Analiza II, ISIM Lista zada« nr 5
wersja 2.0
1. Przeanalizuj twierdzenie o caªkowaniu przez podstawienie dla caªek nieoznaczonych i u»ycie ró»niczek. Przypomnijmy, »e przy odpowiednich zaªo»eniach∫
f (ϕ(x))ϕ′(x)dx = F (ϕ(x)),
gdzie F jest funkcj¡ pierwotn¡ f. Powy»sze równanie mo»na zapisa¢ nieco inaczaj. Przyjmuj¡c u = ϕ(x)
(1)
∫
f (ϕ(x))ϕ′(x)dx=
∫
f (u)du= F (u) = F (ϕ(x)).
Dla uproszczenia zapisu u»ywa si¦ ró»niczek. Mianowicie ró»niczkuj¡c równanie u = ϕ(x) otrzy- mujemy (porównaj z (1))
du = ϕ′(x)dx.
W celu obliczenia caªki∫
g(ϕ(x))dxpiszemy (co nale»y zaªo»y¢ o ϕ?)
∫
g(ϕ(x))dx =
∫
g(ϕ(x)) ϕ′(x) ϕ′(ϕ−1(ϕ(x)))dx i przyjmuj¡c f(u) = ϕ′(ϕg(u)−1(u)) otrzymujemy
(2)
∫
g(ϕ(x))dx=
∫
f (ϕ(x))ϕ′(x)dx =
∫
f (u)du =
∫
g(u) du ϕ′(ϕ−1(u)).
U»ycie ró»niczek upraszcza powy»szy zapis. Niech u = ϕ(x), wtedy x = ϕ−1(u) i ró»niczkuj¡c obie strony
dx = du
ϕ′(ϕ−1(u)). 2. Poka», »e je»eli F (x) =∫
f (x)dx, to
∫
f (ax + b)dx = 1
aF (ax + b).
3. Oblicz caªki ∫
e√3xdx,
∫ 1
x(log x)(log log x)dx,
∫ sin√
xdx.
4. Znajd¹ dowolny zbiór zada« z caªkami nieoznaczonymi (np. wpisuj¡c w google 'caªka nie- oznaczona pdf') i zapoznaj si¦ z przedstawionymi tam przykªadami.
5. Znajd¹ funkcj¦ F speªniaj¡c¡ podane warunki:
(a) F′(x) = x|x + 1| i F (−5) = 2;
(b) F′′(x) = x2− x + sin x i F (0) = 2, F (π) = 3;
(c) F′′′(x) = e2x− 2x i F (3) = 0, F′(log 2) = 3, F′′(0) = 0; (d) F′′′(x) = sin x, F′′(0) = F′(0) = F (0) = 0.
6. Znajd¹ wszystkie funkcje F (x) speªniaj¡ce podany warunek (a) F′(x) = x1 dla x ̸= 0;
(b) F′(x) = x(x1−1) dla x ̸= 0, 1;
(c) F′(x) = log(x(x− 1)) dla x /∈ [0, 1];
(d) F′′(x) = 1x dla x ̸= 0.
7. Oblicz caªki nieoznaczone stosuj¡c caªkowanie przez podstawienie
∫ sin x cos2xdx,
∫ x√
x− 1dx,
∫ x2√
x + 3dx,
∫ ( 1− 1
x2 )(
x + 1 x
)−3 dx,
∫ √3
x (√3
x + 1)5dx,
∫ arcsin√
√ x
1− x dx,
∫ 1
ex+ 1dx,
∫ x
√81− x4dx.
8. Oblicz caªki nieoznaczone stosuj¡c caªkowanie przez cz¦±ci
∫
x2log xdx,
∫
(log x)2dx,
∫
x2e4xdx,
∫ t2tdt,
∫
u sinh udu,
∫
arctgxdx,
∫
sin(log x)dx
∫
xnlog xdx, 9. Znajd¹ wzory rekurencyjne dla caªek
∫
xne−xdx,
∫ dx
(x2+ x + 1)n 10. Oblicz caªki z funkcji wymiernych
∫ x2 x2− 1dx,
∫ x2+ 4 x(x− 1)2dx,
∫ 4x
(x + 1)(x + 2)(x + 3)dx,
∫ u3 (u + 1)2du,
∫ x3 (x + 1)3,
∫ 1
(1− x2)2dx,
∫ 1
x4+ 1dx,
∫ x2− 1 x3+ 3x− 4dx,
∫ 1
(x− 1)(x2+ 1)2dx,
∫ x3
(x− 1)100dx,
∫ x2n xn+ 1dx,
∫ x4+ 1 x6+ 1dx
11. Niech f1(x) b¦dzie funkcj¡ caªkowaln¡ w sensie Riemanna na przedziale [0, a]. Ci¡g funk- cyjny {fn(x)} jest zadany indukcyjnie wzorem fn+1(x) = ∫x
0 fn(t)dt, n = 1, 2, ... Poka», »e funkcja ϕ(x) =∑∞
n=1fn(x) jest dobrze okre±lona i ci¡gªa na [0, a] z wyj¡tkiem punktów nieci¡- gªo±ci funkcji f1(x). Znajd¹ prosty wzór caªkowy dla funkcji ϕ(x).
12. Oblicz caªki z funkcji trygonometrycznych
∫
sin2x cos3xdx,
∫
sin2x cos4xdx,
∫
sin 2x cos 3xdx,
∫
tg2xdx,
∫ 1
1 + sin xdx,
∫ dx sin3x,
∫ dx
cos x + √22,
∫
sin 5x cos xdx.
13. Oblicz caªki z funkcji niewymiernych
∫ √
x− x2dx,
∫ x2
√9x2− 1dx,
∫ 1
x√
x2+ 4dx, ∫ √
z2− 4dz
∫ √ 2x− 8
1− x − x2dx, ∫ √
x2+ 6x + 5dx,
∫ 1
(w2+ 2w + 5)32dw
∫ dx
1 +√ x,
∫ dx
x +√
x2+ x + 1,
∫ x√
x2− 2x + 2dx
14∗.Funkcja f(x) jest caªkowalna na przedziale [0, 2π]. Poka», »e
nlim→∞
∫ 2π
0
f (x) sin nxdx = lim
n→∞
∫ 2π
0
f (x) cos nxdx = 0
nlim→∞
∫ 2π
0
f (x)| sin nx|dx = lim
n→∞
∫ 2π
0
f (x)| cos nx|dx = 2 π
∫ 2π
0
f (x)dx.
Wskazówka: Rozbij caªk¦ na 2n cz¦±ci punktami postaci πkn.
15∗.Poka», »e ∫ √2π
0
sin x2dx > 0.
16∗.Poka», »e ∫ 1
0
4x2e2x2 ≥ (e − 1)2. 17∗. Funkcja ci¡gªa f(x) speªnia ∫b
axnf (x)dx = 0, dla n ≤ N. Poka», »e f(x) zeruje si¦ przy- najmniej N + 1 razy w przedziale (a, b).
18∗. Zapoznaj si¦ z charakteryzacj¡ caªkowalno±ci w sensie Riemanna (np. skrypt prof. Strze- leckiego, str. 241)
