EFEKTYWNE WYZNACZANIE NAPRĘŻEŃ ZA POMOCĄ METODY PURC Z WYKORZYSTANIEM UOGÓLNIONEJ STRATEGII APROKSYMACJI POCHODNYCH

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 47, ISSN 1896-771X

EFEKTYWNE WYZNACZANIE NAPRĘŻEŃ ZA POMOCĄ METODY PURC

Z WYKORZYSTANIEM UOGÓLNIONEJ

STRATEGII APROKSYMACJI POCHODNYCH

Agnieszka Bołtuć

^1a

, Eugeniusz Zieniuk

^1b

1Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet w Białymstoku

aaboltuc@ii.uwb.edu.pl, ^bezieniuk@ii.uwb.edu.pl

Streszczenie

W pracy dokonano uogólnienia strategii aproksymacji pochodnych rozwiązań uzyskiwanych za pomocą metody PURC. Opracowano i przebadano różne warianty strategii w celu uzyskania algorytmu stabilnego oraz pozwalają- cego na efektywne wyznaczanie naprężeń. Jego wiarygodność i dokładność została przetestowana na przykładzie z rozwiązaniem analitycznym.

Słowa kluczowe: PURC, naprężenia, aproksymacja, złe uwarunkowanie

THE EFFECTIVE DETERMINATION OF STRESSES BY PIES METHOD USING THE GENERALIZED

APPROXIMATION STRATEGY FOR DERIVATIVES

Summary

The paper presents the generalization of the approximation strategy for derivatives of solutions obtained by PIES. Authors have developed and tested various options of the mentioned strategy to achieve a stable algorithm which allows for an efficient determination of stresses. Its reliability and accuracy has been tested on the example with the analytical solution.

Keywords: PIES, stresses, approximation, ill-conditioning

1. WSTĘP

Parametryczny układ równań całkowych (PURC) [5]

jest metodą od lat rozwijaną jako efektywna alternatywa dla klasycznych metod elementowych [2,4], służących do rozwiązywania różnorodnych zagadnień brzegowych.

Wiele jej zalet (w porównaniu do MES i MEB) zostało dotychczas potwierdzonych na podstawie rozwiązanych zagadnień brzegowych 2D i 3D, modelowanych różnymi równaniami różniczkowymi [5,6,7]. Jednym z ostatnio rozwiązanych problemów było opracowanie strategii aproksymacji pochodnych rozwiązań uzyskiwanych na bazie PURC. Wspomniana strategia została wstępnie przetestowana na zagadnieniach z zakresu teorii spręży- stości i zastosowana do obliczania naprężeń na brzegu oraz w obszarze. Otrzymane wyniki charakteryzowały

się dużą dokładnością w porównaniu z rozwiązaniami analitycznymi, a w związku z tym są bardzo zachęcające do rozszerzenia zastosowań strategii aproksymacji na zagadnienia bardziej zaawansowane np. nieliniowe.

Podczas testowania wstępnej wersji wspomnianego algorytmu okazało się jednak, że rozmieszczenie punk- tów interpolacyjnych, w których za pomocą PURC uzyskiwane są rozwiązania, ma istotny wpływ na do- kładność pochodnych. Ponadto, w niektórych przypad- kach otrzymywany układ równań algebraicznych, które- go rozwiązanie jest niezbędne w procesie aproksymacji, jest źle uwarunkowany. Problem ten może stać się szczególnie niekorzystny przy rozwiązywaniu zagad- nień nieliniowych, gdzie mamy do czynienia z procesem

iteracyjnym i wielokrotnym rozwiązywaniem układu równań ze zmodyfikowanym wektorem wyrazów wol- nych. Wówczas złe uwarunkowanie może powodować uzyskiwanie każdorazowo innych rozwiązań układu, co będzie prowadziło do braku zbieżności procesu itera- cyjnego. Kolejnym problemem okazała się niewystarcza- jąca dokładność rozwiązań uzyskiwanych w punktach znajdujących się w bliskiej odległości od brzegu, któ- ra to przekłada się na dokładność aproksymacji.

Celem pracy jest opracowanie efektywnej strategii aproksymacji pochodnych rozwiązań otrzymywanych za pomocą metody PURC. Wymaga to uogólnienia zaproponowanej w [3] koncepcji poprzez: 1) zbadanie różnych wariantów automatycznego rozmieszczenia punktów interpolacyjnych i wyciągnięcia wniosków które warianty mają wpływ na poprawienie rezultatów oraz uwarunkowania układu równań algebraicznych, 2) zastosowanie innych funkcji bazowych w szeregach aproksymujących pochodne rozwiązań. Ponadto ważnym etapem pracy jest próba zastosowania procedury mającej na celu poprawienie dokładności rozwiązań uzyskiwa- nych w bliskiej odległości od brzegu. Ostatecznie brane jest także pod uwagę zastosowanie innej strategii aprok- symacyjnej, która pozwoli na całkowite wyeliminowanie konieczności rozwiązywania układu równań algebraicz- nych. Wiarygodność algorytmu aproksymacji przetesto- wano na przykładzie, a wyniki porównano z rozwiąza- niami analitycznymi.

2. UOGÓLNIENIE STRATEGII APROKSYMACJI

Rozwiązaniem płaskiego zagadnienia brzegowego teo- rii sprężystości jest wektor przemieszczenia u=[u_x,u_y]. Bardzo często jednak niezbędna jest również znajomość pochodnych rozwiązań np. tensora odkształcenia czy naprężenia. W [3] zaprezentowano strategię oblicza- nia takich pochodnych z wykorzystaniem aproksymacji bazującej na uzyskaniu szeregów zależnych od dwóch zmiennych. Szereg taki, na przykładzie przemieszczeń w kierunku osi x (u_x), można przedstawić w następują- cej postaci (uogólnionej w stosunku do [3] o wprowadze- nie m≠n)

) ( ) ( )

, (

1

0 1

0

y T x T a y

x

S j l

n

j m

l l m j

u_x

∑∑

⁻

=

−

= +

= ⋅ , (1)

gdzie m⋅n jest liczbą punktów interpolacyjnych, )

( ), (x T y

T_{j l} to dowolne funkcje bazowe, zaś aj_⋅m₊l

są niewiadomymi współczynnikami szeregu. Współczyn- niki te otrzymywane są na podstawie rozwiązania ukła- du równań (2), który powstaje w wyniku zapisania szeregu (1) w odpowiednio rozmieszczonych punktach obszaru i brzegu (x_i,y_i)(i=0,1,...,m⋅n−1)

ux

Aa= , (2)

gdzie u_x to wektor wartości u_x w punktach (x_i,y_i),

[ ]

ai

=

a to wektor poszukiwanych współczynników szeregu (1), zaś elementami macierzy A są iloczyny funkcji bazowych Tj(x)Tl(y) z (1). Jawną postać A dla przypadku m=n można znaleźć w [3]. W sposób analogiczny uzyskiwany jest szereg dla uy. Zastosowanie tej techniki jest równoważne z otrzymaniem wyrażenia matematycznego interpolującego rozwiązania.

W następnym etapie zróżniczkowano je względem po- szczególnych zmiennych w celu otrzymania wyrażeń aproksymujących pochodne. Za pomocą tak uzyskanych szeregów można obliczyć pochodne rozwiązań w sposób ciągły w dowolnych punktach obszaru i brzegu [3].

W związku z problemami wskazanymi we wstępie pracy postanowiono zbadać uwarunkowanie macierzy układu równań (2). Dokonano tego na przykładzie kwadratowej jednostkowej tarczy, której lewy dolny narożnik leży w początku układu współrzędnych. Wa- runki brzegowe zadano na podstawie rozwiązań anali- tycznych dla pola przemieszczeń

, 2 6 , 2

6xy² y³ u x²y x³

u_x= − _y=− + (3)

za pomocą których wyznaczono również pole naprężeń ) ( 12 , 24 ,

24Gxy _y Gxy _xy G x² y²

x= σ =− σ = −

σ . (4)

Zadanie rozwiązano w PSN biorąc pod uwagę nastę- pujące wartości stałych materiałowych: E=1MPa oraz ν=0.3. Uzyskane wartości wyznacznika macierzy głównej układu równań (2) oraz wskaźnika uwarunko- wania wyznaczono dla różnej liczby równomiernie roz- mieszczonych punktów interpolacyjnych (równoważnej z liczbą rozwiązywanych równań) i zaprezentowano w tabeli 1.

Tab. 1. Wartości wyznacznika i wskaźnika uwarunkowania liczba punktów det cond

4 0.012 56.760

9 5.960D-08 2 917.826

25 4.177D-36 21 200 001.0 49 3.839D-96 548 800 000.0

Jak wynika z tabeli 1, wartości wskaźnika uwarun- kowania świadczą o złym uwarunkowaniu macierzy, co nie może zagwarantować stabilności rozwiązań.

W związku z tym postanowiono opracować różne strate- gie mające na celu poprawienie uwarunkowania macie- rzy, a w rezultacie dokładności rezultatów końcowych.

Agnieszka Bołtuć, Eugeniusz Zieniuk

2.1 WARIANTY ROZMIESZCZANIA PUNKTÓW INTERPOLACYJNYCH

W dotychczasowych badaniach rozważane i przet stowane były trzy warianty rozmieszczenia punktów interpolacyjnych:

a) równomierny,

b) w miejscach odpowiadających pierwiastkom n wielomianu Czebyszewa I rodzaju,

c) w miejscach odpowiadających pierwiastkom wielomianu Legendre’a.

Dwa ostanie warianty (b i c) charakteryzują się z gęszczeniem punktów przy krawędziach obszaru.

no uwarunkowanie macierzy w odniesieniu do trzech wymienionych wariantów rozmieszczenia punktów, a uzyskane wyniki zamieszczono w tabeli 2.

Wartości wskaźnika uwarunkowania w zależności od

rozmieszczenia punktów liczba

punktów

równomierne a)

Czybyszewa I rodzaju

b)

4 56.760 13.048

9 2917.826 287.382 25 21 200 001.0 278 454.72 49 548 800 000.0 41 859 548.0

Analizując wartości zamieszczone w podkreślić, że wskaźniki uwarunkowania dla

rozmieszczeń zagęszczonych (b i c) są mniejsze od tych uzyskanych dla rozmieszczenia równomiernego

to są one niezadowalająco wysokie.

Nie zważając jednak na złe uwarunkowanie macierzy w dalszym etapie badań postanowiono

jak rozpatrywane warianty rozmieszczenia interpolacyjnych wpływają na wartości

nym krokiem było więc obliczenie wartości naprężeń normalnych . Rozwiązania uzyskano w dwudziestu punktach pionowego przekroju rozważanej tarczy prz biegającego w bardzo bliskiej odległości (0.01

gu. Początkowo wyznaczono za pomocą tożsamości całkowej dla naprężeń w metodzie PURC i

średni błąd względny rozwiązań wynoszący około 537%.

Wynika to z faktu, iż naprężenia uzyskiwane były w punktach leżących w bardzo bliskiej odległości od brzegu, co powoduje duże błędy obliczeniowe

rzystanie do obliczania naprężeń proponowanej w pracy strategii aproksymacji pochodnych rozwiązań

jednak wspomniany problem obliczeniowy

zaprezentowano wartości średnich błędów względnych dla biorąc pod uwagę różną liczbę punktów wykorz stanych do interpolacji rozwiązań oraz różne ich rozmieszczenia.

Agnieszka Bołtuć, Eugeniusz Zieniuk

WARIANTY ROZMIESZCZANIA PUNKTÓW INTERPOLACYJNYCH

W dotychczasowych badaniach rozważane i przete- rozmieszczenia punktów

w miejscach odpowiadających pierwiastkom n-tego

w miejscach odpowiadających pierwiastkom n-tego

Dwa ostanie warianty (b i c) charakteryzują się za- gęszczeniem punktów przy krawędziach obszaru. Zbada- no uwarunkowanie macierzy w odniesieniu do trzech

w rozmieszczenia punktów, abeli 2.

Tab. 2.

Wartości wskaźnika uwarunkowania w zależności od wariantów rozmieszczenia punktów

Legendre’a c) 19.281531 463.66767 460 150.78 49 468 643.0

Analizując wartości zamieszczone w tabeli 2, należy podkreślić, że wskaźniki uwarunkowania dla wariantów są mniejsze od tych równomiernego, ale mimo

Nie zważając jednak na złe uwarunkowanie macierzy, postanowiono sprawdzić, ozpatrywane warianty rozmieszczenia punktów wartości naprężeń. Kolej- obliczenie wartości naprężeń . Rozwiązania uzyskano w dwudziestu punktach pionowego przekroju rozważanej tarczy prze- biegającego w bardzo bliskiej odległości (0.01) od brze- za pomocą tożsamości całkowej dla naprężeń w metodzie PURC i uzyskano średni błąd względny rozwiązań wynoszący około 537%.

Wynika to z faktu, iż naprężenia uzyskiwane były punktach leżących w bardzo bliskiej odległości błędy obliczeniowe. Wyko-

proponowanej w pracy aproksymacji pochodnych rozwiązań eliminuje obliczeniowy. Na rys.1 zaprezentowano wartości średnich błędów względnych biorąc pod uwagę różną liczbę punktów wykorzy-

oraz różne warianty

Rys. 1. Średnie błędy względne dla naprężeń wariantów rozmieszczenia punktów

Jak widać na rys.1, przy zastosowaniu rozmieszcz nia równomiernego błąd jest niemal zerowy bez

na liczbę wykorzystanych punktów interpolacyjnych.

Dużo wyższe wartości błędów generują wariant mieszczenia oznaczone jako b) i

genny jest wariant b) - przy większej liczbie punktów charakteryzuje się błędem nawet 141%. Wynika to z umiejscowienia skrajnych punktów takiego ro mieszczenia w bardzo bliskiej odległości od brzegu i uzyskiwania wartości funkcji (przemieszczeń) w tych punktach obarczonej błędem.

Z tego powodu postanowiono

i przetestować jeszcze inne warianty rozmieszczeń p za tymi podanymi na początku podrozdziału 2.1. Pier szym była lokalizacja punktów w miejscach odpowiad jących pierwiastkom n-tego wielomianu Czebyszewa II rodzaju (oznaczona jako wariant d). Sposób rozmies czenia na przykładzie jednowymiarowym dla 9 punktów zaprezentowano na rys. 2d.

Jak wynika z rys.2d, punkty rozmieszczone zg z wariantem d) są również coraz

na krańcach przedziału, ale skrajne punkty są dalej odsunięte od końców niż to ma miejsce w przypadku z rys. 2b. W celach badawczych wprowadzono również inne rozmieszczenie, roboczo nazwane „dodatkowe (oznaczone jako wariant e), które

pomiędzy wynikającymi z rozmieszczeń bazujących na wielomianach Czebyszewa I i II rodzaju

b)

d)

e)

Rys. 2. Warianty rozmieszczenia punktów zgodne z: b) pie wiastkami wielomianu Czebyszewa I

II rodzaju, e) „dodatkowe” (oznaczenia podpisów zgodne z oznaczeniem rozmieszczeń wprowadzonym w podrozdziale 2.1)

1. Średnie błędy względne dla naprężeń σ_x dla różnych rozmieszczenia punktów interpolacyjnych

ys.1, przy zastosowaniu rozmieszcze- nia równomiernego błąd jest niemal zerowy bez względu

liczbę wykorzystanych punktów interpolacyjnych.

Dużo wyższe wartości błędów generują warianty roz- ) i c). Szczególnie błędo- przy większej liczbie punktów charakteryzuje się błędem nawet 141%. Wynika umiejscowienia skrajnych punktów takiego roz- mieszczenia w bardzo bliskiej odległości od brzegu

uzyskiwania wartości funkcji (przemieszczeń) punktach obarczonej błędem.

Z tego powodu postanowiono dodatkowo wprowadzić przetestować jeszcze inne warianty rozmieszczeń po-

tymi podanymi na początku podrozdziału 2.1. Pierw- punktów w miejscach odpowiada- tego wielomianu Czebyszewa rodzaju (oznaczona jako wariant d). Sposób rozmiesz- czenia na przykładzie jednowymiarowym dla 9 punktów

punkty rozmieszczone zgodnie wariantem d) są również coraz gęściej upakowane krańcach przedziału, ale skrajne punkty są dalej końców niż to ma miejsce w przypadku 2b. W celach badawczych wprowadzono również inne rozmieszczenie, roboczo nazwane „dodatkowe”

(oznaczone jako wariant e), które umiejscawiało punkty pomiędzy wynikającymi z rozmieszczeń bazujących

wielomianach Czebyszewa I i II rodzaju (rys. 2e).

punktów zgodne z: b) pier- Czebyszewa I rodzaju, d) Czebyszewa rodzaju, e) „dodatkowe” (oznaczenia podpisów zgodne oznaczeniem rozmieszczeń wprowadzonym w podrozdziale 2.1)

Tab. 3. Wartości wskaźnika uwarunkowania w zależności od

równomierne a)

Czybyszewa I rodz 548 800 000.0 41 859

Ponownie zbadano wskaźniki uwarunkowania maci rzy dla nowo wprowadzonych wariantów (dla 49 pun tów interpolacyjnych) i zawarto je w tabeli 3. Wyliczono także średnie błędy względne dla naprężeń, które zapr zentowano na rys. 3.

Rys. 3. Średnie błędy względne dla naprężeń wariantów rozmieszczenia punktów

Podobnie jak dla wcześniej testowanych wariantów rozmieszczenia punktów interpolacyjnych, tak i dla nowo wprowadzonych (tabela 3) wskaźnik uwarunkowania macierzy jest zbyt wysoki, by gwara tować stabilność rozwiązań. Analizując zaś

zawarte na rys. 3, widać, że najdokładniejsze rezultaty otrzymano ponownie dla rozmieszczenia równomiernego oraz biorąc pod uwagę wersję, gdzie punkty interpol cyjne odpowiadają wariantowi rozmieszczeni

błąd względny w tym przypadku nie przekracza 0.5%, zaś pozostałe warianty rozmieszczenia wygenerowały niedopuszczalnie duże błędy.

2.2 FUNKCJE BAZOWE

W SZEREGACH APROKSYMUJĄCYCH

Dotychczas w szeregach (1), jako funkcje bazowe, stosowane były wielomiany Czebyszewa I rodzaju.

Postanowiono sprawdzić, jak użycie innych funkcji wpłynie na uwarunkowanie rozwiązywanego układu równań algebraicznych oraz dokładność rezultatów.

Zastosowano w tym celu:

1) jednomiany postaci , ) ( , ) ( , 1 )

( ₁

0

j

j x x

T x x T x

T = = =

2) wielomiany Czebyszewa II rodzaju [1]

) ( 2 ) ( , 2 ) ( , 1 )

( _{1 1}

0 x T x x T x xT x T

T = = _j = _j− −

Zbadano uwarunkowanie układu równań poprzez wyznaczenie wskaźnika uwarunkowania macierzy (dla 25

3. Wartości wskaźnika uwarunkowania w zależności od wariantu rozmieszczenia punktów Czybyszewa

I rodzaju b)

Legendre’a c)

Czybyszewa II rodzaju

d)

dodatkowe e) 41 859 548.0 49 468 643.0 48 202 068.0 178 500

Ponownie zbadano wskaźniki uwarunkowania macie- rzy dla nowo wprowadzonych wariantów (dla 49 punk- abeli 3. Wyliczono średnie błędy względne dla naprężeń, które zapre-

Średnie błędy względne dla naprężeń dla różnych rozmieszczenia punktów

jak dla wcześniej testowanych wariantów rozmieszczenia punktów interpolacyjnych, abela 3) wskaźnik wysoki, by gwaran- tować stabilność rozwiązań. Analizując zaś wyniki

najdokładniejsze rezultaty rozmieszczenia równomiernego uwagę wersję, gdzie punkty interpola-

rozmieszczenia d). Średni przekracza 0.5%, pozostałe warianty rozmieszczenia wygenerowały

SZEREGACH APROKSYMUJĄCYCH

Dotychczas w szeregach (1), jako funkcje bazowe, stosowane były wielomiany Czebyszewa I rodzaju.

użycie innych funkcji uwarunkowanie rozwiązywanego układu równań algebraicznych oraz dokładność rezultatów.

2) wielomiany Czebyszewa II rodzaju [1]

).

2(x T_j−

badano uwarunkowanie układu równań poprzez wyznaczenie wskaźnika uwarunkowania macierzy (dla 25

punktów interpolacyjnych), a jego wartości zawarto w tabeli 4. Sprawdzono również jak na dokładność wyliczanych pochodnych rozwiązań wpłynęła zmiana funkcji bazowych w szeregach (1), co zaprezentowano na rys. 4.

Wartości wskaźnika uwarunkowania w zależności od funkcji

Czybyszewa I rodzaju

Czybyszewa II rodz 21 200 001.0 2 601 081.5

Rys. 4. Średnie błędy względne dla naprężeń funkcji bazowych

Jak wynika z tabeli 4, wartości wskaźników uw runkowania dla funkcji bazowych innych niż Czebyszewa I rodzaju zmniejszyły się, dalej jednak ich wartości są zbyt duże. Analizując zaś wyniki zwizualizowane w postaci średnich błędów względnych

że poziom dokładności rozwiązań uzyskany dla trzech wariantów funkcji bazowych jest jednakowy.

więc stwierdzić, że dla badanego przykładu i rodzaj zagadnienia zmiana funkcji bazowych w szeregach nie wpłynęła na rozwiązania.

3. POPRAWA DOKŁADNOŚCI ROZWIĄZAŃ W PUNKTACH PRZY BRZEGU

Rozwiązania uzyskiwane w punktach obszaru leż cych w pobliżu brzegu w MEB [2], a tym samym i w metodzie PURC, są obarczone

mieszczeń uzyskanych w punktach interpolacyjnych przekłada się następnie na błę

co jest wyraźnie widoczne w przypadku rozmieszczenia tych punktów zgodnie z wariantem

rozmieszczenia punktów

odatkowe e) 178 500 000.0

punktów interpolacyjnych), a jego wartości zawarto abeli 4. Sprawdzono również jak na dokładność wyliczanych pochodnych rozwiązań wpłynęła zmiana cji bazowych w szeregach (1), co zaprezentowano

Tab. 4.

Wartości wskaźnika uwarunkowania w zależności od funkcji bazowych Czybyszewa

II rodzaju jednomiany 2 601 081.5 9 310 433.5

4. Średnie błędy względne dla naprężeń dla różnych funkcji bazowych

wartości wskaźników uwa- runkowania dla funkcji bazowych innych niż Czebyszewa

rodzaju zmniejszyły się, dalej jednak ich wartości zbyt duże. Analizując zaś wyniki zwizualizowane postaci średnich błędów względnych, na rys. 4 widać, rozwiązań uzyskany dla trzech jest jednakowy. Należy więc stwierdzić, że dla badanego przykładu i rodzaju zagadnienia zmiana funkcji bazowych w szeregach

POPRAWA DOKŁADNOŚCI ROZWIĄZAŃ W PUNKTACH

ozwiązania uzyskiwane w punktach obszaru leżą- pobliżu brzegu w MEB [2], a tym samym metodzie PURC, są obarczone błędem. Błąd prze- mieszczeń uzyskanych w punktach interpolacyjnych

ędy dalszych obliczeń, wyraźnie widoczne w przypadku rozmieszczenia wariantem b) i c). Podjęto

Agnieszka Bołtuć, Eugeniusz Zieniuk więc próbę poprawienia dokładności

poprzez zastosowanie procedury opisanej w [2].

Procedura ta polega na zastąpieniu tożsamości ca kowej stosowanej w PURC [7] do wyznaczania prz mieszczeń w obszarze

∑ ∫

= ₋

−

= ⁿ

r s

s

r r

r s s s

r

r

1

*

* ˆ ( , )

) ( ) , ˆ ( )

(

1

u x P p x U x

u

tożsamością zmodyfikowaną

∑ ∫

= ₋

−

−

=

−

n

r s

s

r r r r

r s s s s

r

r

1

*

* ˆ ( , )[ ( ) (

) ( ) , ˆ (

) ( ) (

1

Q Q

u

u u x P p x U x u

gdzie Q jest punktem brzegowym leżącym w pobliżu punktu x , w którym obliczamy rozwiązanie.

Zmodyfikowana tożsamość całkowa (6) została n stępnie zastosowana do wyznaczania przemieszczeń w punktach interpolacyjnych, zaś przemieszczenia do aproksymacji naprężeń. Średnie błędy względne dla rozpatrywanym przekroju, w odniesieniu do wariantu rozmieszczeń b) oraz d) zaprezentowano na

b)

d)

Rys. 5. Średnie błędy względne dla rozmieszczenia:

b) Czebyszewa I rodzaju, d) Czebyszewa II rodzaju (oznaczenia podpisów zgodne z oznaczeniem rozmieszczeń wprowadzonym

w podrozdziale 2.1)

Jak wynika z rys. 5, uzyskano znaczącą poprawę d kładności aproksymacji pochodnych rozwiązań, w skra nym przypadku był to nawet 11-krotnie mniejszy średni

Agnieszka Bołtuć, Eugeniusz Zieniuk tych rozwiązań

poprzez zastosowanie procedury opisanej w [2].

Procedura ta polega na zastąpieniu tożsamości cał- wyznaczania prze-





r r(s) J (s)ds,

u (5)





r sds

J ( ) , )]

Q (6)

jest punktem brzegowym leżącym w pobliżu , w którym obliczamy rozwiązanie.

Zmodyfikowana tożsamość całkowa (6) została na- do wyznaczania przemieszczeń

jnych, zaś przemieszczenia do aproksymacji naprężeń. Średnie błędy względne dla w rozpatrywanym przekroju, w odniesieniu do wariantu

raz d) zaprezentowano na rys. 5.

dla rozmieszczenia:

Czebyszewa II rodzaju (oznaczenia iem rozmieszczeń wprowadzonym

uzyskano znaczącą poprawę do- kładności aproksymacji pochodnych rozwiązań, w skraj- krotnie mniejszy średni

błąd względny. Należy jednak podkreślić, że pomimo tego ulepszenia rezultaty dla wariantu rozmieszcz nia b) są zbyt mało dokładne, stąd rekomendacja stos wania przy dużej liczbie punktów interpolacyjnyc wariantu rozmieszczenia d).

4. APROKSYMACJA

POCHODNYCH WIELOMIANAMI INTERPOLACYJNYMI

LAGRANGE’A

Wskaźniki uwarunkowania we wszystkich badanych wariantach rozmieszczenia punktów interpolacyjnych oraz rozpatrywanych rodzajach

w szeregach aproksymujących znacznie przekroczyły dopuszczalne wartości.

Proponowana w pracy strategia aproksymacji p chodnych rozwiązań jest zaś rozwijana z myślą o zaga nieniach bardziej złożonych np. nieliniowych, rozwiąz wanych iteracyjnie. Zagadnienia

wymagają wielokrotnego rozwiązywania układu równań, w którym to dokonywane są nieznaczne

Przy złym uwarunkowaniu macierzy nie ma gwarancji uzyskania stabilnych rozwiązań, stąd n

wiązywanie (a szczególnie wielo kich układów równań z taką macierzą godne i obarczone dużymi błędami.

W związku z tym postanowiono przeprowadzić da sze badania mające na celu wykorzystanie innej metody aproksymacji, takiej która nie wymaga rozwiązywan układu równań algebraicznych. W tym celu zastosowano interpolację Lagrange’a, jako szczególny przypadek aproksymacji. Wielomian interpolacyjny

dla problemów 2D (będący uogólnieniem przypadku 1D) można zapisać za pomocą

∑∑

⁻

=

−

=

= ¹

0 1

0

( )

, (

n

i m

j i x

u x y u x

W_x

gdzie

) ( ) ,

(x y L xL

L_ij = _i ( , )

(

1

,

∏

₌0⁻_≠ ⁻₋

= j

n

i k

k i k

k

i L y

x x

x x x

L

zaś u_x(x_i,y_j) to wartości przemieszczeń w kierunku osi x w zadanych m⋅n punktach.

Po uogólnieniu wielomianu interpolacyjnego ge’a na zagadnienia 2D (7), w celu obliczenia pocho nych interpolowanych funkcji wystarczy go zróżniczk wać względem poszczególnych zmiennych. W efekcie otrzymuje się wielomiany aproksymujące pochodne rozwiązań, m.in.:

) ( ,

( ¹

0 1

0

∑∑

⁻

=

−

=

= ⁿ

i m

j i x

u u x

dx y x dW

x

błąd względny. Należy jednak podkreślić, że pomimo tego ulepszenia rezultaty dla wariantu rozmieszcze-

są zbyt mało dokładne, stąd rekomendacja stoso- wania przy dużej liczbie punktów interpolacyjnych

APROKSYMACJA

POCHODNYCH WIELOMIANAMI INTERPOLACYJNYMI

Wskaźniki uwarunkowania we wszystkich badanych wariantach rozmieszczenia punktów interpolacyjnych rodzajach funkcji bazowych szeregach aproksymujących znacznie przekroczyły

Proponowana w pracy strategia aproksymacji po- chodnych rozwiązań jest zaś rozwijana z myślą o zagad- nieniach bardziej złożonych np. nieliniowych, rozwiązy- Zagadnienia tego typu najczęściej wymagają wielokrotnego rozwiązywania układu równań, nieznaczne modyfikacje.

Przy złym uwarunkowaniu macierzy nie ma gwarancji uzyskania stabilnych rozwiązań, stąd numeryczne roz-

a szczególnie wielokrotne) nawet niewiel- macierzą będzie niewiary- godne i obarczone dużymi błędami.

W związku z tym postanowiono przeprowadzić dal- sze badania mające na celu wykorzystanie innej metody

, takiej która nie wymaga rozwiązywania W tym celu zastosowano , jako szczególny przypadek interpolacyjny Lagrange’a (będący uogólnieniem przypadku 1D)

) , ( )

,yj Lij x y , (7)

), ( y L_j

, )

1

,

∏

₌0⁻_≠ ⁻₋

= ^m

j k

k j k

k

y y

y y

to wartości przemieszczeń w kierunku osi

interpolacyjnego Lagran- w celu obliczenia pochod- wystarczy go zróżniczko- wać względem poszczególnych zmiennych. W efekcie

wielomiany aproksymujące pochodne

), , ) (

, _j ^ij

dx y x

y dL (8)

), ) ( ) ( ,

( L y

dx x dL dx

y x dL

j ij i

= 1 )

( ¹

, 1

1

, , 1

∑

₌⁻_{≠ − =}

∏

⁻_{≠ ≠} ⁻₋

= ⁿ

i l l

n

l p i p

p i

l i i

x x x

x dx

x dL

Na rys. 6 zaprezentowano średnie błędy względne dla trzech składowych tensora naprężeń uzyskanych za pomocą aproksymacji pochodnych z szeregami apro symującymi (opisanej w rozdziale 2 pracy) oraz wielomianami interpolacyjnymi Lagrange’a.

Rys. 6. Średnie błędy względne dla naprężeń Jak wynika z rys.6, dokładność rozwiązań uzyskiw nych za pomocą obu metod aproksymacji

wa. Przy zastosowaniu szeregów aproksymujących (1), pomimo złego uwarunkowania macierzy układu równań otrzymano prawidłowe rezultaty. Sytuacja jednak może znacząco się pogorszyć w przypadku zastosowania proponowanej strategii do zagadnień, gdzie ma

nieznaczna modyfikacja takiego układu równa

puje to na przykład przy rozwiązywaniu zagadnień nieliniowych w procesie iteracyjnym i może prowadzić do braku jego zbieżności. Stąd zachodziła

zastosowania i przebadania metody eliminującej zywanie źle uwarunkowanego układu równań.

wanie dwuwymiarowych wielomianów interpolacyjnych Lagrange’a rozwiązało wspomniany problem, przy jednoczesnym zachowaniu tego samego poziomu dokła ności pochodnych rozwiązań.

Literatura

1. Abramowitz M., Stegun I. A.: Handbook of tables. New York: Dover, 1965.

2. Ameen M.: Boundary element analysis

3. Bołtuć A., Zieniuk E.: Porównanie metod aproksymacji pochodnych rozwiązań otrzymywanych za pomocą met dy PURC w zagadnieniach brzegowych.

4. Kleiber M. (red.): Komputerowe metody mechaniki ciał stałych 1995.

5. Zieniuk E.: Potential problems with polygonal boundaries by a BEM with parametric linear functions.

ing Analysis with Boundary Elements

), (9)

− .

−

p p

x

x (10)

ys. 6 zaprezentowano średnie błędy względne naprężeń uzyskanych pomocą aproksymacji pochodnych z szeregami aprok- symującymi (opisanej w rozdziale 2 pracy)

Lagrange’a.

6. Średnie błędy względne dla naprężeń dokładność rozwiązań uzyskiwa-

aproksymacji jest jednako- Przy zastosowaniu szeregów aproksymujących (1),

cierzy układu równań, otrzymano prawidłowe rezultaty. Sytuacja jednak może znacząco się pogorszyć w przypadku zastosowania proponowanej strategii do zagadnień, gdzie ma miejsce takiego układu równań. Wystę- przy rozwiązywaniu zagadnień

i może prowadzić zachodziła konieczność przebadania metody eliminującej rozwią- le uwarunkowanego układu równań. Zastoso- wielomianów interpolacyjnych rozwiązało wspomniany problem, przy jednoczesnym zachowaniu tego samego poziomu dokład-

5. WNIOSKI

W pracy dokonano uogólnienia strategii aproksym cji pochodnych rozwiązań otrzymywanych za

metody PURC. Realizacja pierwszego etapu uogólnienia (punkt 1 oraz 2 we wstępie pracy) pozwoliła na sform łowanie wstępnych wniosków. Okazało się, że

uwarunkowania macierzy układu równań jest zbyt wysoki we wszystkich badanych wariantach,

nieczność zastosowania metody

nie wymagającej rozwiązywania układu równań.

W odniesieniu do dokładności uzyskiwanych rezultatów:

najbardziej dokładne wyniki otrzymano dla rozmieszcz nia równomiernego, bez względu na

a także rozmieszczenia w miejscach pierwiastków wiel mianów Czebyszewa II rodzaju. Rozwiązania uzyskane przy zastosowaniu różnych funkcji bazowych w szer gach były jednakowe.

Ostatecznie, po realizacji wszystkich założeń przyj tych we wstępie pracy, otrzymano

strategię wyznaczania naprężeń bazującą na aproksym cji pochodnych rozwiązań uzyskanych za pomocą met dy PURC. Wyeliminowano wady

a) wprowadzono możliwość aproksymowania bez rozwi zywania układu równań przy zacho

dokładności, co daje możliwość wykorzystania strategii do rozwiązywania zagadnień bardziej złożonych np.

nieliniowych,

b) dokonano poprawienia dokładności rozwiązań w punktach obszaru leżących blisko brzegu,

c) sformułowano rekomendacje do rozmieszczenia punktów interpolacyjnych.

Strategia jest możliwa do zastosowania w zagadni niach bardziej złożonych do efektywnego wyznaczania naprężeń, bądź innych pochodnych rozwiązań

Abramowitz M., Stegun I. A.: Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and

Ameen M.: Boundary element analysis: theory and programming. Alpha Science International Ltd., 2001.

.: Porównanie metod aproksymacji pochodnych rozwiązań otrzymywanych za pomocą met dy PURC w zagadnieniach brzegowych. „Modelowanie Inżynierskie” 2012, t.13, nr 44, s. 29

Komputerowe metody mechaniki ciał stałych. Seria Mechanika Techniczna, Warszawa: PWN,

Zieniuk E.: Potential problems with polygonal boundaries by a BEM with parametric linear functions.

ing Analysis with Boundary Elements” 2001, 25, p. 185-190.

W pracy dokonano uogólnienia strategii aproksyma- cji pochodnych rozwiązań otrzymywanych za pomocą metody PURC. Realizacja pierwszego etapu uogólnienia (punkt 1 oraz 2 we wstępie pracy) pozwoliła na sformu- łowanie wstępnych wniosków. Okazało się, że wskaźnik uwarunkowania macierzy układu równań jest zbyt wysoki we wszystkich badanych wariantach, stąd ko- nieczność zastosowania metody aproksymacji

wymagającej rozwiązywania układu równań.

odniesieniu do dokładności uzyskiwanych rezultatów:

najbardziej dokładne wyniki otrzymano dla rozmieszcze- nia równomiernego, bez względu na liczbę punktów,

kże rozmieszczenia w miejscach pierwiastków wielo- mianów Czebyszewa II rodzaju. Rozwiązania uzyskane przy zastosowaniu różnych funkcji bazowych w szere-

Ostatecznie, po realizacji wszystkich założeń przyję- tych we wstępie pracy, otrzymano efektywną uogólnioną strategię wyznaczania naprężeń bazującą na aproksyma- cji pochodnych rozwiązań uzyskanych za pomocą meto- dy PURC. Wyeliminowano wady koncepcji pierwotnej:

a) wprowadzono możliwość aproksymowania bez rozwią- zachowaniu jednakowej co daje możliwość wykorzystania strategii do rozwiązywania zagadnień bardziej złożonych np.

b) dokonano poprawienia dokładności rozwiązań punktach obszaru leżących blisko brzegu,

c) sformułowano rekomendacje dotyczące optymalnego rozmieszczenia punktów interpolacyjnych.

Strategia jest możliwa do zastosowania w zagadnie- niach bardziej złożonych do efektywnego wyznaczania

, bądź innych pochodnych rozwiązań.

raphs, and mathematical

heory and programming. Alpha Science International Ltd., 2001.

.: Porównanie metod aproksymacji pochodnych rozwiązań otrzymywanych za pomocą meto- s. 29-36.

Techniczna, Warszawa: PWN,

Zieniuk E.: Potential problems with polygonal boundaries by a BEM with parametric linear functions. “Engineer-

Agnieszka Bołtuć, Eugeniusz Zieniuk

6. Zieniuk E., Bołtuć A.: Bézier curves in the modeling of boundary geometry for 2D boundary problems defined by Helmholtz equation. “Journal of Computational Acoustics” 2006, 14/3, p. 353-367.

7. Zieniuk E., Bołtuć A.: Non-element method of solving 2D boundary problems defined on polygonal domains modeled by Navier equation. International. „Journal of Solid and Structures” 2006, 43, p. 7939-7958.