wiedzenia możemy przyjąć tylko jako przenośnię. Rozumiane dosłownie, nie są one prawdziwe. Matematyka to nie je s t język. Chociaż wystę­

Heinrich Bauersfeld

Bielefeld, R. F. N.

Wacław Zawadowski

Warszawa

Metafory i metonimie w nauczaniu matematyki *

Często się mówi, że matematyka to je s t pewien język. Takie po­

wiedzenia możemy przyjąć tylko jako przenośnię. Rozumiane dosłownie, nie są one prawdziwe. Matematyka to nie je s t język. Chociaż wystę­

pują pewne podobieństwa do języków naturalnych, to jednak występują również głębokie różn ice. 0 obiekty matematyczne nie można sobie na­

bić guza, obiekty matematyczne są czystymi tworami umysłu. Trudno to komuś opisać, kto tego nie doświadczył, a gdy doświadczył, to i opisywać nie trzeba. Najstarszy opis t e j sprawy znajdujemy już u Platona (tłum. Witwicki, 1958, s tr . 355), i chyba nie ma potrzeby zmieniać tego opisu. Jes^; on tak świeży i żywy, że można by go użyć i dziś w podręcznikach szkolnych matematyki. To, o czym mówimy w ma­

tematyce, można widzieć tylk o w m yśli. To, o czym mówi się w języku naturalnym, nie podlega takim ograniczeniom.

Matematyka żywa nie je s t identyczna z żadnym systemem formal­

nym, mimo że takie systemy są dla matematyki bardzo ważne i często pełnią dla matematyki r o lę nośnika. Nie możemy utożsamić matematyki z metodą logicznego wyprowadzania twierdzeń z przyjętych aksjomatów,

* Artykuł je s t poszerzonym nieznacznie przekładem p u b lik acji

Bauersfelda i Zawadowskiego (1981), cytowanej w sp is ie lite r a tu r y .

mimo że metoda ta gra w matematyce podstawową r o lę . Matematyka je s t również pewnym przeżyciem intelektualnym, i nie można sobie wyobra­

z ić matematyki bez takiego charakterystycznego dla n ie j p rzeżycia.

W t e j pracy pragniemy zwrócić uwagę na pewne aspekty matema­

ty k i, 'k tó re nie są, jak dotąd, należycie ^oceniane, a może nawet niezauważane. Dotyczy to jednak matematyki żywej,

, a więc również t a k ie j, z jaką mamy do czynienia przy uczeniu s ię matematyki, lub gdy obserwujemy rozwój matematyczny d z ie c i.

Nasze rozważania pozwalają spojrzeć z innej strony na znaną dychotomię Skempa (1970), a mianowicie na przeciwstawienie ukazują­

ce przeciwieństwa zachodzące między rozumieniem relacyjnym a rozu­

mieniem instrumentalnym. Nie widzimy powodu, dlaczego rozumienie związane z wykonywaniem ma być skazane na zajmowanie zaszczytnego drugiego m iejsca. Gdyby tak miało być, musielibyśmy przyznać, że sztuka wymaga znacznie m niejszej in t e lig e n c ji od artysty n iż od*

krytyka, który zaczyna o t e j sztuce teoretyzować. Wyczuwamy, że by­

łaby to podejrzana sprawa. Sztuka wymaga od artysty innego typu in ­ t e lig e n c ji n iż teoretyzówanie o sztuce. Te dwa typy in t e lig e n c ji raczej s ię uzupełniają n iż wykluczają. Możemy też in aczej spojrzeć na rozumienie komunikowalne (Meissner, 1983, Wachsmuth, 1981).

Rozważania nasze rzucają również pewne światło na to , dlacze­

go w przekazie matematycznym musimy s ię godzić na pewne nieform al­

ności, jak również na pewne regularności w występowaniu takich n ie­

formalności .

Rozważania nasze prowadzą do jakobsonowskiej opozycji pomię­

dzy dwiema podstawowymi figurami myślenia: metaforą i metonimią, które mają ś c is ły związek z odpowiednimi figurami stylistycznym i w języku. Takie postawienie sprawy wymaga najpierw wyjaśnienia, czym są te dwie fig u ry w matematyce, w matematyce żywej oczywiś­

c ie , i w rozwoju matematycznym młodych lu d zi. Oprócz strony meta­

fo ry czn ej, matematyka ma bardzo bogatą w porównaniu do języka na­

turalnego budowę raetonimiczną. Niezauważanie tego może prowadzić .do

poważnych pomyłek pedagogicznych i.błędów w sztuce.

1. FORMALNA PEDANTERIA, CZY CELNOŚĆ?

Co wybierać, co ważniejsze: formalna dokładność czy soczysta ekspresywność i celność przekazu? Stale przed nami s ta je to pyta­

nie przy sporządzaniu tekstów dydaktycznych z matematyki, a odpo­

wiedź wcale nie je s t jednoznaczna i łatwa. Spróbujmy pokazać ten dylemat na oklepanym przykładzie d zielen ia z resztą . W czasopismach związanych z nauczaniem matematyki, nie tylko zresztą w naszym kra­

ju, pokazało się w pewnym okresie dość dużo wypowiedzi p otęp iają­

cych stary szkolny zapis d zielen ia z resztą, np.:

1234 : 56 = 22 r- 2 . '

Potrzeba użycia takiego zapisu pojawia się w nauczaniu szkolnym w pewnym momencie, gdy omawia się d zie le n ie lic z b y naturalnej przez lic z b ę naturalną, i nie trwa długo.

potem język się wzboga­

ca i albo in teresu je nas tylko całkowita część ilo ra zu , ale już w zbiorze lic z b rzeczywistych, lub reszta , albo w ogóle zapominamy 0 sprawie na długo. I zwykle w tym krótkim czasie, gdy temat ten wkracza do klasy na lekcjach matematyki, na tablicach szkolnych po­

jaw iają s ię te staromodne zapisy, mimo sporej en ergii zużytej na ich zwalczanie przez ich adwersarzy. Dlaczego ten zapis uważa się za niepoprawny - można zrozumieć. Znak równości występujący w tym zap isie je s t użyty niepoprawnie (Mąkowski, 1976). Po obu jego stro­

nach mamy rzeczy różne. Jak z tego wybrnąć? Niektórzy mówią - uży­

wać innego znaku, mają nawet pomysły - jak iego. Inni mówią, używać innego zapisu, np. 56 • 22 = 1234 -^_2, albo 1234 = 56 • 22 + 2, a L czasem 1234 - 2 = 56 * 22. Wszystkie te dobre rady mają jedną wadę.

Polecane zapisy mówią co innego niż ten niepoprawny staromodny za­

p is . Wprowadzanie jeszcze jednego znaczka do krótkotrwałego użytku także nie je s t praktyczne. Prędko się zapomina, co on znaczy, a gdy spotka się dwóch upartych, każdy przyzwyczajony do swojego zna­

czka, rozpoczynają się niepotrzebne spory. I tak na placu boju zo­

s ta je ten staromodny zapis. Czy go zwalczać, czy może dać spokój 1 zacząć go tolerować, a może nawet polubić? Polubić, znaczy zrozu­

mieć. Spróbujmy zrozumieć, co znaczą te dwie poziome kreski w tym

staromodnym za p is ie . Te dwie poziome kreski, zgodnie z tym, co

chciał nam ktoś przekazać, wcale nie znaczą „równa s ię ” ; on tylko

tak napisał, ale ch ciał przez to powiedzieć „daje wynik” . Użył więc takiego znaku, ja k i miał pod ręką, a zakomunikował nam to dokładnie, czego i my byśmy właśnie oczekiw ali, p rzecież wiemy dobrze, czego ch c ia ł: ch ciał nam przekazać to , że n a jb liższą w ielokrotnością l i ­ czby 56 do lic z b y 1234 je s t 22 razy 56 i brakuje tylko 2, a może to , że 56 mieści się w 1234 22 razy i zostaje 2 re s z ty . To szkolne uży­

c ie znaku równości w niezalegalizowanym znaczeniu „daje wynik” je s t tak mocne (a może trzeba powiedzieć, było tak mocne, dopóki na plac boju nie w eszli fo r m a liś c i), że d z is ia j prawie każdy kieszonkowy kalkulator, na klawiszu, który wyraża nasze życzenie „proszę o wy­

nik ” , ma te dwie równe poziome kreski, łudząco przypominające znak równości.

Podobnych przykładów użycia pewnych znaków w sposób n ieoczeki­

wany, żeby nie powiedzieć niepoprawny albo n ielegaln y, można by wskazać sporo, i im bardziej się szuka, tym w ięcej ich s ię pojawia.

Możemy zacząć prostować te niedokładności, ale wtedy pojawiają s ię nowe w innych miejscach, jakby ktoś ch ciał zakpić z naszej pedan­

t e r i i . Spróbujmy p rzy jrzeć s ię temu b l i ż e j .

2. METONIMIE W JgZYKU NATURALNYM

Te przypadki użycia znaków lub grup znaków mają pewne wspólne cechy, które chcielibyśmy tu opisać. Najbardziej uderzającą cechą takiego specjalnego użycia znaków je s t to , że nastąpiło jakby prze­

sunięcie r e fe r e n c ji, t j . przesunięcie znaczenia użytego symbolu lub przesunięcie nazwy, podczas gdy je s t całkowicie jasne, w jakim zna­

czeniu ten znak lub grupa znaków została użyta. Przekaz nie budzi w ątpliw ości. Nawet można by powiedzieć, j e ż e l i przekaz je s t na ży­

wo, że między nadawcą a odbiorcą je s t swojego rodzaju rezonans, do­

skonałe porozumienie. Ten rezonans je s t na t y le stabiln y, że dokona­

ne przesunięcie r e fe r e n c ji nie je s t w stanie go zakłócić. Jest ra­

czej podkreśleniem t e j sta b iln o ś c i. Zręczne przesunięcie r e fe r e n c ji

daje u odbiorcy efek t skupienia jego uwagi, fo k a liz a c ji psychicznej,

dającej jakby efek t przygotowania do ja k ie jś następnej czynności,

jakby następnego skoku. Przesunięcie r e fe r e n c ji zostało więc użyte

jako pewien środek przekazu, a biorąc pod uwagę ekspresywność tego

środka, można by powiedzieć, że mamy do czynienia z pewną fig u rą s ty lis ty c zn ą (Le Guern, 1973; Malczewski, 1979).

W opisanym przypadku znak równości „=" został użyty właśnie z takim przesunięciem r e fe r e n c ji, przesunięciem znaczenia. Z dru­

g ie j strony, można by powiedzieć, że użycie tego symbolu nastąpiło z całkowitym zachowaniem ustalonego już znaczenia między nadawcą a odbiorcą. Brakowało tylk o odpowiedniego znaku. Odpowiedniego dla potrzeb ch w ili znaku, takiego, który użyty w tym miejscu sam by s ię

już w yjaśniał. Kłopot je s t tylk o z zalegalizowaniem tego użycia, a n ie z jego znaczeniem.

W języku potocznym tego rodzaju fig u ry s ty listy czn e występują często. Na przykład: „Podaj mi Kuratowskiego", „Czy czytałeś Rasio- wą?" Występujące tu przesunięcia r e fe r e n c ji je s t oczywiste. Nie chodzi o osoby, a le k siążki napisane przez te osoby. Użyty symbol nie je s t w zięty dowolnie, przeciwnie, jakby sam wpada mówiącemu w ręce. Jest po prostu bardzo poręcznym, wyrazistym skrótem.

Takie sposoby wyrażania się mają swoją nazwę. To są metonimie.

Metonimie tworzy s ię na podstawie pewnej r e l a c j i „bycia w zasięgu r ę k i" (Henry, 1971; Le Guern, 1973; Malczewski, 1979), którą nazy­

wamy r e la c ją „styczn ości" lub „kontygencji", co ma wyrażać pewną okazję i pewien związek między użytym znakiem a znaczeniem, w któ­

rym zosta ł użyty. Ten związek może pochodzić z rzeczyw istej sytu­

a c ji lub z sytu acji w „universe o f discourse", w świecie dyskursyw- nym. Ten związek, zgodnie dostrzegany przez odbiorcę i nadawcę, da­

je styczność, na podstawie k tó re j zbudowane są metonimie.

Zobaczmy dalsze przykłady. Gdy mówimy „ja k iś głos śpiewał w ogrodzie", to nie głos śpiewał, ale ktoś, kto ten głos wydawał.

„Najlepsza szabla w R zeczp osp olitej" - nie chodzi o szablę, a le te ­ go, co nią włada. „Rozmawiałem z Krakowem wczoraj" - nie z Krakowem rozmawiałem, a le z kimś w Krakowie. Związek między Krakowem a tym kimś w Krakowie nie je s t utworzony na podstawie podobieństwa, c zło ­ wiek zwykle nie je s t podobny do miasta, ale może być związany z mia­

stem, np. w nim mieszkać, w nim s ię znajdować. Relacja styczności na ogół nie je s t ani podobieństwem, ani analogią. Pewne związki, tak ie np. jak związek między przyczyną a skutkiem, sp ecjaln ie dob­

rze s ię nadają za podstawę do utworzenia metonimii. Np. „Co to za

tłum?" - „To je s t wypadek". To je s t oczywiście skutek wypadku, a

wypadek już b ył. R elacja między-naczyniem a jego zawartością je s t również źródłem wdzięcznych metonimii: „Buteleczkę? - hm, p r o s z ę ..."

Również wszelkiego rodzaju r e la c je , które powodują, że coś uważamy za część ja k ie jś c a ło ś c i, są podstawą specjalnego typu metonimii, które często nazywamy figurami „pars-pro-toto" - część za całość,

ale również całość za część, jak np. we wspomnianym wyrażeniu w ro ­ dzaju „te le fo n u je Kraków".

Narzędzie za e fek t d ziałan ia tego narzędzia, instrument muzy­

czny za dźwięk przez niego wydawany, np. „to są w alto rn ie", narzę­

d zie za kogoś posługującego s ię tym narzędziem, np. „fa łs z u ją kon­

trabasy". Metonimie tworzy s ię na ogół tak łatwo i tak często bez­

wiednie, że trudno je s t je zauważyć. Gdy pytamy: „Co to je s t to A?"

w ja k ie jś formułce matematycznej, oczywiście nie chodzi nam o od­

powiedź, że je s t to pierwsza li t e r a alfabetu, je s t to więc metoni- mia. Przy metonimicznym przesunięciu r e fe r e n c ji wykorzystano tu ja ­ ko r e la c ję styczności związek, ja k i zachodzi między znakiem a jego

znaczeniem. Bardzo dobitnie możemy zaznaczyć tego rodzaju przesu­

n ię c ie r e fe r e n c ji w następującej obrazkowej metonimii:

Tonie oczywiście nie nazwa, a znany statek o t e j nazwie w p e ł­

n i „La B e lle fipoque", w zderzeniu z górą lodową na Atlantyku.

Podobny mechanizm uruchamia s ię , gdy czytamy w wierszu Victo- ra Hugo:

„A w Twoim pocałunku Świnia miesza s ię z aniołem."

(„Et dans vo tre baiser le porc se mele a l^an ge.", La Fin de Satan, Dieu). W jednej z możliwych in te r p r e ta c ji tego wiersza możemy ode­

brać wrażenie, że chodzi o pomieszanie dobra ze złem, a le w zdaniu,

tak jak ono je s t zbudowane, mieszanie odnosi s ię do symboli tych

pojęć, anioła i zw ierzęcia.

Z grubsza biorąc, różno typy relacji styczności, które mogą służyć za podstawę do tworzenia metonimii; można podzielić na dwie klasy: styczności wytworzone przez sytuację rzeczywistą i stycznoś­

ci kontekstowe. Przesunięcie referencji musi uwzględniać również znaki sąsiadujące, styczne. W portrecie kubistycznym, np. Gertrudy Stein namalowanym przez Picassa, nie trzeba dopatrywać się zbytnio podobieństwa, to schodzi na dalszy plan; na pierwszy plan wysuwa się wzajemna gra lokalnych kontygencji, których stabilność zostaje tylko podkreślona przez lokalne przesunięcia referencji. Również w malarstwie surrealistycznym podstawową relacją jest kontygencja, przeważa więc tam charakter metonimiczny. Przesunięcie referencji jest podstawową figurą słynnych „fajek” Magritte*a, a więc i tu pod stawową sztuczką jest metonimia.

3. METAFORY

Dla zupełności obrazu musimy teraz wspomnieć inną fig u rę s ty ­ listy czn ą , metaforę, która w pewnym sensie je s t fig u rą dualną do metonimii. Zostało to bardzo dokładnie opisane dla języka natural­

nego (zob. Jakobson, 1963; M. Le Guern, 1972; A. Henry, 1971). Ta dualność wyraża s ię szeregiem różnic i przeciwstawień. Najbardziej zadziwiającą różnicą je s t i:o, że metonimie tworzy s ię , jak również odbiera, zwykle bezwiednie, nieświadomie, jakby automatycznie, *od niechcenia, po prostu przychodzą i nasuwają s ię same. Wykrycie i wskazanie metonimii w czasie rozmowy zwykle powoduje zdziw ienie.

W przeciwieństwie do tego, metafory prawie zawsze tworzone są świa­

domie, a często z dużym wysiłkiem in te le k tu . W przeciwieństwie do metonimii, metafory używane są zwykle wtedy, gdy nadawca chce prze­

kazać pewne t r e ś c i, mimo że brak mu utartych pojęć i znaków do te ­ go potrzebnych, lub też gdy zrozumienie u odbiorcy musi być dopiero zbudowane, jakby od nowa, nie t r a fia na wyżłobione już ślady. Rów­

n ież wtedy, gdy nadawca chce zaakcentować ja k iś specjalny aspekt, podkreślić pewne mało widoczne w niefiguratyw nej formie przekazu własności i brakuje mu odpowiednich słów, czy wyrażeń, czy znaków w zwykle używanym znaczeniu. Taka sytuacja zdarza s ię często w nau­

czaniu lub uczeniu s ię , gdy trzeba wyjść poza poznany już układ po-

jęć i znaków i wykroczyć ‘poza system wspólny dla odbiorcy i nadawcy, używając znaków tylk o z częścią ich mocy semantycznej, wynikającą % z kontekstu, w którym te znaki zostały użyte, i w n ad ziei, że od­

b io rca domyśli s ię , zgadnie, o jaką część mocy semantycznej chodzi.

W tym sensie metafora je s t jakby pierwiastkiem z dwóch wyrażo­

nym w św iecie lic z b wymiernych; je s t lokalną próbą rozszerzenia przyjętego systemu znaków, często z towarzyszącym temu wykroczeniem przeciw prawom i zasadom systemu. Takie sytuacje zdarzają s ię bardzo często nie tylko w języku potocznym, le c z również w nauczaniu mate­

matyki, a również w matematyce i n s t a t u n aso end i , gdzie ra czej wy­

dają s ię regułą n iż rzadkim wyjątkiem.

4. REGULACJA OSTROŚCI OBRAZU

4.1. J e ż e li w ogóle chcemy kogoś czegoś nauczyć, to zwykle chcemy mu jakoś opisać pewne nowe p o ję c ia lub pokazać pewne nowe zależn ości, a może struktury - wszystko to w takich terminach, w takim j.ęZyku, który został przez uczącego s ię już opanowany. Mówiąc metaforycznie, pomagamy tworzyć nowe jednostki znaczeniowe, zwykle ukazane w szerokim aspekcie powiązań z innymi jednostkami znaczenio­

wymi. Pod warunkiem oczyw iście, że odbiorca odpowiednio zareaguje na tak ie wyzwanie. Można mieć wtedy wrażenie, że twórcze nastawienie nadawcy u d ziela s ię i odbiorcy przekazu.

Natomiast gdy używamy metonimii, to nie zmieniamy jednostek znaczeniowych. Taka zmiana, być może, już s ię stała, przed chwilą lub w cześniej; metonimia nadaje tylk o temu nową lokalną nazwę z t o ­ warzyszącym temu charakterystycznym zogniskowaniem uwagi, pewną fo - k a liz a c ją , skupieniem s ię na czymś. Ta lokalna nazwa może być na­

wet chwilę potem zarzucona i zastąpiona inną, lub po prostu zarzu­

cona. Metafora utworzona je s t przez podobieństwo lub, mówiąc ogól­

n ie j, analogię, metonimia natomiast powstaje przez styczność, kon- tygencję, pewną tajemniczą r e la c ję „bycia pod ręką", krótko mówiąc

„by being th ere" (Mey, 1982), „Vorhandensein".

W metaforze charakterystyczna j e s t zmiana mocy semantycznej,

wybór pewnej części mocy semantycznej znaku, i jakby zapominanie o

re s z c ie , o p ozosta łej części mocy semantycznej. Moc semantyczna

je s t wtedy jakby osłabiona, znaczenie b a rd ziej szerokie.

W danym kontekście metafora pojawia s ię zwykle jako mniej lub bar­

d z ie j niezwykła kombinacja słów lub znaków, nie pasująca do zwykłej rutyny języka czy tego systemu znaków, o którym mowa. Ta n ieregu lar- nośó, która nie zawsze musi wystąpić, służy odbiorcy jako ostrzeże­

n ie, a może dyskretna wskazówka, d zięk i k tó rej odbiorca może roz­

poznać, że tu znaki zostały użyte figuratyw nie.

W fig u rz e metonimicznej użyta je s t cała moc semantyczna w n ie­

zmienionym składzie, a le jakby innego znaku lub innej grupy znaków.

Mówimy dlatego „jakby", że w procesie twórczym, jakim je s t uczenie s ię , zdarza s ię , że nowe znaczenie, wspólne dla nadawcy i odbiorcy już je s t obecne, d zięk i na przykład jakiemuś^ wspólnemu przeżyciu, doświadczeniu, s y tu a cji, i to nowe znaczenie ma wyraźny charakter jednostki semantycznej, stanowi pewną stabiln ą całość, odporną na drobne zaburzenia, nie ma natomiast nazwy, nie ma swojego znaku.

Ten znak nie może być byle ja k i. Musi sie d zie ć , pasować. Za chwilę zacznie p ełn ić r o lę narzędzia do porozumiewania s ię . J e ż e li będzie tra fn y, utrzyma s ię trochę d łu żej. W fig u rze metonimicznej zachodzi więc przesunięcie r e fe r e n c ji i d z ie je s ię to n a jczęściej podświado­

mie. Tak jakby jedno słowo przebrało s ię za inne słowo, jeden znak udawał inny. Nasuwa s ię tu pewne porównanie do sytu a cji, którą ma- my, gdy przesuwamy film w rzutniku i nastawiamy na ostrość. Nato­

miast gdy rzutnik s ię popsuł i podaje po k ilk a postrzępionych przeź­

roczy na raz, przypomina to fig u rę metaforyczną. Jest to jednak bar­

dzo grube porównanie. Można by spróbować opisane różnice zachodzące między metaforą a metonimią przedstawić g r a fic z n ie . Na przykład w ta k i sposób: I

METONIMIĄ:

znak znaczenie

przesunięcie referencji

a b c

4 4 4

e

4 4

f 4

l i i

s(a) s(b) sic)

I I

sld) sle)

slf) I

Strzałka pokazuje, że użyto w przekazie znaku d tam, gdzie w

' znaczeniu dosłownym powinno być a, mówiąc figuratywnie użyliśmy d.

W ten sposób powstała fig u ra metonimiczna. Nie zaznaczono natomiast, co' było u podstaw t e j metonimii leżącą stycznością.

METAFORA:

znak

moc

semantyczna

a b c

i\ i \ i

s(a) \ s ( b ) \ s ( c ) s(d) s(e)\ s(f)

a e

1 l\

►(d) s(e)\

5(a)ns(h)

4 s(b)ns(h) s(a)ns(h)ns(e)

Dla fig u r y metaforycznej schemat ma pokazać osłabianie mocy semantycznej znaku, czy przekazu, tak jakby znak a zapomniał, czy jego znaczeniem je s t s (a ), czy s ( h ) . Znaczenie figuratywne je s t tu więc szersze, rozmyte. Modelem matematycznym opisywanych zależnoś­

c i między metaforą a metonimią może być pewien funktor zapominania, odpowiadający metaforze, którego lewy sprzężony odzw ierciedla me­

chanizm metonimiczny.

4.2. Lingwistyczna opozycja między metaforą a metonimią od­

zw iercied la dwa rodzaje stanów wewnętrznych, dwa tryby myślenia:

tryb metonimiczny i tryb metaforyczny, modus metonimicus i modus m e t a f o r i c u s . Produkowane znaki są tylk o śladami tego.

W językach naturalnych kod je s t is to tn ^ cechą języka. Zmiana kodu je s t również zmianą języka. Stojąca u podstaw języka natural­

nego struktura semantyczna, mimo że bardzo ważna, pozostaje jakby w cieniu syntagmy. Współczesny język naturalny je s t bardzo mocno związany z jednej strony z kodem akustycznym, a z drugiej z kodem pisanym. Są to dwie różne postacie języka, a le stanowią one jedną całość.

W przeciw ieństw ie do tego matematyka dąży do uniezależnienia

s ię od tego zakodowania, w którym je s t wyrażona.- Matematyka jako

przekaz je s t bard ziej wyidealizowana niż jakikolwiek język natural­

ny. Możemy mieć nawet wrażenie, że matematyczny przekaz je s t czystą strukturą. Jednak struktura jako przekaz musi jechać zawsze na ja ­ kimś nośniku o charakterze mniej lub bard ziej materialnym. Tak jak k o lo r. P o jęcie struktury w znaczeniu, którego tu używamy, je s t n ie­

odłącznie związane z pojęciem nośnika. N a jlep iej opisuje to metafo­

ra barwy. Na przykład, aby przekazać, czym je s t kolor ż ó łty , trzeba go pokazać, a pokazuje s ię kolor na czymś. Gdybyśmy w celach przeka­

zu zd efin io w a li kolor ż ó łty bardziej formalnie, abstrakcyjnie, pos­

ługując s ię na przykład długością f a l i światła lub używając opisów słownych zjawisk fiz jo lo g ic z n y c h towarzyszących postrzeganiu kolo­

ru, to odbiorca mógłby to doskonale „zrozumieć’', nie dostąpiwszy przy tym ani razu tego przeżycia, ja k ie daje zobaczenie i widzenie koloru żó łte g o .

Znaki używane w matematyce mają swoją wyraźną wartość seman­

tyczną. Ta wartość semantyczna nie je s t może tak jednoznaczna dla wszystkich matematyków i kompetentnych użytkowników matematyki, jak to je s t w przypadku języka naturalnego, a le występuje bardzo wyraź­

n ie.

M. Otte tw ie rd zi, że fig u ry metaforyczne występujące w matema­

tyce mają przede wszystkim charakter wizualny. Taki charakter mają

„ fig u r y ” w geom etrii, z tym wiąże s ię tak uporczywie utrzymujący s ię podział matematyki ria geometrię i algebrę. Stąd wywodzi s ię ro­

la obrazu - płaskiego, jak również przestrzennego - w nauczaniu ge­

om etrii, a również ro la budowy g ra fic zn e j znaku matematycznego.

Dlaczego w nauczaniu matematyki musimy wyraźnie zwracać uwagę na te dwie fig u ry myślenia, metafory i metonimie? Dlatego, że wyma­

gają one od nauczającego innego traktowania i służą do innych celów.

Zakładamy przy tym jednak, że zależy nam na tra fn ości i celności przekazu, a nie tylko na jego dosłownej, gramatycznej, formalnej poprawności.

5. FIGURY STYLU W JgZYKU I FIGURY MYŚLENIA A NAUCZANIE MATEMATYKI

Podamy tera z k ilk a dalszych przykładów, z których powinno być

dobrze widoczne przeciwstawienie dosłownego i figuratywnego użycia

znaków. Figury metaforyczne są na ogół dużo le p ie j rozpoznawane^ i

W ten sposób powstała fig u ra metonimiczna. Nie zaznaczono natomiast co było u podstaw t e j metonimii leżącą stycznością.

METAFORA:

znak a b c

• i\ i \ i

moc s(a) \ s(b) \ s(c) s(d) semantyczna

a e

1 l\

(d) s(e)\

s(a)ns(h)

. s(b)ns(h) s(a)ns(h)ns(e) s(f)

Dla fig u r y metaforycznej schemat ma pokazać osłabianie mocy semantycznej znaku, czy przekazuj tak jakby znak a zapomniał, czy jego znaczeniem je s t s ( a ) , czy s ( h ) . Znaczenie figuratywne je s t tu więc szersze, rozmyte. Modelem matematycznym opisywanych zależnoś­

c i między metaforą a metonimią może być pewien funktor zapominania, odpowiadający metaforze, którego lewy sprzężony odzw ierciedla me­

chanizm metonimiczny.

4.2. Lingwistyczna opozycja między metaforą a metonimią od­

zw iercied la dwa rodzaje stanów wewnętrznych, dwa tryby myślenia:

tryb metonimicznyju tryb metaforyczny, modus metonimious i modus m e t a f o r i o u s . Produkowane znaki są tylk o śladami tego.

W językach naturalnych kod je s t is to th ^ cechą języka. Zmiana kodu je s t również zmianą języka. Stojąca u podstaw języka natural­

nego struktura semantyczna, mimo że bardzo ważna, pozostaje jakby w cieniu syntagmy. Współczesny język naturalny je s t bardzo mocno związany z jednej strony z kodem akustycznym, a z drugiej z kodem pisanym. Są to dwie różne postacie języka, ale stanowią one jedną c a ło ś ć .

W przeciw ieństw ie do tego matematyka dąży do uniezależnienia

s ię od tego zakodowania, w którym je s t wyrażona.. Matematyka jako

przekaz je s t b a rd ziej wyidealizowana niż jakikolwiek język natural­

ny. Możemy mieć nawet wrażenie, że matematyczny przekaz je s t czystą strukturą. Jednak struktura jako przekaz musi jechać zawsze na ja ­ kimś nośniku o charakterze mniej lub b a rd ziej materialnym. Tak jak k o lo r. P o jęcie struktury w znaczeniu, którego tu używamy, je s t n ie­

odłącznie związane z pojęciem nośnika. N a jle p ie j opisuje to metafo­

ra barwy. Na przykład, aby przekazać, czym je s t kolor ż ó łty , trzeba go pokazać, a pokazuje s ię kolor na czymś. Gdybyśmy w celach przeka zu zd efin io w a li kolor ż ó łty bardziej form alnie, abstrakcyjnie, pos­

ługując s ię na przykład długością f a l i światła lub używając opisów słownych zjawisk fiz jo lo g ic z n y c h towarzyszących postrzeganiu kolo­

ru, to odbiorca mógłby to doskonale „zrozumieć’' , nie dostąpiwszy przy tym ani razu tego przeżycia, ja k ie daje zobaczenie i widzenie koloru żó łte g o .

Znaki używane w matematyce mają swoją wyraźną wartość seman­

tyczną. Ta wartość semantyczna nie je s t może tak jednoznaczna dla wszystkich matematyków i kompetentnych użytkowników matematyki, jak to je s t w przypadku języka naturalnego, a le występuje bardzo wyraź­

n ie.

M. Otte tw ie rd zi, że fig u ry metaforyczne występujące w matema­

tyce mają przede wszystkim charakter wizualny. Taki charakter mają

„fig u ry " w geom etrii, z tym wiąże s ię tak uporczywie utrzymujący s ię podział matematyki ria geometrię i algebrę. Stąd wywodzi s ię ro ­ la obrazu - płaskiego, jak również przestrzennego - w nauczaniu ge­

om etrii, a również ro la budowy g ra fic zn e j znaku matematycznego.

Dlaczego w nauczaniu matematyki musimy wyraźnie zwracać uwagę na te dwie fig u ry myślenia, metafory i metonimie? Dlatego, że wyma­

gają one od nauczającego innego traktowania i służą do innych celów Zakładamy przy tym jednak, że zależy nam na tra fn ości i celności przekazu, a nie tylk o na jego dosłownej, gramatycznej, formalnej poprawności.

5. FIGURY STYLU W JgZYKU I FIGURY MYŚLENIA A NAUCZANIE MATEMATYKI

Podamy teraz k ilk a dalszych przykładów, z których powinno być

dobrze widoczne przeciwstawienie dosłownego i figuratywnego użycia

znaków. Figury metaforyczne są na ogół dużo le p ie j rozpoznawane, i

nie będziemy ich tu niepotrzebnie mnożyć. Figury metonimiczne nato­

miast na ogół przechodzą niezauważone, dlatego opisujemy tych przy­

kładów trochę w ięcej.

5.1. Notację algebraiczną z użyciem l i t e r lub, krótko mówiąc, początki szkolnej algebry wprowadzamy często w następujący sposób.

Bierzemy pewną lic z b ę , powiedzmy a, i pewną lic z b ę b, i nadajemy znaczenie wyrażeniom, takim jak

a+b, 2 a, 3b, a+b razy o+d etc.

Co d alej - dobrze znamy. W tym przypadku metonimiczne przesunięcie r e fe r e n c ji objawia s ię tym, że bierzemy l i t e r y alfabetu i tra k tu je­

my je jak nazwy lic z b , jak „ lic z b y " , mówimy. I na t e j właśnie pod­

stawie wiemy jak dodawać do s ie b ie i mnożyć l i t e r y alfabetu . Prze­

sunięcie r e fe r e n c ji pozwala nam przenieść lokaln ie całą ramę opera­

cyjną z lic z b na l i t e r y . Ten mechanizm poznawania rachunku l i t e r o ­ wego je s t dla uczącego s ię przystęp n iejszy a n iż e li formalna d e fin i­

c ja p ie rś c ie n ia wielomianów wielu zmiennych. Taka d e fin ic ja może s ię pojawić jako zakończenie procesu poznawania pewnego etapu ra­

chunku literow ego, a le nie na wstępie. A więc metonimiczne przesu­

n ię c ie r e fe r e n c ji z lic z b na l i t e r y pozwala nam na nieformalne poz­

nanie pewnych fragmentów rachunku literow ego, pewnych fragmentów rachunku w p ierścien iu wielomianów wielu zmiennych. J e ż e li zarówno nadawca jak i odbiorca są do s ie b ie d o stro jen i, to nie ma, oczywiś­

c ie lok aln ie biorąc, w ątpliw ości, w ja k i sposób „dodawać l i t e r y " . Ten mechanizm jednak funkcjonuje tyl^6 lok a ln ie, i wymaga stałego wzmacniania i rozszerzania.

// I

5.2. Czasem przesunięcie r e fe r e n c ji p ełn i zupełnie inną funk­

c ję , P° prostu zgrabnie dobranej nazwy dla' lic z b o pewnych własnoś­

ciach, dla wyniku pewnej op era cji, it p . Tak na przykład je s t , gdy dobieramy oznaczenia w następujących przypadkach

n na oznaczenie lic z b y naturalnej, p na oznaczenie lic z b y pierw szej, v na oznaczenie re s z ty .

Te nazwy zostały dobrane nie przez podobieństwo, a le na zasa­

dzie styczności, po prostu są „pod ręką". Wybór nie nastąpił tu ani

na za'sadzie podobieństwa, ani a n a lo g ii. L ite ra n nie je s t podobna p rzecież do żadnej lic z b y n atu raln ej. Tego typu metonimie są bar­

dzo częste, np. k - lic z b a krawędzi, w - lic zb a wierzchołków, s - lic z b a ścian we wzorze Eulera. Zwykle mówimy: k to są krawędzie, w - w ierzch ołki, s - ściany, choć często zaraz eliminujemy tę n ie­

formalność stylu , albo celowo j e j unikamy. Odbiorca ma jednak wte­

dy wrażenie, że nadawca niepotrzebnie s ię męczy.

5.3. Bardzo często stosowaną metonimią je s t używanie wartości fu n kcji f ( x ) zamiast fu nkcji f lub, na odwrót, fu nkcji zamiast war­

to ś c i fu n kcji dla pewnego argumentu. Eliminowanie tego rodzaju rae- ton im ii, na przykład w wykładzie an alizy, mimo że je s t teoretyczn ie możliwe do wykonania, je s t tak u ciążliw e, tak utrudniające przekaz, że żaden właściwie podręcznik analizy nie może sobie na to pozwolić.

Inną formą tego rodzaju metonimii je s t nazywanie ciągu przez poda­

nie n-tego wyrazu tego ciągu, np. a n• W tym oznaczeniu podkreślamy od razu swoje zainteresowanie bardziej wartościami t e j fu n k cji, która je s t ciągiem, niż sposobem przyporządkowania, a le wszyst­

kich niuansów nie sposób tu opisać. Żywy język matematyczny analizy należy do najbogatszych źródeł śladów myślenia figuratywnego.

Jedną z ważniejszych rodzajów metonimii w językach naturalnych je s t metonimią typu p a r s - p r o - t o t o (część za c a ło ś ć ). Ten rodzaj ma nawet swoją specjalną nazwę, taka metonimią nazywa s ię synekdochą.

W matematyce wydaje s ię , że taką r o lę przejmuje metonimią, którą można by nazwać ,,f(x ) - p ro -/ ". Towarzyszący temu efek t kondensacji, a może należałoby mówić fo k a liz a c ji czy skupienia utoagi, bardzo ład­

nie opisuje w swoich wspomnieniach Stanisław Ułam (1976), pisząc o Kawiarni Szkockiej i swoich tam rozmowach ze Stanisławem Mazurem:

„ . . . czasem siadywaliśmy godzinami w t e j kawiarni. Mazur wypisywał ja k iś jedeh jedyny symbol, albo pojedynczą lin ijk ę , coś w rodzaju y = f ( x ) » na skrawku papieru albo na marmurowym b la cie s to lik a . Ga­

piliśm y s ię w ten napis i wymienialiśmy różne pomysły i dyskutowa­

liśmy. Te symbole przed nami pomagały nam skupić uwagę, jak krysz­

tałowa k u la ." (Ułam, 1976, s t r . 31.)

Specjalny rodzaj metonimii p o legającej na przesunięciu referen ­ c j i z elementu na zb iór, do którego ten element należy, możemy uwa­

żać za przypadek szczególny metonimii f (x )- p r o - / . I ten rodzaj me-

ton im ii, jak s ię wydaje, gra w matematyce pewną r o lę . Natomiast przesunięcie r e fe r e n c ji z klasy równoważności na pewien element t e j klasy, często w pewien szczególny, kanoniczny sposób, je s t bardzo ważnym matematycznym przypadkiem metonimii i należy do bardzo częs­

to stosowanych fig u r i w matematyce, i w dydaktyce matematyki. Rów­

nież przesunięcie r e fe r e n c ji w drugim kierunku, z elementów w pew­

nym sensie kanonicznych na klasy równoważności zawierające te e le ­ menty, je s t fig u rą , która ma swoje miejsce zwłaszcza w dydaktyce matematyki. Wystarczy p rześled zić różne sposoby wprowadzania ułam­

ków, żeby s ię o tym przekonać. W pewnych przypadkach p o ję c ie szk ie­

letu k a te g o rii może służyć jako model tych sy tu a c ji. Każdy z tych przypadków metonimii je s t w pewnym sensie autonomiczny, ma swoje

odrębności i je s t wart b ard ziej wyczerpującego zbadania. Spojrze­

nie na te sposoby realizow ania przekazu matematycznego od strony fig u r myślenia ukazuje pewne nowe aspekty.

Cjjetoljetffone oftottte,

toOftlK (s tfK ftctmoe parte of

ArithinttiketanMfnims Ujccttac'.

tfoa of ttootco: flClje

p;a<rt&, fafft tbe rui* of

tftOtDOOjktf 0f& u6

K mbm.

JU ugbm srfJhm ittU m puttprkt, Tb* ofatftone n ftm trfitt

utedefkO^ndhi lrewkjmfiremtgt:

Htdlt tUngn ead beri* it tńUf* ebertn/e^

uf*dm4b themJberfe/e right g**d rfc.

Msrt^m*nltjlerk*1ib*i tern net thmfe, 9nt>fihk hdtr.pt mwtmfit, MKflw pm g tfm tib liłlt* be*.

Tbepooadccfanadtdbredełbttfimc B hyfi bptśh^m dm einthn me.

Htttłfiemllfijeur% dttiti tebette, Unhejberfemeffe t herbyfiadlien gett*.

9uUt %itttthereby d*egreettly mtnde, Sberpe+tttaertfined t* theirfull* end*.

2ł* %fme^mdfrrifi/U]*m diefmde, Jnd ttyeeufel/be t*t >mijndt.

C S ftefc S o o ta s ort to h tt fbine>«t tte IBeftooooje of ]0ouUo,

fcpjptn k^ngftone.

5.4-. Przykładem fig u r y metaforycznej w nauczaniu matematyki może być metafora von Misesa. Opisujemy przy j e j użyciu stabilność częstości doświadczalnych z próby, mówiąc, że dążą one do pewnej granicy. Sygnałem tego, że mamy do czynienia z wyrażeniem fig u ra ­ tywnym, je s t to , że częstości doświadczalne znane nam są z natury

rzeczy ty lk o jako pewna skończona ilo ś ć wyrazów pewnego ciągu, o którym nawet nie można powiedzieć, że je s t poten cjaln ie nieskończo­

ny. Mimo s ta le powtarzających s ię głosów krytycznych, piętnujących taki sposób wyrażania s ię , metafora von Misesa wytrzymuje zadziwia­

jąco dobrze próbę czasu i świetnie pełn i swą funkcję komunikatywną, mimo że je s t tylk o fig u rą s ty listy czn ą .

T7v jfrte

as tbei r foo;kfO boe ertrn&c) to Diaindc U oncfp fnfo tiooo parter. SSbertoftbcfirttele, + bnw »m hris tjKdJlt >»/# m »tb*r. ano tlje fetonbe (o .lołni nu in u btris tm ftrtd at tfaalU Btmhrs,

ailnaics lotllpng poo to rcmtbcr, that pou rebate ponrnombtro, totbetrleaOc Denominations, onb (taalleile fo;tnee,befoje pon piocebe anp farther.

2no agjun,lf poor "tutiut be fotbc, tbat tbe gtn*

telle Denomination G fikf, bc isineD to anp parte of ą componnoc nombrr, pou (bali tourne (t fo, tbat tbe nomberoftbegreatette figne alone, mateftanoraa equnllctotbcrcfle.

ano tbtfl to all tbat neabetb to be tangbte, eon cer/

npng tbte Inoojhe.

f)oU)brit,fo; rade altcratib nftjaatinu.ji łoili pjo*

ponnbe a fetoc trip les,blcaufe tbe ertramon of tbcir rootco,maic tbe moje aptlp bee lojougbte. 2nb to uotoe tbe tcDioufe repetition of tbefe looojbes: iae*

quallc to : J Urill fette ao 3 toe often in looo;kebfc,a pal re of parallelce,o; ©cmolne lines of one lengtbc, tbn«:»»— jbitaufc noe.2. tbpngeo.tan be moare equalle. ano noto markę tbefe nombers.

V • 14.^,.—H-.iy.f==--- 7I.f 2

4. 1 9-2£—h- 1 I — 1 —iosf--- 192 ^

f. 18.2^— 1— 2 4 .f.-r = -8 .5 * .-H —2. ^ . 6- 145'---12^ — 402^ —4—4 8 o f— 9- y

5.5. Ciekawe przykłady możemy czerpać z h is t o r ii matematyki.

Chyba jedną z piękniejszych metafor znanych z h is t o r ii matematyki

je s t sposób wprowadzenia znaku równości, jako dwóch poziomych kre-

sek, w t e j postaci, ja k ie j używamy obecnie. Znak ten po raz p ie r- wszy w ystąpił w książce The Whetstone o f W i t t e Roberta Recorde a >

w roku 1557- Był to pierwszy drukowany podręcznik algebry w języku angielskim. Podajemy obok reprodukcję tych kilku zdań, gdzie uza­

sadniał on tę postać znaku równości. („Now be i t , fo r easie a lte r - t i o ( n ) o f equations. I w i l l propounde a fewe exa(m)ples, because the extraction o f th e ir rootes, maie the more aptly bee wroughte.

And to avoide the tediouse r e p e titio n o f these woordes: i s equalle to : I w i l l sette as I doe o ften in woorke use., a paire o f paral- le le s , or Gemowe lin e s o f one lengthe, thus: because noe. 2. thynges can be moare equ alle. And now marke these nombers, '\kx + 15i^=71^M) Można to przetłumaczyć następująco: „A te ra z do ła tw iejszego prze­

kształcania równań. Przedstawię k ilk a przykładów, ponieważ wyciąga­

nie ich pierwiastków można le p ie j wykształtować. A żeby uniknąć nu­

żącego powtarzania tych słów: je s t równe: wstawię, czego często sam używam w moich pracach, parę równoległych, czy b liźn iaczych l i n i i jednej długości, w ta k i sposób:-.":---- _ , ponieważ żadne dwie r z e ­ czy nie mogą być b a rd ziej równe. A tera z zwróć uwagę na t e lic z b y , 1. l4x + 15(^ = = 71 tp ." (D zis ia j zapisalibyśmy to równanie w formie l4ac + 15 = 71, gdyż znak odnosił s ię do jednostki, w któ­

r e j wyrażone były w ielkości wiązane równaniem; mogły to być funty, ło k c ie , uncje etc. My używamy równań in a c z e j. Równanie wyraża zwią­

zek między liczbam i, a nie w ielk ościa m i.) Widać wyraźnie z tych słów, że Robert Recorde ch ciał użyć znaku przypominającego, przez pewną analogię, o równości, w tych czasach n a jczęściej zamiast zna­

ku równości pisano słowami „aequatus" albo „aequatum" albo skrót aeq., a Kartezjusz używał innego znaku:*DO , bo po prostu taki znak był w drukarni, był często używany w a s t r o lo g ii. Wybór, którego do­

konał Recorde był więc. oparty na zasadzie podobieństwa, a n a lo g ii.

Figura ma więc charakter metafory. Znak równości ma pochodzenie me­

taforyczne .

Są również inne ciekawe przykłady, a o figurach stylistyczn ych ' w przekazie matematycznym Newtona czy Leibniza można by pisać du­

żo i długo.

5.6. Przykład znaku równości może nam zwrócić uwagę na pewien

dotkliwy niedostatek obecnie używanej szkolnej symboliki algebra-

ic zn ej. Brak mianowicie symbolu oznaczającego operację podstawia­

nia. Brak ten bardzo utrudnia opisywanie procedur rachunkowych. W przeciwieństwie do znaku równości, znak podstawiania musi być asy­

metryczny i musi wyraźnie sugerować, co zostaje zastąpione czym.

Najlepsza byłaby więc strzałka, i aby nie mylić j e j ze strzałką oznaczającą przyporządkowanie funkcyjne, powinna to być strzałka skierowana w odwrotnym kierunku, w taki sposób: *«---- . Na przykład wstawiając w miejsce

liczbę .r , w miejsce

lic z b ę j i r , mo- żerny przekształcić wzór na pole prostokąta

, na wzór

xy>

x.

---- r ,

—

■Jf r2 .

Symbol := przyjęlibyśmy wtedy za symbol definiowania, np.

f ( x ) := a x 2 + b.

Czytelnikowi radzimy w tym miejscu zastanowić s ię , jak wielką zmianą będzie, gdy do arsenału oznaczeń szkolnej algebry wprowadzi­

my taki znak podstawiania. Od razu musimy zaznaczyć, że metonimia, mimo że ją się czasem nazywa z polska zamiennią, nie może być uwa­

żana po prostu za rezu ltat pewnej operacji podstawiania. Operacja podstawiania je s t pewną ogólnie przyjętą w systemach formalnych w pełni legalną operacją, zgodną z systemem.

Metonimia, jako fig u ra stylistyczna, z reguły je s t w takim systemie pewnym wykroczeniem. W ogóle pojęcie figury stylistyczn ej odnosi s ię do języka żywego, a nie do systemu formalnego. W zna­

czeniu przyjętym przez nas, figu ry stylistyczne, w szczególności metafory i metonimie, odnosimy nie tylko do języka potocznego, ale również do żywego języka matematyki, a nawet traktujemy te figu ry jako fig u ry myślenia.

Być może, że pewną klasę metonimicznych przesunięć re fe re n c ji można by zinterpretować na gruncie języków formalnych. Wydaje s ię jednak, że wtedy te symbole, które oznaczają zmienne, trzeba in te r­

pretować jako dowolne s t a łe . Jednak nawet taki zabieg może tylko

częściowo opisać pewne aspekty związane z pojęciem fig u ry s t y lis ­

tycznej języka żywego.

5.7. Kreska ułamkowa je s t przykładem znaku, który, jak s ię wy­

daje, powstał przez styczność, t j . na zasadzie użycia tego, co po prostu było pod ręką. Kreska ułamkowa występowała już u Arabów, a do Europy przyszła w czasach odrodzenia. Grecy, Rzymianie i Hindu­

s i nie używali kreski ułamkowej. Z powodu specyficznej postaci zna­

ku, w ielk ości wyrażone z użyciem kreski ułamkowej nazywano liczbami przełamanymi, stąd „fr a c tio n s '1 od słowa frangere, broken numbers, nombres rompus, gebrochene Zahlen, r o t t i . W roku 1530 Fine używa

jeszcze słowa minuta: „De minutis, siue quotis eorundem intergrorum partibus (quas vu lgares appellant fr a c tio n e s ) " , t j . „0 minutach,

c z y li o w ielkościach, które częściami są swoich całkow itości (któ­

re prostacy nazywają przełamankami)". Słowo „ułamek" związane, było więc z przełamaniem znaku i przedzieleniem tego znaku kreską, nato­

miast słowo „minuta" miało znaczenie części pewnej c a ło ś c i. (Stąd też „minuta prima", „minuta secunda"). D zisiejsze znaczenie słowa

„ułamek" je s t już inne, a słowo „minuta" związane je s t z rachubą J czasu. Nie mamy jednak żadnego równie pięknego dokumentu, który by tak jasno zaświadczył, jak dla znaku równości, =, ja k ie było pocho­

dzenie ułamkowej k resk i.

5.8. Jako przykład metonimii w zięty ze szkolnej praktyki poda­

jemy reprodukcję kartki z rozwiązaniami pewnego ciągu zadań, z pod­

ręcznika „Matematyka 6 ". Uczniowie klasy 6 szkoły podstawowej mie­

l i zadane do domu przeczytanie stron 96-97 tego podręcznika w cha­

rakterze czytanki matematycznej. Nasl^pnie m ieli coś na temat t e j czytanki napisać od s ie b ie i ewentualnie opisać rozwiązania niektó­

rych zadań. Miało to być podstawą dyskusji w k la s ie . Na osobnej karteczce m ieli podać rozwiązania niektórych zadań. Na t e j kartecz­

ce, którą tu reprodukujemy, widać wyraźnie w punkcie „ 3 )" przykład typowej metonimii: „statek o większej prędkości równa s ię 20 mil na godzinę, c z y li 20- węzłów" (ten i następny przykład podał nam p. K rzysztof Mostowski).

5.9. W czasie dyskusji nad zadaniem, w którym prosimy pewną grupę uczniów z klasy VI szkoły podstawowej o opisanie, w jakim po­

łożeniu w stosunku do osi sym etrii sierpu Księżyca je s t Słońce, j e ­

den z uczniów mówi, że Słońce je s t na osi sym etrii sierpu Księżyca

.p^akotjuL 'l&w-nxx

f n , o a n rni \ V\rv rfnrtw rNu\\ J jS T w jc r

r t>fcffg^~Q vwraćr^37(r^ ^ d fc o te ^ w m ft

^ A U ^ m il y\&.

ifc X J jm iiU x x m

zawsze, z wyjątkiem pełni Księżyca, a w czasie pełni je s t inaczej, bo wtedy Księżyc i Słońce są równoległe. Najwyraźniej uczeń ten ma dobrą wyobraźnię przestrzenną i myśli dobrze, ale brakuje mu słów.

Używa więc zwrotów metaforycznych, używa przenośni, i całkiem nieź­

le sobie w ten sposób radzi z przekazaniem tego, co myśli.

5.10. Interesujący przykład "metonimii otrzymamy, gdy rozmawia­

jąc z kimś sformułujemy np. tw ierdzenie Pitagorasa w t a k ie j form ie:

„ J e ż e li tró jk ą t je s t prostokątny, to kwadrat przeciwprostokątnej je s t równy sumie kwadratów przyprostokątnych” . Gdy następnie zapy­

tamy, dla jakich trójkątów zachodzi tw ierdzenie Pitagorasa, lub dla jakich trójkątów tw ierdzenie Pitagorasa je s t prawdziwe, bardzo czę­

sto usłyszymy odpowiedź, że dla prostokątnych. Następuje wtedy me- tonimiczna fo k a liz a c ja uwagi, zwykle podświadoma, na czę ś c i prze­

kazu. W dosłownej in te r p r e ta c ji je s t to oczywiście błąd. Przy ust­

nym komunikowaniu s ię , zwykle tego rodzaju fig u ry s ty lis ty c zn e są akceptowane w sposób zupełnie bezwiedny. (Przykład ten podał nam p. Witold N itk a .) Ten przykład świadczy o tym, że metonimie nie da­

ją s ię sprowadzić do przypadkowego lub pomyłkowego przywołania nie pasującej ramy operacyjnej (frame) w sensie Minsky^ego (1968).

Z tego, że w zasadzie każdy przekaz może być interpretowany figuratyw nie, nie można wnosić, że każdy nonsens je s t automatycz­

nie fig u rą stylu . Do tego, aby pewne wyrażenie stało s ię fig u rą stylu , potrzebne je s t nie ty lk o to .wyrażenie, ale również pewien odbiorca, który s ię na taką in te rp re ta c ję zgodzi, taką in te rp re ta ­ c ję zobaczy. To oczywiście zależy od ok oliczn ości, a piękny przy­

kład związany z E lizą D o o little z Pygmaliona i E l i z ą „Weizenbau- mówną” opisał J.L. Mey (1982). Zdanie „Prawda je s t fałszem ” może być w pewnych warunkach metaforą, w innych metonimią, a le pozosta­

wione ty lk o sobie je s t po prostu zwykłym, pospolitym nonsensem.

6. METAFORY I METONIMIE JAKO FIGURY MYŚLENIA

6.1. Rozpatrzmy tera z tak ie szkolne zadanie „Cegła waży k ilo i pół c e g ły . I l e waży jedna cegła?”.' J e ż e li x będzie użyte jako

nowa lokalna nazwa dla cegły, wtedy mamy typową metonimię z prze­

sunięciem r e fe r e n c ji. Możemy sobie tera z wyobrazić wagę, po jednej stron ie pewną cegłę, a po dru giej stro n ie ciężarek kilogramowy i jeszcze pół ceg ły . Mając ten obraz przed oczyma możemy stosunkowo łatwo napisać przez analogię ta k ie równanie

i * . 2

X

To równanie jest teraz modelem tej sytuacji, którą opisuje zadanie, a figura, której użyliśmy pisząc to równanie, jest metaforą. Ana­

logia jest wyraźna, a towarzysząca temu wizja może być łatwo przed­

stawiona rysunkowo w formie pewnej wizualizacji. Model jednakże zwykle nie jest tylko opisem przez analogię. Model musi być podat­

ny na pewne manipulacje, dające się w pewien sposób interpretować.

Możemy próbować wykonywać takie operacje na modelu, patrząc na tę wagę w wyobraźni. Możemy na przykład odjąć od obu stron tej wagi, w wyobraźni, po pół cegły. Nie wiemy jednak, czy po czymś takim waga będzie nadal w równowadze. Jak mówił pewien uczeń: „ta połowa po drugiej stronie może nie być od tej cegły”. Gdy zatrzymamy się właśnie na takim sposobie patrzenia na tę sytuację, może to być przeszkodą w zrozumieniu metody równań. Potrzebna jest dalsza ide- alizacja, np. możemy myśleć o przeciętnej, średniej cegle, tak aby model, który jest w tym wypadku równaniem, dał się przekształcać.

Zakładamy oczywiście, że jeszcze niewiele wiemy o równaniach. Ten opis jest odtworzeniem jednej z takich sytuacji na podstawie dysku­

sji. Taka idealizacja jest znów związana z osłabieniem mocy seman­

tycznej. Jednak swobodne przekształcanie równania może nastąpić dopiero wtedy, gdy nastąpi całkowite zerwanie referencji znaku

do przedmiotu, w tym wypadku cegły, i nastąpi przesunięcie referen­

cji na liczby. To jest najprostsze i najoperatywniejsze rozumienie metody równań, ale droga do niego wcale nie jest łatwa. Czasem dro­

ga ta może być jeszcze dodatkowo skomplikowana brakiem dostatecznie wyrobionego pojęcia liczby. Chociaż przytoczony tu opis jest odtwo­

rzeniem sytuacji autentycznej, zarejestrowanej na podstawie obser­

wacji dyskusji, to wcale nie należy sądzić, że droga od sytuacji lub opisu konkretnej sytuacji do modelu utworzonego za pomocą rów­

nania jest zawsze taka sama. Nic podobnego, takich indywidualnych dróg jest bardzo dużo. Jednak efekt końcowy jest pod względem struk­

tury matematycznej na ogół dość zgodny. Związek pojęcia modelu z figurą metaforyczną jest często podnoszony w literaturze; o stro­

nie metonimicznej pojęcia modelu, która decyduje, jakie operacje będą w tym modelu dopuszczalne, często się zapomina. Wydaje się, że metafora jako figura myślenia nie może stanowić jeszcze modelu.

Pojęcie modelu związane jest co najmniej z figurą podwójną, metoni-

mia-metafora, lub z ciągiem trzech lub więcej figur, np. metonimia-

-metafora-metonimia. To są chyba minimalne wymagania, które model powinien spełniać.

Z lite ra tu ry znane są przypadki, w których występuje myślenie o zmiennych tak, jakby to były nazwy pewnych przedmiotów. Swego ro ­ dzaju fik s a c ja w tym stanie może usposabiać do wielu pomyłek. Np.

tekst „W naszej szkole je s t dziesięć razy tyle uczniów co nauczy­

c i e l i ” i fałszywy ale kuszący zapis tego za pomocą równania 10 u = n.

6.2. Podstawowa r o la fig u r metaforycznych i fig u r metonimicz- nych występuje na.każdym etapie rozwoju matematycznego, ślady wys­

tępowania tych dwóch rodzajów fig u r można wyraźnie obserwować od momentu rozw in ięcia s ię języka naturalnego, a le z pierwszymi kroka­

mi na drodze rozwoju matematycznego występuje tendencja do pojawia­

nia s ię tych fig u r myślenia również na tym te re n ie . Rozpatrzmy ta ­ k i przykład. Wyobrażamy sobie sytuację opisaną zadaniem: „Na par­

kingu je s t 9 samochodów. P ięć je s t czerwonych i p ięć fia tó w . Czy je s t między nimi chociaż jeden czerwony f i a t ? ” Nie precyzujemy wie­

ku, w którym możemy użyć takiego zadania. Nie ma to większego zna­

czenia i n ie możemy wskazać żadnych norm, występująca zmienność je s t ogromna. Gdy jednak d z ie c i są już nieco oswojone z techniką diagramów, czy p ę t l i Venna, to je s t rzeczą naturalną wybranie ja ­ kichkolwiek dziew ięciu przedmiotów, które są pod ręką, np. dziew ię­

ciu klocków drewnianych

i p rzy jęcie, że są to samochody na parkingu. Przesunięcie referen­

c j i przy ta k ie j reprezentacji je s t widoczne, i często s ię daje ob­

serwować w iele objawów potwierdzających taki mechanizm, np. po spo­

sobie wyrażania s ię dzieci o tych klockach, które „jadą” do swoich p ę t l i . Nie je s t to reprezentacja poprzez podobieństwo, gdyż klocki nie są przecież podobne do aut, ale przez styczność. Klocki (a mo­

że inne przedmioty) są po prostu pod ręką. Struktura matematyczna

przekazu gubi s ię jednak, gdy użyjemy do tego małych samochodzików;

tak ie „znaki" nie są niemożliwe do użycia, ale ich użycie nie daje charakterystycznej kondensacji, skupienia uwagi, w. takim stopniu, jak użycie przedmiotów obojętnych. Dalsze stadia postępowania są zupełnie jasne, chociaż rozwój wypadków może s ię toczyć różnymi drogami, a jak to z dziećmi, sam proces budowania modelu sytu acji może nie zajść daleko. Rysunkowo przedstawimy pewne etapy, np. w ta k i sposób:

Rzeczą charakterystyczną dla obserwującego ta k ie zabawy je s t jednak to , że k lo ck i, które w początkowym okresie takich zabaw w zbiory same były elementami zbioru klocków, przez przesunięcie r e ­ fe r e n c ji - w następnym etapie służą za nazwy elementów innych zbio rów. Możemy użyć zresztą innych słów, i zamiast słów „z b ió r ",

„zb io ry" użyć odpowiednio pasujących innych wyrażeń. To nie je s t is to tn e . Istotn a j e s t struktura modelu sytu a cji, która odpowiada takim naiwnym zbiorom, można by powiedzieć, takim naiwnym k la s y fi­

kacjom. To, że ta k ie k la s y fik a c je mogą być rozłączne, a le mogą być i nierozłączne, nie je s t trudne do zauważenia pod warunkiem, że kontekst je s t interesu jący.

6.3. Dla porównania rozważmy jeszcze podobny do poprzedniego

tek st, a le o dniach tygodnia, nie o samochodach: „W ubiegłym tygod

n^.u było p ięć dni, kiedy padał śnieg, pięć dni pogodnych, i pięć

razy na obiad była zupa grochowa. Czy były ta k ie dni, w ciągu któ-

rych było pogodnie, padał śnieg, a na obiad była zupa gruchowa?"

Dni tygodnia nie reprezentują s ię tak łatwo przez klocki, jak samo­

chody. Tu styczność raczej nie występuje. Tego rodzaju naturalnej styczności nie ma. Ale kartki z kalendarza, je ż e li ktoś o nich po­

myśli, mogą być źródłem ta k ie j naturalnej styczności. Używając kar­

tek z kalendarza, możemy taką sytuację równie łatwo zanalizować, jak poprzednią. Jest rzeczą naturalną pomyśleć, że kartki z kalen­

darza to są dni ubiegłego tygodnia i sytuacja może wyglądać na przy­

kład tak: ^

Kartki z kalendarza nie są podobne do dni tygodnia, ale mię­

dzy tymi kartkami a dniami tygodnia zachodzi re la c ja styczności.

Te kartk i, może nie fizy k a ln ie , bo być może już je ktoś s p a lił w piecu, ale przynajmniej w myśli są „pod ręką1'. Jakby na chwilę po­

życzamy innej nazwy - i model sytuacji zaczyna rosnąć.

6.4. Pies Freudenthala (Freud-enthal, 1977) je s t pięknym przy­

kładem co najmniej potrójnej figu ry myślenia. Gdy Bastiaan znalazł

kawałek blachy na śmietniku i zobaczył w nim dwa pieski złączone

nosami, to niewątpliwie ma to charakter metafory. Gdy następnie

spostrzegł, że można zgiąć ten kawałek blachy „pieskom na nosie",

wyłapał pewną możliwość wykonawczą, pewne potencjalne, możliwe do

wykonania' działan ie, które w następstwie doprowadza do tego, że

powstaje coś podobnego do jednego pieska stojącego na czterech ła p ­

kach, o bardzo ładnie wystylizowanej postaci. Po pierwszej metafo-

rze następuje więc metonimia, figu ra polegająca na przesunięciu uwa­

g i i zobaczeniu, co można d a le j, a "wykonanie tego, początkowo tylko w myśli, doprowadza do t r z e c ie j fig u ry o charakterze metafory. No i mamy tego pieska, s to i przed nami na czterech łapkach, i niemal macha ogonem. Ale to już je s t tylko ślad tego, co s ię s ta ło .

4

Występujące tu metonimie mają raczej charakter figur myślenia niż figur stylistycznych w języku naturalnym. Styczności występują­

ce w 6.1 mają charakter raczej kontekstowy, natomiast styczności występujące w 6.2, 6.3 i 6.4 mają charakter sytuacyjny.

7. UWAGI KOŃCOWE

7.1. Jakobson mawiał, że w cieniu metafory skrada się metoni­

mia, a w cieniu metonimii stoi metafora, a metafory i metonimie wią­

zał z przewagą aktywności odpowiednio prawej i lewej półkuli mózgo­

wej. Było to oparte na obserwacji pewnych typowych przypadków afazji, zaburzeń mowy. Takie zaburzenia przy przeciążeniu, gdy wystąpi stres, należą do fizjologicznej normy, np. gdy dziecko z wrażenia zapomni słowa „wilk” i mówi „to wielkie zwierzę” . Wykazuje wtedy drobne za­

burzenie funkcji referencyjnej i tworzy nową nazwę poprzez podobień­

stwo lub analogię. Czasem jednak w takich warunkach przesunięcie

re fe re n c ji może być użyte celowo, „dla odsunięcia niebezpieczeń­

stwa", np. „ale ty mi nie opowiadaj teraz o tym okropnym zwierzu na „w"". Z drugiej strony dobrze znamy z nauczania matematyki przy­

padki, gdy ktoś pod działaniem stresu może zaledwie wymienić k ilk a nazw, ale nie je s t w stanie ich z niczym sensownym powiązać. To je s t wyraźne zaburzenie mechanizmu metaforycznego, „sim ilarity d i­

sorder". Nie zauważa s ię wtedy najprostszych rzeczy, na które s ię wprost patrzy. •

Zwykle mamy do czynienia nie z pojedynczą figu rą, ale z całym szeregiem następujących po sobie fig u r . Rytm wiersza ma charakter metonimiczny i wyznacza pewne punkty stabiln e tekstu. Również w tekstach matematycznych możemy odnaleźć podobny mechanizm ułatw ia­

jący przekaz, gdy np. porównamy rytm wiersza do tego rytmu, który narzuca nam zwykły geoplan lub kratka zeszytu szkolnego do matema­

ty k i. Nie potrzeba, mając taki rytm przed oczyma, dodawać, że np.

taki tró jk ą t ma boki o długości 3 i ^ a kąt między nimi zawarty

je s t prosty. To wynika z rysunku. Taki rytm podkładowy przekazu wy­

stępuje często w nauczaniu matematyki.

W języku potocznym, w wierszu, takie wielokrotne i mieszane figu ry dają czasem mocne efekty, jak np. we wspomnianym wierszu V ietora Hugo. Występuje tam przecież podwójna metonimia w połącze­

niu z symbolami pochodzenia metaforycznego. Metonimia daje pewną koncentrację uwagi i jakby wyzwala pewną energię. Gdy je s t oczywis­

te , że energia ta nie ma żadnego celowego u jś c ia , powstaje śmiech,

tak; jakby wszystko poszło „na masę". Właśnie o takim mechanizmie