Ćwiczenia AM II, 31.10.2017
Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych - przestrzeń wektorów stycznych
Zadanie 1. Napisać równanie płaszczyzny (prostej) stycznej w punkcie P do płaszczyzny (krzywej) opisanej równaniem f = 0, jeśli
(a) f(x, y, z) = x2− 2y2+ z3+ xyz − 14, P = (5, −2, 3), (b) f(x, y) = x4+ xy + y2− 19, P = (2, −3).
Zadanie 2. Znaleźć wszystkie wektory styczne do zbioru A w punkcie a, gdzie (a) A = {(x, y) : y x2} ∪ {(x, y) : y < 0, |x| < |y|}, a = (0, 0), (b) A = {(x, y) : x(x2− 4y2)(x − y3) = 0}, a = (0, 0).
Zadanie 3. Wyznaczyć punkty różniczkowalności funkcji
(a) f(x, y) = xy sinx2+2y1 2, jeśli (x, y) 6= (0, 0), oraz f(0, 0) = 0, (b) f(x, y, z) = xyz exp(x2+yz 2), jeśli (x, y) 6= (0, 0) oraz f(0, 0, z) = 0.
Zadanie 4. (DOM: 6/7.11.2017) Niech Ω = {(x, y) ∈ R2: 1 < x2+ y2 <9} i niech f : Ω → R będzie taką funkcją, że pochodne cząstkowe fx′, fy′ istnieją w każdym punkcie zbioru Ω i są ograniczone przez 1 z góry i −1 z dołu. Czy funkcja f musi spełniać warunek Lipschitza?
Zadanie 5. Podać przykład funkcji określonej na zbiorze R2\ {(x, 0) : x ¬ 0}, która nie spełnia warunku Lipschitza z żadną stałą, ale której pochodne cząstkowe są ograniczone w każdym punkcie dziedziny.
Zadanie 6. Podać przykład funkcji f : A1∪ A2→ R, która nie jest jednostajnie ciągła mimo, że obcięcia f |Ai, i = 1, 2 są funkcjami jednostajnie ciągłymi.
Zadanie 7. Podać przykład zbioru otwartego i spójnego Ω ⊂ R2funkcji f : Ω → R, dla której ∂f∂x(x, y) = 0 w każdym punkcie (x, y) ∈ Ω i której nie można przedstawić jako funkcji jednej zmiennej y, f(x, y) = g(y).
Zadanie 8. Dookreślić funkcję f : R2\ {(0, 0)} → R w punkcie (0, 0), f (x, y) = x3y−1sinx2+y1 2 tak by istniała pochodna kierunkowa fv′(0, 0) w kierunku wektora v = [1, −2]. Czy otrzymana funkcja jest ciągła w (0, 0)?
Zadanie 9. Niech f : Rk → R,
f(x1, x2, . . . , xk) = det
1 . . . 1
x1 . . . xk
... ...
xk−11 . . . xk−1k
Uzasadnić różniczkowalność funkcji f. Niech v = [1, 1, . . . , 1]. Dowieść, że fv′(x) = 0 w każdym punkcie x∈ Rk.
Zadanie 10. Funkcja różniczkowalna f : R3 → R spełnia: grad f (0, 0, 0) = [1, 2, 3], grad f (1, 1, 1) = [−1, −2, −3].
Funkcja g : R3→ R dana jest wzorem
g(x, y, z) = f(e−x+ y, ey− z, e−z− x).
Obliczyć g′v(0), gdzie v = [2, 1, 1].
Zadanie 11. Niech f : Rn → R będzie funkcją różniczkowalną. Obliczyć pochodną funkcji jednej zmiennej F (t) = (f(t, t2, t3, . . . , tn))2.
Zadanie 12. Niech f : Rn ⊃ Ω → Rm będzie funkcją różniczkowalną określoną na zbiorze otwartym Ω. Wykazać, że różniczka funkcji f w punkcie a ∈ Ω jest przekształceniem liniowym ,które posyła wektor styczny v ∈ TaΩ ≃ Rn reprezentowany przez krzywą γ : [0, ǫ) → Ω (t.j. v = γ′(0)) na wektor styczny w ∈ Tf(a)Rm≃ Rmreprezentowany przez krzywą t 7→ f(γ(t)).
