oraz w godzinach 16.00-20.00 co najmniej 2 osób. Ile co najmniej osób należy zatrudnić i w jakim układzie , jeżeli czas pracy jednego zatrudnionego wynosi 8 godzin, a pracę można zaczynać o 8.00, 10.00 lub 12.00? Proszę sformułować zagadnienie PL dotyczące tego problemu.
10. Tartak posiada 9 belek o długości 2,1 m. Klient zamówił 3 elementy o długości 0,8 m, 4 elementy o długości 0,9 m oraz 5 elementów o długości 1,1 m. Sposób polegający na wycięciu 2 elementów o długości 0,9 może być zastosowany co najwyżej dwa razy.
a) Tartak minimalizuje wielkość powstałego w procesie cięcia odpadu. Proszę sformułować zagadnienie PL rozstrzygające o wyborze sposobów cięcia belek.
b) Koszt zakupu jednej belki wynosi 200 zł, a cena sprzedaży elementów: 0,8m – 110 zł, 0,9 m – 120 zł, 1,1 m – 150 zł. Proszę sformułować zagadnienie PL rozstrzygające o wyborze sposobów cięcia belek, jeżeli tartak maksymalizuje zysk.
( Zakładamy, ze możliwa będzie sprzedaż powyżej zamówienia. )
11. Zakład produkujący gwoździe otrzymuje drut o wymaganej grubości w 30- centymetrowych kawałkach. Kawałki te cięte są na krótsze, odpowiadające długościom gwoździa, czyli 11, 8 i 5 cm.
Należy tak pociąć otrzymywane kawałki drutu, aby wyprodukować 12 000 gwoździ o długości 11 cm, 24 000 gwoździ o długości 8 cm i 27 000 gwoździ o długości 5 cm, minimalizując odpad. Proszę sformułować zagadnienie PL.
12. Zakład produkuje dwa rodzaje soków: jabłkowy i wieloowocowy. Do wytworzenia jednego litra soku potrzeba odpowiednio:
Rodzaj soku Jabłko (kg) Pomarańcz (kg) Truskawka (kg) cukier (kg) Cena (kg)
Jabłkowy 0,5 - - 0,25 3 zł
Wieloowocowy 0,2 0,2 0,1 0,2 4 zł
Cena (kg) 2 zł 4 zł 4 zł 2 zł
W ciągu tygodnia zakład może zmówić maksymalnie 150 kg jabłek, 100 kg pomarańczy, 40 kg truskawek oraz 110 kg cukru.
a) Ile litrów soku jabłkowego, a ile wieloowocowego powinien produkować zakład by maksymalizować zysk? Proszę sformułować zagadnienie PL i rozwiązać je metoda graficzną.
b) Który z warunków ograniczających jest nie istotny?
c) Czy rozwiązanie zadania zmieni się, gdy cena sprzedaży soku wieloowocowego wzrośnie do 5,75?
13. W pewnym zakładzie (elektrownia, gazownia lub pogotowie ratunkowe) z powodów technologicznych konieczna jest stała obecność pracowników. Ze względu na zmienne natężenie realizowanego procesu liczba niezbędnych pracowników ulega zmianie. Można ją określić dla czterogodzinnych przedziałów czasu w czasie całej doby: godziny 0-4 – co najmniej 4 osoby, godziny 4-8 – co najmniej 18 osób, 8-12 – co najmniej 7, 12-16 – co najmniej 15, 16-20 – co najmniej 18, w przedziale 20-24 – co najmniej 6 osób. Pracownicy przychodzą do pracy tylko o określonych godzinach (0, 4, 8, 12, 16 lub 20), a po przyjściu pozostają w pracy przez całą zmianę, która trwa równe 8 godzin.
Należy zbudować zadanie PL w celu uzyskania odpowiedzi na pytanie: jaka jest minimalna liczba pracowników niezbędnych do obsługi procesu produkcyjnego w ciągu doby?
