Wektor ~u = 3 −1 ! to instrukcja: idź o trzy w prawo (zwiększ współrzędną x o 3) i idź o jeden w dół (zmniejsz współrzędną y o 1)

Wektory

Musimy umieć:

mając dwa punkty A i B, wyznaczyć wektory−→

AB i−→

BA,

mając dany punkt A i wektor ~v , wyznaczyć punkt B taki, że−→

AB = ~v lub−→

BA = ~v ,

mając dane wektory ~u i ~v z parametrem, wyznaczyć parametr tak, by podane wektory były równe, przeciwne, równoległe,

obliczyć długość danego wektora.

Wektory

O wektorach najprościej myśleć jak o instrukcji (poleceniu).

Wektor ~v = 1 2

!

to instrukcja: idź o jeden w prawo (zwiększ współrzędną x o 1) i idź o dwa do góry (zwiększ współrzędną y o 2).

Wektor ~u = 3

−1

!

to instrukcja: idź o trzy w prawo (zwiększ współrzędną x o 3) i idź o jeden w dół (zmniejsz współrzędną y o 1).

Wektory

O wektorach najprościej myśleć jak o instrukcji (poleceniu).

Wektor ~v = 1 2

!

to instrukcja: idź o jeden w prawo (zwiększ współrzędną x o 1) i idź o dwa do góry (zwiększ współrzędną y o 2).

Wektor ~u = 3

−1

!

to instrukcja: idź o trzy w prawo (zwiększ współrzędną x o 3) i idź o jeden w dół (zmniejsz współrzędną y o 1).

Wektory

O wektorach najprościej myśleć jak o instrukcji (poleceniu).

Wektor ~v = 1 2

!

to instrukcja: idź o jeden w prawo (zwiększ współrzędną x o 1) i idź o dwa do góry (zwiększ współrzędną y o 2).

Wektor ~u = 3

−1

!

to instrukcja: idź o trzy w prawo (zwiększ współrzędną x o 3) i idź o jeden w dół (zmniejsz współrzędną y o 1).

Wektory

Ten sposób myślenia od razu sugeruje, że wektor taki, jak ~v = 1 2

! nie ma jednego określonego miejsca w układzie współrzędnych.

Jeśli przyłożymy ten wektor do środka układu współrzędnych, to będzie on wskazywał punkt (1, 2), ale jeśli przyłożymy go do punktu (3, 5), to wskaże punkt (4, 7).

Wektory

Ten sposób myślenia od razu sugeruje, że wektor taki, jak ~v = 1 2

! nie ma jednego określonego miejsca w układzie współrzędnych.

Jeśli przyłożymy ten wektor do środka układu współrzędnych, to będzie on wskazywał punkt (1, 2), ale jeśli przyłożymy go do punktu (3, 5), to wskaże punkt (4, 7).

Wektory

Mając dane dwa punkty możemy zapytać, jaki wektor prowadzi z jednego z nich do drugiego. Dla punktów A i B, wektor −→

AB to będzie wektor prowadzący z punktu A do punktu B. Natomiast wektor −→

BA to wektor prowadzący z punktu B do punktu A.

Dla danych punktów A(x_A, y_A) oraz B(x_B, y_B), mamy następujące wektory:

−→AB = x_B − x_A yB − y_A

!

−→BA = x_A− x_B yA− y_B

!

Wektory

Mając dane dwa punkty możemy zapytać, jaki wektor prowadzi z jednego z nich do drugiego. Dla punktów A i B, wektor −→

AB to będzie wektor prowadzący z punktu A do punktu B. Natomiast wektor −→

BA to wektor prowadzący z punktu B do punktu A.

Dla danych punktów A(x_A, y_A) oraz B(x_B, y_B), mamy następujące wektory:

−→AB = x_B − x_A yB − y_A

!

−→BA = x_A− x_B yA− y_B

!

Przykład 1

Dane są punkty A(3, 1) oraz B(−1, 2). Znajdź wektory−→

AB oraz −→

BA

−→AB = −1 − 3 2 − 1

!

= −4 1

!

Zinterpretujmy ten wynik: by dojść z punktu A do punktu B musimy iść o 4 jednostki w lewo (zmniejszyć współrzędną x o 4) oraz o 1 jednostkę do góry (zwiększyć współrzędną y o 1).

−→BA = 3 − (−1) 1 − 2

!

= 4

−1

!

By dojść z punktu B do punktu A musimy iść o 4 jednostki w prawo (zwiększyć współrzędną x o 4) oraz o 1 jednostkę w dół (zmniejszyć współrzędną y o 1).

Przykład 1

Dane są punkty A(3, 1) oraz B(−1, 2). Znajdź wektory−→

AB oraz −→

BA

−→AB = −1 − 3 2 − 1

!

= −4 1

!

Zinterpretujmy ten wynik: by dojść z punktu A do punktu B musimy iść o 4 jednostki w lewo (zmniejszyć współrzędną x o 4) oraz o 1 jednostkę do góry (zwiększyć współrzędną y o 1).

−→BA = 3 − (−1) 1 − 2

!

= 4

−1

!

By dojść z punktu B do punktu A musimy iść o 4 jednostki w prawo (zwiększyć współrzędną x o 4) oraz o 1 jednostkę w dół (zmniejszyć współrzędną y o 1).

Przykład 1

Dane są punkty A(3, 1) oraz B(−1, 2). Znajdź wektory−→

AB oraz −→

BA

−→AB = −1 − 3 2 − 1

!

= −4 1

!

Zinterpretujmy ten wynik: by dojść z punktu A do punktu B musimy iść o 4 jednostki w lewo (zmniejszyć współrzędną x o 4) oraz o 1 jednostkę do góry (zwiększyć współrzędną y o 1).

−→BA = 3 − (−1) 1 − 2

!

= 4

−1

!

By dojść z punktu B do punktu A musimy iść o 4 jednostki w prawo (zwiększyć współrzędną x o 4) oraz o 1 jednostkę w dół (zmniejszyć współrzędną y o 1).

Przykład 2

Dany jest punkt A(2, 3) oraz wektor ~v = 3

−1

!

. Znajdź punkt B taki, że

−→AB = ~v .

Możemy ułożyć równania. Niech B(x_B, y_B), wtedy:

x_B − 2 = 3 y_B − 3 = −1

Otrzymujemy x_B = 5 oraz y_B = 2, czyli B(5, 2).

Przykład 2

Dany jest punkt A(2, 3) oraz wektor ~v = 3

−1

!

. Znajdź punkt B taki, że

−→AB = ~v .

Możemy ułożyć równania. Niech B(x_B, y_B), wtedy:

x_B − 2 = 3 y_B − 3 = −1

Otrzymujemy x_B = 5 oraz y_B = 2, czyli B(5, 2).

Przykład 2

Dany jest punkt A(2, 3) oraz wektor ~v = 3

−1

!

. Znajdź punkt B taki, że

−→AB = ~v .

Możemy ułożyć równania. Niech B(x_B, y_B), wtedy:

x_B − 2 = 3 y_B − 3 = −1

Otrzymujemy x_B = 5 oraz y_B = 2, czyli B(5, 2).

Przykład 2

Dany jest punkt A(2, 3) oraz wektor ~v = 3

−1

!

. Znajdź punkt B taki, że

−→AB = ~v .

Prostsza interpretacja jest następująca: skoro −→

AB = ~v , to znaczy, że wektor ~v ma nas prowadzić z punktu A do punktu B. Startując z A(2, 3) mamy zwiększyć współrzędną x o 3 i zmniejszyć współrzędną y o 1. Otrzymujemy B(5, 2).

Przykład 2

Dany jest punkt A(2, 3) oraz wektor ~v = 3

−1

!

. Znajdź punkt B taki, że

−→AB = ~v .

Prostsza interpretacja jest następująca: skoro −→

AB = ~v , to znaczy, że wektor ~v ma nas prowadzić z punktu A do punktu B. Startując z A(2, 3) mamy zwiększyć współrzędną x o 3 i zmniejszyć współrzędną y o 1.

Otrzymujemy B(5, 2).

Przykład 3

Dany jest punkt B(1, 5) oraz wektor ~v = 1

−2

!

. Znajdź punkt A taki, że

−→AB = ~v .

Możemy ułożyć równania. Niech A(xA, yA), wtedy:

1 − xA = 1 5 − yA = −2

Otrzymujemy xA = 0 oraz yA = 7, czyli A(0, 7). Zastanów się nad prostszą interpretacją tego zadania.

Przykład 3

Dany jest punkt B(1, 5) oraz wektor ~v = 1

−2

!

. Znajdź punkt A taki, że

−→AB = ~v .

Możemy ułożyć równania. Niech A(xA, yA), wtedy:

1 − x_A = 1 5 − yA = −2

Otrzymujemy xA = 0 oraz yA = 7, czyli A(0, 7). Zastanów się nad prostszą interpretacją tego zadania.

Przykład 3

Dany jest punkt B(1, 5) oraz wektor ~v = 1

−2

!

. Znajdź punkt A taki, że

−→AB = ~v .

Możemy ułożyć równania. Niech A(xA, yA), wtedy:

1 − x_A = 1 5 − yA = −2

Otrzymujemy xA = 0 oraz yA = 7, czyli A(0, 7).

Zastanów się nad prostszą interpretacją tego zadania.

Przykład 3

Dany jest punkt B(1, 5) oraz wektor ~v = 1

−2

!

. Znajdź punkt A taki, że

−→AB = ~v .

Możemy ułożyć równania. Niech A(xA, yA), wtedy:

1 − x_A = 1 5 − yA = −2

Otrzymujemy xA = 0 oraz yA = 7, czyli A(0, 7).

Zastanów się nad prostszą interpretacją tego zadania.

Wektory

Dwa wektory ~v = vx

v_y

!

oraz ~u = ux

u_y

! są:

równe, gdy vx = ux oraz vy = uy,

przeciwne, gdy vx = −ux oraz vy = −uy,

równoległe, gdy istnieje liczba rzeczywista p taka, że vx = p × ux oraz vy = p × uy.

Wektory

Dwa wektory ~v = vx

v_y

!

oraz ~u = ux

u_y

! są:

równe, gdy vx = ux oraz vy = uy,

przeciwne, gdy vx = −ux oraz vy = −uy,

równoległe, gdy istnieje liczba rzeczywista p taka, że vx = p × ux oraz vy = p × uy.

Wektory

Dwa wektory ~v = vx

v_y

!

oraz ~u = ux

u_y

! są:

równe, gdy vx = ux oraz vy = uy,

przeciwne, gdy vx = −ux oraz vy = −uy,

równoległe, gdy istnieje liczba rzeczywista p taka, że vx = p × ux oraz vy = p × uy.

Wektory

Dwa wektory ~v = vx

v_y

!

oraz ~u = ux

u_y

! są:

równe, gdy vx = ux oraz vy = uy,

przeciwne, gdy vx = −ux oraz vy = −uy,

równoległe, gdy istnieje liczba rzeczywista p taka, że vx = p × ux oraz vy = p × uy.

Przykład 4

Znajdź wartości parametrów m i n, dla których wektory ~v = 2m − 3 3m

!

oraz ~u = n n − 5

!

są przeciwne.

Rozwiązujemy układ równań

2m − 3 = −n 3m = −(n − 5)

Otrzymujemy m = 2 oraz n = −1.

Przykład 4

Znajdź wartości parametrów m i n, dla których wektory ~v = 2m − 3 3m

!

oraz ~u = n n − 5

!

są przeciwne.

Rozwiązujemy układ równań

2m − 3 = −n 3m = −(n − 5)

Otrzymujemy m = 2 oraz n = −1.

Przykład 4

Znajdź wartości parametrów m i n, dla których wektory ~v = 2m − 3 3m

!

oraz ~u = n n − 5

!

są przeciwne.

Rozwiązujemy układ równań

2m − 3 = −n 3m = −(n − 5)

Otrzymujemy m = 2 oraz n = −1.

Przykład 5

Znajdź wartości parametru k, dla którego wektory ~v = 2 k

! oraz

~

u = −4 1

!

są równoległe.

Rozwiązujemy układ równań

2 = p × (−4) k = p × 1

Otrzymujemy k = −¹₂.

Przykład 5

Znajdź wartości parametru k, dla którego wektory ~v = 2 k

! oraz

~

u = −4 1

!

są równoległe.

Rozwiązujemy układ równań

2 = p × (−4) k = p × 1

Otrzymujemy k = −¹₂.

Przykład 5

Znajdź wartości parametru k, dla którego wektory ~v = 2 k

! oraz

~

u = −4 1

!

są równoległe.

Rozwiązujemy układ równań

2 = p × (−4) k = p × 1

Otrzymujemy k = −¹₂.

Długość wektora

Długość danego wektora ~v oznaczamy |~v | i obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

|~v | =^qv_x²+ v_y²

Długość wektora

Długość danego wektora ~v oznaczamy |~v | i obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

|~v | =^qv_x²+ v_y²

Przykład 6

Oblicz długość wektora ~v = 2

−1

!

|~v | =^q2²+ (−1)²=√ 5

Przykład 6

Oblicz długość wektora ~v = 2

−1

!

|~v | = q

2²+ (−1)²=

√ 5

Przykład 7

Oblicz odległość punktu A(1, −3) od punktu B(2, 1).

Znajdujemy wektor

−→AB = 1 4

!

i obliczamy jego długość

|−→

AB| =^p1²+ 4² =√ 17 Oczywiście zamiast wektora−→

AB mogliśmy znaleźć wektor−→

BA i obliczyć jego długośc - wynik byłby ten sam.

Przykład 7

Oblicz odległość punktu A(1, −3) od punktu B(2, 1). Znajdujemy wektor

−→AB = 1 4

!

i obliczamy jego długość

|−→

AB| =^p1²+ 4² =√ 17

Oczywiście zamiast wektora−→

AB mogliśmy znaleźć wektor−→

BA i obliczyć jego długośc - wynik byłby ten sam.

Przykład 7

Oblicz odległość punktu A(1, −3) od punktu B(2, 1). Znajdujemy wektor

−→AB = 1 4

!

i obliczamy jego długość

|−→

AB| =^p1²+ 4² =√ 17 Oczywiście zamiast wektora−→

AB mogliśmy znaleźć wektor−→

BA i obliczyć jego długośc - wynik byłby ten sam.

Na wejściówce będzie zadanie podobne do powyższych.

W razie jakichkolwiek pytań, proszę pisać na T.J.Lechowski@gmail.com.