W przestrzeni wektorowej M(3, 1, R) (przestrze« wektorowa 1-kolumnowych macierzy o 3 wierszach nad ciaªem liczb rzeczywistych) dany jest wektor x

Zadania z algebry (zestaw 9)

1. Prosz¦ wykaza¢, »e w ka»dej przestrzeni wektorowej V prawdziwe s¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci (zadanie z wykªadu):

(a) dla ka»dego x ∈ V : (−1)x = −x

(b) dla ka»dego α ∈ K i ka»dego x ∈ V : αx = ~0 ⇐⇒ α = 0 lub x = ~0

2. W przestrzeni wektorowej M(3, 1, R) (przestrze« wektorowa 1-kolumnowych macierzy o 3 wierszach nad ciaªem liczb rzeczywistych) dany jest wektor

x =



 1

−1 4



 oraz trzy wektory e1 =



 1 1 0



, e₂ =



 0 1 1



, e₃ =



 1 0 1





Prosz¦ sprawdzi¢, ze wektory e1, e₂, e₃ tworz¡ baz¦ przestrzeni M(3, 1, R), a nast¦pnie rozªo-

»y¢ wektor x w tej bazie.

3. W rzeczywistej przestrzeni trójwymiarowej V dana jest baza (e1, e2, e3). Okre±lamy trzy wektory:

e⁰₁ = e₁+ 2e₂− 3e₃, e⁰₂ = 2e₁− e₂+ 4e₃, e⁰₃ = e₁− e₂+ 2e₃.

Prosz¦ sprawdzi¢, »e wektory e⁰1, e⁰₂, e⁰₃s¡ liniowo niezale»ne, a wi¦c tworz¡ inn¡ baz¦ (e⁰1, e⁰₂, e⁰₃) przestrzeni V . Prosz¦ wypisa¢ macierz β przej±cia pomi¦dzy bazami zdenowan¡ wg. prze- pisu:

e⁰_i = X

1≤k≤3

ekβ^k_i.

Nast¦pnie prosz¦ przedstawi¢ e1, e₂, e₃ jako kombinacje linowe wektorów bazy (e⁰1, e⁰₂, e⁰₃). Wskazówka: wyliczy¢ β⁻¹ i wykorzysta¢

ei = X

1≤k≤3

e⁰_k β⁻¹
k i.

Dany jest wektor x = 10e1+ 5e₂ − 15e₃. Prosz¦ znale¹¢ wspóªrz¦dne tego wektora w bazie (e⁰₁, e⁰₂, e⁰₃).

A. Rostworowski