1. W zagadnieniach globalnych geometrii różniczkowej dużą rolę odgrywa badanie wektorów stycznych do rozmaitości we wszystkich jej punktach, rozpatrywanych jako jedna przestrzeń topologiczna. Przy­

A.

(Wrocław)

O iloczynach skośnych (librę bundles) I

Artykuł niniejszy stanowi treść referatu wygłoszonego na Konferencji Grupy Geometrii Różniczkowej Instytutu Matematycznego P A N we Wrocławiu 10 marca 1956 r. i omawia podstawowe pojęcia teorii iloczynów skośnych, znajdującej coraz szersze zastosowanie w geometrii.

1. W zagadnieniach globalnych geometrii różniczkowej dużą rolę odgrywa badanie wektorów stycznych do rozmaitości we wszystkich jej punktach, rozpatrywanych jako jedna przestrzeń topologiczna. Przy­

kładem tego może być dowód Cherna uogólnienia twierdzenia Gaussa- -Bonneta na parzysto-wymiarowe przestrzenie Riemanna [1]. Dowód Cherna polega na przeniesieniu całego zagadnienia z przestrzeni Riemanna do przestrzeni kierunków stycznych do tej przestrzeni Riemanna we wszystkich punktach i wykorzystaniu własności topologicznych prze­

strzeni kierunków stycznych.

Przestrzeń wektorów stycznych do rozmaitości nie zawsze można traktować jako iloczyn kartezjański samej rozmaitości i przestrzeni wektorów stycznych w ustalonym punkcie. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy na rozmaitości n -wymiarowej istnieje n liniowo niezależnych cią­

głych pól wektorów niezerowych, a to nie zachodzi na przykład dla dwu­

wymiarowej sfery. Przestrzeń ta ma jednak strukturę zbliżoną do ilo­

czynu kartezjańskiego, jest mianowicie iloczynem skośnym.

2. Przykład: wstęga Mobiusa. Rozpatrzmy wstęgę Mobiusa otrzy­

maną przez zidentyfikowanie w prostokącie аЪа'Ь' boku ab z a'b' (rys. 1).

Podobnie jak walec, można tę wstęgę zrzutować na koło X (przedsta-

84 A. Goetz

wionę na rysunku jako odcinek mm', którego końce są zidentyfikowane), przy czym na ten sam punkt koła X rzutują się punkty odcinka homeo- morficznego z odcinkiem Y (np. na punkt m, czyli m', rzutują się punkty odcinka ab, czyli a'b'). W odróżnieniu od walca, wstęga Móbiusa nie

jest iloczynem kartezjańskim koła X i odcinka Y.

Pokryjmy teraz koło X dwoma oto­

czeniami mn i pq (rys. 2). Oznaczmy je odpowiednio przez Ux i U2. Otoczenia te są uwidocznione na rysunku 1, przy czym koniec otoczenia U 2 jest zaznaczony dwa razy: raz jako q na odcinku mm', a drugi raz jako q' na jego przedłużeniu.

Należy oczywiście zidentyfikować odcinek m'qr (linia przerywana) z odcinkiem mq.

Rozpatrzmy teraz iloczyny kartezjańskie Uxx Y i f72x Y ; można je przedsta­

wić jako prostokąty abed i efg’h'. Nałóż­

my teraz te prostokąty na wstęgę Móbiusa tak, jak to pokazuje rysu­

nek 1, identyfikując prostokąt a'b'h'g' z prostokątem abhg (identyfi­

kuje się punkty oznaczone tą samą literą z kreską i bez kreski).

W wyniku otrzymujemy odwzorowania łiomeomorficzne <px i cp2 iloczynów U1x Y i U2x Y we wstęgę Móbiusa. Przy tym dla X€TJxr\TJ2 punkty wstęgi rzutujące się na x są pokryte jednym punktem z iloczynu Ux x Y i jednym punktem z U2x Y . Punkt z prostokąta efcd jest obra­

zem punktów z iloczynów Uxx Y i U2x Y o takich samych współrzęd­

nych x i у

(1) cpx{x, y) = (p2(x, y),

punkt zaś z abhg (lub a'b'h’g', np. punkt s = s') jest obrazem punktu ( x , y ) iloczynu UxX Y i punktu (x, 1 — y) iloczynu U2x Y , czyli

(

2

У) = 9>а(я> I -У )-

Jeśli oznaczymy przez g2x{x) homeomorfizm odcinka Y w siebie okre­

ślony w sposób następujący:

, „ ( у dla ж еш , flo, ЖИ/ = \

[ 1 — у dla x e mq, to można obydwa wzory (1) i (2) napisać łącznie

<Pi(x i У) = Ы ® ’ 921 (of)у).

Zauważmy jeszcze, że transformacje g21(x) przestrzeni Y dla każdego

x należą do grupy Q złożonej z transformacji tożsamościowej i z symetrii

względem środka odcinka Y. Transformacje g2X zależą w sposób ciągły od x.

Biorąc inne pokrycia koła X otoczeniami {77^} (w dowolnej ilości) i postępując analogicznie otrzymamy takie odwzorowania щ iloczy­

nów Ui XY we wstęgę Mobiusa, że dla xeTJirs TJj zachodzi równość 9 У) = *pj{x i 9ji(x )y)i

gdzie дц{х) jest dla każdego xeJJi^ Uj transformacją z grupy G i zależy od x w sposób ciągły.

3. Definicja iloczynu skośnego (1). Dane są trzy przestrzenie topo­

logiczne: В — przestrzeń iloczynu, X — baza, Y — włókno oraz grupa topologiczna G transformacji włókna Y. Iloczynem skośnym (В , X , Y , G, Ф) nazywa się przestrzeń В wraz z rodziną Ф homeomorfizmów щ iloczynów kartezjańskich V i X Y {Vi są otoczeniami w X) w В o nastę­

pujących własnościach:

I. Dla każdej pary wskaźników i, j jest określone takie odwzorowanie ciągłe дн : У* гл Vj -> G (2), że

<Pi(x, У) = y'Y wtedy i tylko wtedy, gdy x = x', y r — дц{х)у.

II. Otoczenia Vi pokrywają całą bazę X , a zbiory pi { Vi XY) — całą przestrzeń iloczynu B.

III. Rodzina Ф jest maksymalną rodziną spełniającą powyższe wrunki, tzn. każdy Jiomeomorfizm p: V x Y ^ В {V — pewne otoczenie w X ), który można dołączyć do Ф że spełnieniem warunku I, należy już do Ф.

Iloczyn kartezjański przestrzeni X i Y można traktować jako ilo­

czyn skośny, w którym do klasy Ф należy odwzorowanie całego 1 x 1 , tzn. wśród otoczeń Yi wy stępuje całe X .

Przyporządkowując punktowi b — pi(x, y) przestrzeni В punkt x przestrzeni X, otrzymamy odwzorowanie ciągłe zbioru p ^ V i X Y ) na zbiór Vi. Dzięki warunkowi I odwzorowania takie skonstruowane dla dwóch różnych wskaźników i, j pokrywają się, a dzięki warunkowi II można je rozszerzyć na całą przestrzeń B. Otrzymujemy w ten sposób odwzorowanie ciągłe p przestrzeni В na X, zwane rzutem. Mamy

_________ V (<Pi(x » У)) =■x -

(x) Podana tu definicja pochodzi z pracy Ehresmanna [3]. Definicja z mono­

grafii Steenroda [8], §§ 2, 3, jest wielostopniowa. Pierwotnie definiuje się pojęcie zwane coordinate bundle związane z jednym sposobem odwzorowania, a następnie wprowadza się pojęcie równoważności. Przyjmując poniższą definicję identyfiku­

jemy przestrzenie równoważne w szerszym sensie według Steenroda.

(2) Symbol f : E - > Z oznacza, że / jest odwzorowaniem zbioru E w zbiór Z.

86 A. Goetz

Przeciwobraz Yx — p~l (x) punktu x e X przez rzut p nazywamy włóknem nad punktem x. Odwzorowanie <pix : Y -> Yx określone wzorem

^Ргх(У) = i У)

jest homeomorfizmem włókna Y na Yx — włókno nad x.

Każdą rodzinę Ф spełniającą warunki I, II można rozszerzyć do maksymalnej, a więc rodzina ta determinuje przestrzeń włóknistą. Przy­

kładem takiej rodziny są odwzorowania <Pu <p2 z poprzedniego ustępu.

Eodzina maksymalna zawiera wszystkie inne pokrycia wstęgi Móbiusa prostokątami 7 x 1 dla wszelkich otoczeń V na kole X, dla których to jest możliwe (wyłączone jest w tym przypadku jako otoczenie tylko samo X).

Występujące w definicji funkcje дц spełniają dla ж e F^ r-W, r-, Ffc następujący warunek:

(1) gki(%)9n(x) = 9ы(х),

skąd wynika, że

gu (x) = e i gH(x) = дц{х)~\

gdzie e oznacza element jednostkowy grupy G, а дц (х)-1 element odwrotny elementu дц(х).

Funkcje дц odgrywają podstawową rolę w strukturze iloczynu skośnego. Jeśli dane jest pokrycie {F^} przestrzeni topologicznej X oto­

czeniami, przestrzeń topologiczna Y i grupa topologiczna G działająca w Y oraz we wszystkich częściach wspólnych F ^ F ,- otoczeń są okre­

ślone funkcje ciągłe дц\ F ^ V; -> G spełniające warunek (1), to można skonstruować jedyny iloczyn skośny o bazie X, włóknie Y i grupie G zdeterminowany przez rodzinę Ф (być może nie maksymalną) spełnia­

jącą warunki I i II z danymi funkcjami gH (patrz Steenrod [8], § 3).

Przestrzeń В powstaje przy tym ze wszystkich ViX Y przez skle­

jenie w ten sposób, że w dwóch F*x Y i V j X Y przy niepustej części wspólnej V i V j identyfikuje się punkty (ж, у) e F*x Y z punktami [x, gH( x ) y) e Vj XY. Warunki (1) zapewniają zgodność przy „zlepia­

niu” większej liczby iloczynów kartezjańskich (gdy np. F ^ Vk — 0)- Odwzorowania щ określa się w sposób naturalny przyporządkowując każdemu punktowi z F*x Y ten punkt w B, który powstał zeń po „zle­

pieniu” .

Jeżeli przestrzenie X i Y są rozmaitościami różniczko walnymi klasy r odpowiednio n- i m-wymiarowymi, G grupą Liego, a funkcje gH są różniczko walne klasy r, to przestrzeń В jest również rozmaitością różniczkowalną ( n+m) - wymiarową klasy r i rzut p jest funkcją klasy r.

Eóżniczkowalne układy współrzędnych w przestrzeni В otrzymujemy

w prosty sposób z układów różniczko walnych w X i Y. Jeśli w otoczę-

niach Fi przestrzeni X są wprowadzone lokalne współrzędne , . . . , х^ , a w otoczeniach Wj przestrzeni Y — współrzędne y ^ , ..., , to trak­

tując zespół liczb аф), . у \^, ..., y^) jako współrzędne punktu щ ( х , у ) otrzymamy lokalne współrzędne w otoczeniu ^ (F iX F ,-) prze­

strzeni B. Otoczenia tej postaci dla wszystkich i i j pokrywają oczy­

wiście całą przestrzeń B. Taki iloczyn skośny nazywamy iloczynem skośnym klasy r.

Przekrojem iloczynu skośnego В nazywa się funkcję ciągłą f : X - > B o tej własności, że

p(j{x))

Innymi słowy, jest to powierzchnia ciągła w przestrzeni В mająca z każ­

dym włóknem Yx dokładnie jeden punkt wspólny. Krzywa kk' na ry­

sunku 3 jest przykładem przekroju na wstędze Móbiusa.

Ważne twierdzenie ([8], § 6.7) orzeka, że w iloczynie skośnym klasy r każdy przekrój można aproksymować przekrojem f(x) klasy r, tzn. takim, że / jest funkcją klasy r.

4. W iązki w ektorów stycznych i wiązki tensorów. №ech X będzie rozmaitością ^-wymiarową różniczkowalną i niech będzie dane pokrycie tej przestrzeni otoczeniami F$, w których są określone lokalne układy współrzędnych х ^, х\ц, ..., xfy. Oznaczmy dla oceVi^Vj przez Oiji(x) macierz Jacobiego

d X/j\

% = [weZ], gdzie msl = — d#(i) w punkcie x.

Wiązką wektorów stycznych do rozmaitości X nazwiemy iloczyn skośny skonstruowany dla rozmaitości X jako bazy, przestrzeni linio­

wej w-wymiarowej Y jako włókna, grupy przekształceń liniowych jedno­

rodnych (centroafinicznych) G, za pomocą przekształceń gH przestrzeni liniowej Y określonych przez macierz Jacobiego aH. Jasne jest, że taki wybór przekształceń g jest możliwy, bo macierze Jacobiego spełniają warunek (1). Przyjmując za gц przekształcenia określone przez macierz di7- otrzymamy wiązkę stycznych kowektorów.

Ogólnie możemy rozpatrywać dowolną przestrzeń Y i grupę G trans­

formacji homeomorficznych tej przestrzeni oraz homoniorfizm h grupy

£ n przekształceń liniowych jednorodnych przestrzeni liniowej w-wymia- rowej (albo, co na to samo wychodzi, macierzy nieosobliwych rzędu n) w grupę G, a następnie zdefiniować przekształcenia gц jako

дц{%) = h(aH{x)).

88 A. Goetz

Skonstruowany przy tych przekształceniach gH iloczyn o bazie X, włóknie Y i grupie h(J2n) nazwiemy wiązką tensorów typu h.

Rozpatrywane wyżej wiązki wektorów stycznych do rozmaitości są szczególnym przypadkiem tej definicji, gdy Y jest przestrzenią liniową w-wymiarową, O grupą przekształceń liniowych jednorodnych, a homo- morfizm h przyporządkowuje macierzy a przekształcenie określone przez macierz a (w przypadku kowektorów przez macierz odwrotną).

Dla innych homomorfizmów otrzymamy inne przykłady. Jeśli za Y weźmiemy prostą liczbową, za G grupę homotetii prostej, a homo- morfizm łi będzie przyporządkowywał macierzy a przekształcenie у = h(a)y określone wzorem

У = аюУ,

gdzie a oznacza wyznacznik macierzy a, to otrzymamy wiązkę gęstości skalarnych wagi w.

Jeśli za Y przyjmiemy przestrzeń liniową w2-wymiarową, której elementy у określimy za pomocą współrzędnych y\, a homomorfizm h zdefiniujemy w ten sposób, że macierzy

~ a\

a \ '

£1»! • .

n an

przyporządkuje przekształcenie h(a)y = y, gdzie

y ) = aw аъг а *у 8г

{a) oznacza element macierzy odwrotnej do macierzy a), to przyjmując za G obraz grupy £ n przez ten homomorfizm, a gH = /*,(%*) otrzy­

mamy wiązkę gęstości tensorowych wagi w jednokrotnie współzmienni­

czych i jednokrotnie przeciwzmienniczych. Podobnie można konstruować wiązki tensorów dowolnej Walencji.

Obierając inne Y i inny homomorfizm h otrzymalibyśmy inne czy­

sto różniczkowe obiekty geometryczne klasy 1, czasem dość niezwykłe (składowe obiektu przyjmują wartości z przestrzeni Y).

Przekrój takiej wiązki jest polem tensorowym określonym w całej przestrzeni X. Twierdzenie aproksymacyjne zapewnia istnienie (przy odpowiednich założeniach regularności о X, Y, G i h) pola tensorowego klasy r, o ile tylko istnieje pole ciągłe. Metody teorii iloczynów skośnych pozwalają często stwierdzić istnienie lub nie istnienie przekroju. Tak na przykład rozpatrując wiązkę symetrycznych tensorów dwukrotnie współzmienniczych i dodatnio określonych można udowodnić istnie­

nie przekroju dla dowolnej rozmaitości, co oznacza możliwość wpro­

wadzenia metryki riemannowskiej w dowolnej rozmaitości (patrz Steen- rod [8], § 12. 12).

5. W iązki obiektów geom etrycznych klasy r (Haantjes i Laman [6]). Teoria iloczynów skośnych daje się zastosować także do obiektów geometrycznych klasy r > 1. W tym przypadku zamiast grupy J2n macierzy rzędu n rozpatrujemy grupę J2h, której elementami są układy n wielomianów stopnia r o n zmiennych ss:

fk = allzs +

2!

Ч 82zs'zs 2 + ... + ^S1 ■ ■ ■ SrZ

(k, s, Si = 1 , .. ., n, Det(a}) Ф 0), a iloczyn dwóch elementów jest równy superpozycji odpowiednich układów wielomianów zredukowanej do wy­

razów stopnia nie większego od r. Podobnie jak poprzednio będziemy rozpatrywali ciągły homomorfizm h grupy J2rn w grupę G transformacji przestrzeni Y.

Po wprowadzeniu w rozmaitości X lokalnych układów współrzęd­

nych х\ц, w otoczeniu У* możemy każdemu x e V i ^ V j przypo­

rządkować w sposób ciągły element ан{х) grupy £ rn będący układem wielomianów

d4 ) U Хц) VS1

dĄ) 2! д х ^ д х ^ + ... + <4->

дхЦ}... dxsfa .z

Iloczyn skośny o bazie X , włóknie Y i grupie G zbudowany za pomocą funkcji fjji określonych wzorem

gH{x) = Ji(aH{x))

nazywa się wiązką obiektów geometrycznych klasy r typu homomorfizmu h, a przekroje przedstawiają pole obiektu.

Na przykład obiekt koneksji afinicznej otrzymamy obierając za Y przestrzeń w3-wymiarową, której elementy Г będziemy określali za pomocą współrzędnych J\*, a homomorfizm h grupy J22 n w grupę prze­

kształceń afinicznych przestrzeni Y określimy w ten sposób, że elemen­

towi a będącemu układem wielomianów

f = ak s zs+ l a k SlS2zSlzS2

przyporządkujemy przekształcenie h(a)T = Г, takie że Г* — n^nv.nk Vw — r£nv. ak

■l г? — ^ г u v 10г w u xn

gdzie a) są elementami macierzy odwrotnej do a, tzn. spełniają waru­

nek a\al =.d\.

9 0 A . G o e t z

Haantjes i Laman wprowadzają specjalne pojęcie równoważności wiązek obiektów geometrycznych, które słnży im do klasyfikacji obiek­

tów.

Stosując to do obiektów o jednowymiarowej przestrzeni Y auto­

rzy przeprowadzają kompletną klasyfikację tych obiektów i otrzymują prócz klas obiektów o jednej składowej, rozpatrywanych przez S. Gołąba [4], [5] i G. Penzowa [7], jeszcze inne typy obiektów, co częściowo za­

wdzięczają rozpatrywaniu dziwnych obiektów, których składowe wzięte są z przestrzeni jednowymiarowych Y różnych od prostej.

6. Iloczyn główny. Iloczyn skośny nazywa się główny, jeżeli włókno Y jest identyczne z grupą G i grupa G działa na włókno przez lewostronne mnożenie. Z każdym iloczynem skośnym można powiązać iloczyn główny zwany iloczynem głównym dołączonym, konstruując iloczyn skośny o tej samej bazie, tej samej grupie G i włóknie identycznym z grupą G za pomocą tych samych funkcji gH , co sam iloczyn wyjściowy.

Interpretując grupę G, rozpatrywaną jako włókno, jako zbiór ukła­

dów odniesienia w Y względem grupy G, możemy traktować iloczyn główny dołączony do danego iloczynu jako przestrzeń wszystkich ukła­

dów odniesienia we wszystkich włóknach.- W szczególnym przypadku wiązki wektorów stycznych do rozmaitości (a także wiązek tensorów), iloczyn główny dołączony jest przestrzenią wszystkich układów odnie­

sienia w przestrzeniach stycznych we wszystkich punktach rozmaito­

ści. Badanie iloczynu głównego dołączonego dostarcza wiele informacji o samym iloczynie wyjściowym.

Ciekawe wyniki globalnej geometrii różniczkowej uzyskano przy przeniesieniu na grunt teorii iloczynów skośnych pojęcia koneksji (Ehres- mann [3], Chern [2]). Zagadnieniom tym będzie poświęcona druga część artykułu.

Prace cytowane ,

[1] S. S. C h e rn , A simple intrisic proof of the Gauss-Bonnet formula for clo­

sed Biemannian manifolds, Annals of Math. 45 (1944), str. 747-752.

[2] — Differential geometry of fibre bundles, Proc. Intern. Congress of Math.

Cambridge (Mass.) 1950, vol. II, str. 397-411.

[3] Ch. E h r e s m a n n , Les connexions infinitesimales dans un espace fibre diffe­

rentiable, Colloque de topologie, Bruxelles 1950, str. 2 9-55.

[4] S. G o łą b , Tiber die Klassifikation der geometrischen Objehte, Mathematische Zeitschrift 44 (1938), str. 104-114.

[5] — Sur les objets geometriques a une composante, Annales Soc. Pol. Math.

23 (1950), str. 7 9 -8 9 .

[6] J. H a a n t j e s and G. L a m a n , On the definition of geometric objects I , I I , Indagationes Mathematicae 15 (1953), str. 2 08-21 5, 216-222.

[7] G. P e n z o w , Classification of differential objects of the class v with one com­

ponent, C. R. Acad. USSR 54 (1946), str. 563-566.

[8] N. S t e e n r o d , The topology of fibre bundles, Princeton 1951 (przekład rosyj­

ski pt. Топология косых произведений, Моснва 1953).

INSTYTUT M ATEMATYCZNY POLSKIEJ A K A D E M II N A U K

А . Ге т ц ( В р о ц л а в )

О КОСЫ Х П Р О И З В Е Д Е Н И Я Х I Р Е З ЮМЕ

В с т а т ь е и з л а г а ю т с я о с н о в н ы е п о н я т и я т е о р и и к о с ы х п р о и з в е д е н и й и п р и ­ в о д я т с я п р и м е р ы е ё п р и м е н е н и й к г е о м е т р и и .

A. Go e t z (Wrocław)

ON F IB R E B U N D L E S I

S U M M A R Y

The paper presents the fundamental notions of the theory of fibre bundles and gives examples of its applications in geometry.