Rozwa˙zmy ci¸ ag funkcyjny {ϕ n (x)} ≡ 1, cos πx

Szeregi Fouriera

Rozwa˙zmy ci¸ ag funkcyjny {ϕ _n (x)} ≡ 1, cos πx

d , sin πx

d , cos 2πx

d , sin 2πx

d , . . . , cos nπx

d , sin nπx

d , . . . (1) gdzie d ∈ R ⁺ .

Mamy tutaj

ϕ ₀ (x) = 1 ϕ _2n−1 (x) = cos nπx

d , n = 1, 2, . . . ϕ _2n (x) = sin nπx

d , n = 1, 2, . . . Zauwa˙zmy, ˙ze

Z d

−d

1 · cos nπx

d dx = 0, n = 1, 2, . . . Z d

−d

1 · sin nπx

d dx = 0, n = 1, 2, . . . a ponadto dla m 6= n mamy

Z d

−d

cos mπx

d · cos nπx

d dx = 0, m, n = 1, 2, . . . Z d

−d

sin mπx

d · sin nπx

d dx = 0, m, n = 1, 2, . . . Z d

−d

sin mπx

d · cos nπx

d dx = 0, m, n = 1, 2, . . . co oznacza, ˙ze ci¸ ag (1) jest ortogonalny w przedziale [−d; d].

Nast¸epnie, mo˙zna obliczy´ c

kϕ ₀ k ² = Z d

−d

1 dx = 2d,

kϕ _2n−1 k ² = Z d

−d

cos ² nπx

d dx = d, n = 1, 2, . . . , kϕ _2n k ² =

Z d

−d

sin ² nπx

d dx = d, n = 1, 2, . . . ,

co oznacza, ˙ze ci¸ ag (1) jest zupe lny w klasie funkcji ca lkowalnych w przedziale [−d; d].

Niech f b¸edzie funkcj¸ a ca lkowaln¸ a w przedziale [−d; d]. Szereg a ₀

2 +

∞

X

n=1



a _n cos nπx

d + b _n sin nπx d



gdzie

a ₀ = 1 d

Z d

−d

f (x) dx, oraz dla n = 1, 2, . . .

a _n = 1 d

Z d

−d

f (x) cos nπx d dx, b _n = 1

d Z d

−d

f (x) sin nπx d dx,

nazywamy szeregiem trygonometrycznym Fouriera funkcji f w przedziale [−d; d] i piszemy

f (x) ∼ a ₀ 2 +

∞

X

n=1



a _n cos nπx

d + b _n sin nπx d



(2)

Definicja 1. M´ owimy, ˙ze funkcja f spe lnia w przedziale [−d; d] warunki Dirichleta, je˙zeli 1. f jest przedzia lami monotoniczna w przedziale [−d; d],

2. f jest ci¸ ag la w przedziale (−d; d), z wyj¸ atkiem co najwy˙zej sko´ nczonej liczby punkt´ ow x _k ∈ (−d; d), k = 1, 2, . . . , N , N ∈ N, przy czym w ka˙zdym z tych punkt´ow spe lniony jest warunek

f (x _k ) = 1

2 · [f (x _k −) + f (x _k +)] , k = 1, 2, . . . , N gdzie

f (x _k −) = lim

x→x

f (x), f (x _k +) = lim

x→x

f (x),

3. w ko´ ncach przedzia lu [−d; d] spe lnione s¸ a r´ owno´sci f (−d) = 1

2 · [f (−d+) + f (d−)] , f (d) = 1

2 · [f (−d+) + f (d−)] .

Twierdzenie 1. Je˙zeli funkcja f spe lnia w przedziale [−d; d] warunki Dirichleta, to jest w tym przedziale rozwijalna w szereg trygonometryczny Fouriera

f (x) = a ₀ 2 +

∞

X

n=1



a _n cos nπx

d + b _n sin nπx d



(3)

dla ka˙zdego x ∈ [−d; d]. Je˙zeli ponadto funkcja f jest okresowa i ma okres 2d, to wz´ or (3) jest prawdziwy w ca lej dziedzinie funkcji f .

Uwaga. Je˙zeli funkcja f , spe lniaj¸ aca w przedziale [−d; d] warunki Dirichleta, jest parzysta, to b n = 0 dla n ∈ N oraz

a ₀ = 2 d

Z d 0

f (x) dx,

a _n = 2 d

Z d 0

f (x) cos nπx

d dx, n ∈ N.

Je˙zeli natomiast funkcja f , spe lniaj¸ aca w przedziale [−d; d] warunki Dirichleta, jest nieparzysta, to a ₀ = 0, a _n = 0 dla n ∈ N oraz

b _n = 2 d

Z d 0

f (x) sin nπx

d dx, n ∈ N.

Przyk lad 1. Rozwin¸ a´ c w szereg trygonometryczny Fouriera funkcj¸e

f (x) =



 

 



 

 



0 dla x = −d,

−1 dla − d < x < 0,

0 dla x = 0,

1 dla 0 < x < d,

0 dla x = d.

Funkcja f spe lnia warunki Dirichleta w przedziale [−d; d], jest wi¸ec rozwijalna w szereg Fouriera.

Poniewa˙z jest to funkcja nieparzysta, zatem a n = 0 dla n = 0, 1, 2, . . .. Obliczymy wsp´ o lczynniki b n , n = 1, 2, . . .

b _n = 2 d

Z d 0

sin nπx

d dx = 2

nπ [1 − cos nπ] = 2

nπ [1 − (−1) ⁿ ] St¸ ad

b n =







0 dla n parzystych

4

nπ dla n nieparzystych Mamy wi¸ec

f (x) = 4 π

∞

X

n=1

1

2n − 1 sin (2n − 1)πx

d = 4

π sin πx d + 4

3π sin 3πx d + 4

5π sin 5πx d + . . . dla ka˙zdego x ∈ [−d; d].

Przyk lad 2. Rozwin¸ a´ c w szereg trygonometryczny Fouriera funkcj¸e f (x) = |x| w przedziale [−π; π].

Funkcja f spe lnia warunki Dirichleta w przedziale [−π; π], jest wi¸ec rozwijalna w szereg Fouriera.

Poniewa˙z jest to funkcja parzysta, zatem b _n = 0 dla n = 1, 2, . . .. Obliczymy wsp´ o lczynniki a _n , n = 0, 1, 2, . . .

a ₀ = 2 π

Z π 0

x dx = 2 π · π ²

2 = π, a _n = 2

π Z π

0

x cos nx dx = 2

n ² π · [cos nπ − 1] = 2

n ² π · [(−1) ⁿ − 1].

St¸ ad

a _n =







0 dla n parzystych

−4

n

π dla n nieparzystych Mamy wi¸ec

f (x) = π 2 − 4

π

∞

X

n=1

1

(2n − 1) ² cos(2n − 1)x = π 2 − 4

π cos x − 4

9π cos 3x − 4

25π cos 5x − . . .

dla ka˙zdego x ∈ [−π; π].

Rozwa˙zmy funkcj¸e f , kt´ ora jest okre´slona i spe lnia pierwsze dwa warunki Dirichleta w przedziale (0; d). Funkcj¸e t¸e mo˙zna przedstawi´ c w przedziale (0; d) jako sum¸e szeregu Fouriera sk ladaj¸ acego si¸e z samych sinus´ ow albo z samych cosinus´ ow. W tym celu nalezy rozpatrzy´ c funkcj¸e pomocnicz¸ a ˜ f , okre´slon¸ a w przedziale [−d; d] i stanowi¸ ac¸ a stosownie dobrane przed lu˙zenie funkcji f .

Aby otrzyma´ c rozwini¸ecie funkcji f w szereg sinus´ ow, nale˙zy przed lu˙zy´ c t¸e funkcj¸e w spos´ ob nieparzysty:

f (x) = ˜



 

 



 

 



0 dla x = −d,

−f (−x) dla − d < x < 0,

0 dla x = 0,

f (x) dla 0 < x < d,

0 dla x = d.

Aby otrzyma´ c rozwini¸ecie funkcji f w szereg cosinus´ ow, nale˙zy przed lu˙zy´ c t¸e funkcj¸e w spos´ ob parzysty:

f (x) = ˜



 

 



 

 



f (d−) dla x = −d, f (−x) dla − d < x < 0, f (0+) dla x = 0,

f (x) dla 0 < x < d, f (d−) dla x = d.

Przyk lad 3. Rozwin¸ a´ c w szereg trygonometryczny samych cosinus´ ow funkcj¸e f (x) = x w przedziale (0; π).

Funkcj¸e f przed lu˙zamy w spos´ ob parzysty

f (x) = ˜



 

 



 

 



π dla x = −π,

−x dla − π < x < 0,

0 dla x = 0,

x dla 0 < x < π,

π dla x = π.

Latwo zauwa˙zy´ c, ˙ze ˜ f (x) = |x| dla x ∈ [−π; π]. Korzystaj¸ ac wi¸ec z przyk ladu poprzedniego mo˙zemy napisa´ c

f (x) = ˜ π 2 − 4

π

∞

X

n=1

1

(2n − 1) ² cos(2n − 1)x = π 2 − 4

π cos x − 4

9π cos 3x − 4

25π cos 5x − . . . dla ka˙zdego x ∈ [−π; π], czyli

f (x) = π 2 − 4

π

∞

X

n=1

1

(2n − 1) ² cos(2n − 1)x = π 2 − 4

π cos x − 4

9π cos 3x − 4

25π cos 5x − . . . dla ka˙zdego x ∈ (0; π).

Przyk lad 3. Rozwin¸ a´ c w szereg trygonometryczny samych sinus´ ow funkcj¸e f (x) = x w przedziale (0; π).

Funkcj¸e f przed lu˙zamy w spos´ ob parzysty

f (x) = ˜



 

 



 

 



0 dla x = −π,

x dla − π < x < 0, 0 dla x = 0,

x dla 0 < x < π,

0 dla x = π.

Obliczamy wsp´ o lczynniki b _n , n = 1, 2, . . . b _n = 2

π Z π

0

x sin nx dx = 2

n · (−1) ⁿ⁻¹ . Zatem

f (x) = ˜

∞

X

n=1

2 · (−1) ⁿ⁻¹

n sin nx = 2 sin x − sin 2x + 2

3 sin 3x − . . . dla ka˙zdego x ∈ [−π; π], czyli

f (x) =

∞

X

n=1

2 · (−1) ⁿ⁻¹

n sin nx = 2 sin x − sin 2x + 2

3 sin 3x − . . .

dla ka˙zdego x ∈ (0; π).